1. Gruppenübung zur Linearen Algebra II

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1. Sei (𝔙, Φ) ein unitärer Vektorraum mit Basis B, und es gelte

BΦ^{B} = ( \begin{matrix}4 & −2i − 1 & −i + 1 \\ 2i − 1 & 2 & i \\ i + 1 & −i & 1 \end{matrix} ) .

Bestimme eine Orthonormalbasis von 𝔙. Zeige, daß φ mit

Bφ^{B} = ( \begin{matrix}−i + 1 & i & −1 \\ −2i − 2 & 4 & 2i \\ −2 & 2i + 1 & i + 1 \end{matrix} )

selbstadjungiert ist.

Aufabe 2. Sei K ∈ {ℝ, ℂ}. Welche der beiden folgenden Matrizen sind diagonalisierbar über K?

A := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & −1 \end{matrix} ) ∈ K^{3×3}, B := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ K^{3×3}.

Aufgabe 3. Sei (𝔙, Φ) n-dimensionaler unitärer Raum mit Basis B = (B_{1}, …, B_{n}). 𝔙_{|ℝ} sei wie in der Vorlesung der ℝ-Vektorraum der durch die Einschränkung der Skalare von ℂ nach ℝ entsteht. Zeige:

1. 𝔙_{|ℝ} ist ein 2n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Basis B_{ℝ} = (B_{1}, iB_{1}, …, B_{n}, iB_{n}).

2. Φ_{ℝ} := ℜ𝔢 ∘ Φ ist ein inneres Produkt auf 𝔙_{ℝ}, d. h. ist ℝ-linear, symmetrisch und positiv definit.

3. Zeige die erste Behauptung von Satz 1.8, d.h. für V, W ∈ 𝔙 gilt Φ(V, V)Φ(W, W) − |Φ(V, W)|^{2} ≥ 0. Hinweis: betrachten Sie die Grammatrix für (V, W) und deren Determinante.

4. Wann gilt in 3.) die Gleichheit?

Aufgabe 4. Sei (𝔙, Φ) ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum der Dimension n > 1. Sei S^{n−1} := {V ∈ 𝔙|Φ(V, V) = 1}.

1. Zeige: S^{n−1} ist eine Bahn unter U(𝔙, Φ) := {φ ∈ End(𝔙)|φ ist unitär }, also der unitären Gruppe.

2. Offenbar operiert U(𝔙, Φ) dann auch auf S^{n−1} ×S^{n−1} durch (g, (V, W)) ↦ (gV, gW). Zeige: ∠(V, W) ist eine Invariante dieser Operation, die nicht trennend ist.

3. Zeige: (V, W) ↦ Φ(V, W) ist eine trennende Invariante der Operation aus 2.).

Abgabe: Montag, 30.4.2001, in der Übung Literatur zur Vorlesung

• Paul A. Fuhrmann: A polynomial approach to linear algebra, Springer

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg (1. Semester)

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie, Vieweg

• Falko Lorenz: Lineare Algebra I, II, BI Wissenschaftsverlag

• Jänich: Lineare Algebra, Springer 2000 (1. Aufl. 1979) (1. Semester)

• Serge Lang: Linear Algebra, Springer (ursprünglich bei Addison Wesley 1966?)

• Peter Gabriel: Matrizen, Geometrie, lineare Algebra, Birkhäuser 1996

• Michael Artin: Algebra, Birkhäuser 1998.

• Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und anlytische Geometrie I,II, Vieweg 1985 • Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, 1985, 286 S., Springer • Satake, I.: Linear algebra, 1975, 375 S., Marcel Dekker

• Berger, M.: Geometry I 1987, 427 S., Universitext

• Berger, M.: Geometry II 1987, 405 S., Universitext

• Stammbach, U.: Lineare Algebra, 1983, 256 S., Teubner (1. Semester)

• Brandl, R.: Vorlesungen ueber Analytische Geometrie, 1996, 404 S., Brandl

• Greub, W.: Linear Algebra, Springer GTM 23, 1974 Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Jordannormalform J der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{3}^{4×4}, B := ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 3 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{5}^{4×4},

C := ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) ∈ K^{4×4}, K ∈ \{ℝ, ℂ\}.

Geben Sie für A auch ein X an mit X^{−1}AX = J.

Aufgabe 2. Beweisen Sie die folgende Bemerkung aus dem Beweis von Satz 1.14 aus der Vorlesung: Sei 𝔙 ein endlich erzeugter K-Vektorraum, α ∈ End(𝔙) mit χ_{α}(x) = μ_{α}(x), dann gibt es ein V ∈ 𝔙 mit μ_{α,V} (x) = μ_{α}(x).

Aufgabe 3. Sei 𝔙 ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und α ∈ End(𝔙). Zeigen Sie

1. C_{End(𝔙)}(α) ist der Kern der linearen Abbildung End(𝔙) → End(𝔙) : γ ↦ γ∘α−α∘γ.

2. C_{End(𝔙)}(α) ist ein Teilring von End(𝔙), d. h. ist unter Multiplikation abgeschloßen, und α ∈ C_{End(V)}(α)

3. Sei μ_{α}(x) = p_{1} · p_{2} mit normierten Polynomen p_{i}, und ggT(p_{1}, p_{2}) = 1. Setze 𝔙_{i} := Kern p_{i}(α). Dann ist C_{End(𝔙)}(α) ≅ C_{End(𝔙_{1})}(α_{|𝔙_{1}}) ⊕ C_{End(𝔙_{2})}(α_{|𝔙_{2}})

4. Ist μ_{α}(x) = χ_{α}(x), so ist C_{End(𝔙)}(α) ≅ K[x]/μ_{α}(x).

5. Wann ist C_{End(𝔙)}(α) ein Körper?

Aufabe 4. Bestimmen Sie Vertreter X_{i} der Ähnlichkeitsklassen in 𝔽_{2}^{4×4}. Geben Sie C_{𝔽_{2}^{4×4}}(X_{i}) an für jedes X_{i}. Hinweis: es gibt in 𝔽_{2}[x] genau 1, 2, bzw. 3 irreduzibele, normierte Polynome vom Grad 2, 3, bzw. 4.

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1.

1. Betrachten Sie die Differentialgleichung y′′ +μy′ + \frac{c}{m}y = 0. Welche Lösungen hat diese Differentialgleichung in Abhängigkeit von den Parametern μ und \frac{c}{m}? Welcher Fall ist besonders? Wie zeichnet er sich algebraisch aus?

2. Lösen Sie die Differentialgleichung y^{(4)} − 2y^{(3)} + 2y^{(1)} − y = 0.

3. Lösen Sie das Differentialgleichungssystem

( \begin{matrix}f′_{1} \\ f′_{2} \\ f′_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \end{matrix} )

mit f_{i} ∈ C^{∞}(ℂ).

Aufgabe 2. Sei A ∈ ℂ^{n×n}. Betrachte das Differentialgleichungssystem

( f′_{1} ; f′_{2} ; ⋮ ; f′_{n} ) = A ( f_{1} ; f_{2} ; ⋮ ; f_{n} ) ,

mit f_{i} ∈ ℂ^{∞}(ℂ). Zeige: Das System ist äquivalent zu r gewöhnlichen Differentialgleichungen für nur eine unabhängige Funktion, wobei r die Anzahl der Jordanblöcke von A ist. Was ist die Ordnung dieser r Differentialgleichungen? Zeige: Ist μ\overline{A} = χ\overline{A}, so ist das System äquivalent zu einer Gleichung.

Aufgabe 3. Sei S_{n} := \{ν ∈ \underline{n}\underline{n}|ν bijektiv \}. S_{n} ist nach Vorlesung eine Gruppe. Zeige, daß die folgenden Abbildungen Operationen der S_{n} induzieren, und bestimme die Bahnen und den Stabilisator eines Elementes jeder Bahn.

1. S_{n} × \underline{n} → \underline{n} : (ν, i) ↦ ν(i).

2. S_{n} × Pot(\underline{n}) → Pot(\underline{n}) : (ν, X) ↦ ν(X).

3. Sei Part(\underline{n}) := \{\{X_{1}, …, X_{r}\} : X_{i} ∩ X_{j} = ∅ für X_{i} ≠ X_{j}, und ∪_{i∈\underline{r}}X_{i} = \underline{n}\} ⊆ Pot(Pot(\underline{n})) die Menge der Partitionen von \underline{n}. Die Operation sei gegeben durch S_{n} × Part(\underline{n}) → Part(\underline{n}) : (ν, {X_{1}, …, X_{r}}) ↦ {ν(X_{1}), …, ν(X_{r})}.

Aufabe 4. (Zusammenhang Differenzengleichungen und Differentialgleichungen) Sei K ein algebraisch abgeschloßener Körper mit n · 1 ≠ 0 für alle n ∈ ℕ. Sei 𝔙 = K[[x]] der Ring der Potenzreihen über K. Definiere die zwei linearen Abbildungen α : K[[x]] → K[[x]] : ∑ a_{i}x^{i} → ∑ a_{i+1}x^{i} (Schiebeoperator) und ∂ : K[[x]] → K[[x]] : ∑ a_{i}x^{i} → ∑ a_{i+1}(i + 1)x^{i}. Zeige: Es gibt einen Isomorphismus τ : K[[x]] → K[[x]] mit τατ^{−1} = ∂. Hinweis: Betrachten Sie die Basen B := (1, x, x^{2}, …) und C = (0!, 1! · x, 2! · x^{2}, …) von K[[x]].

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1 Sei 𝔙 ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit Basen C und D mit

Cid^{D} := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{4×4}, ^{C}id^{D} := ( \begin{matrix}0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{5}^{3×3}.

Bestimme jeweils eine Basis B von 𝔙 und eine Permutation σ mit F (B) = F (C) = F (D ∘ σ).

Aufgabe 2

1. Sei (𝔙, Φ) ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Zeige: O(𝔙, Φ) operiert transitiv auf der Menge der Fahnen von 𝔙. Ist F Fahne in 𝔙, so gilt |Stab_{O(𝔙,Φ)}(F)| = 2^{n}.

2. Sei K algebraisch abgeschlossener Körper, 𝔙 ein Vektorraum über K. Zeige: Für jedes g ∈ GL(𝔙) gibt es ein Fahne F mit gF = F. Warum braucht man die Voraussetzung an K?

Aufgabe 3 Sei 𝔙 ein endlich dimensionaler Vektorraum über ℂ. Zeige: GL(𝔙) operiert auf Sesq_{+}(𝔙) durch (g, Φ) ↦ Φ_{g} ℝ-linear, wobei Φ_{g}(V, W) := Φ(gV, gW). Bestimme eine trennende Invariante für diese Operation.

Aufgabe 4 Sei 𝔙 ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, und setze U_{k}(𝔙) := {𝔘 ≤ 𝔙|Dim 𝔘 = k}.

1. Zeige : GL(𝔙) operiert transitiv auf U_{k}(𝔙) durch (g, 𝔘) ↦ g(𝔘).

2. Somit operiert GL(𝔙) auch auf U_{k}(𝔙) × U_{k}(𝔙). Zeige, daß d : U_{k}(𝔙) × U_{k}(𝔙) → ℕ ∪ {0} : (𝔘, 𝔚) ↦ k − Dim (𝔘 ∩ 𝔚) trennende Invariante für diese Operation ist.

3. Sei 𝔘 ∈ U_{k}(𝔙), und setze H := Stab_{GL(𝔙)}(𝔘). Zeige: d : U_{k}(𝔙) → ℕ ∪ {0} : 𝔚 ↦ k − Dim (𝔘 ∩ 𝔚) ist trennende Invariante für die Operation von H auf U_{k}(𝔙).

4. Zeige: d aus 2. erfüllt die Dreiecksungleichung, d. h. d(𝔘, 𝔚) ≤ d(𝔘, X) + d(X , 𝔚) für alle X in U_{k}(𝔙). Hinweis: Zeige zunächst, daß dies äquivalent ist zu Dim 𝔘 ∩ X + Dim 𝔚 ∩ X ≤ k + Dim 𝔘 ∩ 𝔚.

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1 Sei K ein Körper und P ∈ K^{n×n} die Permutationsmatrix mit P_{ij} = δ_{i,n−j+1}. Zeige: P vertauscht durch Konjugieren die Untergruppen Δ^{o}(n, K) und Δ^{u}(n, K).

Aufgabe 2 Sei G eine abelsche Gruppe, die treu und transitiv auf der Menge M operiert. Zeige: G → M : g ↦ gm ist bijektiv für jedes m ∈ M. Zeige weiter: Die Voraussetzung an G ist notwendig.

Aufgabe 3 Sei A ein affiner Raum mit affinen Teilräumen A′, A′′. Zeige: Ist A′ ∩ A′′ ≠ ∅, so ist A′ ∩A′′ ein affiner Teilraum von A. Definieren Sie ausgehend von dieser Tatsache das affine Erzeugnis von M ⊆ A. Beschreiben Sie das affine Erzeugnis einer zweielementigen Teilmenge von A.

Aufgabe 4 Sei 𝔙̃ ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und 0 ≠ φ ∈ 𝔙̃^{∗}. Zeige:

1. A_{φ} := φ^{−1}(1) ist affiner Raum bezüglich des Translationsraumes 𝔗(A_{φ}) := Kern φ.

2. Für α ∈ GL(𝔙̃) mit φ ∘ α = φ ist α_{|A_{φ}} eine affine Abbildung.

3. Ist f : A_{φ} → A_{φ} eine affine Abbildung, so gibt es genau eine lineare Abbildung α ∈ GL(𝔙̃) mit α_{|A_{φ}} = f und φ ∘ α = φ.

Betrachten Sie nun das Maus-Beispiel aus dem 1. Semester (I.29). Sei also 𝔙̃ = ℝ^{4×1}, und betrachte die lineare Abbildung α = \overline{A} mit

A := ( \begin{matrix}1/2 & 1/3 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/3 & 1/2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}.

Sei nun φ : 𝔙̃ → ℝ : V ↦ (1, 1, 1, 1)V. Zeige: α_{|A_{φ}} ist affine Abbildung. Bestimmen Sie

einen Fixpunkt von α_{|A_{φ}} auf dem Simplex S := \{( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \\ p_{4} \end{matrix} ) ∈ A_{φ}|p_{i} ≥ 0\}.

6. Gruppenübung zur Linearen Algebra II

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1

1. Sei A ein 2-dimensionaler affiner Raum über dem Körper K. Formuliere und beweise den Strahlensatz.

2. Betrachte die folgenden affinen Unterräume von A_{4}(ℝ):

A_{1} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} )⟩_{a}, A_{2} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩_{a}

A_{3} := \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ 1 \end{matrix} ) ∈ A_{4}(ℝ)|x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1, x_{1} − x_{2} + x_{3} = 2\}

Bestimmen Sie die affine Dimension der A_{i}. Welche der Räume sind (schwach) parallel oder windschief?

Aufgabe 2 Seien A_{1} und A_{2} affine Räume über dem Körper K, und φ : A_{1} → A_{2} eine affine Abbildung. Weiter seien A′, A′′ affine Teilräume von A_{1}. Zeige:

1. Sind A′ und A′′ (schwach) parallel, so sind auch φ(A′) und φ(A′′) (schwach) parallel.

2. Ist φ injektiv, und sind A′ und A′′ windschief, so gilt dies auch für φ(A′) und φ(A′′). Aufgabe 3 Sei A ein affiner Raum über dem Körper K. Eine affine Abbildung φ heißt Streckung genau dann, wenn es ein a ∈ K und ein P_{0} ∈ A gibt mit φ(P) = P_{0} + a\overrightarrow{P_{0}P} für alle P ∈ A. a heißt der Streckungsfaktor, und P_{0} das Streckzentrum von φ. Zeige:

1. Zu der Streckung φ ∈ Aff(A) ist der Streckungsfaktor a eindeutig. Ist φ ≠ id, so ist auch das Streckzentrum P_{0} eindeutig.

2. Zwei Streckungen sind in Aff(A) genau dann konjugiert, wenn sie denselben Streckungsfaktor haben.

3. Ist id ≠ φ ∈ Aff(A) eine Streckung, und τ eine Translation, so sind φ ∘ τ und τ ∘ φ wieder Streckungen. Weiter ist S := {φ|φ ist Streckung oder Translation} eine Untergruppe von Aff(A).

4. S operiert transitiv auf A, und berechnen Sie den Stabilisator eines Punktes P ∈ A. Geben Sie eine trennende Invariante für die Operation von S auf A × A an.

5. S ist isomorph zu der Gruppe

S′ := \{( \begin{matrix}a · I_{n} & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |a ∈ K^{∗}, t ∈ K^{n×1}\} ≤ GL_{n+1}(K),

genauer: Die Operation von S auf A ist ähnlich zur Operation von S′ auf A_{n}(K).

Aufgabe 4 Sei A ein affiner Raum der Dimension n über dem Körper K. Zeige: Aff(A) operiert transitiv auf der Menge der Fahnen von A, und bestimme den Stabilisator einer Fahne. Hinweis: zeige zunächst, daß F = ({P_{1}}, ⟨P_{1}, P_{2}⟩_{a}, …, A) eine Fahne in A, so ist die Operation von Stab_{Aff_{A}}(P_{1}) ähnlich zu der Operation von GL(𝔗(A)) auf 𝔗(A). Benutze diese Begriffsbildungen, um zu zeigen, daß in der Operation von Aff_{3}(ℝ) auf Pot(A_{3}(ℝ)) der Stabilisator des Würfels W := {±e_{1} ± e_{2} ± e_{3} + e_{4}} ⊆ A_{3}(ℝ) Ordnung 48 hat.

Prof. Dr. W. Plesken (SS01)

Aufgabe 1 Sei K ein Körper, und A ein affiner Raum über K. Weiter sei κ : A → A_{n}(K) : P ↦ (X_{1}(P), …, X_{n}(P), 1)^{tr} ein Koordinatensystem. Zeige: Es gibt genau einen Ringhomomorphismus

ϵ : K[x_{1}, …, x_{n}] → K^{A} : x_{i} ↦ X_{i}.

Weiter ist ϵ genau dann injektiv, wenn K unendlich viele Elemente hat. (Hinweis: betrachten Sie zunächst den Fall, daß A eindimensional über K ist.) Weiter: Eine affine Abbildung A → A_{n}(K) kann als n-Tupel von linearen Polynomfunktionen aufgefaßt werden.

Aufgabe 2

1. Sei A ein n-dimensionaler affiner Raum über dem Körper K, κ ein Koordinatensystem von A. Zeige: Für p_{1}, p_{2} ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] gilt Null(p_{1}) ∪ Null(p_{2}) = Null(p_{1}p_{2}).

2. Bestimme die Bahnen von Aff(2, ℝ) auf ℝ[x_{1}, x_{2}]_{Grad≤2}. Deuten Sie die Nullstellenmengen geometrisch. Was passiert, wenn man ℝ durch ℂ ersetzt?

Aufgabe 3[Bemerkung 2.33] Sei A ein affiner Raum der Dimension n über dem unendlichen Körper K mit Koordinatensystem κ : A ↦ A_{n}(K) : P ↦ (X_{1}(P), …, X_{n}(P), 1)^{tr}. Sei p ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] vom Grad d, und P ∈ Null(p). Setze y_{i} := x_{i} − X_{i}(P). Zeige:

1. p läßt sich schreiben als p = p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{d}, wobei die p_{i} ∈ K[y_{1}, …, y_{n}] homogen vom Grad i sind, dh. Linearkombinationen c_{a} · y^{a} mit a ∈ Z_{≥0}^{n} mit a_{1} + ⋯ + a_{n} = i und c_{a} ∈ K sind.

2. Ist p_{1} ≠ 0, dann sind die Tangenten an Null(p) in P gerade die Geraden G durch P mit G ⊆ Null(p_{1}).

3. Sei nun A = A_{2}(ℝ). Bestimme die Tangenten an Null(x^{4}y + x^{3}y + y + xy + x) in (0, 0, 1)^{tr} und Null(x^{2} + xy + y^{2} − 3) in jedem Punkt P der Nullstellenmenge.

Aufgabe 4 Sei A ein affiner Raum über dem unendlichen Körper K, κ ein Koordinatensystem von A, und p ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] mit ⟨Null(p)⟩_{a} = A. Zeige: H = {g ∈ Aff(n, K)|gp ∈ K^{∗}p} operiert auf κ(Null(p)) ähnlich zu der Operation einer Untergruppe H′ ≤ Aut(Null(p)) auf Null(p).