Lineare Algebra II – Prof. Dr. Pahlings – SS 1995

Torsten Bronger

bronger@axpmgr.physik.rwth-aachen.de

Robert Drese

drese@axp02.physik.rwth-aachen.de

Markus Duda

duda@axp03.physik.rwth-aachen.de

Frank Gutheim

gutheim@axp04.physik.rwth-aachen.de

Gehrt Hartjen

hartjen@axp05.physik.rwth-aachen.de

Christoph Koehler

ckoehler@axp06.physik.rwth-aachen.de

Stefan Ziegler

ziegler@axpmgr.physik.rwth-aachen.de

So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig; man muß sie für fertig erklären,

wenn man nach Zeit und Umständen das mögliche getan hat. (Johann Wolfgang Goethe, 1787)

Wir, die Autoren, danken dem Lehrstuhl D für Mathematik für die gute Unterstützung. Insbesondere danken wir Prof. Dr. H. Pahlings für die hervorragende Vorlesung, die es wert war geTEXt zu werden. Desweiteren danken wir Dr. V. Felsch für die zur Verfügung gestellten Aufgaben in Anhang A und B. Trotzdem ist dies kein Skript, das offiziell von Prof. Dr. H. Pahlings herausgegeben wird. Es erhebt keinerlei Ansprüche auf Fehlerfreiheit und Vollständigkeit, und die Autoren übernehmen diesbezüglich keine Haftung.

Dennoch sind wird an Hinweisen der Leserschaft auf Fehler und Ungereimtheiten interessiert, um sie bei nächster Gelegenheit zu korrigieren. Erata-Listen sind vorzugsweise per E-Mail an duda@axpmgr.physik.rwth-aachen.de zu richten.

Desweiteren kann die aktuellste Version des Skripts (in Form eines TEX-Files) per E-Mail bezogen werden, dazu ist nur eine E-Mail an duda@axpmgr.physik.rwth-aachen.de mit Subject: Update LA2 und ohne weiteren Message-Inhalt nötig.

Inhaltsverzeichnis

iv INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Skalarprodukte, Spektralsatz für IR und C

Sei V ein K-Vektorraum Φ: V × V → K Bilinearform

z.B. V = K^{n×1}  A ∈ K^{n×n}  Φ(x, y) = x^{tr}Ay ∈ K

V = P (IR) Φ(f, g) = ∫_{−1}^{1}f(x)g(x)dx

Φ symmetrisch ⇔ Φ(x, y) = Φ(y, x) Eine symmetrische Bilinearform heißt Skalarprodukt.

Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V A = [Φ]_{B} = [Φ(v_{i}, v_{j})] B′ = (v′_{1}, …, v′_{n})

A′ = [Φ]_{B′} = P^{tr} \underbrace{[Φ]_{B}}_{A} P

P ist Basiswechselmatrix mit P = _{B}[Id]_{B′}

A und A′ heißen dann kongruent.

Satz 1 (Dimensionssatz)

Sei U ≤ V (U ein Teilraum von V), dann gilt:

dim U + dim U^{⊥} = dim V + dim(U ∩ V^{⊥})

Dabei ist U^{⊥} = {x ∈ V |Φ(x, y) = 0, ∀y ∈ V }

Satz 2 (Existenz einer Orthogonalbasis)

Ist Φ symmetrisch und char K ≠ 2, dim V < ∞, dann existiert eine Orthogonalbasis B, d.h. eine Basis B mit

[Φ]_{B} = Diag(α_{1}, …, α_{n}) α_{i} ∈ K

In Kapitel 1 ist K meist IR oder C.

§1 Satz von Sylvester

Vor: K ≤ IR (K Unterkörper von IR)

(Es wird die Anordnung von IR benutzt)

Definition ((semi-)definit)

Φ: V × V → K Bilinearform heißt positiv (semi-)definit, wenn

Φ(x, x) > 0  ⋀_{x∈V} x ≠ \underline{0}.

(Negativ (semi-)definit wird entsprechend definiert).

Trägheitssatz von Sylvester

Sei dim V < ∞, Φ ein Skalarprodukt, dann gibt es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) mit

[Φ]_{B} = Diag(α_{1}, …, α_{p}, α′_{1}, …, α′_{q}, 0, …, 0)

mit α_{i} > 0 und α′_{j} < 0, und p, q sind durch Φ eindeutig bestimmt.

p + q heißt Rang von Φ

p − q heißt Signatur von Φ

p ist die maximale Dimension eines positiv definiten Teilraums, d.h. eines Teilraums U mit Φ_{U×U} positiv definit. q ist die maximale Dimension eines negativ definiten Teilraums.

§1 SATZ VON SYLVESTER 3

Beweis:

Da 1 + 1 ≠ 0 existiert also nach Satz 2 (s.o.) eine Basis wie angenommen. Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) U_{1} = ⟨v_{1}, …, v_{p}⟩

Sei nun u = ∑_{i=1}^{p} x_{i}v_{i} ∈ U_{1}, dann gilt:

Φ(u, u) = ∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} · Φ(v_{i}, v_{i}) > 0 falls x ≠ \underline{0}

Also ist U_{1} positiv definit. Zeige ebenso: U_{2} = ⟨v_{p+1}, …, v_{p+q}⟩ ist negativ definit. Der Fall U_{3} ist trivial.

Sei nun U ≤ V positiv definit. Zeige dann: dim U ≤ p. u ∈ U ∩ (U_{2} + U_{3}), also

u = ∑_{i=p+1}^{n} x_{i}^{2} · \underbrace{Φ(v_{i}, v_{i})}_{≤0 (wegen i ≥ p+1)} ≤ 0.

Andererseits gilt u ∈ U ⇒ Φ(u, u) ≥ 0 für u ≠ \underline{0}. Also u = \underline{0}, d.h. U ∩ (U_{2} + U_{3}) = \{\underline{0}\}, also gilt:

dim U + dim(U_{2} + U_{3})
= dim(U + U_{2} + U_{3})
= dim(U_{1} + U_{2} + U_{3})
= dim U_{1} + dim(U_{2} + U_{3})
⇒ dim U ≤ dim U_{1} = p

entsprechend für q.

□

Folgerung (Kongruenz symmetrischer Matrizen)

Sei K = IR. Es gibt dann stets B mit

[Φ]_{B} = Diag(\underbrace{1, …, 1}_{p}, \underbrace{−1, …, −1}_{q}, 0, …, 0).

Zwei symmetrische Matrizen A, A′ sind kongruent, genau dann wenn gilt: A und A′ haben gleichen Rang und gleiche Signatur.

4 KAPITEL 1. SKALARPRODUKTE, SPEKTRALSATZ FÜR IR UND C

Beispiel Sei n = 2 und K = IR. Dann sind dies alle möglichen Matrizen von Mat(2,IR) bis auf kongruente Matrizen.

± ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ± ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )
Rang  2  2  1  0
Signatur  ± 2  0  ± 1  0

Ist Φ positiv definit, dann ist det[Φ]_{B} > 0 (klar, wenn [Φ]_{B} = Diag(a_{1}, …, a_{n})) Es ist:

det[Φ]_{B′} = det(P^{tr}[Φ]_{B}P)
= (det P)^{2} · a_{1} · . . . · a_{n} > 0

Satz 2 (Entscheidungsverfahren für positive Definitheit)

[Φ]_{B} = [a_{ij}] ∈ K^{n×n}, B = (v_{1}, …, v_{n})

Φ positiv definit ⇔ det ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{k1} & … & a_{kk} \end{matrix} ) > 0 für k = 1, …, n

Beweis:

⇒): Sei U = ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩

Φ positiv definit ⇒ Φ|_{U_{K}×U_{K}} positiv definit^{1} ⇐): Induktion nach n

n=1: trival n → n + 1: U = ⟨v_{1}, …, v_{n−1}⟩

Φ|_{U×U} ist nach Induktionsannahme positiv definit

\underbrace{dim U}_{n−1} + \underbrace{dim U^{⊥}}_{1} = dim V + \underbrace{dim(U ∩ V^{⊥})}_{=0 , da V^{⊥}=\{\underline{0}\} , weil det[a_{ij}]≠0}

also dim U^{⊥} = 1, U^{⊥} = ⟨u⟩. Wähle Orthogonalbasis B′ = (u_{1}, …, u_{n−1}) von U (bezüglich Φ|_{U×U}) [Φ|_{U×U}]_{B′} = Diag(d_{1}, …, d_{n−1}) mit d_{i} > 0 i = 1, …, n V = U + U^{⊥}, weil U ∩ U^{⊥} = \{\underline{0}\} B′′ = (u_{1}, …, u_{n−1}, u) Basis von V

1det([Φ]_{U_{K}×U_{K}}) = det ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{k1} & … & a_{kk} \end{matrix} ) > 0

§2 UNITÄRE RÄUME 5

[Φ]_{B′′} = Diag(d_{1}, …, d_{n−1}, d)
d = Φ(u, u)

\begin{aligned}det[Φ]_{B′′} & = & \underbrace{det[a_{ij}]}_{>0} ·x > 0 \\ & = & \underbrace{d_{1} · . . . · d_{n−1}}_{>0} · \underbrace{d}_{>0} \end{aligned}

Nach Satz von Sylvester ist Φ positiv definit.

□

Bemerkung Das ist kein praktisches Kriterium.

Definition (euklidischer Vektorraum)

Euklidischer Vektorraum = (V, Φ)

(i) V IR-Vektorraum (ii) Φ: V × V → IR positiv-definit Das Analogon für K = C sind …

§2 Unitäre Räume

Beispiel

V = C^{n×1} Φ(x, y) = ∑_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} = x^{tr}y ist nicht positiv, ∉ IR allgemein.

Z.B. Φ (( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} )) = 0

Definition (komplexe Zahlen)

Für z ∈ C, z = x + iy (x, y ∈ IR), sei \overline{z} = x − iy konjugiert komplexes Element zu z.

\begin{aligned}: & z & ↦ & \overline{z} \\ & C & → & C \end{aligned}

\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \overline{z_{1} · z_{2}} = \overline{z_{1}} · \overline{z_{2}} mit \overline{\overline{z}} = z und \overline{z} = z ⇔ z ∈ IR

Definition (Betrag einer komplexen Zahl)

|z| = \sqrt{z · \overline{z}} A = [a_{ij}] ∈ C^{m×n} \overline{A} = [\overline{a_{ij}}] ∈ C^{m×n}

Rechenregel Für alle A ∈ C^{m×n}, B ∈ C^{n×p}

\begin{aligned}\overline{A + B} & = & \overline{A} + \overline{B} \\ \overline{A · B} & = & \overline{A} · \overline{B} \end{aligned}

Für alle A ∈ C^{n×n} det \overline{A} = \overline{det A}.

Ψ: C^{n×1} × C^{n×1} → C

Ψ(x, y) = x^{tr}\overline{y} = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y}_{i}

dann Ψ(x, x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{x}_{i} > 0 ∈ IR, falls x ≠ 0 Ψ ist nicht bilinear:

Ψ(x, sy) = x^{tr} · \overline{s} · \overline{y} (s ∈ IR)
= \overline{s} · x^{tr} · \overline{y}
= \overline{s} · Ψ(x, y)

Definition (Sesquilinearform)

Eine Abbildung Ψ: V × V → C (V C-Vektorraum) heißt Sesquilinearform, wenn

Ψ(sv_{1} + v_{2}, w) = sΨ(v_{1}, w) + Ψ(v_{2}, w)
Ψ(v, sw_{1} + w_{2}) = \overline{s}Ψ(v, w_{1}) + Ψ(v, w_{2})

für alle s ∈ C ; v_{1}, v_{2}, v, w_{1}, w_{2}, w ∈ V Ψ heißt hermitesch, wenn außerdem

Ψ(v, w) = \overline{Ψ(w, v)} Eine hermitesche Form heißt positiv definit, wenn Ψ(v, v) > 0 für alle v ∈ V, v ≠ \underline{0}

Definition (unitärer Raum)

(V, Ψ) unitärer Raum :⇔ (i) V C-Vektorraum (ii) Ψ ist positiv definite hermitesche Form Beispiel

(C^{n×1}, Ψ) unitärer Raum Ψ(x, y) = x^{tr}\overline{y}

Bemerkung

B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V (C-Vektorraum) Ψ: V × V → C Sesquilinearform [Ψ]_{B} = [Ψ(v_{i}, v_{i})] ∈ C^{n×n}

B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) Basis P = _{B}[Id]_{B′} = [p_{ij}] v′_{j} = ∑_{i=1}^{n}p_{ij}v_{i}

\begin{aligned}Ψ(v′_{i}, v′_{j}) & = & Ψ (∑_{k=1}^{n} p_{ki} · v_{k} , ∑_{l=1}^{n} p_{lj} · v_{j}) \\ & = & ∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{n} p_{ki} · \overline{p}_{lj} · Ψ(v_{k}, v_{l}) \end{aligned}

[Ψ]_{B′} = P^{tr} · [Ψ]_{B} · \overline{P} z.B. det[Ψ]_{B′} = det[Ψ]_{B} · \underbrace{| det P |}_{>0}^{2}

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V, Ψ Sesquilinearform und [Ψ(v_{i}, v_{j})] = [Ψ]_{B}. Ferner

v = ∑_{i} x_{i} v_{i} w = ∑_{j} y_{i} v_{j} c_{B}(v) = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

Ψ(v, w) = ∑_{i,j} x_{i} Ψ(v_{i}, v_{j})\overline{y_{j}}

= (x_{1}, …, x_{n}) [Ψ]_{B} \overline{( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} )}

= c_{B}(v)^{tr} \underbrace{[Ψ]_{B}}_{A} \overline{c_{B}(w)}

Bemerkung 1

Ψ hermitesch ⇔ [Ψ]_{B} = A hermitesch ⇔^{def} A^{tr} = \overline{A} ⇔ \overline{A}^{tr} = A.

Z.B. ist ( \begin{matrix}1 & 1 + i \\ 1 − i & 2 \end{matrix} ) eine hermitesche Matrix.

Bemerkung 2 Ist Ψ eine hermitesche Form, so folgt

(i) Ψ(v, w) = 0 ⇔ Ψ(w, v) = 0 (ii) Ψ(v, v) ∈ IR

Definition (nicht ausgeartet)

U^{⊥} = {v ∈ V |∀u ∈ UΨ(u, v) = 0} für U ≤ V. Bei festgewählter Sesquilinearform Ψ ist

V^{⊥} = RadΨ. Ψ ist nicht ausgeartet ⇔^{def.} V^{⊥} = \{\underline{0}\}.

Satz 1 (Eigenschaften der Sesquilinearform)

Ist dim V < ∞, Ψ Sesquilinearform auf V, B Basis von V; dann gilt a) dim V^{⊥} = dim V − Rg[Ψ]_{B},

b) dim U^{⊥} + dim U = dim V + dim(U ∩ V^{⊥}), und wenn Ψ hermitesch

c) Es gibt Basis B′ von V mit

[Ψ]_{B′} = Diag(\underbrace{1, …, 1}_{p}, \underbrace{−1, …, −1}_{q}, 0, …, 0),

wobei p, q eindeutig bestimmt sind.

Beweis:

Praktisch genau wie bei den Bilinearformen.

□

§3 Adjungierte Abbildungen

Vor.: V K-Vektorraum und

(i) Φ: V × V → K nichtausgeartete Bilinearform oder (ii) Φ: V × V → C nichtausgeartete Sesquilinearform Im Fall (i) sei \overline{s} = s für alle s ∈ K.

§3 ADJUNGIERTE ABBILDUNGEN 9

Definition (Adjungierte)

Sei φ ∈ End(V) gegeben (d.h. φ: V → V ist linear). Gilt für ein φ^{∗} ∈ End(V)

⋀_{v,w∈V} Φ(φ(v), w) = Φ(v, φ^{∗}(w))

so heißt φ^{∗} adjungiert zu φ, bzw. φ^{∗} ist die Adjungierte zu φ.

Bemerkung Gibt es zu φ ∈ End(V) eine Adjungierte φ^{∗}, so ist φ^{∗} eindeutig bestimmt, denn angenommen, φ^{∗} und φ^{∘} seien Adjungierte, dann:

⋀_{v,w∈V} Φ(φ(v), w) = Φ(v, φ^{∗}(w)) = Φ(v, φ^{∘}(w)) ⇒ 0 = Φ(v, \underbrace{φ^{∗}(w) − φ^{∘}(w)}_{=0, da Φ nicht ausgeartet})

Satz 1 (Existenz der Adjungierten)

Ist dim V = n < ∞, so hat jedes φ ∈ End(V) eine Adjungierte φ^{∗}. Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V, [Φ]_{B} = A,_{B}[φ]_{B} = F, dann gilt

B[φ^{∗}]_{B} = \overline{A^{−1} _{B}[φ]_{B}^{tr} A}. Insbesondere, falls B eine Orthonormalbasis ist, d.h. A = E_{n}, gilt

B[φ^{∗}]_{B} = \overline{_{B}[φ]_{B}^{tr}}.

Beweis:

Da Φ nicht ausgeartet ist, ist A = [Φ]_{B} invertierbar.

Φ(v, w) = Φ (∑_{i} x_{i} v_{i}, ∑_{j} y_{j} v_{j}) = x^{tr} · A · \overline{y} x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = c_{B}(v)

φ(v) = ∑_{i} x_{i} · φ(v_{i}) hat den Koordinatenvektor F · x, F = _{B}[φ]_{B}.

Φ(φ(v), w) = (F · x)^{tr} · A · \overline{y}
= x^{tr} · F^{tr} · A · \overline{y}
= x^{tr} · \underbrace{A · A^{−1}}_{E} ·F^{tr}A · \overline{y}
= x^{tr} · A · (A^{−1} · F^{tr} · A · \overline{y})
= x^{tr} · A · \overline{\underbrace{\overline{A^{−1}} · \overline{F}^{tr} · \overline{A} · y}_{c_{B}(φ^{∗}(w))}},
□

wobei [φ^{∗}]_{B} = \overline{A^{−1}} · \overline{F}^{tr} · \overline{A} = \overline{A^{−1} · F^{tr} · A} ist.

Bemerkung (Nichtexistenz der Adjungierten)

Ist dim V = ∞, so existiert nicht immer eine Adjungierte zu φ ∈ End(V).

Beispiel Sei V = P (IR) = {reelle Polynomfunktionen}.

Φ(f, g) := ∫_{−1}^{1} f(x) g(x) dx.

φ : V → V
f ↦ f′  (Ableitung)

Beh.: φ^{∗} existiert nicht.

Beweis:

Angenommen, φ^{∗} existiert doch!

φ^{∗}(f) = f^{+} ∈ V f, g ∈ V,

Φ(φ(f), g) = ∫_{−1}^{1} f′(x) g(x) dx = f(x) g(x)|_{−1}^{1} − ∫_{−1}^{1} f(x) g′(x) dx,

Φ(f, φ^{∗}(g)) = ∫_{−1}^{1} f(x) g^{+}(x) dx.

Also gilt für beliebige f, g ∈ V

f(1) g(1) − f(−1) g(−1) = ∫_{−1}^{1} f(x)(g′(x) + g^{+}(x))dx.

Wähle zu g ∈ V f: x ↦ (x^{2} − 1)^{2}(g′(x) + g^{+}(x))^{2},

0 = ∫_{−1}^{1} \underbrace{(x^{2} − 1)^{2}(g′(x) + g^{+}(x))^{2}}_{≥0} dx,

also muß

\begin{matrix}g′(x) + g^{+}(x) = 0 & ∀ x ∈ (−1, 1) \\ g^{+}(x) = −g′(x) & ∀ g ∈ V \end{matrix}

§4 SELBSTADJUNGIERTE UND NORMALE ENDOMORPHISMEN 11

Also ∀ f, g ∈ V:

Φ(f′, g) = Φ(f, −g′)
∫_{−1}^{1} f′(x) g(x) dx = − ∫_{−1}^{1} f(x) g′(x) dx

Zum Beispiel:

f: x ↦ 1, linke Seite = 0
g: x ↦ x, rechte Seite = −2

Widerspruch!

□

Satz 2 (Rechenregeln für Adjungierte)

Seien φ, ψ ∈ End(V) und dim V < ∞. Dann gilt a) (φ + ψ)^{∗} = φ^{∗} + ψ^{∗}.

b) (c φ)^{∗} = \overline{c} φ^{∗}.

c) (φ ∘ ψ)^{∗} = ψ^{∗} ∘ φ^{∗}.

d) (φ^{∗})^{∗} = φ, falls Φ symmetrisch bzw. hermitesch.

Beweis:

a) Übung

b) Übung

c) Φ(φ ∘ ψ(v), w) = Φ(φ(ψ(v)), w) = Φ(ψ(v), φ^{∗}(w)) = Φ(v, ψ^{∗} ∘ ψ^{∗}, w) Also (φ ∘ ψ)^{∗} = ψ^{∗} ∘ ψ^{∗}

d) Φ(φ(v), w) = Φ(v, φ^{∗}(w)) =^{Vor} \overline{Φ(φ^{∗}(w), v))} = \overline{Φ(w, φ^{∗∗}(v))} =^{Vor} Φ(φ^{∗∗}(v), w))

φ nicht ausgeartet ⇒ φ(v) = φ^{∗∗}(v)

□

§4 Selbstadjungierte und normale Endomorphismen

Vor.: V K-Vektorraum und

(i) Φ: V × V → K nichtausgeartete Bilinearform oder (ii) Φ: V × V → C nichtausgeartete Sesquilinearform Im Fall (i) sei \overline{s} = s für alle s ∈ K.

Frage: Sei φ ∈ End(V), wann exisitiert eine Orthogonalbasis B bezüglich Φ aus Eigenvektoren von φ, d.h. [Φ]_{B} = Diag(d_{1}, …, d_{n}) und _{B}[φ]_{B} = Diag(t_{1}, …, t_{n}) ?

12 KAPITEL 1. SKALARPRODUKTE, SPEKTRALSATZ FÜR IR UND C

Bemerkung Angenommen, es existiert eine solche Basis, sogar mit d_{1} = … = d_{n} = 1, d.h. B ON-Basis, und _{B}[φ^{∗}]_{B} = \overline{_{B}[φ]_{B}^{tr}} = Diag(\overline{t}_{1}, …, \overline{t}_{n}) (t_{i} Eigenwerte), also falls Φ Bilinearform (t = \overline{t}) ⇒ φ^{∗} = φ Ist K= C, Φ hermitesch, so muß zumindest φ ∘ φ^{∗} = φ^{∗} ∘ φ sein (weil Diagonalmatrizen vertauschbar sind)

Definition (selbstadjungiert und normal)

φ selbstadjungiert :⇔ φ = φ^{∗} φ normal :⇔ φ ∘ φ^{∗} = φ^{∗} ∘ φ

Satz 1 (Kriterium für Selbstadjungierte und Normale)

Vor.: dim V < ∞, φ ∈ End(V), gibt es ON-Basis aus Eigenvektoren von φ, so ist Beh.: (i) φ selbstadjugiert, falls Φ Bilinearform, bzw.

(ii) φ normal, falls Φ hermintesch (K= C)

Bemerkung φ selbstadjungiert ⇒ φ normal

Lemma 1 (Invarianz orthogonaler Räume)

Ist U ⊆ V, φ -invariant ⇒ U^{⊥} ist φ^{∗} -invariant

Beweis:

U ist φ -invariant ⇔ (w ∈ U ⇒ φ(w) ∈ U). Sei w ∈ U^{⊥}. Z.z.: φ^{∗}(w) ∈ U^{⊥} Sei u ∈ U beliebig Φ(u, φ^{∗}(w)) = Φ(φ(u), w) = 0 (Das Skalarprodukt Φ von u ∈ U und φ^{∗}(w) ∈ U^{⊥} ist Null.)

□

Lemma 2 (Orthogonalität von Eigenvektoren)

Vor.: Φ(v, v) = 0 ⇒ v = \underline{0} und φ sei normal. Beh.: a) Jeder Eigenvektor von φ (mit Eigenwert t) ist Eigenvektor von φ^{∗} zum Ei-

genwert \overline{t}

b) Eigenvektoren von φ zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

§4 SELBSTADJUNGIERTE UND NORMALE ENDOMORPHISMEN 13

Beweis:

a) Z.z.: φ(v) = t · v ⇒ φ^{∗}(v) = \overline{t} · v Z.z.: (φ − t · Id)(v) = 0 ⇒ (φ^{∗} − t · Id)(v) = 0 Setze ψ := φ − t · Id, dann ist ψ^{∗} = φ^{∗} − \overline{t} · Id Mit φ ist auch ψ normal.

ψ ∘ ψ^{∗} = φ ∘ φ^{∗} − tφ^{∗} − \overline{t}φ + t \overline{t}Id = ψ^{∗} ∘ ψ

Z.z.: ψ(v) = 0 ⇔ ψ^{∗}(v) = 0

⇕ ⇕

Φ(ψ(v), ψ(v)) = 0 Φ(ψ^{∗}(v), ψ^{∗}(v)) = 0 (§3 Satz 2)

Φ(ψ(v), ψ(v)) = Φ(v, ψ^{∗} ∘ ψ(v)) = Φ(v, ψ ∘ ψ^{∗}(v)) = Φ(v, ψ^{∗∗}(ψ^{∗}(v))) = Φ(ψ^{∗}(v), ψ^{∗}(v)) ⇒ a) √

b) Sei t_{1} ≠ t_{2} ∈ K und φ(w_{1}) = t_{1}w_{1} , φ(w_{2}) = t_{2}w_{2} zu zeigen: Φ(w_{1}, w_{2}) = 0

t_{1}Φ(w_{1}, w_{2}) = Φ(t_{1}w_{1}, w_{2}) = Φ(φ(w_{1}), w_{2}) = Φ(w_{1}, φ^{∗}(w_{2}))
=^{a)} Φ(w_{1}, \overline{t}_{2}w_{2}) = \overline{\overline{t}}_{2}Φ(w_{1}, w_{2}) = t_{2}Φ(w_{1}, w_{2})

Das ist äquivalent zu:

\underbrace{(t_{1} − t_{2})}_{nach Vor.^{≠0}} Φ(w_{1}, w_{2}) = 0
⇒  Φ(w_{1}, w_{2}) = 0
□

Folgerung

Ist Φ(v, v) ≠ 0 für alle v ∈ V \{0} und ist φ selbstadjungiert und t Eigenwert von φ, so ist t = \overline{t}.

Satz 2 (Existenz reeller Eigenwerte)

a) Sei (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer Raum und φ ∈ End(V) selbstadjungiert, dann hat φ einen reellen Eigenwert.

b) Jede reelle symmetrische Matrix hat einen reellen Eigenwert.

Beweis:

Sei B ON-Basis von V (in einem euklidischen Raum gibt es das). Nun gilt:

φ selbstadjungiert ⇔ A = _{B}[φ]_{B} = \overline{A}^{tr} = A^{tr}

beachte Fall i), d.h. K = IR Eigenwerte von φ sind Eigenwerte von A Sei nun W = C^{n×1} mit Standardbasis B′ definiere dann:

\begin{matrix}ψ: W & → & W \\ x & ↦ & Ax \end{matrix}

und

Ψ(x, y) = x^{tr} · \overline{y} = ∑_{i=1}^{n} x_{i} · \overline{y_{i}}

Dann ist (C^{n×1}, Ψ) unitärer Raum und _{B}[ψ]_{B′} = A. Weiterhin ist ψ selbstadjungiert bezüglich Ψ, denn

Ψ(ψ(x), y)  =  Ψ(Ax, y) = (Ax)^{tr} · \overline{y}
=^{nach Vor.} x^{tr} · \overline{Ay} = Ψ(x, ψ(y))

Sei t ∈ C Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ_{A}. t existiert nach dem Fundamentalsatz der Algebra (Beweis: siehe Analysis II). Dann ist t Eigenwert von ψ selbstadjungiert. Nach der Folgerung gilt: t = \overline{t} ⇒ t ∈ IR. Also hat φ reellen Eigenwert.

□

Bemerkung

Für n = 2 kann man das direkt nachrechnen:

A = ( \begin{matrix}a & c \\ c & b \end{matrix} )

Es ist nun:

χ_{A} = det(XE_{2} − A) = X^{2} − \underbrace{(a + b)}_{Spur A} X + \underbrace{(ab − c^{2})}_{det A}

Nullstellen sind nun (vergleiche Mittelstufe):

\begin{aligned}t_{1}, t_{2} & = & \frac{a + b}{2} ± \frac{1}{2}\sqrt{(a + b)^{2} − 4(ab − c^{2})} \\ & = & \frac{a + b}{2} ± \frac{1}{2}\sqrt{\underbrace{(a − b)^{2} + 4c^{2})}_{≥0}} ∈ IR \end{aligned}

§5 DER SPEKTRALSATZ 15

§5 Der Spektralsatz

Satz 1 (Spektralsatz)

Ist (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer oder unitärer Raum und φ ∈ End(V), dann gibt es eine ON-Basis aus Eigenvektoren von φ, wenn

a) (im Fall (V, Φ) euklidisch) φ selbstadjungiert

b) (im Fall (V, Φ) unitär) φ normal

ist.

Beweis:

1. Richtung siehe §4 Satz 1 zu zeigen also noch die 2. Richtung. Sei also φ selbstadjungiert bzw. normal. Führe nun Induktion nach n = dim V durch. n = 1: trivial Sei also n > 1 Sei w_{1} ein Eigenvektor von φ. Ist (V, Φ) euklidisch, dann existiert w_{1} nach §4 Satz 2, ist (V, Φ) unitär, existiert w_{1} nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Setze:

v_{1} := \frac{1}{\sqrt{Φ(w_{1}, w_{1})}} · w_{1}

dann ist v_{1} normiert und es gilt φ(v_{1}) = t_{1}v_{1} mit t_{1} ∈ K Also ist U = ⟨v_{1}⟩ φ-invariant. Nach Lemma 1 ist U^{⊥} φ^{∗}-invariant.

Im Fall a) ist φ = φ^{∗}, also U auch φ-invariant. Im Fall b) ist v_{1} auch Eigenvektor von φ^{∗} (§4 Lemma 2) zum Eigenwert \overline{t}_{1}. U = ⟨v_{1}⟩ ist also φ^{∗}-invariant, also U^{⊥} φ^{∗∗}-invariant, da φ normal ist. D.h. U^{⊥} ist φ-invariant. In jedem Fall ist U^{⊥} φ-invariant. Wir wissen:

\underbrace{dim U}_{1} + \underbrace{dim U^{⊥}}_{n−1} = \underbrace{dim V}_{n} + \underbrace{dim(V^{⊥} ∩ U)}_{0} .

Also ist U ∩ U^{⊥} = ∅, d.h. V = U ⊕ U^{⊥} Dann ist (U^{⊥}, Φ|_{U^{⊥}×U^{⊥}}) (n − 1)-dimensionaler euklidischer bzw. unitärer Raum. φ|_{U^{⊥}}: U^{⊥} → U^{⊥} ist ein Endomorphismus von U^{⊥}, da U^{⊥} φ-invariant ist. Also ist φ|_{U^{⊥}} wie φ selbstadjungiert bzw. normal.

Nach Induktionsannahme hat U^{⊥} eine ON-Basis aus Eigenvektoren (v_{2}, …, v_{n}) von φ|_{U^{⊥}}. Dann besteht (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren von φ.

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Bemerkung

Für Matrizen bedeutet der Spektralsatz: Sei B ON-Basis von V, φ ∈ End(V), A =_{B} [φ]_{B} φ selbstadjungiert bzw. normal bedeutet:

Fall (i) A = A^{tr}

Fall (ii) A · \overline{A}^{tr} = \overline{A}^{tr} · A

Nach dem Spektralsatz existiert eine ON-Basis B′ aus Eigenvektoren:

B′[φ]_{B′} = Diag(t_{1}, …, t_{n}) = P^{−1} · A · P

mit P = _{B′}[Id]_{B′} ∈ GL(n, K) und es gilt:

E_{n} = [Φ]_{B′} = P^{tr}[Φ]_{B}\overline{P} = P^{tr} · \overline{P} .

Folgerung

Falls A ∈ IR^{n×n} existiert wegen A^{tr} = A P ∈ GL(n, IR) mit P^{tr} · P = E_{n} und P^{−1} · A · P = diag(t_{1}, …, t_{n}) Falls A ∈ C^{n×n} existiert wegen A · \overline{A}^{tr} = \overline{A}^{tr} · A P ∈ GL(n, C) mit P^{tr} · \overline{P} = E_{n} und P^{−1} · A · \overline{P} = diag(t_{1}, …, t_{n})

Definition (Orthogonalität und Unitärität)

P ∈ IR^{n×n} orthogonal, wenn P^{tr} · P = E_{n} P ∈ C^{n×n} unitär, wenn \overline{P}^{tr} · P = E_{n}

(d.h. P^{−1} = P^{tr} bzw. P^{−1} = \overline{P}^{tr}) P = [p_{1}, …, p_{n}] P^{tr} · P = [p_{i}^{tr}p_{j}] = [δ_{ij}]

beachte P orthogonal ⇔ die Spalten von P bilden ON-Basis von IR^{n×n} bezüglich

Standardskalarprodukt

beachte P unitär ⇔ die Spalten von P bilden ON-Basis von C^{n×n} bezüglich Standardskalarprodukt

Beachte P orthogonal oder unitär ⇒ P normal.

Folgerung (Spektralsatz für Matrizen)

Ist A ∈ IR^{n×n} symmetrisch (oder A ∈ C^{n×n} normal) so gibt es P ∈ IR^{n×n} orthogonal (bzw. P ∈ C^{n×n} unitär) mit

P^{−1} · A · P = Diag(t_{1}, …, t_{n}) = \overline{P}^{tr} · A · P

§5 DER SPEKTRALSATZ 17

Folgerung (Spektralsatz für symmetrische Bilinearformen bzw. hermitesche Formen)

Vor.: Sei (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer bzw. unitärer Raum Sei Ψ: V × V → K zusätzliche symmetrische Bilinearform mit K = IR (bzw. hermitesche Form mit K = C)

Beh.: Dann gibt es eine ON-Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) (bezüglich Φ), d.h. Φ(v_{i}, v_{j}) = δ_{ij} mit [Ψ]_{B} = Diag(t_{1}, …, t_{n}) und Ψ(v_{i}, v_{j}) = δ_{ij}t_{i}

Beweis:

Sei B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) beliebig ON-Basis (bezüglich Φ) [Ψ]_{B′} = A ∈ K^{n×n} symmetrisch bzw. hermitesch \overline{A} = A^{tr} (A hermitesch A = \overline{A}^{tr} ⇒ A normal) Nach Folgerung 1 (Spektralsatz für Matrizen) existiert P ∈ GL(n, K) orthogonal bzw. unitär mit

P^{−1} · A · P = Diag(t_{1}, …, t_{n}) = \overline{P}^{tr} · A · P = [Ψ]_{B}

wobei B = (v_{1}, …, v_{n}) definiert ist durch

\overline{P} = _{B′}[Id]_{B} · P = [p_{ij}] ∈ C^{n×n} (v_{j} = ∑_{i=1}^{n} \overline{p}_{ij}v′_{i})

□

Definition (quadratische Form)

q: V → K heißt quadratische Form (V K-Vektorraum, dim V < ∞), wenn es eine Bilinearform Φ: V × V → K gibt mit q(v) = Φ(v, v).

Bemerkung

1) Ist (v_{1}, …, v_{n}) K-Basis von V und q: V → K quadratische Form, so ist

q (∑ x_{i}v_{i}) = ∑_{i,j} a_{ij}x_{i}y_{j},

wenn [a_{ij}] = [Φ]_{B}

Φ zugehörige Bilinearform, Φ(v_{i}, v_{j}) = a_{ij}

2) Char K ≠ 2 und q: V → K quadratische Form , dann existiert auch symmetrische Bilinearform Ψ mit q(v) = Ψ(v, v), denn ist Φ nicht symmetrisch, dann definiere

Ψ(v, w) = \frac{1}{2} · (Φ(v, w) + Φ(w, v)) Ψ(v, v) = Φ(v, v) = q(v)

Beispiel q: IR^{3×1} → IR

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ↦ 3x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 3x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} quadratische Form V → IR

Ψ: IR^{3×1} × IR^{3×1} → IR

(x, y) ↦ x^{tr} · ( \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) · y = 3x_{1}y_{1} − 1x_{1}y_{2} − 1x_{2}y_{1}

q(x) = x^{tr} · ( \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) · x = x^{tr} · ( \begin{matrix}3 & −2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) · x

Folgerung (Spektralsatz für quadratische Formen) Ist (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer Raum, q: V → IR quadratische Form, dann existiert ON-Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) mit

q (∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} t_{i}x_{i}^{2}

Beispiel: Hauptachsentransformation homogener Fall q wie oben, Ψ ebenso

[Ψ]_{S} = ( \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) S = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

Q = {x ∈ IR^{3×3}| q(x) = 4} = {x |3x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 3x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} = 4} . Es gibt ON-Basis B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit

[Ψ]_{B} = Diag(t_{1}, t_{2}, t_{3}) = P^{tr} · A · P = P^{−1} · A · P mit P = _{S}[Id]_{B} Q = {∑ y_{i}v_{i}| t_{1}y_{1}^{2} + t_{2}y_{2}^{2} + t_{3}y_{3}^{2} = y} t_{i} sind die Eigenwerte von A

χ_{A} = det(XE_{3} − A) = det ( \begin{matrix}X − 3 & 1 & 0 \\ 1 & X − 3 & 0 \\ 0 & 0 & X − 2 \end{matrix} ) = (X − 2)^{2} · (X − 4)

t_{1} = t_{2} = 2 t_{3} = 4

Q = \{∑ y_{i}v_{i}| 2y_{1}^{2} + 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2} = 4\} = \{∑ y_{i}v_{i} |\frac{y_{1}^{2}}{2} + \frac{y_{2}^{2}}{2} + y_{3}^{2} = 1\} .

Dies ist ein Rotationsellipsoid mit Achsen \sqrt{2}, \sqrt{2}, 1. v_{1}, v_{2}, v_{3} können als normierte Eigenvektoren von A gewählt werden.

§6 ORTHOGONALE UND UNITÄRE ABBILDUNGEN 19

§6 Orthogonale und unitäre Abbildungen

Vor: Φ: V × V → K symmetrische Bilinearform oder hermitesche Form

Definition (Isometrie)

φ ∈ End(V) heißt Isometrie von (V, Φ), wenn (i) φ bijektiv (ii) Φ(φ(v), φ(w)) = Φ(v, w) ∀ v, w ∈ V O(V, Φ) = {φ: V → V | φ Isometrie} Ist (V, Φ) euklidischer Raum, so heißt φ ∈ O(V, Φ) orthogonale Abbildung. Ist (V, Φ) unitärer Raum, so heißt φ ∈ O(V, Φ) unitäre Abbildung. [Φ]_{B} = Diag(1, …, 1, −1), K = IR, so heißt φ ∈ O(V, Φ) Lorentz-Abbildung. Bemerkung

a) O(V, Φ) ist stets eine Gruppe.

b) Ist Φ nicht ausgeartet, so braucht man nicht zu fordern, daß φ bijektiv ist. Beides folgt aus (ii).

c) Φ sei nicht ausgeartet, dim V < ∞, dann ist φ ∈ O(V, Φ) ⇔ φ^{∗} = φ^{−1}, denn

Φ(φ(v), φ(w)) = Φ(v, φ^{∗} ∘ φ(w)) = Φ(v, w) ∀ v, w ∈ V ⇒ φ^{∗} ∘ φ(w) = w ⇒ φ^{∗} = φ^{−1}

d) Sei Φ nicht ausgeartet.

[Φ]_{B} = F ∈ K^{n×n}, B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V

v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i},  w = ∑_{i=1}^{n} x_{i}w_{i},  _{B}[φ]_{B} = A
Φ(v, w) = x^{tr}F \overline{y}
Φ(φ(v), φ(w)) = (Ax)^{tr}F \overline{Ay}
= x^{tr} · (A^{tr}F \overline{A}) · \overline{y}

φ ∈ O(v, Φ) ⇔ F = A^{tr} · F · \overline{A} Spezialfall: F = E_{n}, B ON-Basis

\begin{aligned}φ ∈ O(V, Φ) & ⇔ & A^{tr} · \overline{A} & = & E_{n} \\ & ⇔ & \overline{A^{−1}} & = & A^{tr} \end{aligned}

Folgerung

Φ nicht ausgeartet, dim V < ∞, φ ∈ O(V, Φ) ⇒ φ normal (weil φ ∘ φ^{−1} = φ^{−1} ∘ φ) Nach Spektralsatz gilt: (V, Φ) unitärer Raum, dim V < ∞, so: φ unitär ⇒ φ diagonalisierbar.

O_{n}(IR) = {A ∈ IR^{n×n}| A · A^{tr} = E_{n}} orthogonale Gruppe U_{n}(C) = \{A ∈ C^{n×n}| A · \overline{A^{tr}} = E_{n}\} unitäre Gruppe

O_{n}(IR) ist isomorph zu O(V, Φ), falls (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer Raum.

U_{n}(C) ist isomorph zu O(V, Φ), falls (V, Φ) n-dimensionaler unitärer Raum.

Der Isomorphismus lautet φ ↦ _{B}[φ]_{B}, falls B ON-Basis von V

Satz 1 (Eigenschaften unitärer Abbildungen)

Sei (V, Φ) n-dimensionaler unitärer Raum, φ ∈ End(V)

a) φ unitär ⇒ V hat ON-Basis aus Eigenvektoren von φ und alle Eigenvektoren von φ haben Betrag 1

b) A ∈ U_{n}(C) ⇒ ∃P ∈ U_{n}(C) mit P^{−1}A P = Diag(t_{1}, …, t_{n}) mit t_{i} · \overline{t_{i}} = |t_{i}|^{2} = 1

c) φ unitär ⇔ φ normal und alle Eigenwerte t_{i} von φ erfüllen |t_{i}| = 1

Beweis:

a) Nach Bemerkung c) ist φ^{∗} = φ^{−1}, also φ normal; wende Spektralsatz an. Sei t Eigenwert von φ (φ(v) = t · v mit v ≠ \underline{0})

\underbrace{Φ(v, v)}_{≠0} = Φ(φ(v), φ(v)) = φ(t · v, t · v) = t · \overline{t} · \underbrace{Φ(v, v)}_{≠0} ⇒ t · \overline{t} = 1

b) folgt aus a) (bzw. Spektralsatz für Matrizen)

c) ⇒): siehe a)

⇐): φ sei normal und alle Eigenwerte haben Betrag 1. Nach Spektralsatz existiert eine ON-Basis B mit _{B}[φ]_{B} = Diag(t_{1}, …, t_{n}); t_{i} · \overline{t_{i}} = 1

B[φ^{∗}]_{B} = _{B}\overline{[φ]}_{B}^{tr} = Diag(\overline{t}_{1}, …, \overline{t}_{n}) = Diag(t_{1}^{−1}, …, t_{n}^{−1}) = _{B}[φ^{−1}]_{B}
Also: φ^{∗} = φ^{−1} ⇒ Beh.
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§6 ORTHOGONALE UND UNITÄRE ABBILDUNGEN 21

Satz 2 (Eigenschaften orthogonaler Abbildungen)

Sei (V, Φ) n-dimensionaler euklidischer Raum. φ ∈ End(V) sei orthogonal. Dann gilt:

a) Ist t ∈ IR Eigenwert von φ, so ist t = ±1.

b) Es gibt eine ON-Basis B von V mit

B[φ]_{B} = Diag(1, …, 1, −1, …, −1, D(θ_{1}), …, D(θ_{r}))

D(θ) = ( \begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix} ) θ ∈ IR

Beweis:

a) φ(v) = t · v und v ≠ \underline{0}, t ∈ K = IR

\underbrace{Φ(v, v)}_{≠0} = Φ(φ(v), φ(v)) = Φ(tv, tv) = t^{2} · \underbrace{Φ(v, v)}_{≠0} ⇒ t^{2} = 1 ⇒ Beh.

b) Induktion nach n

n = 1: trivial

n > 1: 2 Fälle

1. Fall: φ habe Eigenwert in IR.

Sei nun v_{1} ein normierter Eigenvektor, U = ⟨v_{1}⟩ U^{⊥} ist φ^{∗} -invariant, also auch φ^{−1}-invariant ⇒ ^{2} U^{⊥} φ-invariant. Wende nun Induktionsannahme auf (U^{⊥}, Φ|_{U^{⊥}×U^{⊥}}) und φ|_{U^{⊥}} an: es gibt Basis B′ = (v_{2}, …, v_{n}) mit [φ|_{U^{⊥}}] = Diag(1, …, −1, D(θ_{1}), …, D(θ_{r})) Setze B = (v_{1}, …, v_{n})

2. Fall: φ habe keinen reellen Eigenwert. Sei B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) beliebige ON-Basis. B′[φ]_{B′} = A ∈ IR^{n×n} ist orthogonale Matrix (A^{−1} = A^{tr}) Fasse A auf als Matrix in C: A ist unitär ⇒ In C hat A also Eigenwerte und zwar nach Satz 1 solche vom Betrag 1. t = cos(θ) + i · sin(θ) sei einer. z ∈ C sei normiert mit |z|^{2} = 2 z = x + i · y x, y ∈ IR^{n×1}. A\overline{z} = \overline{t · z} also auch \overline{t} ist Eigenwert mit Eigenvektor \overline{z}. Nach Vor. ist t ≠ \overline{t}; z und \overline{z} sind als Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal (A normal) 0 = z^{tr} · \overline{\overline{z}} = z^{tr} · z (z = x + i · y)

0 = ∑_{j=1}^{n}(x_{j} + i · y_{j})(x_{j} + i · y_{j}) = ∑_{j=1}^{n}(x_{j}^{2} − y_{j}^{2}) + 2i · ∑_{j=1}^{n} x_{j} · y_{j}.

Also: ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2} = ∑_{j=1}^{n} y_{j}^{2} ∧ ∑_{j=1}^{n} x_{j}y_{j} = 0

2 = |z · \overline{z}|^{2} = ∑_{j=1}^{n}(x_{j}^{2} + y_{j}^{2}) = 2 ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2}

2Lemma: dim(U) < ∞, U φ^{−1}-invariant ⇒ U φ-invariant

also: x, y ∈ IR^{n×1} ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2} = ∑_{j=1}^{n} y_{j}^{2} = 1

Setze: v_{1} = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v′_{j} v_{2} = ∑_{j=1}^{n} y_{j}v′_{j}

Dann: Φ(v_{1}, v_{2}) = 0 Φ(v_{i}, v_{i}) = 1 mit i = 1, 2 A(x + iy) = (cos(θ) + i · sin(θ))(x + iy) Ax = cos(θ)x − sin(θ)y Ay = sin(θ)x + cos(θ)y φ(v_{1}) = cos(θ)v_{1} − sin(θ)v_{2} φ(v_{2}) = sin(θ)v_{1} + cos(θ)v_{2}

Setze U = ⟨v_{1}, v_{2}⟩. Wende Induktion an auf U^{⊥} ON-Basis B′ = (v_{3}, …, v_{n}) mit [φ|_{U^{⊥}}] = Diag(D(θ_{2}), …, D(θ_{r})) Setze B = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) und θ_{1} = −θ.

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§7 Polardarstellung

(V, Φ) n-dimensionaler unitärer Raum

n = 1 (V = C) allgemein

z ∈ C  (↔)  C^{n×n} ← φ ∈ End(V)

\overline{z} A^{∗} = \overline{A^{tr}} ← φ^{∗} (ON-Basis nötig)

z = \overline{z} ∈ IR  (↔)  φ selbstadjungiert

Jedes z ∈ C hat eine eindeutige Darstellung in der Form z = x + iy

Satz 1

Jedes φ ∈ End(V) hat eine eindeutige Darstellung in der Form φ = φ_{1} + iφ_{2} mit φ_{1}^{∗} = φ_{1}, φ_{2}^{∗} = φ_{2}

|z| = 1, z ∈ C  (↔)  φ · φ^{∗} = Id ⇔ φ unitär

Satz 1 (additive Selbstadjungierten-Zerlegung)

Jedes φ ∈ End(V) hat eine eindeutige Darstellung in der Form φ = φ_{1} + iφ_{2} mit φ_{1}^{∗} = φ_{1}, φ_{2}^{∗} = φ_{2}.

Beweis:

a) Eindeutigkeit: angenommen φ = φ_{1} + i · φ_{2}φ_{j}^{∗} = φ_{j}, j = 1, 2 dann φ^{∗} = φ_{1} + \overline{i} · φ_{2} ⇔ φ^{∗} = φ_{1} − i · φ_{2} addiere die Gleichungen: ⇒ φ + φ^{∗} = 2φ_{1} ⇔ φ_{1} = (\frac{φ+φ^{∗}}{2} )

§7 POLARDARSTELLUNG 23

Es folgt \{ \begin{matrix}φ_{1} = \frac{1}{2}(φ + φ^{∗}) \\ φ_{2} = \frac{1}{2i}(φ − φ^{∗}) \end{matrix} \} , also φ eindeutig bestimmt.

b) Existenz: Definiere zu φ ein φ_{1} := \frac{1}{2}(φ + φ^{∗}) und φ_{2} := \frac{1}{2i}(φ − φ^{∗}), dann folgt φ_{1}^{∗} = φ_{1}, φ_{2}^{∗} = φ_{2} und φ = φ_{1} + i · φ_{2}.

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Definition (positiv (Semi-)Definitheit von Endomorphismen)

φ ∈ End(V) heißt positiv definit, wenn φ^{∗} = φ und Φ(φ(v), v) > 0 für alle v ≠ 0. φ ∈ End(V) heißt positiv semidefinit, wenn φ^{∗} = φ und Φ(φ(v), v) ≥ 0 für alle v ≠ 0.

Bemerkung

φ ∈ End(V), φ ≥ 0 d.h. positiv definit ⇔ Φ_{φ}(v, w)(= Φ(φ(v), w)) bilinear und Φ positiv definit

Beachte

Φ_{φ} ist (mit Φ) hermitesche Form, da φ^{∗} = φ und Φ_{φ}(v, w) = Φ(φ(v), w) = Φ(v, φ^{∗}(w)) = \overline{Φ(φ(w), v)} = \overline{Φ_{φ}(w, v)}

Lemma 1

Sei φ ∈ End(V), dann gilt: φ > 0 ⇔ φ normal und alle Eigenwerte von φ sind > 0. φ ≥ 0 ⇔ φ normal und alle Eigenwerte von φ sind ≥ 0. φ unitär ⇔ φ normal und alle Eigenwerte haben Betrag 1 (siehe §6).

Beweis:

⇒): Wegen φ^{∗} = φ ist φ normal, also existiert ON-Basis B = (v_{1}, ldots, v_{n}) (Spektralsatz) mit

B[φ]_{B} = Diag(t_{1}, …, t_{n}) =_{B} [φ]_{B} = Diag(\overline{t}_{1}, …, \overline{t}_{n}) also t_{i} ∈ IR
t_{i} = Φ(t_{i}v_{i}, v_{i}) = Φ(φ(v_{i}), v_{i}) > (bzw. ≥) 0, beachte v_{i} ≠ 0

⇐): Nach Spektralsatz existiert B = (v_{1}, …, v_{n}) ON-Basis mit

B[φ]_{B} = Diag(t_{1}, …, t_{n}) t_{i} > (bzw. ≥) 0.

v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i} ∈ V.

Φ(φ(v), v) = Φ(∑_{i=1}^{n} x_{i}t_{i}v_{i}, ∑_{i=1}^{n} x_{j}v_{j})

= ∑_{i=1}^{n} t_{i} \underbrace{x_{i}x_{j}}_{≥0} ≥ 0, v ≠ 0

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Lemma 2

Ist η ≥ 0, η ∈ End(V) und k ∈ IN, so existiert eindeutig ξ ∈ End(V), ξ ≥ 0 mit ξ^{k} = η

Beweis:

Es existiert ON-Basis B = (v_{1}, ...v_{n}) mit _{B}[φ]_{B} = diag (t_{1}, ...t_{n}) und t_{i} ≥ 0. Definiere nun ξ durch _{B}[ξ]_{B} = diag ( ^{k} \sqrt{t_{1}}, ... ^{k} \sqrt{t_{n}}) , so gilt: ξ^{k} = η

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Satz 2 (Polardarstellung)

Jedes φ ∈ End(V) hat Darstellung in der Form φ = ε ∘ η mit ε und η ≥ 0 (d.h. η positiv semidefinit), dabei ist es eindeutig bestimmt und ε eindeutig, wenn φ invertierbar. (Polardarstellung von φ / Polarzerlegung von φ)

Beweis:

Eindeutigkeit: Angenommen φ = ε ∘ η mit ε^{∗} = ε^{−1} und η ≥ 0, φ^{∗} = η^{∗} ∘ ε^{∗} = η ∘ ε^{−1}.

Also φ^{∗} ∘ φ = η ∘ ε^{−1} ∘ ε ∘ η = η^{2}. Allgemein ist φ^{∗}φ ≥ 0, denn Φ(φ^{∗}φ(v), v) = Φ(φ(v), φ^{∗∗}(v) ≥ 0 und (φ^{∗}φ)^{∗} = φ^{∗}φ, also φ^{∗}φ ≥ 0. Nach Lemma 2 existiert η ≥ 0 mit φ^{∗}φ = η^{2}. Φ(φ(v), φ(v)) = Φ(v, φ^{∗}φ(v)) = Φ(v, η^{2}(v) = Φ(η(v), η(v)), also φ = 0 ⇔ η(v) = 0, also Kernφ = Kernη φ bijektiv ⇔ η bijektiv.

Existenz: Sei φ bijektiv, also auch η (gesucht ε mit φ = ε ∘ η ) setze einfach ε := φ ∘ η^{−1},

dann ist ε unitär.

Beweis hiervon: ε^{∗} = η^{−1∗} ∘ φ^{∗} = η^{−1} · φ^{∗}, da η^{∗} = η ε^{∗}ε = η^{−1} \underbrace{φ^{∗}φ}_{=η^{2}} η^{−1} = id, also ε unitär.

Für den Fall φ nicht bijektiv: siehe Übung

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Normalformen von Matrizen und Elementarteiler

§1 Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen

R kommutativer Ring (mit Eins) GL(n, R) = {A ∈ R^{n×n}|∃A^{−1} ∈ R^{n×n}} AA^{−1} = A^{−1}A = E_{n}

Beispiel

[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] ∉ GL(2, ZZ), [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & −1 \end{matrix} ] ∈ GL(2, ZZ)

Definition (Äquivalenz und Ähnlichkeit)

A, A′ ∈ R^{m×n} äquivalent :⇔ ∃P ∈ GL(m, R) und Q ∈ GL(n, R) mit P · A · Q = A′ A, A′ ∈ R^{n×n} ähnlich :⇔ ∃P ∈ GL(n, R) mit A′ = P^{−1} · A · P Offensichtlich A, A′ ähnlich ⇒ A, A′ äquivalent.

Bemerkung 1

φ: V → W linear; V, W K-Vektorräume endlicher Dimension B, B′ Basen von V; C, C′ Basen von W C′[φ]_{B′} = P ·_{C}[φ]_{B} · Q, also _{C′}[φ]_{B′} und _{C}[φ]_{B} äquivalent P = _{C′}[Id]_{C}, Q = _{B}[Id]_{B′} für φ ∈ End(V) gilt: _{B′}[φ]_{B′} und _{B}[φ]_{B} sind ähnlich.

Bemerkung 2

A, A′ ∈ K^{m×n}; K Körper A, A′ äquivalent ⇔ A′ entsteht aus A durch elementare Zeilenund Spaltenoperationen (Jede Zeilen- bzw. Spaltenoperation kann man durch Multiplikation von Elementarmatrizen ersetzen).

26 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER

Klassifikationsprobleme

a) Entscheide, ob A, A′ ∈ R^{m×n} äquivalent (bzw. ähnlich) sind. (z.B. möglich über Normalform)

b) Gebe eine Menge M ⊆ R^{m×n} von Normalformen an, so daß jedes A ∈ R^{m×n} zu genau einer der Matrizen aus M äquivalent (bzw. ähnlich m = n) ist. Dazu Algorithmus → Normalform (A) ∈ M.

Satz 1 (Äquivalenz von Matrizen über einem Körper)

Ist K Körper, so gilt A, A′ ∈ K^{m×n} äquivalent ⇔ Rg A = Rg A′.

Jedes A ∈ K^{m×n} ist äquivalent zu genau einer Matrix der Form

[ \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & ... & & & ⋮ \\ & & 1 \\ 0 & … & & 0 & 0 \end{matrix} ] ← r ⇒ Rg A = r

Beweis:

siehe LA I

□

Bemerkung

A, A′ ∈ K^{n×n} ähnlich ⇒ Rg A = Rg A′

det A = det A′

Spur A = Spur A′ (Multiplikation der Diagonalen) χ_{A} = χ_{A′} (charakteristisches Polynom)

Die Umkehrung hiervon gilt nicht!

Definition (charakteristische Matrix)

A ∈ K^{n×n} Körper XE_{n} − A ∈ K[X]^{n×n} = R^{n×n} heißt charakteristische Matrix von A. (χ_{A} = det(XE_{n} − A) ist das charakteristische Polynom = Determinante der charakteristischen Matrix.)

§1 ÄQUIVALENZ UND ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN 27

Lemma 1 Sei H ∈ K[X]. Dann kann man H eindeutig schreiben als

H = X^{r} · H_{r} + X^{r−1} · H_{r−1} + … + X · H_{1} + H_{0} (X Matrix) mit H_{i} ∈ K^{n×n}; für A ∈ K^{n×n} setze

(H · H′)(A) = (H(A) · H′)(A)

Beweis:

H = X^{r}A_{r} + … + XA_{1} + A_{0}
H′ = X^{s}B_{s} + … + XB_{1} + B_{0}

dabei sind A_{i}, B_{j} ∈ K^{n×n}

H · H′ = ∑_{i=0}^{r} ∑_{j=0}^{s} X^{i} · A_{i} · X^{j} · B_{j} = ∑_{i=0}^{r} ∑_{j=0}^{s} X^{i+j} · A_{i} · B_{j}

setze A ein:

(H · H′)(A) = ∑_{i=0}^{r} ∑_{j=0}^{s} A^{i+j} · A_{i} · B_{j}

dagegen:

H(A) · H′ = ∑_{i=0}^{r} A^{i} · A_{i} ∑_{j=0}^{s} X^{j} · B_{j} = ∑_{i=0}^{r} ∑_{j=0}^{s} X^{j} · A^{i} · A_{i} · B_{i}

A einsetzen:

(H(A) · H′)(A) = ∑_{i=0}^{r} ∑_{j=0}^{s} \underbrace{A^{j} · A^{i}}_{=A^{i+j}} ·A_{j} · B_{j}

□

Warnung Es gilt i.a. nicht (H · H′)(A) = H(A) · H′(A) (gilt z.B. über Körpern schon), d.h. K[X]^{n×n} → K^{n×n} mit H ↦ H(A) ist kein Ringhomomorphismus.

28 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER Beispiel

H = ( \begin{matrix}0 & X \\ X & 0 \end{matrix} ) = X · \underbrace{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )}_{H_{1}} + \underbrace{( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )}_{H_{0}}

H^{2} = H · H = ( \begin{matrix}X^{2} & 0 \\ 0 & X^{2} \end{matrix} ) = X^{2} · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + X · 0 + 0

mit A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) und A^{2} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) ist

H(A) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )

H^{2}(A) = A^{2} · E_{2} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) ≠ H(A)^{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} )

H(A) · H = ( \begin{matrix}0 & X \\ X & X \end{matrix} ) = X · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) und ((H(A)) · H)(A) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} )

Satz 2 (Satz von Frobenius)

K Körper; A, A′ ∈ K^{n×n} ähnlich ⇔ XE_{n} − A, XE_{n} − A′ ∈ K[X]^{n×n} äquivalent.

Beweis:

⇒): Sind A, A′ ∈ K^{n×n} ähnlich, d.h. A′ = P^{−1} · A · P mit P ∈ GL(n, K), so folgt

XE_{n} − A′ = XE_{n} − P^{−1} · A · P = P^{−1}(XE_{n} − A)P mit P ∈ GL(n, K[X]), d.h. XE_{n} − A und XE_{n} − A′ sind auch ähnlich, insbesondere äquivalent.

⇐): XE_{n} − A′ = F^{−1}(XE_{n} − A)G, F, G ∈ GL(n, K[X])

⇒ F (XE_{n} − A′) = (XE_{n} − A)G setze A ein (Lemma 1: H · H′)(A) = (H(A) · H′)(A))

(F (A)(XE_{n} − A′))(A) = ((\underbrace{AE_{n} − A}_{=0})G)(A)

⇒ 0 = (X · F (A) − F (A) · A′)(A) = A · F (A) − F (A) · A′ also A · F (A) = F (A) · A′ zeige noch: F (A) ∈ GL(n, K), dann ist A′ = F (A)^{−1} · A · F (A) Nach Vor. ist F ∈ GL(n, K[X]), d.h. es existiert F′ = ∑_{i=0}^{r} X^{i} ·F′_{i} ∈ GL(n, K[X]) mit F ·F′ = E_{n}. Dann:

E_{n} = (F · F′)(A) = (F (A) · ∑_{i=0}^{r} X^{i} · F′_{i})(A)
= (∑_{i=0}^{r} X^{i} · F (A) · F′_{i}) (A)
= ∑_{i=0}^{r} A^{i} · F (A) · F′_{i}  A^{i} · F (A) = F (A) · A^{′i}
= ∑_{i=0}^{r} F (A) · A^{′i} · F′ = \underbrace{F (A)}_{∈K^{n×n}} · \underbrace{F′(A)}_{∈K^{n×n}}

Also F (A) ∈ GL(n, K) ⇒ A, A′ ähnlich

□

§2 EUKLIDISCHE RINGE 29

Beispiel A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ), A′ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) A, A′ ähnlich, da gleiche Eigenwerte.

XE_{2} − A = ( \begin{matrix}x − 1 & 0 \\ −1 & x − 2 \end{matrix} ) äquivalent zu ( \begin{matrix}x − 1 & 0 \\ x − 2 & x − 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) (XE_{2} − A)

( \begin{matrix}x − 1 & 0 \\ x − 2 & x − 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x − 1 & 0 \\ 0 & x − 2 \end{matrix} ) = XE_{2} − A′

also sind XE_{2} − A und XE_{2} − A′ äquivalent, also (nach Frobenius) müssen A, A′ ähnlich sein.

Corollar Ist F (XE_{n} − A) · G = XE_{n} − A′ A, A′ ∈ K^{n×n}, so ist F (A)^{−1} · A · F (A) = A′. (insbesondere: F (A) ∈ GL(n, K))

Fragen 1) Wann sind XE_{n} − A und XE_{n} − A′ äquivalent?

2) Ist jede Matrix H ∈ K[X] äquivalent zu einer diagonalen Matrix und inwieweit sind die Diagonaleinträge eindeutig?

Bemerkung Die gleichen Fragen sind für Matrizen über ZZ interessant. Deshalb verallgemeinern wir:

§2 Euklidische Ringe

Definition (Integritätsbereich)

Ein kommutativer Ring R mit Eins heißt Integritätsring oder Integritätsbereich, wenn gilt:

a, b ∈ R und a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.

Beispiele • ganze Zahlen

• K[X]

• Körper

Gegenbeispiel ZZ_{6} ist keiner (2 · 3 = 0).

30 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER

Voraussetzung

Im Folgenden sei R ein Integritätsring.

Definition (Einheit und Irreduzibilität)

a|b (in R) ⇔ ∃a′ ∈ R mit b = a · a′.
a ∼ b (assoziiert) ⇔ a|b ∧ b|a.
a heißt Einheit ⇔ a ∼ 1
⇔ ∃a′ ∈ R mit a · a′ = 1
⇔ a ist invertierbar .
a a heißt irreduzibel ⇔ (a = p · q ∧

p, q ∈ R ⇒ p oder q Einheit und a ist keine Einheit).

Beispiele ZZ: Einheiten sind +1, −1

p irreduzibel ⇔ p Primzahl ∨ − p Primzahl K[X]: K Körper

Einheiten: f Einheit ⇔ f hat Grad 0 ⇔ f = c ∈ K \ {0} a_{1}X + a_{2} ist (für a_{1} ≠ 0) irreduzibel. Ebenso: X^{2} + 1 ∈ IR[X]. X^{2} + 1 ∈ C[X] ist reduzibel.

Definition (ggT)

d ∈ R heißt ein ggT (größter gemeinsamer Teiler) von a_{1}, …, a_{n} (in Zeichen: d ∈ ggT(a_{1}, …, a_{n})), wenn:

(i) d|a_{i} für i = 1, …, n (ii) x|a_{i} für i = 1, …, n ⇒ x|d §2 EUKLIDISCHE RINGE 31 Beispiele In ZZ: ggT(4, 6)= {−2, 2} In ZZ[\sqrt{−5}] = \{a + bi\sqrt{5}|a, b ∈ ZZ\} (Zahlengitter):

6 = 2 · 3 = (1 + i\sqrt{5})(1 − i\sqrt{5})

ggT(6, 2(1 + i\sqrt{5})) existiert nicht, da gilt: 2 |̸ 1 + i\sqrt{5} und 1 + i\sqrt{5} |̸ 2.

(Es gibt gemeinsame Teiler, aber keinen größten.)

Bemerkung 1 (Lemma von Ernst E. Kummer) Es gibt nicht in jedem Integritätsring ggT (Pahlings: ”… welch ein Kummer“).

Bemerkung 2 Ein ggT ist, wenn er existiert, bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. d, d′ ∈ ggT(a_{1}, … a_{n}) ⇔ d = d′ · n (n Einheit).

Definition (euklidischer Ring)

Ein euklidischer Ring ist ein Integritätsring R zusammen mit einer Abbildung

ν: R\{0} → IN_{0}

(Grad- oder Normfunktion) mit folgender Eigenschaft: Zu a, b ∈ R mit b ≠ 0 existiert stets q, r ∈ R mit a = q · b + r mit ν(r) < ν(b) oder r = 0.

Beispiele a) (ZZ, | |) ist euklidischer Ring (ν(a) = |a|)

b) (K[X], Grad f) f ∈ R\{0} ist euklidischer Ring

c) Jeder Körper ist euklidischer Ring (ν(a) = 1 ∀a ≠ 0)

Euklidischer Algorithmus

Sei (R, ν) euklidischer Ring, a, b ∈ R, a ≠ 0. Dann gibt es:

b = q_{0}a + r_{1}  mit ν(r_{1}) < ν(a)
a = q_{1}r_{1} + r_{2}  mit ν(r_{2}) < ν(r_{1})
r_{1} = q_{2}r_{2} + r_{3}  mit ν(r_{3}) < ν(r_{2})
⋮
r_{n−2} = q_{n−1}r_{n−1} + r_{n}
r_{n−1} = q_{n}r_{n}

beachte: ν(a) > ν(r_{1}) > … > ν(r_{n}) ∈ IN_{0} Beh: Dann ist r_{n} ∈ ggT(a, b).

Beweis:

Es gilt nach der Algorithmus-Vorschrift:

r_{n}|r_{n−1}

r_{n}|r_{n−2} und r_{n} = x_{n}r_{n−1} + y_{n}r_{n−2}
r_{n}|r_{n−3}  r_{n} = x_{n−1}r_{n−2} + y_{n−1}r_{n−3}
⋮ ⋮
r_{n}|a  r_{n} = x′r_{1} + y′a
r_{n}|b  r_{n} = xa + yb

Dies erkennt man, wenn man den rekursiven Aufbau des Algorithmus beachtet. Insbesondere ist dann r_{n} ein gemeinsamer Teiler von a, b. Durch Rückwärtsauflösen erhält man: r_{n} = x_{i}r_{i−1} + y_{i}r_{i−2} ∀i ⇒ r_{n} = xa + yb x, y ∈ R Es folgt: Jeder Teiler von a, b teilt auch r_{n}. Also ist r_{n} ∈ ggT(a, b)

□

§3 Invariantenteiler

Vor: (R, ν) sei ein euklidischer Ring z.B. R = K[X], R = ZZ, R = K (K Körper)

Definition (R-elementare Zeilen- (Spalten-) Operationen)

Eine R-elementare Zeilen- (Spalten-) Operation einer Matrix A ∈ R^{m×n} ist: (i) Vertauschung von Zeilen (Spalten) (ii) Addition eines r-fachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen (r ∈ R) (iii) Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einer Einheit u ∈ R (d.h. u^{−1} ∈ R)

§3 INVARIANTENTEILER 33

Satz 1 (Invariantenteilersatz)

Jedes A ∈ R^{m×n} läßt sich durch R-elementare Zeilen- und Spaltenoperationen auf die Form

( \begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & … \\ . & . & . \\ & & & d_{r} \\ ⋮ & … & & … & ⋮ \\ 0 & … & & … & 0 \end{matrix} ) mit d_{i}|d_{i+1} für alle i = 1, …, r − 1

bringen.

Beweis:

Induktion nach m. Ist A = 0 setze r = 0 und fertig. Sonst führe folgenden Algorithmus durch:

1) Vertausche Zeilen (Spalten) solange bis a_{11} ≠ 0 und ν(a_{11}) ≤ ν(a_{ij}) ∀i, j a_{ij} ≠ 0

2) Teile mit Rest a_{1i} = q_{i}a_{11} + a′_{1i} mit a′_{1i} = 0 oder ν(a′_{1i}) ≤ ν(a_{11})

ebenso: a_{j1} = q_{j}a_{11} + a′_{j1} mit a′_{j1} = 0 oder ν(a′_{j1}) ≤ ν(a_{11}) Addiere −(q_{i})-fache der 1. Spalte zur i-ten für i = 2, …, n Addiere −(q_{j})-fache der ersten Zeile zur j-ten für j = 2, …, n

Sind nicht alle a′_{1i} und a′_{j1} gleich null, so gehe zu 1). Man erhält neue Matrix [a′_{ij}] mit 0 ≤ ν(a′_{11}) < ν(a_{11}). Man kann nur endlich oft ν(a_{11}) verkleinern, so daß man nach endlich vielen Schritten eine Matrix der folgenden Form erhält: (mit c ∈ R)

( \begin{matrix}c & 0 & 0 & 0 \\ 0 \\ ⋮ & & ∗ \\ 0 \end{matrix} )

Für m = 1 (Induktionsanfang) ist man fertig, sonst ist ∗ ∈ R^{(m−1)×(n−1)}. Nach Induktionsannahme kann man ∗ auf die Form

( \begin{matrix}d_{2} & 0 & … & 0 \\ . & . & . \\ ⋮ & & d_{r} & ⋮ \\ 0 & … & & 0 \end{matrix} ) mit d_{i}|d_{i+1} für i ≥ 2

bringen. Ist c|d_{2} setze d_{1} := c fertig. Sonst 3) c′ ∈ ggT(c, d_{2}) mit c′ := xc + yd_{2} und ν(c′) < ν(c), da c |̸ d_{2}.

Führe dann folgende R-elementare Operationen durch:

⟶^{A′_{12}(x)}  ( \begin{matrix}c & xc \\ & d_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & d_{r} \end{matrix} )  ⟶^{A_{21}(y)}  ( \begin{matrix}c & \overbrace{xc + d_{2}y}^{c′} \\ & d_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & d_{r} \end{matrix} )

⟶^{V′_{12}}  ( \begin{matrix}c′ & c \\ d_{2} & 0 \\ & & d_{3} \\ & & & . & . & . \end{matrix} ) ⟶^{A_{12}(− \frac{d_{2}}{c′})} ( \begin{matrix}c′ & c \\ 0 & −\frac{d_{2}}{c′} · c \\ & & d_{3} \\ & & & . & . & . \end{matrix} )

⟶^{A_{21}( \frac{c′}{d_{2}} )} ( \begin{matrix}c′ & c \\ 0 & \frac{d_{2}}{c′} · c \\ & & d_{3} \\ & & & . & . & . \end{matrix} ) ⟶^{Induktion}  ( \begin{matrix}c′ \\ 0 & d′_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & d′_{3} \end{matrix} )

Beachte: ν(c′) < ν(c) und es gilt weiterhin: d′_{i}|d′_{i+1}. Wenn c′|d′_{2} fertig, sonst gehe wieder zu 3) mit c′′ ∈ ggT(c′, d′_{2}) und ν(c′′) < ν(c′)

Da man ν(c) nur endlich oft verkleinern kann, terminiert das Verfahren und man erhält schließlich eine Matrix der gesuchten Form.

(Beachte, daß bei der Niederschrift fast alle Nullzeilen weggelassen wurden, da diese sonst das Bild empfindlich gestört hätten. Man muß sich also am Ende jeder Matrix gegebenenfalls eine bestimmte Anzahl von Nullzeilen dazudenken.)

□

Beispiel

( \begin{matrix}7 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) ∈ ZZ^{3×3}.

→ ( \begin{matrix}6 & 6 & 6 \\ 7 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}6 & 6 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} )

§3 INVARIANTENTEILER 35

Beachte 6 |̸ 16, deswegen noch nicht fertig:

\begin{aligned}→ & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 18 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) & → & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 18 − 16 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) \\ → & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) & → & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 16 & 0 \end{matrix} ) \\ → & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & −48 \end{matrix} ) & → & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 48 \end{matrix} ) \end{aligned}

Beachte: 2 ∈ ggT(6, 16). Damit ist nun die gewünschte Form erreicht.

Folgerungen

a) Ist C ∈ R^{n×n}, so ist det C = u · α_{1} · . . . · α_{n} mit α_{i} Invariantenteiler und u Einheit in R.

b) Ist C ∈ GL(n, R), so ist C ein Produkt von R-elementaren Matrizen, d.h. von Matrizen, die aus E_{n} durch eine R-elementare Zeilen- bzw. Spaltenoperation entstehen.

c) C, C′ ∈ R^{n×n} sind äquivalent genau dann, wenn C′ aus C durch eine Folge von R-elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen entsteht.

Beweis:

a) Bei jeder R-elementaren Zeilen- oder Spaltenoperation wird die Determinante nur mit −1 oder einer Einheit aus R multipliziert, und es gilt weiterhin: det(Diag(α_{1}, …, α_{r})) = α_{1} · . . . · α_{r}.

b) Ist C · C′ = E_{n} mit C, C′ ∈ R^{n×n}, so ist det C · det C′ = 1. Dann ist det C eine Einheit in R. Also sind auch für alle i ∈ {1 … r} die α_{i} (die Invariantenteiler von C) Einheiten in R, wegen det C = u · α_{1} · . . . · α_{r} · x = 1 (mit x, y Einheiten in R). Multipliziert man die i-te Zeile von Diag(α_{1}, …, α_{r}) mit α_{i}^{−1} ∈ R, so erhält man die Einheitsmatrix:

Z_{m} · . . . · Z_{1} · C · S_{1} · . . . · S_{m′} = E_{n} mit S_{i}, Z_{i} R-elementare Matrizen.

Dann folgt:

C = Z_{1}^{−1} · . . . · Z_{m}^{−1} · E_{n} · S_{m′}^{−1} · . . . · S_{1}^{−1}.

Also ist C ein Produkt R-elementarer Matrizen.

c) C, C′ äquivalent ⇔ C′ = P · C · Q mit P, Q ∈ GL(n, R). Schreibe nun gemäß b):

P = N_{1} · . . . · N_{s} Q = M_{1} · . . . · M_{r},

mit N_{i}, M_{j} R-elementare Matrizen. Also gilt:

C, C′ äquivalent ⇔ C′ = N_{1} · . . . · N_{s} · C · M_{1} · . . . · M_{r}
⇔ C′ entsteht aus C durch R-elementare Zeilen-

und Spaltenoperationen

□

§4 Eindeutigkeit der Invariantenteiler

Sein nun (R, ν) ein euklidischer Ring und C ∈ R^{m×n}. Ist k ≤ min{m, n}, so ist ein k-Minor von C die Determinante einer k × k-Untermatrix:

C_{(j)}^{(i)} := ( \begin{matrix}c_{i_{1}j_{1}} & ⋯ & c_{i_{1}j_{k}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ c_{i_{k}j_{1}} & ⋯ & c_{i_{k}j_{k}} \end{matrix} )

mit (i) ∈ J_{k}(m) = {(i_{1}, …, i_{k})|1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ m} und (j) ∈ J_{k}(n) Definiere dann:

Δ_{k}(C) := {det C_{(j)}^{(i)}|(i) ∈ J_{k}(m), (j) ∈ J_{k}(n)}

Setze dann:

d_{k}(C) := ggT(Δ_{k}(C))

Beispiel

C := ( \begin{matrix}7 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix} ) ∈ ZZ^{3×3}

Dann ist:

d_{1}(C) = ggT(7, 6, 6, 0, 0, 16) = {1, −1}.
d_{2}(C) = ggT (det ( \begin{matrix}7 & 6 \\ 6 & 6 \end{matrix} ) , det ( \begin{matrix}7 & 6 \\ 6 & 6 \end{matrix} ) , …, det ( \begin{matrix}7 & 6 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , det ( \begin{matrix}7 & 6 \\ 0 & 16 \end{matrix} ))
= ggT(6, 6, …, 0, 7 · 16) = {2, −2}.
d_{3}(C) = ggT(det(C)) = {96, −96}.

Satz 1 (Invarianz von d_{k}(C))

d_{k}(C) ändert sich nicht bei R-elementaren Zeilen- oder Spaltenoperationen.

Beweis:

a) Sei φ Vertauschung von Zeile x mit Zeile y (1 ≤ x < y ≤ m)

(i) φ(C)_{(j)}^{(i)} = C_{(j)}^{(i)} falls x, y ∉ {i_{1}, …, i_{k}}

d.h. det φ(C)_{(j)}^{(i)} = det C_{(j)}^{(i)}

(ii) det φ(C)_{(j)}^{(i)} = − det C_{(j)}^{(i)} falls x, y ∈ {i_{1}, …, i_{k}}

(iii) det φ(C)_{(j)}^{(i)} = ± det C_{(j)}^{(i)\x∪y} falls x ∈ {i_{1}, …, i_{k}}, y ∉ {i_{1}, …, i_{k}} dabei entsteht (i) \ x ∪ y aus (i) durch Weglassen von x und Einfügen von y.

Also Δ_{k}(φ(C)) = Δ_{k}(C) bis auf Vorzeichen.

Also folgt: d_{k}(φ(C)) = d_{k}(C)

§4 EINDEUTIGKEIT DER INVARIANTENTEILER 37

b) Sei φ Multiplikation der x-ten Zeile mit m (u Einheit in R) Dabei werden die k-Minoren mit 1 oder u multipliziert. Also: d_{k}(φ(C)) = d_{k}(C)

c) Sei φ Addition der x-ten Zeile zur y-ten.

(i) det φ(C)_{(j)}^{(i)} = det C_{(j)}^{(i)} falls x, y ∉ {i_{1}, …, i_{k}} oder x, y ∈ {i_{1}, …, i_{k}}

(ii) Ist dagegen x ∈ {i_{1}, …, i_{k}} und y ∉ {i_{1}, …, i_{k}}, dann gilt: det φ(C)_{(j)}^{(i)} = det C_{(j)}^{(i)} ± det C_{(j)}^{(i)\x∪y} Es ist aber: ggT(a, b, d_{3}, …, d_{n}) = ggT(a, b + sa, d_{3}, …, d_{n}), denn sei d ∈ ggT (a, b, d_{3}, …, d_{n}) und d′ ∈ ggT (a, b + sa, d_{3}, …, d_{n}), dann gilt: (d|a ∧ d|b) ⇒ d|b + sa ⇒ d|d′ Umgekehrt gilt: (d′|a ∧ d′|b + sa) ⇒ d′|(b + sa) − sa = b ⇒ d′|d

Also ist d_{k}(φ(C)) = d_{k}(C).

Für Spaltenoperationen zeige man dies entsprechend.

□

Satz 2 (Eindeutigkeit der Invariantenteiler)

Die Invariantenteiler einer Matrix sind bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.

Beweis:

Nach §3 kann man C ∈ R^{m×n} auf folgende Form bringen:

D = ( \begin{matrix}α_{1} \\ & α_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & α_{r} \end{matrix} ) mit α_{i}|α_{i+1}

Nach Satz 1 gilt wegen d_{k}(C) = d_{k}(D):

d_{1}(C) = d_{1}(D) = ggT(α_{1}, …, α_{r}) ∋ α_{1}
d_{2}(C) = d_{2}(D) = ggT({α_{i} · α_{j}|i < j}) ∋ α_{1} · α_{2}

⋮

d_{k}(C) = ggT(…) ∋ α_{1} · . . . · α_{k}

Also ist α_{1} bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. Dann ist auch α_{1} · α_{2} bis auf Einheiten eindeutig bestimmt und damit auch α_{2} usw.

□

§5 Die rationale kanonische Form

Vor.: K Körper, A, A′ ∈ K^{n×n}

A, A′ ähnlich, d.h. es gibt P ∈ GL(n, K) mit A′ = P^{−1}AP

⇔^{§1} XE_{n} − A und XE_{n} − A′ sind äquivalent in K[X]^{n×n}.

⇔^{§3,4} Die Invariantenteiler von XE_{n} − A und XE_{n} − A′ sind assoziert, d.h. bis auf Einheiten gleich.

⇔ Die normierten Invariantenteiler von XE_{n} −A und XE_{n} −A′ sind gleich. f ∈ K[X] normiert bedeutet, daß der höchste Koeffizient gleich 1 sein muß.

f = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{1}X + a_{0}.

In §3 hatten wir gesehen, daß man XE_{n} − A durch Anwendung von elementaren Zeilenund Spaltenumformungen auf die Form

Diag(d_{1}, …, d_{n}) = Diag(1, …, 1, g_{1}, …, g_{s})

bringen kann, wobei d_{i} | d_{i+1} und g_{i} ∈ K[X] normiert mit grad(g_{i}) = m_{i} ≥ 0. Beachte

χ_{A} = det(XE_{n} − A) = ∏_{i=1}^{s} g_{i},

da linke Seite und rechte Seite normiert.

n = grad(χ_{A}) = ∑_{i=1}^{s} grad(g_{i}) = ∑_{i=1}^{s} m_{i}

Die Anzahl der Einsen als Invariantenteiler ist

n − s = ∑_{i=1}^{s}(m_{i} − 1)

(XE_{n} − A) ist äquivalent zu

Diag(\underbrace{1, …, 1, g_{1}}_{m_{1}}, \underbrace{1, …, 1, g_{2}}_{m_{2}}, …, \underbrace{1, …, 1, g_{s}}_{m_{s}}).

§5 DIE RATIONALE KANONISCHE FORM 39

Definition (Begleitmatrix)

Ist

g = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{1}X + a_{0} ∈ K[X]

ein normiertes Polynom, so heißt

A_{g} = ( \begin{matrix}0 & & & & −a_{0} \\ 1 & ... & & & −a_{1} \\ & ... & ... & & ⋮ \\ & & ... & 0 & −a_{n−2} \\ & & & 1 & −a_{n−1} \end{matrix} )

Begleitmatrix zu g.

Lemma 1 (Eigenschaften der Begleitmatrix)

a) A_{g} hat g als charakteristisches Polynom und als Minimal-Polynom.

b) XE_{n} − A_{g} ist äquivalent zu Diag(1, …, 1, g)

Beweis:

Übungsaufgabe Nr. 18

□

Sind also wie oben g_{1}, …, g_{s} die von 1 verschiedenen Invariantenteiler von A ∈ K^{n×n}, so ist XE_{n} − A wegen Lemma 1 b) äquivalent zu

Diag(XE_{n_{1}} − A_{g_{1}}, …, XE_{n_{s}} − A_{g_{s}}) = XE_{n} − Diag(A_{g_{1}}, …, A_{g_{s}})

also §1 (Satz von Frobenius).

Satz 1 (Frobenius’sche Normalform)

Jede Matrix A ∈ K^{n×n} ist ähnlich zu genau einer Matrix der Form

A_{g_{1},...,g_{s}} := Diag(A_{g_{1}}, …, A_{g_{s}})

mit g_{i} | g_{i+1}, g_{i} normiertes Polynom vom grad ≥ 1. Dabei sind g_{1}, …, g_{s} die normierten Invariantenteiler von XE_{n} − A, es gilt χ_{A} = g_{1} · . . . · g_{n} und für das Minimalpolynom μ_{A} = g_{s}.

A_{g_{1},...,g_{s}} heißt die rationale kanonische Form von A oder Frobenius’sche Normalform.

Beweis:

Es bleibt zu zeigen, daß μ_{a} = g_{s}. Es gilt:

A_{g_{1},...,g_{s}}^{i} := Diag(A_{g_{1}}^{i}, …, A_{g_{s}}^{i})

Ist also f ∈ K[X], so ist

f(A_{g_{1},...,g_{s}}) = 0
⇔ f(A_{g_{i}}) = 0 für alle i = 1, …, s
⇔ g_{i} =^{Lemma 1} μ_{A_{g_{i}}} | f für alle i = 1, …, s
⇔ g_{s} | h weil g_{1} | g_{2} | … | g_{s}

Also ist g_{s} = μ_{A_{g_{1}} ,...,A_{gs}}.

□

Beispiel

A = ( \begin{matrix}3 & 2 & 2 & 0 \\ −5 & −3 & −3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ Q^{4×4}

§5 DIE RATIONALE KANONISCHE FORM 41

XE_{4} − A  =  ( \begin{matrix}X − 3 & −2 & −2 & 0 \\ 5 & X + 3 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & X & 1 \\ 0 & 0 & −1 & X \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}−2 & X − 3 & −2 & 0 \\ X + 3 & 5 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & X & 1 \\ 0 & 0 & −1 & X \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 & 0 \\ X + 3 & 5 + \frac{X^{2} − 9}{2} & −X & −1 \\ 0 & 0 & X & 1 \\ 0 & 0 & −1 & X \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{X^{2} + 1}{2} & −X & −1 \\ 0 & 0 & X & 1 \\ 0 & 0 & −1 & X \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{X^{2} + 1}{2} \\ 0 & X & −1 − X^{2} & \frac{X^{2} + 1}{2}X \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{X^{2} + 1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{X^{2} + 1}{2}X & X^{2} + 1 \end{matrix} ) →  ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & X^{2} + 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & X^{2} + 1 \end{matrix} )

g_{1} = X^{2} + 1 g_{2} = X^{2} + 1

Das heißt A ähnlich zu

A_{g_{1},g_{2}} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \\ & & 0 & −1 \\ & & 1 & 0 \end{matrix} )

χ_{A} = (X^{2} + 1)^{2} μ_{A} = (X^{2} + 1) Es gibt P ∈ GL(4, Q) mit P AP^{−1} = A_{g_{1},g_{2}}. Man erhält aus §1 F, G ∈ Q[X]^{4×4} mit

F (XE_{4} − A_{g_{1},g_{2}}) = (XE_{4} − A) · G, P^{−1} = F (A).

Eine Anwendung ist

Satz 2 (Ähnlichkeit transponierter Matrixen)

Jede Matrix A ∈ K^{n×n} ist ähnlich zu ihrer transponierten Matrix A^{tr}.

Beweis:

Es gilt XE_{n} − A^{tr} = (XE_{n} − A)^{tr}. Ist ferner

F · (XE_{n} − A) · G = Diag(d_{1}, …, d_{n}) F, G ∈ GL(n, K[X]) , so ist

G^{tr} · (XE_{n} − A)^{tr} · F^{tr} = Diag(d_{1}, …, d_{n}) = G^{tr} · (XE_{n} − A^{tr}) · F^{tr} ,

also haben XE_{n} − A und XE_{n} − A^{tr} gleiche Invariantenteiler, sind also äquivalent, d.h. A, A^{tr} sind ähnlich.

□

Vorteile der rationalen kanonischen Form

(i) Sie ist absolut eindeutig und leicht zu berechnen.

(ii) Sie ist unabhängig vom Körper K und somit möglich in jedem Körper. Sei K ein Unterkörper von L und A ∈ K^{n×n}, dann ist die rationale kanonische Form von A als K-Matrix gleich der rationalen kanonischen Form als L-Matrix.

(iii) Sie macht das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom sichtbar.

Nachteil der rationalen kanonischen Form

Sei A ∈ K^{2×2} mit

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ),

so ist χ_{A} = (X − 1)(X − 2) = X^{2} − 3X + 2 = g und die rationale kanonische Form von A folglich mit

A_{g} = ( \begin{matrix}0 & −2 \\ 1 & 3 \end{matrix} )

komplizierter als die Ausgangsmatrix.

Satz 3 (Darstellung als Produkt von Irreduziblen)

Ist R ein euklidischer Ring, so hat jedes Element 0 ≠ c ∈ R, welches keine Einheit ist, eine Darstellung der Form:

c = q_{1} · . . . · q_{r} mit q_{i} irreduzibel.

Ist auch c = q′_{1} · . . . · q′_{s} mit q_{i} irreduzibel, so ist r = s und es gibt eine Permutation π ∈ S_{r} mit q′_{i} = q_{π(i)} · u_{i} mit u_{i} Einheit.

Beweis:

Siehe Algebra, für R = ZZ Mittelstufe.

□

Definition (Elementarteiler)

Ist C ∈ R^{n×n} (R euklidischer Ring) und sind d_{1}, …, d_{r} die von 0 und Einheiten verschiedenen Invariantenteiler, und

d_{j} = p_{1}^{n_{j_{1}}} · . . . · p_{k}^{n_{j_{k}}} p_{i} irreduzibel, n_{i_{j}} ∈ IN_{0},

so heißen die p_{i}^{n_{i_{j}}} Elementarteiler von C. Sie sind nach Hilfssatz und §4 bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.

§6 WEIERSTRASSSCHE UND JORDANSCHE NORMALFORM 43

§6 Weierstraßsche und Jordansche Normalform

R sei euklidischer Ring (zum Beispiel R = K[X], ZZ)

C ∈ R^{m×n} ist äquivalent zu ( \begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & & d_{r} & 0 \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ) mit d_{i}|d_{i+1} Invariantenteiler.

Ist d_{i} ≠ 0 und keine Einheit, so ist

d_{i} = p_{1}^{n_{i_{1}}} … p_{r}^{n_{ir}} ,

n_{i_{j}} ∈ IN_{0}, p_{i} ist irreduzibel und (p_{1}, …, p_{r}) seien paarweise nichtassoziiert. (Zum Beispiel Primzahlen in ZZ.) Die von 1 verschiedenen p_{j}^{n_{i_{j}}} heißen Elementarteiler von C.

Beispiel

a) d_{1} = 1, d_{2} = 2, d_{3} = 48, R = ZZ Elementarteiler: 2, 2^{4}, 3

b) Invariantenteiler: 1, 2, 6, 12, 60, 0 Elementarteiler: 2, 2, 3, 2^{2}, 3, 2^{2}, 3, 5

c) Hat C Elementarteiler: 2, 2^{2}, 3, 3, 5, so hat C Invariantenteiler: 2 · 3, 2^{2} · 3 · 5, dazu noch eventuelle Nullen und Einsen.

Lemma 1 a) Ist 1 ein ggT(f, g) f, g ∈ R, so ist

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & f · g \end{matrix} ) äquivalent zu ( \begin{matrix}f & 0 \\ 0 & g \end{matrix} )

b) Ist A, A′ ∈ K^{n×n}, so ist A_{f,g} ähnlich zu A_{f·g} dabei ist:

A_{f} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & −a_{1} \\ 0 & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 1 & −a_{n−1} \end{matrix} ) f = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{0} (normiertes Polynom)

A_{f,g} = Diag(A_{f}, A_{g})

Beweis:

a) siehe Übung

b) Benutze Satz von Frobenius A, A′ ∈ K ähnlich ⇔ XE_{n} − A, XE_{n} − A′ ∈ K^{n×n} äquivalent.

XE_{n} − A_{f,g} = ( \begin{matrix}XE_{k} − A_{f} & 0 \\ 0 & XE_{n−k} − A_{g} \end{matrix} )

äquivalent zu ( \begin{matrix}1 & & & & & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & f \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \\ 0 & & & & & & & & & & & g \end{matrix} )

äquivalent zu ( \begin{matrix}1 & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & f \\ 0 & & & & & & g \end{matrix} )

nach a) äquivalent zu ( \begin{matrix}1 & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ 0 & & & & & f · g \end{matrix} ) äquivalent zu XE_{n} − A_{f·g}.

□

Beachtet man 1 ∈ ggT(p_{1}^{n_{i_{1}}}, p_{2}^{n_{i_{2}}}, …, p_{r}^{n_{ir}}), so erhält man aus §5:

Satz 1 (Weierstraßsche Normalform)

Jede Matrix A ∈ K^{n×n}(K Körper) ist ähnlich zu einer Matrix

A_{q_{1},...,q_{s}} = Diag(A_{q_{1}}, …, A_{q_{s}})

wobei q_{1}, …, q_{s} normierte Polynome, die Potenzen von irreduziblen Polynomen sind (es sind die Elementarteiler von XE_{n} − A). A_{q_{1},...,q_{s}} ist bis auf die Reihenfolge der q_{1}, …, q_{s} eindeutig bestimmt (Weierstraßsche Normalform).

χ_{A} = q_{1} · . . . · q_{s}

§6 WEIERSTRASSSCHE UND JORDANSCHE NORMALFORM 45 Beispiel

A = ( \begin{matrix}4 & 2 & 0 \\ −3 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Q^{3×3}
xE_{3} − A = ( \begin{matrix}x − 4 & −2 & 0 \\ −3 & x + 1 & 0 \\ −1 & 0 & x − 1 \end{matrix} )

(−2 ist hier der ”kleinste“ Wert, da X · E_{3} − A ∈ Q[X], hat man also Polynome in der Matrix stehen.)

\begin{aligned}→ ( \begin{matrix}−2 & x − 4 & 0 \\ x + 1 & 3 & 0 \\ 0 & −1 & x − 1 \end{matrix} ) & → ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ x + 1 & 3 + \frac{x − 4}{2}(x + 1) & 0 \\ 0 & −1 & x − 1 \end{matrix} ) \\ → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & x^{2} − 3x + 2 & 0 \\ 0 & −1 & x − 1 \end{matrix} ) & → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & x − 1 \\ 0 & x^{2} − 3x + 2 & 0 \end{matrix} ) \\ → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & x^{2} − 3x + 2 & (x − 1)^{2}(x − 2) \end{matrix} ) & → ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (x − 1)^{2}(x − 2) \end{matrix} ) \end{aligned}

rationale kanonische Form ist Begleitmatrix

A_{(x−1)^{2}(x−2)} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & −5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

Elementarteiler von xE_{3} − A sind (x − 1)^{2} und x − 2 Weierstraßsche Form:

( \begin{matrix}A_{(x−1)^{2}} & 0 \\ 0 & A_{(x−2)} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

46 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER

Satz 2 (Jordansche Normalform)

Zerfällt das charakteristische Polynom χ_{A} in Linearfaktoren, so sind die Elementarteiler von XE_{n} − A von der Form (X − a_{i})^{r_{i}}, 1 ≤ i ≤ s und A ist ähnlich zu

J(A) = Diag(J_{r_{1}}(a_{1}), … J_{r_{s}}(a_{s})) Jordansche Normalform (dabei braucht a_{i} nicht notwendig paarweise verschieden zu sein).

Beweis:

XE_{r} − J_{r}(a) = ( \begin{matrix}x − a & & & 0 \\ −1 & x − a \\ & ... & ... \\ 0 & & −1 & x − a \end{matrix} ) äquivalent zu ( \begin{matrix}0 & (x − a)^{2} & & 0 \\ −1 & x − a \\ & ... & ... \\ 0 & & −1 & x − a \end{matrix} )

äquivalent zu ( \begin{matrix}0 & (x − a)^{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ & −1 & x − a \\ & & & . & . & . \\ 0 & & −1 \end{matrix} ) äquivalent zu ( \begin{matrix}0 & 0 & (x − a)^{3} \\ 1 & 0 & 0 \\ & −1 & x − a \\ & & −1 & ... \\ 0 & & & −1 & x − a \end{matrix} )

… äquivalent zu ( \begin{matrix}0 & … & 0 & (x − a)^{r} \\ 1 & 0 & … & 0 \\ & ... & 0 & 0 \\ & & & 0 \\ 0 & & 1 & 0 \end{matrix} ) äquivalent zu ( \begin{matrix}1 & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ 0 & & & & & (x − a)^{r} \end{matrix} )

äquivalent zu XE_{r} − A_{(x−a)^{r}} J_{r}(a) ist ähnlich zu A_{(x−a)^{r}} Nach Satz 1 ist A ähnlich zu Diag(J_{r_{1}}(a_{1}), … J_{r_{s}}(a_{s}))

□

Beispiel von oben Elementarteiler von XE_{3} − A waren (x − 1)^{2} und (x − 2)

J(A) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) J_{r}(a) = ( \begin{matrix}a & 0 & & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \end{matrix} )

§7 Moduln über Ringen

R sei Ring mit Eins.

§7 MODULN ÜBER RINGEN 47

Definition (R-Modul)

Ein R-Modul (genauer ein R-Links-Modul) ist eine Menge M ≠ 0 mit

Addition:  M × M → M (v, w) ⟼ v + w
Multiplikation: R × M → M (s, v) ⟼ s · v (s ∈ R; v, w ∈ M)

wobei die Regeln (V1)–(V8) aus LA I gelten (siehe Vektorraum).

(V1)–(V4) (M, +) ist kommutative Gruppe (V5) s_{1}(s_{2}v) = (s_{1}s_{2})v s_{i} ∈ R, v ∈ M (V6) 1 · v = v (V7) (s_{1} + s_{2})v = s_{1}v + s_{2}v (V8) s(v + w) = sv + sw

R Körper, dann ist R-Modul = R-Vektorraum. R = ZZ, dann ist R-Modul = abelsche Gruppe. R sei Ring mit 1. M sei R-Modul.

Definition (Untermodul)

Ist S = {v_{i}|i ∈ I} ⊆ M, so heißt

⟨S⟩_{R} = {∑ a_{i}v_{i}| a_{i} ∈ R, a_{i} ≠ 0 für nur endlich viele i ∈ I}

Erzeugnis von S, oder der von S erzeugte Untermodul. (N ⊆ M heißt Untermodul ⇔^{def.} N ≠ ∅ und u, v ∈ N, a ∈ R ⇒ au + v ∈ N, dann ist N auch ein R-Modul.) ⟨S⟩_{R} ist R-Untermodul von M. ⟨∅⟩ = {0} S ⊆ M heißt Basis, wenn ⟨S⟩_{R} = M und ∑_{endlich a_{i} ∈ R, v_{i} ∈ S, v_{i} paarweise verschieden} a_{i}v_{i} = 0 ⇒ a_{i} = 0

M heißt freier R-Modul, wenn M eine Basis hat. M heißt endlich erzeugt (e.e.), wenn M ein endliches Erzeugendensystem hat.

Beispiele

a) R = K. Jeder K-Vektorraum ist ein freier R-Modul.

b) R = ZZ, M = ZZ_{n} = {0, 1, …, n − 1}, n ∈ IN, n ≥ 2 ist ZZ-Modul mit +_{n}.

x ∈ M, n · x = x +_{n} x +_{n} … +_{n} x = 0 M ≠ ⟨∅⟩; M hat keine Basis wäre x in einer Basis {v_{1}, …, v_{m}}, x = v_{i}

\underbrace{n}_{≠0} ·x + 0 · v_{2} + … + 0 · v_{m} = 0

ZZ_{n} ist kein freier ZZ-Modul.

Definition (R-Modul-Homomorphismus)

M, M′ seien R-Moduln. φ: M → M′ Abbildung heißt R-Modul-Homomorphismus, wenn

φ(av + w) = aφ(v) + φ(w) für a ∈ R; v, w ∈ M

Ist zusätzlich φ bijektiv, so heißt φ Isomorphismus (dann M ≅ M′) Kern φ = {v ∈ M|φ(v) = 0} Untermodul von M Bild φ = {φ(v)|v ∈ M} Untermodul von M′

Homomorphiesatz

Ist U ⊆ M Untermodul, v ∈ M, so sei

v + U = {v + u|u ∈ U} Restklasse
v + U = v′ + U ⇔ v′ − v ∈ U
M/U := {v + U|v ∈ M}

U ist ein R-Modul mit

\begin{matrix}(v_{1} + U) + (v_{2} + U) = (v_{1} + v_{2}) + U \\ a · (v + U) = a · v + U \end{matrix}

mit a ∈ R, v, v_{1}, v_{2} ∈ M

\begin{aligned}und & π: M & → & M/U \\ & v & ↦ & v + U \end{aligned}

ist R-Modul-Homomorphismus, surjektiv mit Kern π = U Ist φ: M → M′ irgendein R-Modul-Homomorphismus, so ist

Bild φ ≅ M/ Kern φ
(φ(v) ↦ v + Kern φ)

(Beweis: siehe Lineare Algebra I)

§7 MODULN ÜBER RINGEN 49 Beispiele

a) M = ZZ, R = ZZ

U = 3ZZ = {0, ±3, ±6, …} Restklassen:

0 + 3ZZ = {0, ±3, ±6, …}

1 + 3ZZ = {1, −2, 4, −5, 7, …}
2 + 3ZZ = {2, −1, 5, −4, …}
ZZ/3ZZ ≅ ZZ_{3}
x + 3ZZ ← x

b) M = ZZ^{2} = ZZ × ZZ, R = ZZ

\begin{matrix}U = ⟨\binom{3}{0}, \binom{0}{2}⟩ \\ M/U = \{\binom{0}{0} + U, \binom{1}{0} + U, \binom{2}{0} + U, \binom{1}{1} + U, \binom{0}{1} + U, \binom{2}{1} + U\} \end{matrix}

Behauptung: M/U ≅ ZZ_{3} ⊕ ZZ_{2}

Definition (direkte Summe von R-Moduln)

Sind M_{1}, …, M_{m} R-Moduln, so sei

M_{1} ⊕ M_{2} ⊕ … ⊕ M_{m} = {(x_{1}, …, x_{m})|x_{i} ∈ M_{i}}

Dies ist ein R-Modul mit

\begin{matrix}(x_{1}, …, x_{m}) + (x′_{1}, …, x′_{m}) := (x_{1} + x′_{1}, …, x_{m} + x′_{m}) \\ a(x_{1}, …, x_{m}) := (ax_{1}, …, ax_{m}) \end{matrix}

Beispiel R^{m} = R ⊕ … ⊕ R = R^{m×1} 50 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER

Satz 2 (Zerlegung von R-Moduln)

Sei e_{i} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ← i ∈ R^{m×1} und U = ⟨d_{1}e_{1}, …, d_{r}e_{r}⟩ mit d_{i} ∈ R

Dann ist

R^{m×1}/U ≅ R/d_{1}R ⊕ … ⊕ R/d_{r}R ⊕ \underbrace{R ⊕ … ⊕ R}_{m−r}

Beweis:

\begin{aligned}φ: & R^{m×1} & → & R/d_{1}R ⊕ … ⊕ R/d_{r}R ⊕ \underbrace{R ⊕ … ⊕ R}_{m−r} \\ & ( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} ) & ↦ & (a_{1} + d_{1}R, …, a_{r} + d_{r}R, a_{r+1}, …, a_{m}) \end{aligned}

ist ein R-Modul-Homomorphismus, surjektiv

Kern φ = {( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} ) ∈ R^{m×1} | a_{1} + d_{1}R = 0 + d_{1}R ; ⋮ ; a_{r} + d_{r}R = 0 + d_{r}R ; a_{r+1} = 0 ; ⋮ ; a_{m} = 0 }

= {( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} ) ∈ R^{m×1}| a_{1} ∈ d_{1}R, …, a_{r} ∈ d_{r}R, a_{r+1} = … = a_{m} = 0}

= {( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} ) = ∑_{i=1}^{r} x_{i}d_{i}e_{i}| x_{i} ∈ R, a_{r+1} = … = a_{m} = 0}

= ⟨d_{1}e_{1}, …, d_{r}e_{r}⟩ = U

Homomorphiesatz: M/U ≅ Bild φ

□

Frage: Ist für U = ⟨v_{1}, …, v_{r}⟩ ≤ R^{m×1}, v_{i} ∈ R^{m×1}

R^{m×1}/U = ZZ^{2×1}/ ⟨\binom{3}{1}, \binom{0}{2}⟩ ?

§8 MODULN ÜBER EUKLIDISCHE RINGE 51

Satz 3 (homomorphes Bild)

Jeder endlich erzeugte R-Modul M (d.h. mit einem Erzeugendensystem (v_{1}, …, v_{n})) ist ein homomorphes Bild von R^{n}, also nach dem Homomorphiesatz isomorph zu einem Modul der Form R^{n}/U für einen Untermodul U von R^{n}. Ist (v_{1}, …, v_{n}) Basis von M (ist M also insbesondere ein freier Modul), so ist M ≅ R^{n}.

Beweis:

\begin{aligned}φ: & R^{n} & → & M \\ & (a_{1}, …, a_{n}) & ↦ & ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} ∈ M, a_{i} ∈ R \end{aligned}

Dies ist ein R-Modul-Homomorphismus

φ (a(a_{1}, …, a_{n}) + (a′_{1}, …, a′_{n})) = φ(a · a_{1} + a′_{1}, …, a · a_{n} + a′_{n})
= ∑_{i=1}^{n}(a · a_{i} + a′_{i}) · v_{i}
= a ∑ a_{i}v_{i} + ∑ a′_{i}v′_{i}
= a · φ(a_{1}, …, a_{n}) + φ(a′_{1}, …, a′_{n})

Da ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩_{R} = M, ist φ surjektiv. Homomorphiesatz:

M = φ(R^{n}) = Bild φ ≅ R^{n}/ Kern φ

Setze U := Kern φ. Ist (v_{1}, …, v_{n}) Basis, so ist Kern φ = {0}, d.h. φ ist Isomorphismus. Um alle endlich erzeugten R-Moduln zu finden, muß man alle Untermoduln U von allen R^{n} finden.

M = R^{n}/U

Dies ist einfach, falls R ein Körper oder euklidischer Ring ist (z.B. R = ZZ).

□

§8 Moduln über euklidische Ringe

Sei R Ring mit Eins. Ist M ein von m Elementen erzeugter R-Modul, so ist

M ≅ R^{m×1}/U

wobei U ⊆ R^{m×1}. Wird U von n Elementen erzeugt v_{1} = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} ) , …, v_{n} = ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} ),

so sei U = ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩_{R} =: SM(A) mit A = [a_{ij}] ∈ R^{m×n} 52 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER

Lemma 1 (Eigenschaften des Spaltenmodul SM)

a) Entsteht A′ aus A durch R-elementare Spaltenoperationen, so ist SM(A′) = SM(A).

b) Ist R euklidischer Ring und entsteht A′ aus A durch R-elementare Zeilenoperationen, so ist R^{m×1}/ SM(A) ≅ R^{m×1}/ SM(A′).

Beweis:

a) siehe LA I

b) Nach §3 Folgerungen ist A′ = Q · A mit Q ∈ GL(n, R).

Wir definieren:

φ: R^{m×1} → R^{m×1}/SM(A′)

v ↦ Q · v + SM(A′)

ist ein surjektiver R-Modul-Homomorphismus, weil Q invertierbar (v′+SM(A′) = φ(Q^{−1} · v′)).

Kernφ = \{v ∈ R^{m×1}|Q · v ∈ SM(A′)\} = \{v ∈ R^{m×1}|Q · v ∈ \underbrace{SM(Q · A)}_{⟨Q·v_{1},...,Q·v_{n}⟩}\} = SM(A)

mit Homomorphiesatz folgt:

R^{m×1}/SM(A) ≅ R^{m×1}/SM(A′)

□

Folgerung Ist R euklidischer Ring, A ∈ R^{m×n}, so kann man A durch R-elementare Zeilen- und Spaltenoperationen nach §3 auf die Form

( \begin{matrix}d_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & d_{r} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \end{matrix} ) mit d_{1}|d_{2}| … |d_{r} ≠ 0 r ≤ m, n

bringen.

Dann ist R^{m×1}/ SM(A) ≅ R/d_{1}R ⊕ … ⊕ R/d_{r}R ⊕ \underbrace{R ⊕ … ⊕ R}_{m−r}

§8 MODULN ÜBER EUKLIDISCHE RINGE 53

Satz 1 (Form der Untermoduln)

Ist R euklidischer Ring so wird jeder Untermodul U von R^{m} von höchstens n ≤ m Elementen erzeugt, genauer hat Basis aus n Elementen mit n ≤ m (insbesondere ist jeder Untermodul U von R^{m×1} von der Form U = SM(A); A ∈ R^{m×n})

Beweis:

Induktion nach m:

a) m = 1:

U ≤ R k = min{v(u)|0 ≠ u ∈ U} O.B.d.A. sei U ≠ {0}, wähle u_{0} ∈ U v(a_{0}) = k Ist u ∈ U beliebig, so existiert q, r ∈ R mit

u = q · u_{0} + r ν(r) < ν(u_{0}) oder r = 0 U ∋ u − q · u_{0} = r

wegen Minimalität von ν(a_{0}) muß r = 0 sein also u = q · u_{0} ∈ R u_{0} = ⟨u_{0}⟩_{R} also U ≤ ⟨u_{0}⟩_{R} ≤ U ⇒ (u_{o}) ist Basis von U.

b) m > 1:

U ≤ ⟨v_{1}, …, v_{m}⟩ = R^{m}; v_{1}, …, v_{m} Basis von R^{m} Ist U ≤ ⟨v_{2}, …, v_{m}⟩, so folgt Behauptung per Induktion. Also sei U ≰ ⟨v_{2}, …, v_{m}⟩.

k = min {ν(a_{1}) |∑_{i=1}^{m} a_{i} · ν_{i} ∈ U, a_{1} ≠ 0}

w_{1} ∈ U mit ∑_{i=1}^{m} a_{i} · v_{i} = w_{1} ν(a_{1}) = k

U′ = U ∩ ⟨v_{2}, …, v_{m}⟩ hat nach Induktionsannahme Basis (w_{1}, …, w_{n}) mit n ≤ m

Beh: (w_{1}, …, w_{n}) ist Basis von U

Bew: U ∋ u = ∑_{i=1}^{m} b_{i} · v_{i} b_{i} ∈ R

Es existiert q, r ∈ R mit b_{1} = q · a_{1} + r mit ν(r) < ν(a_{1}) oder r = 0.

U ∋ u − q · w_{1} = ∑_{i=1}^{m}(b_{i} − q · a_{i})ν_{i} Koeffizient von ν_{1} ist b_{1} − q · a_{1} = r

Wegen Minimalität von k ist r = 0

u_{q} · w_{1} ∈ ⟨v_{2}, …, v_{m}⟩ ∩ U = U′

Also u − q_{0} · w_{1} ∈ ⟨w_{2}, …, w_{n}⟩ also u ∈ ⟨w_{1}, …, w_{n}⟩ = U

Ferner: ∑_{i=1}^{n} c_{i} · w_{i} = 0. Nach Induktion folgt: c_{i} = 0

□

Hauptsatz über endlich erzeugte R-Moduln

Ist R euklidischer Ring, so ist jeder endlich erzeugte R-Modul M von der Form

M ≅ R/d_{1}R ⊕ … ⊕ R/d_{r}R ⊕ \underbrace{R ⊕ … ⊕ R}_{s}

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe M ≅ ZZ_{d_{1}} ⊕ … ⊕ ZZ_{d_{r}} 54 KAPITEL 2. NORMALFORMEN VON MATRIZEN UND ELEMENTARTEILER Beispiel Alle endlich erzeugten abelschen Gruppen sind von der Form:

G ≅ ZZ_{d_{1}} ⊕ … ⊕ ZZ_{d_{r}} wobei d_{i}|d_{i+1} ∏ d_{i} = |G| \underline{Ordnung} mit Addition als Verknüpfung

\underline{Anzahl}

|G| = 4 ZZ_{4}, ZZ_{2} ⊕ ZZ_{2}  2
5 ZZ_{5}  1
6 ZZ_{6} ≅ ZZ_{2} ⊕ ZZ_{3}  1
10 ZZ_{10}  1
12 ZZ_{12}, ZZ_{2} ⊕ ZZ_{6}  2
16 ZZ_{16}, ZZ_{2} ⊕ ZZ_{8}, ZZ_{4} ⊕ ZZ_{4},  5
ZZ_{2} ⊕ ZZ_{2} ⊕ ZZ_{4}, ZZ_{2} ⊕ ZZ_{2} ⊕ ZZ_{2} ⊕ ZZ_{2}

Kapitel 3 Tensorprodukte

§1 Kontra- und kovariante Vektor- und Tensorgrößen

Definition (kontravariante Tensoren 1. Stufe)

Sei V K-Vektorraum, B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann läßt sich v ∈ V eindeutig darstellen in der Form v = ∑_{i=1}^{n} x^{i}v_{i} mit x^{i} ∈ K (oberer Index, keine Potenz !!!). Sei B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) auch Basis mit Basiswechselmatrix [a_{j}^{i}] = _{B′}[Id]_{B}, dann folgt: v′_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i} (oberer Index entspricht dem Zeilenindex). Dann gilt:

v = ∑_{j=1}^{n} x^{′j}v′_{j} = ∑_{j=1}^{n} x^{′j} ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{j}^{i}x^{′j}v_{i}

Daraus ergibt sich durch Koeffizientenvergleich:

x^{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{j}^{i}x′^{j}

Sei nun [ã_{i}^{j}] = [a_{j}^{i}]^{−1}, dann folgt:

x^{′j} = ∑_{i=1}^{n} ã_{i}^{j}x^{i}

Dies nennt man ein kontravariantes Transformationsverhalten. Die Vektoren v ∈ V heißen dann kontravariante Vektoren (kontravariante Tensoren 1. Stufe)

Definition (kovariante Tensoren 1. Stufe)

Sei nun V^{∗} = Hom(V, K) (Dualraum) und B^{∗} = (v^{1}, …, v^{n}) die zu B = (v_{1}, …, v_{n}) duale Basis von V^{∗} definiert durch: v^{i}(v_{j}) = δ_{ij}

Wie ändern sich die Koordinaten eines λ ∈ V^{∗} bei Übergang von B^{∗} zu B^{′∗} ? Es gilt:

λ = ∑_{j=1}^{n} y_{j}v^{j} mit λ(v_{i}) = ∑_{j=1}^{n} y_{j}v^{j}v_{i} = y_{i}.

Sei dann B^{′∗} = (v^{′1}, …, v^{′n}) die zu B′ duale Basis von V^{∗}, dann gilt mit λ = ∑_{j=1}^{n} y′_{j}v^{j}:

y′_{j} = λ(v^{′j}) = λ(∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}λ(v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}y_{i} ⇒ y′_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}y_{i}

Dies heißt kovariantes Transformationsverhalten λ ∈ V^{∗} heißen kovariante Vektoren (kovariante Tensoren 1. Stufe)

Definition (kontra- und kovariante Tensorgrößen)

Sei V n-dimensionaler K-Vektorraum und B die Menge aller Basen von V.

Eine kovariante Tensorgröße ist eine Abbildung g: B → K\underline{n} := Abb(\underline{n}, K) mit \underline{n} := \{1, …, n\} mit folgender Eigenschaft:

Sind B = (v_{1}, …, v_{n}) und B′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) Basen von V, und gelte: v′_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i} und

v_{i} = ∑_{j=1}^{n} ã_{i}^{j}v′_{j}, so gilt:

g(B′)(j) =: g(B′)_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}g(B)_{i}

Eine kontravariante TensorgrößeTensorgrößen!kontravariante ist eine Abbildung g: B → K\underline{n} mit der Eigenschaft:

g(B′)(i) =: g(B′)^{i} = ∑_{j=1}^{n} ã_{j}^{i}g(B)^{j}

Beispiele

a) v sei ein fester Vektor aus V. Definiere für B ∈ B: g_{v}(B)^{i} = x^{i} (die i-te Koordinate), dann ist nach den Regeln aus Lineare Algebra I g_{v} eine kontravariante Tensorgröße.

b) Sei λ ∈ V^{∗}. Definiere dann g_{λ}(B)_{j} := y_{j} (die j-te Koordinate), dann ist g_{λ} nach den Regeln für den Basiswechsel also eine kovariante Tensorgröße.

§2 DAS TENSORPRODUKT 57

Definition (Tensorgrößen 2. Stufe)

a) Eine 2-fach kovariante Tensorgröße der Stufe 2 ist eine Abbildung

g: B → K^{\underline{n}×\underline{n}} = Abb(\underline{n} × \underline{n}, K) mit g(B′)(i, j) = g(B′)_{ij} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{n} a_{i}^{k}a_{j}^{l}g(B)_{kl}

b) Eine kontra-kovariante Tensorgröße der Stufe 2 ist eine Abbildung

g: B → K^{\underline{n}×\underline{n}} mit g(B′)(i, j) = g(B′)_{j}^{i} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{n} ã_{k}^{i}a_{j}^{l}g(B)_{l}^{k}

Beispiele

a) Sei Φ ∈ Bifo(V). Definiere g_{Φ}(B′)_{ij} = c_{ij} mit [Φ]_{B} = [c_{ij}]. Dann ist [Φ]_{B′} = A^{tr}[Φ]_{B}A = A^{tr}[c_{ij}]A mit A = [a_{ij}]. Dann ist g_{Φ}(B′)_{ij} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{n} a_{i}^{k}c_{ij}a_{j}^{l} eine zweifach kovariante Tensorgröße.

b) Sei φ ∈ End(V). Definiere g_{φ}(B) = c_{j}^{i}, wenn [φ] = [c_{j}^{i}]. Dann ist _{B′}[φ]_{B} = A^{−1}[c_{j}^{i}]A und somit nach Rechenregeln g_{φ} eine kontra-kovariante Tensorgröße.

Definition (Tensorgrößen höherer Stufe)

Eine r-fach kontravariante, s-fach kovariante Tensorgröße ist eine Abbildung

g: B ⟶ K\overbrace{\underline{n} × … × \underline{n}}^{r+s}

mit

g(B′)_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}} = ∑_{k_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{k_{r}=1}^{n} ∑_{l_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{l_{s}=1}^{n} ã_{k_{1}}^{i_{1}} … ã_{k_{r}}^{i_{r}}a_{j_{1}}^{l_{1}} … a_{j_{s}}^{l_{s}}g(B)_{l_{1}...l_{s}}^{k_{1}...k_{r}}

§2 Das Tensorprodukt

Definition (multilineare Abbildung)

Es seien V_{1}, …, V_{m}, T seien K-Vektorräume. Eine Abbildung

Φ: V_{1} × … × V_{m} → T heißt multilinear, wenn

Φ(v_{1}, …, av_{i} + v′_{i}, …, v_{m}) = a · Φ(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{m}) + Φ(v_{1}, …, v′_{i}, …, v_{m}) für a ∈ K, i = 1, …, m und v_{i}, v′_{i} ∈ V gilt.

Beispiele

a) Linearform, m = 1, T = K. Bilinearform, m = 2, T = K.

b) T = K, V_{1} = … = V_{m} = K^{m×1}. Determinante D : K^{m×1} × … × K^{m×1} → K.

c) Hom(V′, V′′) × Hom(V, V′) → Hom(V, V′′) mit (φ, ψ) ↦ φ ∘ ψ.

d) K^{m×n} × K^{n×p} → K^{m×p} mit (A, B) ↦ A · B.

e) A sei K-Algebra, A × A → A mit (a, b) ↦ a · b.

Bemerkung 1 Ist τ: V_{1} × … × V_{m} → T multilinear und φ: T → W linear, so ist

φ ∘ τ : V_{1} × … × V_{m} → W auch multilinear.

Frage Gibt es zu beliebigen K-Vektorräumen V_{1}, … V_{m} einen K-Vektorraum T und eine multilineare Abbildung

τ: V_{1} × … × V_{m} → T, so daß jede multilineare Abbildung

Φ: V_{1} × … × V_{m} → W von der Form Φ = φ ∘ τ ist für eine jeweils eindeutig bestimmtes φ ∈ Hom(T, W) ? Der folgende Satz bejaht diese Frage:

Satz 1 (universelle Eigenschaft des Tensorprodukts)

Zu K-Vektorräumen V_{1}, …, V_{m} gibt es einen K-Vektorraum T und eine multilineare Abbildung

τ :V_{1} × … × V_{m} → T mit folgender Eigenschaft: Zu jeder multilinearen Abbildung

Φ: V_{1} × … × V_{m} → W gibt es genau ein φ ∈ Hom(T, W) mit Φ = φ ∘ τ.

V_{1} × … × V_{m} ⟶^{τ} T
Φ ↘ ↓ φ
W

Zusatz

Ist B_{i} = (v_{1}^{(i)}, …, v_{n_{i}}^{(i)}) Basis von V_{i}, so ist

τ(B_{1} × … × B_{m}) := {τ(v_{i_{1}}^{(1)}, … v_{i_{m}}^{(m)}) | 1 ≤ i_{j} ≤ n_{j}, 1 ≤ j ≤ m}

Basis von T.

Beweis:

(Version nur für endlich dimenionale K-Vektorräume) Sei B_{i} wie im Zusatz. Sei T ein K-Vektorraum der Dimension n_{1} · n_{2} · . . . · n_{m} mit Basis

B = {t_{i_{1},...,i_{m}} |1 ≤ i_{j} ≤ n_{j}, 1 ≤ j ≤ m}.

Definiere nun τ: V_{1} × … × V_{m} → T durch

τ( \underbrace{∑_{i_{1}=1}^{n_{1}} x_{1}^{i_{1}}v_{i_{1}}^{(i)}}_{v_{1}∈V_{1}}, …, \underbrace{∑_{i_{m}=1}^{n_{m}} x_{m}^{i_{m}}v_{i_{m}}^{(m)}}_{v_{m}∈V_{m}} ) = ∑_{i_{1}=1}^{n_{1}} … ∑_{i_{m}=1}^{n_{m}} x_{1}^{i_{1}} · . . . · x_{m}^{i_{m}} · t_{i_{1},...,i_{m}}.

Offenbar ist τ multilinear. Sei Φ: V_{1} × … × V_{m} → W multilinear und definiere eine lineare Abbildung φ: T → W durch

φ(t_{i_{1},...,i_{m}}) = Φ(v_{i_{1}}^{(1)}, …, v_{i_{m}}^{(m)}).

Dann ist

Φ(v_{1}, …, v_{m}) = Φ (∑_{i_{1}=1}^{n_{1}} x_{1}^{i_{1}}v_{i_{1}}^{(1)}, …, ∑_{i_{m}=1}^{n_{m}} x_{m}^{i_{m}}v_{i_{m}}^{(m)})

= ∑_{i_{1}=1}^{n_{1}} … ∑_{i_{m}=1}^{n_{m}} x_{1}^{i_{1}} · . . . · x_{m}^{i_{m}} \underbrace{Φ(v_{i_{1}}^{(1)}, …, v_{i_{m}}^{(m)})}_{φ(t_{i_{1},...,im})}

= φ(τ(v_{1}, …, v_{m})).

Also ist Φ = φ ∘ τ. Noch zu zeigen: φ ist eindeutig bestimmt. Ist φ′ ∈ Hom(T, W) mit Φ = φ′ ∘ τ, so ist

φ(t_{i_{1},...,i_{m}}) = Φ(v_{i_{1}}^{(1)}, …, v_{i_{m}}^{(m)}) = φ′(t_{i_{1},...,i_{m}}).

φ und φ′ stimmen auf einer Basis von T überein ⇒ φ′ = φ.

(Und nun die Version für beliebige K-Vektorräume (K-Moduln, falls K ein kommutativer Ring ist).) Es sei

F := K^{(V_{1}×...×V_{m})}
= {f: V_{1} × … × V_{m} → K | f(v_{1}, …, v_{m}) ≠ 0 nur für endl. viele m-Tupel (v_{1}, …, v_{m}) }.

F ist ein K-Vektorraum (bzw. K-Modul). Sei (v_{1}, …, v_{m}) ∈ V_{1} × … × V_{m} und definiere

(v_{1}, …, v_{m})^{∘} ∈ K^{V_{1}×...×V_{m}}

durch

(v_{1}, …, v_{m})^{∘}((w_{1}, …, w_{m})) = \{ \begin{matrix}1, wenn w_{i} = v_{i} für 1 ≤ i ≤ m, \\ 0 sonst. \end{matrix}

60 KAPITEL 3. TENSORPRODUKTE

Ferner ist

B := {(v_{1}, …, v_{m})^{∘} | v_{i} ∈ V_{i}, 1 ≤ i ≤ m}

die Standardbasis von F. Setze nun

\begin{aligned}U & := & ⟨ & & (v_{1}, …, av_{i} + v′_{i}, …, v_{m})^{∘} − a · (v_{1}, …, v_{i}, …, v_{m})^{∘} \\ & & & − & (v_{1}, …, v′_{i}, …, v_{m})^{∘} | 1 ≤ i ≤ m, a ∈ K, v_{i}, v′_{i} ∈ V_{i}⟩_{K} \end{aligned}

und

T := F/U.

Außerdem sei τ: V_{1} × … × V_{m} → T definiert durch

τ(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U.

Damit ergibt sich:

τ(…, av_{i} + v′_{i}, …) − a · τ(…, v_{i}, …) − τ(…, v′_{i}, …)
= ((…, av_{i} + v′_{i}, …)^{∘} + U) − a · ((…, v_{i}, …)^{∘} + U) − ((…, v′_{i}, …)^{∘} + U)
= \underbrace{(…, av_{i} + v′_{i}, …)^{∘} − a · (…, v_{i}, …)^{∘} − (…, v′_{i}, …)^{∘}}_{∈U} +U
= \underline{0} + U = \underline{0} ∈ T.

Sei nun Φ: V_{1} × … × V_{m} → W multilinear. Definiere eine lineare Abbildung Ψ: F → W durch

Ψ((v_{1}, …, v_{m})^{∘}) = Φ(v_{1}, …, v_{m})

(Bilder der Basisvektoren aus B). Dann folgt:

Ψ((v_{1}, …, av_{i} + v′_{i}, …, v_{m})^{∘} − a · (v_{1}, …, v_{i}, …, v_{m})^{∘} − (v_{1}, …, v′_{i}, …, v_{m})^{∘})
= Φ((v_{1}, …, av_{i} + v′_{i}, …, v_{m})^{∘} − a · (v_{1}, …, v_{i}, …, v_{m})^{∘} − (v_{1}, …, v′_{i}, …, v_{m})^{∘})
= \underline{0},

weil Φ multilinear ist. Also ist U ≤ KernΨ. Definiere eine Abbildung φ: T → W durch

f + U ↦ Ψ(f)

für f ∈ F = K^{(V_{1}×...×V_{m})}. φ ist wohldefiniert:

f + U = g + U ⟹ f − g ∈ U ≤ KernΨ,

also Ψ(f − g) = \underline{0}, also Ψ(f) = Ψ(g). Offenbar ist φ linear, und es gilt:

φ ∘ τ(v_{1}, …, v_{m}) = φ((v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U)
= Ψ((v_{1}, …, v_{m})^{∘})
= Φ(v_{1}, …, v_{m})

für v_{i} ∈ V_{i}, 1 ≤ i ≤ m, also ist

Φ = φ ∘ τ.

Noch zu zeigen: φ ist eindeutig bestimmt. Ist φ′ ∈ Hom(T, W) mit Φ = φ′ ∘ τ, so folgt

φ′((v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U) = Φ((v_{1}, …, v_{m})) = φ((v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U)

für (v_{1}, …, v_{m}) ∈ (V_{1} × … × V_{m}) und (v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U ∈ T.

{(v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U | v_{i} ∈ V_{i}, 1 ≤ i ≤ m}

ist ein Erzeugendensystem von T. Also: φ und φ′ stimmen auf einem Erzeugendensystem von T überein ⇒ φ = φ′.

□

§2 DAS TENSORPRODUKT 61 Schreibweise fürs Tensorprodukt

(v_{1}, …, v_{m})^{∘} + U = τ((v_{1}, …, v_{m}))
=: v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m}
T = K^{(V_{1}×...×V_{m})}/U =: V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m}

Definition (Tensorprodukt)

Erfüllen auch T′ und τ′: V_{1} × … × V_{m} → T′ die universelle Eigenschaft von Satz 1, so gibt es genau einen Isomorphismus φ: T → T′ mit τ′ = φ ∘ τ. (T, τ) heißt Tensorprodukt.

T = V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m}

τ(v_{1}, …, v_{m}) = v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m} v_{i} ∈ V_{i}

Beweis:

Φ = τ′ ist multilinear. Aus der universellen Eigenschaft für (T, τ) folgt:

φ: T → T′ ist linear und τ′ = φ ∘ τ Φ = τ ist multilinear. Aus der universellen Eigenschaft für (T′, τ′) folgt:

ψ: T′ → T ist linear und τ = ψ ∘ τ′ τ = ψ ∘ τ′ = (ψ ∘ φ) ∘ τ = Id_{T} ∘ τ Aus der Eindeutigkeit in Satz 1 folgt

ψ ∘ φ = Id_{T} genauso

φ ∘ ψ = Id_{T′}

d.h. φ und ψ sind inverse Isomorphismen

□

Bemerkung

a) Ein Tensorprodukt ist nicht nur ein Vektorraum, sondern ein Vektorraum (T, τ) zusammen mit einer multilinearen Abbildung

\begin{matrix}T = V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m} \\ v_{1}, …, v_{m} → v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m} \end{matrix}

b) Vorsicht:

V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m} ≠ {v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m}|v_{i} ∈ V_{i}}

richtig:

V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m} = ⟨v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m}|v_{i} ∈ V_{i}⟩_{K}

d.h.

Jeder Tensor, also jedes Element aus V_{1} ⊗ … ⊗ V_{m}, ist eine endliche Linearkombination von zerlegbaren Tensoren, d.h. Elementen der Form v_{1} ⊗ … ⊗ v_{m}, v_{i} ∈ V_{i}.

Rechenregeln für Tensoren

V, W K-Vektorräume oder K-Moduln

V ⊗ W ist K-Vektorraum bzw. K-Modul, der erzeugt wird von {v ⊗ w|v ∈ V, w ∈ W }

Sei v, v′ ∈ V; w, w′ ∈ W; a ∈ K

(i) (v + v′) ⊗ w = v ⊗ w + v′ ⊗ w

(ii) v ⊗ (w + w′) = v ⊗ w + v ⊗ w′

(iii) a(v ⊗ w) = av ⊗ w = v ⊗ aw

Bemerkung

Ist V = ⟨B⟩, W = ⟨C⟩, so ist B ⊗′ C = {v ⊗ w|v ∈ B, w ∈ C} Erzeugendensystem für V ⊗ W.

Sind B und C Basen (von V bzw. W) so ist B ⊗′ C eine Basis von V ⊗ W

Beweis:

\begin{aligned}⟨B⟩ & = & V & v ∈ V ⇒ v = ∑_{i=1}^{m} s_{i}v_{i} \\ ⟨C⟩ & = & W & w ∈ W ⇒ w = ∑_{j=1}^{n} t_{j}w_{j} \end{aligned}

v_{i} ∈ B, w_{j} ∈ C
v ⊗ w = (∑_{i=1}^{m} s_{i}v_{i}) ⊗ (∑_{j=1}^{n} t_{j}w_{j})
= ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} s_{i}t_{j} \underbrace{(v_{i} ⊗ w_{j})}_{∈B⊗′C}

also ⟨B ⊗′ C⟩ = V ⊗ W

Seien nun B und C Basen von V bzw. W Angenommen

∑_{endlich_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}}} a_{ij}v_{i} ⊗ w_{j} = 0 a_{ij} ∈ K, v_{i} ∈ B, w_{j} ∈ C

zu zeigen: alle a_{ij} = 0 Wir definieren

Φ ( ∑_{v_{i}∈B} x_{i}v_{i}, ∑_{w_{j}∈C} y_{j}w_{j}) := [x_{i}y_{j}]_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} ∈ K^{m×n}

Φ: V × W → K^{m×n} ist multilinear Also existiert nach Satz 1 φ: V ⊗ W → K^{m×n} linear mit

Φ(v, w) = φ(v ⊗ w)

insbesondere

0 = φ (∑ a_{ij}v_{i} ⊗ w_{j}) = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij} \underbrace{φ(v_{i} ⊗ w_{j})}_{E_{ij}}

also: alle a_{ij} sind 0 und damit v_{i} ⊗ w_{j} l.u.

□

64 KAPITEL 3. TENSORPRODUKTE Beispiel

V = K^{m} = K^{m×1} dim V = m
W = K^{n} = K^{n×1} dim W = n
dim(V ⊗ W) = m · n
K^{m} × K^{n} ⟶^{τ} K^{m} ⊗ K^{n}
Φ ↘ ↓ φ
K^{m×n}

Φ(v, w) := v · w^{tr}

v = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{m} ) w = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} )

Φ(v, w) = v · w^{tr} = [x_{i}y_{j}]_{{i=1,...,m \atop j=1,...,n}} Φ ist multilinear. Also existiert (nach Satz 1)

φ: K^{m} ⊗ K^{n} → K^{m×n} mit

φ(v ⊗ w) = Φ(v, w) = v · w^{tr}

Umgekehrt definere:

ψ: K^{m×n} → K^{m} ⊗ K^{n} mit

[a_{ij}] → ∑ a_{ij}e_{i} ⊗ e_{j}

dann sind φ und ψ inverse Isomorphismen

\begin{aligned}K^{m} ⊗ K^{n} & ≅ & K^{m×n} \\ v ⊗ w & → & v · w^{tr} \end{aligned}

beachte es ist Rg(v · w^{tr}) ≤ 1

{v · w^{tr}|v ∈ K^{m}, w ∈ K^{n}} = {A ∈ K^{m×n}|RgA ≤ 1} ≠ K^{m×n}, falls m, n > 1 also für m, n > 1 ist

K^{m} ⊗ K^{n} ≠ {v ⊗ w|v ∈ K^{m}, w ∈ K^{n}} Beispiele

1) Es sei K = ZZ. ZZ_{4} ⊗ ZZ_{6} = ?

ZZ_{4} = ⟨a⟩  a = 1 + 4ZZ
ZZ_{6} = ⟨b⟩  b = 1 + 6ZZ
ZZ_{4} ⊗ ZZ_{6} = ⟨a ⊗ b⟩

2(a ⊗ b) = (6 − 4)(a ⊗ b)
= 6(a ⊗ b) − 4(a ⊗ b)
= a ⊗ (6b) − (4a) ⊗ b  (3.1)

Da 6b = \underline{0} = 0 + 6ZZ und 4a = \underline{0}:

(??) = a ⊗ \underline{0} − \underline{0} ⊗ b = \underline{0} − \underline{0} = \underline{0}.

Behauptung: ZZ_{4} ⊗ ZZ_{6} ≅ ZZ_{2}, also a ⊗ b ≠ \underline{0}.

ZZ_{4} × ZZ_{6} ⟶^{τ} ZZ_{4} ⊗ ZZ_{6}
Φ ↘ ↓ φ
ZZ_{2}

Definiere nun ein Φ durch

Φ(i + 4ZZ, j + 6ZZ) := ij + 2ZZ.

Φ ist wohldefiniert und bilinear. Φ ≠ \underline{0}, daher ist ZZ_{4} ⊗ZZ_{6} ≠ \underline{0}, also ist ZZ_{4} ⊗ZZ_{6} ≅ ZZ_{2}.

2) K sei ein Körper, V ein n-dimenionaler K-Vektorraum, V^{∗} = Hom(V, K) der Dualraum.

Bifo(V) = {Φ: V × V → K | Φ bilinear }.

Definiere nun

\begin{matrix}τ′: V^{∗} × V^{∗} & → & Bifo(V) \\ (λ, μ) & ↦ & λ · μ \end{matrix}

durch

(λ · μ) := λ(v) · μ(w) ∈ K.

τ′ ist bilinear.

V^{∗} × V^{∗} ⟶^{⊗} V^{∗} ⊗ V^{∗}
τ′ ↘ ↓ φ
Bifo(V)

Es gibt also genau eine lineare Abbildung

φ: V^{∗} ⊗ V^{∗} → Bifo(V)

mit φ(λ ⊗ μ) = λ · μ.

Behauptung: φ ist ein Isomorphismus. Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V, B^{∗} = (v^{1}, …, v^{n}) dazu die duale Basis von V^{∗}. Dann

\begin{matrix}v^{i}(v_{j}) = δ_{ij} \\ [v^{i} · v^{j}]_{B} = E_{ij}. \end{matrix}

Also ist (v^{i} · v^{j}) = (φ(v^{i} ⊗ v^{j})) Basis von Bifo(V), also ist φ surjektiv. Da

n^{2} = dim V^{∗} ⊗ V^{∗} = dim Bifo(V) = n^{2},

ist φ bijektiv, folglich ein Isomorphismus.

Definition (Tensoren)

V sei K-Vektorraum. Dann heißen die Elemente von

T = \underbrace{V ⊗ … ⊗ V}_{r} ⊗ \underbrace{V^{∗} ⊗ … ⊗ V^{∗}}_{s}

r-fach kontra-, s-fach kovariante Tensoren der Stufe r + s. Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V, B^{∗} = (v^{1}, …, v^{n}) die duale Basis von V^{∗}, so ist

C := {v_{i_{1}} ⊗ … ⊗ v_{i_{r}} ⊗ v^{j_{1}} ⊗ … ⊗ v^{j_{s}} | 1 ≤ i_{k}, j_{l} ≤ n}

Basis von T, d.h. jedes t ∈ T hat eine eindeutige Darstellung in der Form

t = ∑_{i_{1}...i_{r}=1}^{n} ∑_{j_{1}...j_{s}=1}^{n} \underbrace{t_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}}}_{∈K} v_{i_{1}} ⊗ … ⊗ v_{i_{r}} ⊗ v^{j_{1}} ⊗ … ⊗ v^{j_{s}}. (3.2)

Wir wählen eine 2. Basis B′ = (w_{1}, …, w_{n}) von V, es sei B′^{∗} = (w^{1}, …, w^{n}) die zu B′ duale Basis von V^{∗}.

w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i} v_{j} = ∑_{i=1}^{n} ã_{j}^{i}w_{i}

§2 DAS TENSORPRODUKT 67 mit [a_{j}^{i}] = A = _{B}[Id]_{B′}, [ã_{j}^{i}] = A^{−1}.

w^{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{j}^{i}v^{j} v^{i} = ∑_{j=1}^{n} ã_{j}^{i}w^{j}.

Setze dies in die Darstellung (??) ein:

t = ∑_{i_{1}...i_{r}=1}^{n} ∑_{j_{1}...j_{s}=1}^{n} t′_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}}w_{i_{1}} ⊗ … w_{i_{r}} ⊗ w^{j_{1}} ⊗ … ⊗ w^{j_{s}},

wobei

t′_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}} = ∑_{k_{1}...k_{r}=1}^{n} ∑_{l_{1}...l_{s}=1}^{n} t_{l_{1}...l_{s}}^{k_{1}...k_{r}}ã_{k_{1}}^{i_{1}} ⋯ ã_{k_{r}}^{i_{r}}ã_{j_{1}}^{l_{1}} ⋯ ã_{j_{s}}^{l_{s}}.

Also jedes t ∈ T definiert eine Tensorgröße g_{t} im Sinne von §1:

g_{t}(B) mit g_{t}(B)_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}} = t_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}}.

Satz 2 (Kommutativität und Assoziativität des Tensorprodukts)

Es gibt natürliche Isomorphismen (d.h. solche, die nicht von der Wahl von Basen anhängen):

a)  \begin{matrix}V ⊗ W & ≅ & W ⊗ V \\ v ⊗ w & ↔ & w ⊗ v. \end{matrix}

(Dabei bedeutet ”↔“, daß eine bijektive Zuordnung besteht.)

b)  \begin{matrix}(V_{1} ⊗ V_{2}) ⊗ V_{3} & ≅ & V_{1} ⊗ V_{2} ⊗ V_{3} & ≅ & V_{1} ⊗ (V_{2} ⊗ V_{3}) \\ (v_{1} ⊗ v_{2}) ⊗ v_{3} & ↔ & v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ v_{3} & ↔ & v_{1} ⊗ (v_{2} ⊗ v_{3}). \end{matrix}

Beweis:

a) Definiere

Φ: V × W → W ⊗ V
(v, w) ↦ w ⊗ v

\begin{aligned}V × W \\ & Φ ↘ \\ & & W ⊗ V \end{aligned}

(Man kann nicht ohne weiteres definieren φ(v ⊗ w) = w ⊗ v, weil nicht jedes Element t ∈ V ⊗ W von dieser Form ist und die v ⊗ w auch keine Basis bilden.) Φ ist bilinear, also existiert

φ : V ⊗ W → W ⊗ V mit

w ⊗ v = Φ(v, w) = φ(v ⊗ w).

Genauso:

∃ψ: W ⊗ V → V ⊗ W mit
ψ(w ⊗ v) = v ⊗ w.

Dann gilt (ψ ∘ φ)(v ⊗ w) = v ⊗ w. (Beachte, daß v ⊗ w ein Erzeugendensystem von V ⊗ W ist.) Also ψ ∘ φ = Id_{W ⊗V}. Genauso folgt, daß φ ∘ ψ = Id_{W ⊗V} ist. Also sind φ und ψ inverse Isomorphismen.

b) Übung.

□

§3 Kronecker-Produkt

Satz 1 (Kronecker-Produkt)

Seien V, V′, W, W′ K-Moduln (bzw. K-Vektorräume). K sei dabei ein kommutativer Ring mit Eins, also z.B. ein Körper. Seien ferner φ: V → V′ und ψ: W → W′ linear. Dann existiert genau eine lineare Abbildung

φ ⊗ ψ : V ⊗ W → V′ ⊗ W′

mit

(φ ⊗ ψ)(v ⊗ w) = φ(v) ⊗ ψ(w).

V × W ⟶^{⊗} V ⊗ W
Φ ↘ ↓ φ
V′ ⊗ W′

Beweis:

Definiere

Ψ : V × W → V′ ⊗ W′

durch

Φ(v, w) = φ(v) ⊗ ψ(w).

Dann ist Φ bilinear, also existiert genau eine lineare Abbildung

φ ⊗ ψ : V ⊗ W → V′ ⊗ W′

mit

(φ ⊗ ψ)(v ⊗ w) = Φ(v, w) = φ(v) ⊗ ψ(w).

□

§3 KRONECKER-PRODUKT 69

Zusatz zu Satz 1 Seien

B = (v_{1}, …, v_{n}) B′ = (v′_{1}, …, v′_{m}) Basen von V, V′
C = (w_{1}, …, w_{s}) C′ = (w′_{1}, …, w′_{s}) Basen von W, W′

Ordnet man die Basen B ⊗′ C und B′ ⊗′ C′ lexikographisch, d.h.

B ⊗′ C = (v_{1} ⊗ w_{1}, …, v_{1} ⊗ w_{s}, …, v_{n} ⊗ w_{1}, …, v_{n} ⊗ w_{s})

B′ ⊗′ C′ = (v′_{1} ⊗ w′_{1}, …, v′_{1} ⊗ w′_{r}, …, v′_{m} ⊗ w′_{1}, …, v′_{m} ⊗ w′_{r}) so ist, wenn

A = _{B}[φ]_{B} = [a_{j}^{i}]

D = _{C}[ψ]_{C} = [d_{j}^{i}]

B′⊗′C′[φ ⊗ ψ]_{B⊗′C} = A ⊗ D = ( \begin{matrix}a_{1}^{1}D & a_{2}^{1}D & … & a_{n}^{1}D \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1}^{m}D & a_{2}^{m}D & … & a_{n}^{m}D \end{matrix} )

Dies bezeichnet man als Kroneckerprodukt von Matrizen.

Beweis:

φ ⊗ ψ(v_{i} ⊗ w_{j}) = φ(v_{i}) ⊗ ψ(w_{j}) = (∑_{k=1}^{m} a_{i}^{k} · v′_{k}) ⊗ (∑_{l=1}^{r} b_{j}^{l} · w′_{l}) = ∑_{k=1}^{m} ∑_{l=1}^{r} a_{i}^{k}d_{j}^{l}(v′_{k} ⊗ w′_{l})

d.h. in der zu (i, j) gehörigen Spalte von [φ ⊗ ψ] stehen

\underbrace{a_{i}^{1}d_{j}^{1}, a_{i}^{1}d_{j}^{2}, …, a_{i}^{1}d_{j}^{r}}_{j -te Spalte von a_{i}^{1}D}, …, \underbrace{a_{i}^{m}d_{j}^{1}, a_{i}^{m}d_{j}^{2}, …, a_{i}^{m}d_{j}^{r}}_{j -te Spalte von a_{i}^{m}D}

□

Bemerkung Ordnet man B ⊗′ C und B′ ⊗′ C′ so

(v_{1} ⊗ w_{1}, …, v_{n} ⊗ w_{1}, …, v_{1} ⊗ w_{s}, …, v_{n} ⊗ w_{s}) so erhält man

[φ ⊗ ψ] = D ⊗ A Beispiel

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 4 & 3 & 6 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 8 & 5 & 10 & 6 & 12 \\ 4 & 0 & 5 & 0 & 6 & 0 \end{matrix} )

Bemerkung Es gibt natürliche Isomorphismen

Hom(V, V′) ⊗ Hom(W, W′) ≅ Hom(V ⊗ W, V′ ⊗ W′)
φ ⊗ ψ ↔ φ ⊗ ψ
K^{m×n} ⊗ K^{r×s} ≅ K^{m·r×n·s}
A ⊗ D ↔ A ⊗ D

Es wird deshalb indentifiziert.

Satz 2 (Verkettung des Kronecker-Produkts)

Seien V, V′, V′′, W, W′, W′′ K-Vektorräume bzw. K-Moduln

\begin{matrix}φ: V → V′ & φ′: V′ → V′′ \\ ψ: W → W′ & ψ′: W′ → W′′ \end{matrix}

so ist

(φ′ ⊗ ψ′) ∘ (φ ⊗ ψ) = (φ′ ∘ φ) ⊗ (ψ′ ∘ ψ)

Beweis:

(φ′ ⊗ ψ′) ∘ (φ ⊗ ψ)(v ⊗ w) = (φ′ ⊗ ψ′)(φ(v) ⊗ ψ(w))
= φ′(φ(v)) ⊗ ψ′(ψ(w))
= (φ′ ∘ φ)(v) ⊗ (ψ′ ∘ ψ)(w)
□

Folgerung Für Matrizen A ∈ K^{m×n}, A′ ∈ K^{p×m}, D ∈ K^{r×s}, D′ ∈ K^{q×r} gilt:

(A′ ⊗ D′) · (A ⊗ D) = (A′ · A) ⊗ (D′ · D)

§3 KRONECKER-PRODUKT 71

Bemerkung Es folgt A ⊗ D und D ⊗ A sind ähliche Matrizen, falls A ∈ K^{n×n}, D ∈ K^{r×r}.

Folgerung (Eigenschaften des Kronecker-Produkts) Sei A ∈ K^{m×m}, B ∈ K^{n×n}

a) Spur(A ⊗ B) = Spur(A) · Spur(B)

b) det(A ⊗ B) = (det A)^{n} · (det B)^{m}

c) A, B invertierbar ⇒ A ⊗ B invertierbar: (A ⊗ B)^{−1} = A^{−1} ⊗ B^{−1}

Beweis:

a)

Spur(A ⊗ B) = Spur ([ \begin{matrix}a_{1}^{1}B & … & a_{m}^{1}B \\ . & . & . \\ & & a_{m}^{m}B \end{matrix} ])
= a_{1}^{1} · SpurB + a_{2}^{2} · SpurB + … + a_{m}^{m} · SpurB
= SpurA · SpurB

b)

det(A ⊗ B) = det((E_{m} ⊗ B) · (A ⊗ E_{n}))
= (det B)^{m} · det(A ⊗ E_{n}) ,denn E_{m} ⊗ B = ( \begin{matrix}B \\ & . & . & . \\ & & & & B \end{matrix} )
= (det B)^{m} · (det(E_{n} ⊗ A)) ,denn E_{n} ⊗ A ist zu A ⊗ E_{n} ähnlich
= (det B)^{m} · (det A)^{n}

c)

(A ⊗ B)^{−1} · (A^{−1} ⊗ B^{−1}) = (A · A^{−1}) ⊗ (B · B^{−1})
= E_{m} ⊗ E_{n}
= E_{m·n}

Also ist

A^{−1} ⊗ B^{−1} = (A ⊗ B)^{−1}

□

Beispiel

( \begin{matrix}2 & −1 & 4 & −2 \\ −1 & 1 & −2 & 2 \\ 4 & −2 & 0 & 0 \\ −2 & 2 & 0 & 0 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} )^{−1} ⊗ ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} )^{−1}
= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} & −\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & −\frac{1}{4} & −\frac{1}{2} \end{matrix} )

§4 Das äußere Produkt

Definition (Alt_{r}(V, W))

V, W seien K-Vektorräume

Alt_{r}(V, W) = \{Φ: \underbrace{V × V × … × V}_{r} → W | Φ multilinear
und Φ(v_{1}, …, v_{r}) = 0, falls |{v_{1}, …, v_{r}}| < r}

Bemerkung Für Φ ∈ Alt_{r}(V, W) gilt

Φ(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{r}) = −Φ(v_{1}, …, v_{j}, …, v_{i}, …, v_{r}) denn betrachte

\begin{aligned}& Φ(v_{1}, …, v_{i} + v_{j}, …, v_{i} + v_{j}, …, v_{r}) = 0 \\ ⇔ & Φ(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{r}) + Φ(v_{1}, …, v_{j}, …, v_{i}, …, v_{r}) = 0 \end{aligned}

§4 DAS ÄUSSERE PRODUKT 73

Satz 1 (Existenz des äußeren Produktes)

Zu r ∈ K; V, W K-Modulen (K-Vektorräume) existiert genau ein K-Modul (Vektorraum) ⋀_{r} V und τ ∈ Alt_{r}(V, ⋀_{r} V) mit folgender Eigenschaft: Zu jedem Φ ∈ Alt_{r}(V, W) gibt es genau eine K-lineare Abbildung φ: ⋀_{r} V → W mit Φ = φ ∘ τ. Man schreibt v_{1} ∧ … ∧ v_{r} = τ(v_{1}, …, v_{r}) für v_{i} ∈ V und Φ(v_{1}, …, v_{r}) = φ(v_{1} ∧ … ∧ v_{r}) ⋀_{r} V heißt r-faches äußeres Produkt von V.

Beweis:

K^{(V ×...×V)} ist freier K-Modul mit Basis {(v_{1}, …, v_{r})|v_{i} ∈ V } Sei dann

\begin{aligned}U := & ⟨(v_{1}, …, av_{i} + v′_{i}, …, v_{r}) − a(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{r}) − (v_{1}, …, v′_{i}, …, v_{r}) | \\ & v_{i}, v′_{i} ∈ V; i ∈ \{1, …, r\}⟩ + ⟨(v_{1}, …, v_{r})|∃i ≠ j mit v_{i} = v_{j}⟩ \end{aligned}

Setze dann ⋀_{r} V = K^{(V ×...×V)}/U

Dann ist

\begin{aligned}τ: & V × … × V & → & ⋀_{r} V \\ & (v_{1}, …, v_{r}) & ↦ & (v_{1}, …, v_{r}) + U \end{aligned}

multilinear und alternierend. Sei auch Φ ∈ Alt_{r}(V, W), setze dann

\begin{aligned}ψ: & K^{(V ×...×V)} & → & W \\ & (v_{1}, …, v_{r}) & ↦ & Φ(v_{1}, …, v_{r}) \end{aligned}

Da Φ alternierend und multilinear, liegen alle Erzeugendenelemente in Kernψ. Also ist

\begin{aligned}φ: & ⋀_{r} V & → & W \\ & f + U & → & ψ(f) \end{aligned}

wohldefiniert und K-linear. φ ist auf einem Erzeugendesystem von ⋀_{r} V, nämlich auf {(v_{1}, …, v_{r}) + U|v_{i} ∈ V } festgelegt, also eindeutig.

□

Bemerkung

Erfüllen auch V′ und τ′ die universelle Eigenschaft von Satz 1, so gibt es genau einen Isomorphismus ⋀_{r} V′ → ⋀_{r} V mit τ = φ ∘ τ′

Satz 2 (Basis des äußeren Produktes)

Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) von V. Dann ist ⋀_{r} V = {0} für r > n

Und es ist ⋀_{r} B := {v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{r}}|1 ≤ i_{1} < … < i_{r} ≤ n} Basis von ⋀_{r} V.

Also ist dim ⋀_{r} V = \binom{n}{r}.

Beweis:

Nach Konstruktion wird ⋀_{r} V erzeugt von {w_{1} ∧ … ∧ w_{r}|w_{i} ∈ V }. Sei w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i} mit a_{j}^{i} ∈ K, dann

gilt:

w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = ∑_{i_{1},...,i_{r}=1}^{n} a_{1}^{i_{1}} … a_{r}^{i_{r}} \underbrace{v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{r}}}_{=0 falls v_{i_{k}} =v_{i_{l}} für k≠l}

es folgt: ist r > n, so ist stets w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = 0 Sei also r ≤ n, dann gilt:

w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{r}≤n} \underbrace{∑_{π∈S_{r}} ε(π) a_{1}^{i_{π(i)}} … a_{r}^{i_{π(r)}}}_{det A^{i_{1}...ir}} v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{r}}

mit

A^{i_{1}...i_{r}} = ( \begin{matrix}a_{1}^{i_{1}} & ⋯ & a_{r}^{i_{1}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{1}^{i_{r}} & ⋯ & a_{r}^{i_{r}} \end{matrix} )

Also gilt:

w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{r}≤n} det A^{i_{1}...i_{r}} v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{r}}

Also ist ⋀_{r} B Erzeugendensystem von ⋀_{r} V und dim ⋀_{r} V ≤ \binom{n}{r} zeige dann noch dim ⋀_{r} V ≥ \binom{n}{r} (dann ⋀_{r} B Basis) Betrachte dazu

Φ(w_{1}, …, w_{r}) = ∑_{π∈S_{r}} ε_{π}w_{π(1)} ⊗ … ⊗ w_{π(r)}

Φ ist alternierend und multilinear. Nach Satz 1 existiert ein eindeutiges φ: ⋀_{r} V → V ⊗ … ⊗ V mit φ(w_{1} ∧ … ∧ w_{r}) = Φ(w_{1}, …, w_{r}), dann ist {Φ(v_{i_{1}}, … v_{i_{r}})|1 ≤ i_{1} < … < i_{r} ≤ n} linear unabhängige Menge in V ⊗ … ⊗ V, denn es gilt:

0 = ∑ a_{i_{1}} … a_{i_{r}}Φ(v_{i_{1}}, …, v_{i_{r}})  mit a_{i_{1}}, …, a_{i_{r}} ∈ K

= \underbrace{v_{i_{1}} ⊗ … ⊗ v_{i_{r}} + ∑ ; \begin{matrix}π ∈ S_{r} \\ π ≠ 1 \end{matrix} ε_{π}v_{i_{π(1)}} ⊗ … ⊗ v_{i_{π(r)}}}

lauter verschiedene Basiselemente B von B⊗...⊗B in V ⊗...⊗V

Daraus folgt, daß alle a_{i_{1}} = … = a_{i_{r}} = 0. Damit gilt:

⋀_{r} V ≥ dim Bild φ ≥ \binom{n}{r}

Daraus folgt die Behauptung.

□

§4 DAS ÄUSSERE PRODUKT 75

Folgerung (Eigenschaften des äußeren Produktes)

a) dim V = n, so ist dim ⋀_{r} V = \binom{n}{n} = 1

Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis mit w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{j}^{i}v_{i}, dann gilt:

w_{1} ∧ … ∧ w_{n} = det[a_{j}^{i}] · (v_{1} ∧ … ∧ v_{r})

b) Sei n = 3 und r = 2, dann ist dim V ∧ V = \binom{3}{2} = 3. Also ist v ≅ V. Sei B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) Basis, dann definiere:

v_{1} → v_{2} ∧ v_{3}
φ: v_{2} → v_{3} ∧ v_{1} = −v_{1} ∧ v_{3}
v_{3} → v_{1} ∧ v_{2}

Dann heißt v × w = φ^{−1}(v ∧ w) das Vektorprodukt von v, w.

Ist w_{j} = ∑_{i=1}^{3} a_{j}^{i}v_{i} j = 1, 2, setze dann:

A = ( \begin{matrix}a_{1}^{1} & a_{2}^{1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} \\ a_{1}^{3} & a_{2}^{3} \end{matrix} )

dann ist:

w_{1} ∧ w_{2} = det A^{12} v_{1} ∧ v_{2} + det A^{23} v_{2} ∧ v_{3} + det A^{13} v_{1} ∧ v_{3}
= (a_{1}^{1}a_{2}^{2} − a_{2}^{1}a_{1}^{2}) \underbrace{v_{1} ∧ v_{2}}_{v_{3}} +(a_{1}^{2}a_{2}^{3} − a_{2}^{2}a_{1}^{3}) \underbrace{v_{2} ∧ v_{3}}_{v_{1}}

+(a_{1}^{1}a_{2}^{3} − a_{2}^{1}a_{1}^{3}) \underbrace{v_{1} ∧ v_{3}}_{−v_{2}}

Also ist:

w_{1} × w_{2} = (a_{1}^{2}a_{2}^{3} − a_{2}^{2}a_{1}^{3})v_{1} − (a_{1}^{1}a_{2}^{3} − a_{2}^{1}a_{1}^{3})v_{2} + (a_{1}^{1}a_{2}^{2} − a_{2}^{1}a_{1}^{2})v_{3}

Formal kann man dies auch in eine Determinante schreiben, wobei zu bemerken ist, daß dies dann nur eine Schreibweise ist, mit der man sich dies gut merken kann. Es ist aber nicht genau definiert worden und deswegen mit Vorsicht zu genießen. Es ist dann formal, wenn man die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt:

w_{1} × w_{2} = det [ \begin{matrix}v_{1} & a_{1}^{1} & a_{2}^{1} \\ v_{2} & a_{1}^{2} & a_{2}^{2} \\ v_{3} & a_{1}^{3} & a_{2}^{3} \end{matrix} ]

Die Identifizierung V ↔ V ∧ V für dim V = 3 hat ein Problem, denn bei Koordinatentransformation (v_{1}, v_{2}, v_{3}) → (−v_{1}, −v_{2}, −v_{3}) ändern sich die Vorzeichen der Koordinaten von v ∈ V, aber die Vorzeichen der Koordinaten von v ∧ w ändern sich nicht.

76 KAPITEL 3. TENSORPRODUKTE

Satz 3 (Eigenschaften des äußeren Produktes)

a) (w_{1}, …, w_{r}) linear abhängig ⇔ w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = 0

b) U = ⟨w_{1}, …, w_{r}⟩ = ⟨u_{1}, …, u_{r}⟩ ⇒ w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = a · (u_{1} ∧ … ∧ u_{r}) q ∈ K Umkehrung gilt, falls dim U = r (K Körper)

Beweis:

a) siehe Übung

b) ⇒): Ist dim U < r, so ist nach a)

0 = w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = u_{1} ∧ … ∧ u_{r} = 0 Sei also dim U = r

w_{j} = ∑_{i=1}^{r} a_{j}^{i} · u_{i} a_{j}^{i} ∈ K Basiswechselmatrix

w_{1} ∧ … ∧ w_{r} = \underbrace{det A}_{≠0} ·u_{1} ∧ … ∧ u_{r}

⇐): Sind (u_{1}, …, u_{r}) linear unabhängig und ist ⟨u_{1}, …, u_{r}⟩ ≱ ⟨w_{1}, …, w_{r}⟩, so existiert mindestens ein w_{j} ∉ ⟨u_{1}, …, u_{r}⟩. Also ⟨u_{1}, …, u_{r}, w_{j}⟩ linear unabhängig. Ist w_{1} ∧ … ∧ = a · (u_{1} ∧ … ∧ u_{r}) mit a ≠ 0 und (w_{1}, …, w_{r}) linear unabhängig, so folgt:

\underbrace{w_{1} ∧ … ∧ w_{r} ∧ w_{j}}_{=0} = \underbrace{a · (u_{1} ∧ … ∧ u_{r} ∧ w_{j})}_{≠0} Widerspruch

dabei benutzten wir:

u_{1} ∧ … ∧ u_{r} = w_{1} ∧ … ∧ w_{r} ⇒ u_{1} ∧ … ∧ u_{r} ∧ v = w_{1} ∧ … ∧ w_{r} ∧ v Beweis: siehe Übung

□

Definition (Plücker-Koordinaten)

Ist U = ⟨u_{1}, …, u_{r}⟩ Teilraum von V, K-Vektorraum, und dim U = r, B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V, so heißen die Koordinaten von

u_{1} ∧ … ∧ u_{r} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{r}≤n} x^{i_{1},...,i_{r}}(v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{r}})

die Plücker-Koordinaten von u bezüglich B. Sie sind bis auf skalare Faktoren (≠ 0) eindeutig bestimmt.

§5 ÄUSSERES PRODUKT VON LINEAREN ABBILDUNGEN 77

§5 Äußeres Produkt von linearen Abbildungen

Satz 1 (universelle Eigenschaft des äußeren Produktes)

Sei φ: V → W K-linear (K kommutativer Ring oder Körper), dann existiert genau eine lineare Abbildung

\begin{matrix}⋀_{r} V & → & ⋀_{r} W mit \\ v_{1} ∧ … ∧ v_{r} & ↦ & φ(v_{1}) ∧ … ∧ φ(v_{r}) \end{matrix}

Ist ψ: W → W′ linear, so ist

⋀_{r} ψ ∘ ⋀_{r} φ = ⋀_{r} (ψ ∘ φ) (∗)

Beweis:

Definiere Φ(v_{1}, …, v_{r}) := φ(v_{1}) ∧ … ∧ φ(v_{r}) ∈ ⋀_{r} W

Φ ist alternierend und multilinear. Also existiert ⋀_{r} φ gemäß §4, Satz 1

⋀_{r} φ(v_{1} ∧ … ∧ v_{r}) = Φ(v_{1}, …, v_{r})

Linke Seite und rechte Seite von (∗) stimmen überein für v_{1}∧…∧v_{r}. Diese bilden ein Erzeugendensystem, also gilt: linke Seite = rechte Seite (von (∗)). Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V und C = (w_{1}, …, w_{m}) Basis von W. ⋀_{r} B sei Basis von V und ⋀_{r} C sei Basis von ⋀_{r} W.

C[φ]_{B} = [a_{j}^{i}] = A, φ(v_{i}) = ∑_{i=1}^{m} a_{j}^{i} · w_{i}

⋀_{r} φ(v_{j_{1}} ∧ … ∧ v_{j_{r}}) = φ(v_{j_{1}} ∧ … ∧ φ(v_{j_{r}}) = ∑_{1≤i_{1}≤...≤i_{r}≤n} det A_{(j)}^{(i)}(w_{i_{1}} ∧ … ∧ w_{i_{r}})

wobei A_{j_{1},...,j_{r}}^{i_{1},...,i_{r}} = A_{(j)}^{(i)} = ( \begin{matrix}a_{j_{1}}^{i_{1}} & ⋯ & a_{j_{r}}^{i_{1}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{j_{1}}^{i_{r}} & ⋯ & a_{j_{r}}^{i_{r}} \end{matrix} )

⋀_{r} C[⋀_{r} φ]_{⋀_{r} B} = det[A_{(j)}^{(i)}] mit (i) ∈ \underline{\underline{\binom{m}{r}}} und (j) ∈ \underline{\underline{\binom{n}{r}}}

wobei \underline{\underline{\binom{m}{r}}} = \{(i_{1}, …, i_{r})|1 ≤ i_{1} < … < i_{r} ≤ m\} und \underline{\underline{\binom{n}{r}}} = \{(j_{1}, …, j_{r})|1 ≤ j_{1} < … < j_{r} ≤ n\}.

□

Beispiel

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix} ) = _{C}[φ]_{B}

dann ist: n = 3, m = 2, r = 2, \underline{\underline{\binom{m}{r}}} = \{(1, 2)\} und \underline{\underline{\binom{n}{r}}} = \{(1, 2); (1, 3); (2, 3)\}.

⋀_{2} A = _{⋀_{2} C}[⋀_{2} φ]_{⋀_{2} B}(∈ K^{1×3})

= [det A_{1,2}^{1,2}, det A_{1,3}^{1,2}, det A_{2,3}^{1,2}] = [det ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , det ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ) , det ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} )] = [−1, 0, 2]

78 KAPITEL 3. TENSORPRODUKTE Folgerung

a) A ∈ K^{m×n}, D ∈ K^{n×p}, (i) ∈ \underline{\underline{\binom{m}{r}}}, (j) ∈ \underline{\underline{\binom{n}{r}}}

det(A · D)_{(j)}^{(i)} = ∑_{(k)∈\underline{\underline{\binom{n}{r}}}} det A_{(k)}^{(i)} · det D_{(j)}^{(k)}

b) A ∈ K^{m×n}, D ∈ K^{n×m}

det A · D = ∑_{(k)∈\underline{\underline{\binom{n}{m}}}} det A_{(k)}^{(1,...,m)} · det D_{(1,...,m)}^{(k)}

Folgt aus Satz 1. Beispiel

det (( \begin{matrix}1234321 & 1 & 2 \\ 2468642 & 1 & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}12121 & 36363 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} ))
= det ( \begin{matrix}1234321 & 1 \\ 2468642 & 1 \end{matrix} ) · det ( \begin{matrix}12121 & 36363 \\ 1 & 3 \end{matrix} )

+ det ( \begin{matrix}1234321 & 2 \\ 2468642 & 4 \end{matrix} ) · det ( \begin{matrix}12121 & 36363 \\ 2 & 5 \end{matrix} )

+ det ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} ) · det ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} )

= 0 + 0 + (4 − 2)(5 − 6) = −2

Beispiel

A = ( \begin{matrix}a_{1} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 & a_{2} & ⋯ & a_{2n} \\ & & ... & ⋮ \\ & 0 & & a_{n} \end{matrix} )

n = 3: A ∧ A = ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & ∗ & ∗ \\ 0 & a_{1}a_{3} & ∗ \\ 0 & 0 & a_{2}a_{3} \end{matrix} )

n = n: ⋀_{2} A = A ∧ A = ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & & & & & ∗ \\ & a_{1}a_{3} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & a_{n−1}a_{n} \end{matrix} )

§5 ÄUSSERES PRODUKT VON LINEAREN ABBILDUNGEN 79 Spezialfall

D = ( \begin{matrix}d_{1} & d_{12} & … & d_{1n} \\ 0 & d_{2} & … & d_{2n} \\ . & . & . \\ 0 & 0 & … & d_{n} \end{matrix} )

⋀_{r} D ist Dreiecksmatrix

⋀_{r} D = [ \begin{matrix}d_{1} … d_{r} & ∗ & ∗ & ∗ \\ . & . & . \\ 0 & … & d_{i_{1}} … d_{i_{r}} & ∗ \\ 0 & … & & ... \end{matrix} ] ← (i_{1}, …, i_{r})

Spur ⋀_{r} D = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{r}≤n} d_{i_{1}} · . . . · d_{i_{r}}

Folgerung Sei A ∈ K^{n×n} (K ⊆ C). Dann ist A über C ähnlich zu

D = [ \begin{matrix}d_{1} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & d_{n} \end{matrix} ] ∈ C^{n×n}

und

χ_{A} = χ_{D} = ∏_{i=1}^{n} (X − d_{i})

χ_{A} = (X − d_{1}) · (X − d_{2}) · . . . · (X − d_{n})
= X^{n} − (∑_{i=1}^{n} d_{i}) X^{n−1} + ( ∑_{i_{1}<i_{2}} d_{i_{1}}d_{i_{2}}) X^{n−2} ∓ … + (−1)^{n}d_{1} · . . . · d_{n}
= X^{n} − Spur(D)X^{n−1} + Spur(⋀_{2} D)X^{n−2} ∓ … + (−1)^{n}Spur(⋀_{n} D)

⋀_{r} D ähnlich zu ⋀_{r} A ,weil A ähnlich zu D

χ_{A} = X^{n} − Spur(A)X^{n−1} + Spur(⋀_{2} A)X^{n−2} ∓ … + (−1)^{n} \underbrace{Spur(⋀_{n} A)}_{=det A}

Spur(⋀_{r} A) = ( ∑_{(i)∈\underline{\underline{\binom{n}{r}}}} det A_{(i)}^{(i)}) heißt Summe der r × r-Hauptminoren. Formel gilt allgemein, auch falls K ⊈ C.

§6 Skalarbereichserweiterung

Vor.: K ⊂ L seien kommutative Ringe mit 1 (z.B. Körper). Ist W ein L-Modul, so wird W durch Einschränkung der Operation zu einem K-Modul W_{K} genauer: W = (W, L, +, ·) ·: L × W → W W_{K} = (W, K, +, ·|_{K×W})

Beispiel

K = IR L = C W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ≅ C^{2×1} dann ist W_{IR} ein 4-dimensionaler IR-Vektorraum mit Basis B = (v_{1}, i · v_{1}, v_{2}, i · v_{2})

Satz 1 (Skalarbereichserweiterung)

Sei V ein K-Modul, dann kann man L ⊗_{K} V (Tensorprodukt von K-Moduln; L ist K-Modul) zu einem L-Modul machen mit

c · (d ⊗ v) = c · d ⊗ v für c, d ∈ L, v ∈ V

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) K-Basis von V, so ist 1 ⊗ B = (1 ⊗ v_{1}, …, 1 ⊗ v_{n}) L-Basis von L ⊗_{K} V. Falls K Körper, dann ist dim_{K} V = dim_{L}(L ⊗_{K} V)

Beweis:

Sei c ∈ L, d ∈ L, v ∈ V

L × V  ⟶^{⊗} L ⊗ V
Φ_{c} ↘ ↓ φ_{c}
L ⊗ V

definiere Φ_{c}(d, v) := c · d ⊗ v Φ_{c} ist bilinear, also existiert (universelle Eigenschaft) genau eine Abbildung φ_{c}: L⊗V → L⊗V K-linear mit

φ_{c}(d ⊗ v) = Φ_{c}(d, v) = c · d ⊗ v

§6 SKALARBEREICHSERWEITERUNG 81

Definiere für c ∈ L, t ∈ L ⊗_{K} V

c · t := φ_{c}(t)
1 · t = φ_{1}(t) = Id(t) = t
c · (t_{1} + t_{2}) = φ_{c}(t_{1} + t_{2})
= φ_{c}(t_{1}) + φ_{c}(t_{2})
= ct_{1} + ct_{2}
(c_{1}c_{2})t = (φ_{c_{1}} ∘ φ_{c_{2}})(t)
= c_{1}(c_{2}t)
(c_{1} + c_{2})t = φ_{c_{1}+c_{2}}(t)
= ^{1} φ_{c_{1}}(t) + φ_{c_{2}}(t)
= c_{1}t + c_{2}t

Also ist L ⊗_{K} V L-Vektorraum. Es gilt c · (d ⊗ v) = c · d ⊗ v. Sei t ∈ L ⊗_{K} V

t = ∑_{endlich} c_{i} ⊗ w_{i}  c_{i} ∈ L w_{i} ∈ V
= (∑_{j} c_{j}) ⊗ (∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i})
= ∑_{i=1}^{n} (∑_{j} c_{j}a_{ij}) · (1 ⊗ v_{i})

Beh.: 1 ⊗ v_{1}, …, 1 ⊗ v_{n} l.u. über K

L × V ⟶^{⊗} L ⊗_{K} V
Φ ↘ ↓ φ
L^{n}

definiere

Φ(c, ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) := (ca_{1}, …, ca_{n}) ∈ L^{n} c ∈ L, a ∈ K

Φ ist bilinear, also existiert eine Abbildung φ, die linear ist mit

\begin{matrix}φ(c ⊗ ∑ a_{i}v_{i}) = (ca_{1}, …, ca_{n}) \\ φ(1 ⊗ v_{i}) = e_{1} \end{matrix}

also, da e_{1}, …, e_{n} l.u. ⇒ 1 ⊗ v_{1}, …, 1 ⊗ v_{n} l.u.

□

Beispiel C ⊗_{Q} Q^{m×n} ≅ C^{m×n} C ⊗_{IR} IR[X] ≅ C[X]

1gilt für t = d ⊗ v

82 KAPITEL 3. TENSORPRODUKTE

Affine und projektive Räume

§1 Affine Räume

Definition (affiner Raum)

V sein K-Vektorraum. Ein affiner Raum A über V ist eine Menge A ≠ ∅ und einer Operation V × A → A mit

(i) \underline{0} + P = P ∀P ∈ A (ii) (v_{1} + v_{2}) + P = v_{1} + (v_{2} + P), die regulär ist, d.h. zu P, Q ∈ A existiert genau ein v ∈ V mit Q = v + P (und schreibt dann v =\overrightarrow{P Q} (∈ V)) Bemerkung Es gilt

a) P, Q, R ∈ A ⇒\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{P R} denn \overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR} +P = (\overrightarrow{QR} + \overrightarrow{P Q}) + P =\overrightarrow{QR} +(\overrightarrow{P Q} +P) =\overrightarrow{QR} +Q = R

b) \overrightarrow{P Q}= \underline{0} ⇔ P = Q \overrightarrow{QP}= − \overrightarrow{P Q}

c) t hat genau so viele Punkte, wie V Vektoren hat A = {v + P |v ∈ V } V = \{\overrightarrow{P Q} |Q ∈ A\} für (festes) P ∈ A Standardbeispiel

A = {[ 1 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ]| x_{i} ∈ K}

v ∈ V = K^{n×1} P ∈ A

[ y_{1} ; y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ] + [ 1 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] = [ 1 ; x_{1} + y_{1} ; ⋮ ; x_{n} + y_{n} ]

Für n = 2 und K = IR erhalten wir eine Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

Abbildung 4.1: Ebene in dreidimensionalen Raum

Allgemeiner

V sei Teilraum von W K-Vektorraum, w_{0} ∈ W fest gewählt, so ist

A := w_{0} + V

eine Restklasse von V in W. Dann ist (A, V) affiner Raum (mit der Addition aus W) z.B. Lösungsmenge von inhomogenen linearen Gleichungssystemen sind affine Räume.

§1 AFFINE RÄUME 85

Definition (affiner Teilraum)

Ist (A, V) affiner Raum, V′ Teilraum von V, P ∈ A, dann ist

A′ = {v′ + P |v′ ∈ V′} ein affiner Teilraum von A.

Bemerkung a) Es ist dann V′ = \{\overrightarrow{P P′} |P′ ∈ A′\} und A′ ist affiner Raum über V′

b) Sind A_{1}, A_{2} affine Teilräume von A, so ist (i) A_{1} ∩ A_{2} = ∅ oder (ii) A_{1} ∩ A_{2} ist affiner Teilraum über V_{1} ∩ V_{2} (wenn V_{i} = \{\overrightarrow{P P_{i}} |P_{i} ∈ A_{i}\} P ∈ A_{1} ∩ A_{2})

Definition (affine Abbildung)

(A, V), (A′, V′) seien affine Räume über K (d.h. V, V′ K-Vektorräume) Eine Abbildung α: A → A′ heißt affin, wenn

(i) \overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{P_{1}Q_{1}}∈ V ⇒\overrightarrow{α(P)α(Q)}=\overrightarrow{α(P_{1})α(Q_{1})}∈ V′

(ii)  \begin{aligned}φ_{α}:\overrightarrow{P Q} & → & \overrightarrow{α(P)α(Q)} \\ V & → & V′ \end{aligned}

(P, Q ∈ A) φ_{α} ist linear nach (i).

Bemerkung

(i) affine Abbildungen bedeuten geometrisch, daß Parallelogramme auf Parallelogramme abgebildet werden.

(ii) kann man ersetzen durch

\overrightarrow{P R}= s \overrightarrow{P Q}⇒\overrightarrow{α(P)α(R)}= s \overrightarrow{α(P)α(Q)}

Teilverhältnisse bleiben erhalten Ist \overrightarrow{P R}= s \overrightarrow{P Q} so heißt s Teilverhältnis von R bezüglich P, Q. Ist z.B. s = \frac{1}{2}, so heißt R Mittelpunkt von P, Q (Voraussetzung char K ≠ 2) beachte:

φ_{α}(\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR}) = φ_{α}(\overrightarrow{P R})
= \overrightarrow{α(P)α(Q)}
= \overrightarrow{α(P)α(Q)} + \overrightarrow{α(P)α(R)}
= φ_{α}(\overrightarrow{P Q}) + φ_{α}(\overrightarrow{QR})

Also ist φ_{α} automatisch additiv.

Definition (Affinität)

α: A → A′ heißt Affinität, wenn α affin und bijektiv ist.

Satz 1 (Eigenschaften von affine Abbildungen)

a) α Affinität ⇔ φ_{α} bijektiv (V → V′) und α affin

b) α, β affin ⇒ α ∘ β affin

c) AGL(A) := {α: A → A|α Affinität} ist eine Gruppe

d) T (A) := {α ∈ AGL(A)|φ_{α} = Id_{V} } ist eine Untergruppe von AGL(A), die Trans-

lationsgruppe von A T (A) ≅ (V, +)

Beweis:

a) gegeben

\begin{aligned}α: A & → & A′ affin \\ \overrightarrow{P Q} & → & \overrightarrow{α(P)α(Q)} \end{aligned}

Sei φ = φ_{α}: V → V′ injektiv

⇔ (φ(P Q) = \underline{0} ⇒\overrightarrow{P Q}= \underline{0})
⇔ (α(P)α(Q) = \underline{0})
⇔ (α(P) = α(Q) ⇒ P = Q)
⇔ α injektiv

wähle P ∈ A fest φ surjektiv

⇔ V′ = {φ(v)|v ∈ V }
⇔ V′ = {α(P)α(Q)|Q ∈ A}
⇔ A′ = {α(Q)|Q ∈ A}
⇔ α surjektiv

§2 AFFINE KOORDINATENSYSTEME 87

b) A → A′ → A′′ α, β affin mit linearen Abbildungen φ_{α}, φ_{β}

φ_{α} ∘ φ_{β}(\overrightarrow{P Q}) = φ_{α}(φ_{β}(\overrightarrow{P Q})) = φ_{α}(\overrightarrow{β(P)β(Q)}) =\overrightarrow{α(β(P))α(β(Q))} Also φ_{α∘β} = φ_{α} ∘ φ_{β} mit α ∘ β affin

c) α: A → A sei affin mit linearen Abbildung φ_{α} und bijektiv

α^{−1}(\overrightarrow{α(P)})α^{−1}(\overrightarrow{α(Q)}) =\overrightarrow{P Q}= (φ_{α})^{−1}φ_{α}(\overrightarrow{P Q}) = (φ_{α})^{−1}(\overrightarrow{α(P)α(Q)}) also φ_{α^{−1}} = (φ_{α})^{−1} und α^{−1} affin

d) Sei φ_{α} = Id α: A → A affin, also

\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{α(P)α(Q)} für P, Q ∈ A

\overrightarrow{P α(Q)}=\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{Qα(P)}=\overrightarrow{α(P)α(Q)} + \overrightarrow{Qα(P)}=\overrightarrow{Qα(Q)}=: v_{α} ∈ V Dann gilt α(P) = v_{α} + P und

\begin{aligned}α & → & v_{α} \\ (T (A), ∘) & → & (V, +) \end{aligned}

ist Isomorphismus

□

§2 Affine Koordinatensysteme

(A, V) affiner Raum, dim A := dim_{K} V.

Definition (affines Koordinatensystem)

Im affinen Raum (A, V) ist ein affines Koordinatensystem S = (P_{0}, …, P_{n}), P_{i} ∈ A

ein (n + 1)-Tupel von Punkten mit B = (\overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, \overrightarrow{P_{0}P_{n}}) eine Basis von V.

Ist P ∈ A, so ist \overrightarrow{P_{0}P}= ∑_{i=1}^{n} x_{i} \overrightarrow{P_{0}P_{i}}, dann heißt

ν_{S}(P) := ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

affiner Koordinatenvektor von P und

μ_{S}(P) := ( 1 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

inhomogener Koordinatenvektor von P.

88 KAPITEL 4. AFFINE UND PROJEKTIVE RÄUME

Satz 1 (Wechsel von affinen Koordinatensystemen)

Seien S, S′ affine Koordinatensysteme von A, A′ mit zugehörigen K-Basen B, B′ von V, V′; P ∈ A. Sei nun α: A → A′ affin, dann:

ν_{S′}(α(P)) = _{B′}[φ_{α}]_{B} · ν_{S}(P) + ν_{S′}(α(P_{0})) = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) + ( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} )

und

μ_{S′}(α(P)) = ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ a_{1} & a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m} & a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) · μ_{S}(P)

Beweis:

φ_{α}: V → V′ φ_{α}(\overrightarrow{P Q}) =\overrightarrow{α(P)α(Q)} (Nach §1) S = (P_{0}, …, P_{n}) S′ = (Q_{0}, …, Q_{m}) Es ist:

ν_{S′}(α(P)) = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} )  ν_{S′}(α(P_{0})) = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{m} )  ν_{S}(P) = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

\overrightarrow{Q_{0}α(P)} = \overrightarrow{Q_{0}α(P_{0})} + \overrightarrow{α(P_{0})α(P)}
= ∑_{i=1}^{m} a_{i} \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}} +φ_{α}(\overrightarrow{P_{0}P})
= ∑_{i=1}^{m} a_{i} \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}} + ∑_{j=1}^{n} x_{j}φ_{α}(\overrightarrow{P_{0}P_{j}})
= ∑_{i=1}^{m} a_{i} \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}} + ∑_{j=1}^{n} x_{j} ∑_{i=1}^{m} a_{ij} \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}}
= ∑_{i=1}^{m} \underbrace{(a_{i} + ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j})}_{y_{i}} · \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}}

= ∑_{i=1}^{m} y_{i} \overrightarrow{Q_{0}Q_{i}}
□

§2 AFFINE KOORDINATENSYSTEME 89

Satz 2

Sind P_{0} ∈ A, Q_{0} ∈ A′ und φ ∈ Hom(V, V′) beliebig gegeben, so existiert genau eine affine Abbildung α: A → A′ mit α(P_{0}) = Q_{0} und φ_{α} = φ.

Beweis:

Definiere α(P) für P ∈ A durch:

\overrightarrow{Q_{0}α(P)}= φ(\overrightarrow{P_{0}P}) ∈ V′

Dann ist:

\overrightarrow{α(P)α(P′)} = \overrightarrow{α(P)Q_{0}} + \overrightarrow{Q_{0}α(P′)}
= − \overrightarrow{Q_{0}α(P)} + \overrightarrow{Q_{0}α(P′)}
= −φ(\overrightarrow{P_{0}P}) + φ(\overrightarrow{P_{0}P′})
= φ(− \overrightarrow{P_{0}P} + \overrightarrow{P_{0}P′})

= \underbrace{φ(\overrightarrow{P P′})}

hängt nur von⟶_{P P′} ab und ist linear

Also α affin: \overrightarrow{Q_{0}α(P_{0})}= φ(\overrightarrow{P_{0}P_{0}}) = \underline{0} ⇒ Q_{0} = α(P_{0}) Eindeutigkeit: selbst.

□

Satz 3 (affine Gruppen)

Ist P ∈ A, so ist

AGL(A)_{P} := {α ∈ AGL(A)|α(P) = P } eine Untergruppe von AGL(A), die zu GL(V) isomorph ist.

T (A) = {α ∈ AGL(A)|φ_{α} = Id} Es ist T (A) ∩ AGL(A)_{P} = {Id}

T (A) · AGL(A)_{P} = AGL(A) d.h., jedes α ∈ AGL(A) kann man schreiben als

α = τ · α_{P} mit τ ∈ T (A), α_{P} ∈ AGL(A)_{P}

Beweis:

Nach §1 ist α ∈ AGL(A) ⇔ φ_{α} ∈ GL(V) Nach Satz 2 existiert zu φ ∈ GL(V) und P genau ein α ∈ AGL(A) mit

α = α_{φ,P} , α(P) = P und φ_{α} = φ

Zuordnung: φ ↦ α = α_{φ,P}_{GL(V)→AGL(A)_{P}} dies ist ein Isomorphismus.

Ist α ∈ AGL(A) beliebig und ist V :=\overrightarrow{P α(P)}, so ist P_{v} ∈ T (A), τv(Q) = v + Q dann ist z.B.: τ_{v}(P) = v + P = α(P) und α_{P} := τ_{v} ∘ α erfüllt α_{P} (P) = P, α_{P} ∈ AGL(A)_{P}

α = τ_{v} ∘ α_{P}

Ist auch β = τ_{w} ∘ β_{P} mit β_{P} ∈ AGL(A)_{P} so ist:

α ∘ β = τ_{v} ∘ α_{P} ∘ τ_{w} ∘ β_{P} = τ_{v} ∘ \underbrace{(α_{P} ∘ τ_{w} ∘ α_{P}^{−1})}_{τ_{φ_{α(w)}}} ∘α_{P} ∘ β_{P} = τ_{v+φ_{α(w)}} ∘ α_{P} ∘ β_{P}

denn: φ_{α_{P} ∘τ_{w}∘_{P}^{−1}} = φ_{α_{P}} ∘ \underbrace{φ_{τ_{w}}}_{=Id} ∘φ_{α_{P}}^{−1} = Id_{V}.

□

Bemerkung

Ist dim V = n < ∞, so hat man Isomorphismen:

AGL(A) ↔ \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ a & A \end{matrix} )| A ∈ GL(n.K), a ∈ K^{n×1}\}

AGL(A)_{P} ↔ \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & A \end{matrix} )| A ∈ GL(n, K)\} = GL(n, K)

T (A) ↔ \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ a & E_{n} \end{matrix} )| a ∈ K^{n×1}\} ≅ (K^{n×1}, +)

( \begin{matrix}1 & 0 \\ a & A \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ b & B \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ a + Ab & AB \end{matrix} )

§3 Euklidische Punkträume

Definition (euklidischer Punktraum)

A sei affiner Raum über dem IR-Vektorraum V. Sei (V, Φ) euklidischer Raum. Dann heißt (A, V, Φ) euklidischer Punktraum.

Für P, Q ∈ A sei d(P, Q) = ∥ \overrightarrow{P Q} ∥ = +\sqrt{Φ(\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{P Q})} der Abstand von P und Q.

§3 EUKLIDISCHE PUNKTRÄUME 91

Bemerkung Es gilt:

d(P, Q) > 0 für P ≠ Q; α(P, Q) = 0 für P = Q

d(P, Q) = d(Q, P)
d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) △-Ungleichung

Definition (Isometrie)

Sind A, A′ euklidische Punkträume, so heißt eine affine Abbildung β: A → A′ Isometrie, wenn

(∗) d(β(P), β(Q)) = d(P, Q) ∀P, Q ∈ A

Bemerkung Man braucht eigentlich nicht zu fordern, daß β affin ist; dies folgt aus (∗).

Definition (Bewegung und cartesisches Koordinatensystem)

a) β: A → A Bewegung, falls β Isometrie und bijektiv.

b) S = (P_{0}, …, P_{n}) affines Koordinatensystem heißt ein cartesisches Koordinatensystem, wenn B = (\overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, \overrightarrow{P_{0}P_{n}}) eine ON-Basis von (V, Φ) ist.

(A, V, Φ) euklidischer Punktraum B(A) = {β: A → A|β Isometrie und bijektiv } Ist S = (P_{0}, P_{1}, …, P_{n}) cartesisches Koordinatensystem, so ist B = (\overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, \overrightarrow{P_{0}P_{n}}) ON-Basis von V.

Bemerkung

ν_{s}(β(P)) = Aν_{s}(P) + ν_{s}β(P_{0}) Ist S cartesisch und β eine Bewegung, so ist

A ∈ O(n, IR) = {a ∈ IR^{n×n}|A^{tr}A = E_{n}} Mit P ∈ A ergibt sich

B_{P_{0}} = {β ∈ B(A)|β(P_{0}) = P_{0}} ≅ O(n, IR)

AGL(A)
↙  ↘
B(A)  AGL(A)_{P_{0}} ≅ GL(n, IR)
↙ ↘ ↙
T (A)  B(A)_{P_{0}} ≅ O(n, IR)
↘  ↙

Id

Klassifikation der Bewegungen im zweidimensionalen euklidischen Punktraum

a) β habe Fixpunkt P_{0}

(i) det φ_{β} = 1 β = Drehung um P_{0}

φ_{β} = (\overrightarrow{P Q}) =\overrightarrow{β(P)β(Q)}

(ii) det φ_{β} = −1 β = Spiegelung an der Geraden durch P_{0}.

b) β habe keinen Fixpunkt (iii) φ_{β} =id β = Translation (iv) dim(E_{φ_{β}}(1)) = 1 β = Gleitspiegelung = τ_{v_{0}} ∘ σ mit σ Spiegelung an der

Geraden {v + P_{1}|v ∈ E_{φ}(1)}, ⟨v_{0}⟩ = E_{φ}(1)

Satz 1 (Zusammenhang zwischen Fixpunkt und Eigenwerten)

Sei dim A = n ≥ 2, β ∈ B(A) habe keinen Fixpunkt, dann hat φ_{β} den Eigenwert 1 und es existiert P_{1} ∈ A und v_{0} ∈E_{φ_{β}}(1) und β = τ_{v_{0}} ∘ β_{0} mit β_{0} ∈ B(P_{1})

Beweis:

(für n = 2) Sei P, P_{1} ∈ A beliebig, v =\overrightarrow{P_{1}P} und w =\overrightarrow{P_{1}β(P_{1})}, dann ist \overrightarrow{β(P_{1})β(P)}= φ(v), φ = φ_{β}

\overrightarrow{P β(P)}= −v + w + φ(v) = w + (φ − id)v Wäre 1 kein Eigenwert von φ, so wäre φ−id_{v} invertierbar und insbesondere surjektiv. Dann gäbe es v ∈ V mit (φ−id)_{v} = −w; für dieses v =\overrightarrow{P_{1}P} wäre \overrightarrow{P β(P)}= 0, also P = β(P). (Widerspruch zur Voraussetzung!) n = 2 : E_{φ}(1) = V, φ =id, β Translation (β_{0} =id_{A})

V = E_{φ}(1) ⊕ E_{φ}(1)^{⊥}; E_{φ}(1)^{⊥} = E_{φ}(−1) w = v_{0} + v_{1} mit v_{0} ∈E_{φ}(1) und v_{1} ∈E_{φ}(−1) Definiere P_{0} durch \overrightarrow{P_{1}P_{0}}= \frac{1}{2}v_{1}, dann ist

\begin{aligned}\overrightarrow{P_{0}β(P_{0})} & = & \overrightarrow{P_{0}P_{1}} + \overrightarrow{P_{1}β(P_{1})} + \underbrace{\overrightarrow{β(P_{1})β(P_{0})}}_{φ(⟶_{P_{1}P_{0}})=φ( \frac{1}{2}v1) = −\frac{1}{2}v_{1}} \\ & = & −\frac{1}{2}v_{1} + w − \frac{1}{2}v_{1} = v_{0} \end{aligned}

β_{0} = τ_{v_{0}}^{−1} ∘ β (dann ist β = τ_{v_{0}} ∘ β_{0}) \overrightarrow{P_{0}β_{0}(P_{0})}=\overrightarrow{P_{0}β(P_{0})} + \overrightarrow{β(P_{0})β_{0}(P_{0})}= v_{0} − v_{0} = 0 also β_{0}(P_{0}) = P_{0}, dann \overrightarrow{β(P_{0})β_{0}(P_{0})}=\overrightarrow{β(P_{0})τ_{v_{0}}β(P_{0})}= −v_{0}

□

§4 KLASSIFIKATION DER QUADRIKEN 93

§4 Klassifikation der Quadriken

(A, V) sei affiner Raum, V sei K-Vektorraum, char K ≠ 2. S = (P_{0}, P_{1}, …, P_{n}) sei affines Koordinatensystem.

Definition (Quadrik)

a)  Q = {P ∈ A |v_{s}(P) = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ); ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} + ∑_{i=1}^{n} 2a_{i}x_{i} + a_{0} = n}

heißt Quadrik in A.

b) Zwei Quadriken Q, Q′ heißen affin äquivalent, wenn Q′ = α(Q) mit α ∈ AGL(A).

c) Ist (A, V, Φ) ein euklidischer Punktraum, so heißen Q, Q′ kongruent, wenn Q′ = β(Q) mit β ∈ B(A).

Zwei Betrachtungsweisen: Gegeben Quadrik Q:

(i) Suche eine affin äquivalente (kongruente) Quadrik Q′, die bezüglich des gleichen Koordinatensystems S eine einfache Gleichung hat.

(ii) Suche zu Q ein neues Koordinatensystem S′ (im euklidischen Fall stets cartesisch) so, daß die Gleichung für Q bezüglich S′ einfacher ist.

Die Gleichung in Definition a) kann man in inhomogenen Koordinaten μ_{S}(P) = (1, x_{1}, …, x_{n}) einfacher schreiben (ν_{S}(P))^{tr}A · ν_{S}(P) + 2[a_{1}, …, a_{n}]ν_{S}(P) + a_{0} = 0):

μ_{S}(P)^{tr} ( \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & ⋯ & a_{n} \\ a_{1} \\ ⋮ & & A \\ a_{n} \end{matrix} ) μ_{S}(P) = 0

Bemerkung

Man kann stets annehmen, daß A^{tr} = A, sonst ersetze a_{ij}, a_{ji} durch \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2} , \frac{a_{ji}+aij}{2} . α ∈ AGL(A) (bzw. α ∈ B(A) Bewegungsgruppe im euklidischen Fall) μ_{s}(α(P)) = T μ_{s}(P) mit

T = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ c_{1} \\ ⋮ & & T_{1} \\ c_{n} \end{matrix} ] mit T_{1} ∈ GL(n, K) bzw. T_{1} ∈ O(n, IR))

Q = {P |μ_{s}(P)^{tr}Aμ_{s}(P) = 0} mit

A = [ \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{n} \\ a_{1} \\ ⋮ & & A_{1} \\ a_{n} \end{matrix} ] mit A_{1} = A^{tr} ∈ K^{n×n}

Q = {α(P) | (T μ_{s}(P))^{tr}Aμ_{s}(α(P)) = 0}
= {α(P) | μ_{s}(P)^{tr}(T^{tr}AT) · μ_{s}(P) = 0}
α^{−1}(Q) = {P | μ_{s}(P)^{tr}(T^{tr}AT)μ_{s}(P) = 0}

Nebenrechnung

c = ( c_{1} ; ⋮ ; c_{n} ) a = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} )

T^{tr}AT = [ \begin{matrix}1 & c^{tr} \\ 0 & T_{1}^{tr} \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}a_{0} & a^{tr} \\ a & A_{1} \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 & 0 \\ c & T_{1} \end{matrix} ]
= [ \begin{matrix}1 & c^{tr} \\ 0 & T_{1}^{tr} \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}a_{0} + a^{tr}c & a^{tr}T_{1} \\ a + A_{1}c & A_{1}T_{1} \end{matrix} ]
= [ \begin{matrix}a′_{0} & a^{′tr} \\ a′ & T_{1}^{tr}A_{1}T_{1} \end{matrix} ]

mit a′_{0} = a_{0}x^{2}c + c^{tr}A_{1}c ∈ K und a′ = T_{1}^{tr}a + T_{1}^{tr}A_{1}c ∈ K^{n×1} Da charK ≠ 2 existiert T_{1} ∈ GL(n.K) mit

T_{1}^{tr}AT_{1} = Diag(d_{1}, … d_{r}, 0 … 0) mit d_{i} ≠ 0 Im euklidischen Fall gibt es nach Spektralsatz eine orthogonale Matrix T_{1} ∈ O(n, IR) (T_{1}^{tr} = T_{1}^{−1}) mit

T_{1}^{tr}AT_{1} = Diag(d_{1}, … d_{r}, 0 … 0), wobei d_{1}, … d_{r} Eigenwerte von A sind.

T′ = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & T_{1} \end{matrix} ]

A′ = T^{′tr}AT′ = [ \begin{matrix}a_{0} & b_{1} & … & b_{n} \\ b_{1} & d_{1} \\ b_{2} & & ... \\ ⋮ & & & d_{r} \\ b_{n−2} & & & & 0 \\ b_{n−1} & & & & & ... \\ b_{n−1} & & & & & & 0 \end{matrix} ]

neue Gleichung für die Quadriken: ∑_{i=1}^{r} d_{i}x_{i}^{2} + ∑_{i=1}^{n} 2b_{i}x_{i} + a_{0} = 0. Durch quadratische Ergänzung und Transformation mit

T′′ = [ \begin{matrix}1 & c^{′tr} \\ c′ & E_{n} \end{matrix} ] c′ = [−\frac{b_{1}}{d_{1}} , …, \frac{b_{r}}{d_{r}} , 0 … 0]^{tr}

erhält man:

A′′ = T^{′′tr}A′T′′ = [ \begin{matrix}a_{0} & 0 & … & 0 & b_{r} + 1 & … & b_{n} \\ 0 & d_{1} \\ ⋮ & & ... \\ 0 & & & d_{r} \\ b_{r+1} & & & & 0 \\ ⋮ & & & & & ... \\ b_{n} & & & & & & 0 \end{matrix} ]

Ist ein b_{s} ≠ 0, s ∈ \{r + 1, … n\}, so kann man x_{s} → x_{s} = \frac{a′_{0}}{b_{s}} annehmen, so daß a′_{0} = 0 und man findet c ∈ GL(n − r, K), bzw. c ∈ O(n − r, IR) mit

c^{tr} \underbrace{( b_{r+1} ; ⋮ ; b_{n} )}_{≠0} = ( b ; 0 ; ⋮ ; 0 ) mit b ∈ K; b ≠ 0; b^{2} = ∑_{i=r+1}^{n} b_{i}^{2}

T′′′ = [ 1 0 … 0 ; 0 E_{r} ; ⋮ ; 0 c ]

T^{′′′tr}A′′T′′′ = [ \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & b 0 & … & 0 \\ 0 & d_{1} \\ ⋮ & & ... & & & 0 \\ 0 & & & d_{r} \\ b \\ 0 \\ ⋮ & & 0 & & & c \\ 0 \end{matrix} ]

Satz 1 (Normalform der Quadriken)

Ist charK ≠ 2, so ist jede Quadrik im n-dimensionalen affinen Raum affin äquivalent (falls K = IR und A euklidischer Punktraum sogar kongruent) zu einer Quadrik mit Gleichung

a) ∑_{i=1}^{r} d_{i}x_{i}^{2} = \{ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} , oder

b) ∑_{i=1}^{r} d_{i}x_{i}^{2} = 2x_{r+1}, r > n

Falls K = IR ist jede Quadrik in A affin äquivalent zu einer mit Gleichung a) oder b), wobei alle d_{1} ∈ {1, −1} sind.

Beispiel nicht leere Quadriken im 2-dimensionalen Punktraum:

a) x_{1}^{2} = 0 Gerade x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0 Punkt (d_{1}^{2}x_{1}^{2} + d_{2}^{2}x_{2}^{2} = 0) d_{1}^{2}x_{1}^{2} − d_{2}^{2}x_{2}^{2} = 0 Paar sich schneidender Geraden d_{i} ≠ 0, d_{1}^{2}x_{1}^{2} = 1 Paar paralleler Geraden (d_{1}x_{1} − 1)(d_{1}x_{1} + 1) = 0 d_{1}^{2}x_{1}^{2} + d_{2}^{2}x_{2}^{2} = 1 Ellipse (falls d_{1} = d_{2} ⇒ Kreis) d_{1}^{2}x_{1}^{2} − d_{2}^{2}x_{2}^{2} = 1 Hyperbel

b) d_{1}x_{1}^{2} = 2x_{2} Parabel

Beispiel Ellipse ist das affine Bild eines Kreises, sie hat zwei Hauptachsen Aufgabe: Konstruiere Tangente an Ellipse in P′

Beispiel Sei A ein Euklidischer Punktraum und

3x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 4\sqrt{2}x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3} − 12x_{1} − 6\sqrt{2}x_{2} + 6\sqrt{2}x_{3} = 1, dann ergibt sich dazu die Matrix:

A = [ \begin{matrix}−1 & 6 & −3\sqrt{2} & 3\sqrt{2} \\ 6 & 3 & 0 & 2\sqrt{2} \\ −3\sqrt{2} & 0 & 3 & −1 \\ 3\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & −1 & 3 \end{matrix} ]

§4 KLASSIFIKATION DER QUADRIKEN 97

Abbildung 4.2: Tangete an eine Ellipse

Es ist dann det(XE_{3} − A_{1}) = det [ \begin{matrix}x − 3 & 0 & −2\sqrt{2} \\ 0 & x − 3 & 1 \\ −2\sqrt{2} & 1 & x − 3 \end{matrix} ] = (x − 3)(x − 6)x

Also ergibt sich für die normierten Eigenvektoren:

v_{t=3} = \frac{1}{3} [ \begin{matrix}1 \\ 2\sqrt{2} \\ 0 \end{matrix} ]; v_{t=6} = \frac{1}{3\sqrt{2}} [ \begin{matrix}−2\sqrt{2} \\ 1 \\ −3 \end{matrix} ]; v_{t=0} = \frac{1}{3\sqrt{2}} [ \begin{matrix}−2\sqrt{2} \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ]

Setze dann T′ = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & −\frac{2}{3} & −\frac{2}{3} \\ 0 & \sqrt[\frac{2}{3}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \end{matrix} ] dann ist T′ orthogonal und es gilt:

T^{′tr}AT′ = [ \begin{matrix}−1 & −6 & 0 & 6 \\ −6 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

mit neuen Koordinaten: 3y_{1}^{2} + 6y_{2}^{2} − 12y_{1} + 12y_{3} = 1. Durch Umformen erhält man:

3(\underbrace{y_{1} − 2}_{z_{1}})^{2} + 6\underbrace{y_{2}}_{z_{2}}^{2} + 12(\underbrace{y_{3} − \frac{13}{12}}_{z_{3}}) = 0

Also ergibt sich in den neuen Koordinaten 3z_{1}^{2}+6z_{2}^{2}+12z_{3} = 0 und somit \frac{z_{1}^{2}}{2} +z_{2}^{2}+2z_{3} = 0 als Normalform eines parabolischen Ellipsoids

Abbildung 4.3: parabolisches Ellipsoid

§5 Homogene Koordinaten, Satz von Desargues

Sei (A, V) affiner Punktraum, S = (P_{0}, …, P_{n}) affines Koordinatensystem, P ∈ A mit

\overrightarrow{P_{0}P}= ∑_{i=1}^{n} x_{i} \overrightarrow{P_{0}P_{i}} und μ_{s}(P) = [ 1 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] Koordinatenvektor von P.

Definition (homogene Koordinaten)

z ∈ K^{(n−1)×1} heißt homogener Koordinatenvektor von P bezüglich S, wenn

⟨z⟩ = ⟨μ_{s}(P)⟩

beachte z ist nur bis auf ein skalares Vielfaches ≠ 0 eindeutig bestimmt.

Beispiel Die Gleichung einer Quadrik in inhomogenen Koordinaten lautet:

∑ a_{ij}x_{i}x_{j} + ∑ a_{i}x_{i} + a_{0} = 0. Setze dann z_{i} = \frac{x_{i}}{x_{0}} , dann ergibt sich ∑_{i,j=0}^{n} a_{ij}z_{i}z_{j} = 0 mit

a_{i0} = a_{01} = a_{i} in homogenen Koordinaten. Seien nun P ≠ Q ∈ A, R ∈ A liegt auf der Geraden g(P, Q) genau dann, wenn \overrightarrow{P R}= t \overrightarrow{P Q} mit t ∈ K §5 HOMOGENE KOORDINATEN, SATZ VON DESARGUES 99

Seien nun ⟨μ_{s}(P)⟩ = ⟨x⟩ und ⟨μ_{s}(Q)⟩ = ⟨y⟩ und ⟨μ_{s}(R)⟩ = ⟨z⟩, dann folgt dann für alle i ∈ 1, …, n:

\frac{z_{i}}{z_{0}} − \frac{x_{i}}{x_{0}} = t(\frac{y_{i}}{x_{0}} − \frac{x_{i}}{x_{0}} )
⇔ z_{i}  = t\frac{z_{0}}{y_{0}} y_{i} + (1 − t)\frac{z_{0}}{x_{0}} x_{i}
⇔ z ∈ ⟨y, x⟩

Also gilt das folgende Lemma:

Lemma (Geradenbedingung)

Seien P, Q, R paarweise verschiedene Punkte in A, dann liegt R genau dann auf der Geraden g(P, Q), wenn es zu vorgegebenem homogenen Koordinatenvektor z von R homogene Koordinatenvektoren x, y ∈ K^{(n+1)×1} von P und Q gibt, mit z = x + y.

Beweis:

Dies folgt sofort aus der obigen Betrachtung.

□

Bemerkung

Sei n = 2 und (A, V) 2-dimensionaler affiner Raum und seien P ≠ Q und P′ ≠ Q′ in A mit homogenen Koordinatenvektoren x, y, x′, y′ ∈ K^{3×1}. Gilt nun g(P, Q) ≠ g(P′, Q′), dann folgt P′ ∉ g(P, Q) oder Q′ ∉ g(P, Q)

Also gilt x′ ∉ ⟨x, y⟩ oder y′ ∉ ⟨x, y⟩

Also gilt wegen dem Dimensionssatz ⟨x, y⟩ ∩ ⟨x′, y′⟩ = ⟨z⟩ mit z ≠ 0:

\underbrace{⟨x, y⟩}_{dim 2} + \underbrace{⟨x′, y′⟩}_{dim 2} = K^{3×1}

Dann unterscheide 2 Fälle:

(i) z_{0} ≠ 0, dann ist z homogener Koordinatenvektor von R ∈ A.

Also ist R ∈ g(P, Q) ∩ g(P′, Q′)

(ii) z_{0} = 0, dann ist z kein homogener Koordinatenvektor eines Punktes aus A, also haben g(P, Q) und g(P′, Q′) keinen Schnittpunkt, sind also parallel.

Abbildung 4.4: Satz von Desargues

Satz von Desargues

Sei dim A = 2 (affine Ebene) und P_{0} ∈ A Schnittpunkt von 3 verschiedenen Geraden g(P_{1}, Q_{1}), g(P_{2}, Q_{2}), g(P_{3}, Q_{3}). Seien dann noch Z_{i} die Schnittpunkte von g(P_{j}, P_{k}) und g(Q_{j}, Q_{k}) mit i, j, k = 1, 2, 3. Dabei sollen alle so erhaltenen Punkte verschieden sein. Dann liegen Z_{1}, Z_{2}, Z_{3} auf einer Geraden.

Beweis:

x^{(i)} ∈ K^{3×1} sie homogener koordinatenvektor von P_{i}, i = 0, 1, 2, 3, 3 und ebenso y^{(i)} ∈ K^{3×1} homogener Koordinatenvektor von Q_{i}. Dann gilt nach Voraussetzung und Lemma: x^{(0)} = x^{(j)} + y^{(j)} für j = 1, 2, 3. Setze dann

z^{(3)} = x^{(1)} − x^{(2)} = y^{(2)} − y^{(1)} ∈ ⟨x^{(1)}, x^{(2)}⟩ ∩ ⟨y^{(1)}, y^{(2)}⟩

als homogenen Koordinatenvektor von Z_{3} (der existiert nach Voraussetung). Ebenso erhält man:

z^{(1)} = x^{(2)} − x^{(3)} = y^{(3)} − y^{(2)} ∈ ⟨x^{(2)}, x^{(3)}⟩ ∩ ⟨y^{(2)}, y^{(3)}⟩

und

z^{(2)} = x^{(3)} − x^{(1)} = y^{(1)} − y^{(3)} ∈ ⟨x^{(1)}, x^{(3)}⟩ ∩ ⟨y^{(1)}, y^{(3)}⟩

Nach Voraussetzung sind z^{(i)} homogene Koordinatenvektoren von Z_{i}. Nun gilt

z^{(1)} + z^{(2)} = x^{(2)} − x^{(1)} = −z^{(3)} ∈ ⟨z^{(1)}, z^{(2)}⟩

Also gilt Z_{3} ∈ g(Z_{1}, Z_{2}) nach Lemma.

□

§6 PROJEKTIVE RÄUME UND EBENEN 101

Abbildung 4.5: Zusatz zum Satz von Desargues

Zusatz zum Satz von Desargues

Setzt man nicht die Existenz der Schnittpunkte Z_{i} voraus, sondern, daß g(P_{2}, P_{3}) ∥ g(Q_{2}, Q_{3}) ∧ g(P_{1}, P_{3}) ∥ g(Q_{1}, Q_{3}), so erhält man im Beweis wegen z_{0}^{(1)} = z_{0}^{(2)} = 0 auch z_{0}^{(3)} = 0. Also gilt dann auch g(P_{1}, P_{2}) ∥ g(Q_{1}, Q_{2}) Eine entsprechende Variante erhält man, wenn P_{0} nicht existiert.

§6 Projektive Räume und Ebenen

Definition (projektiver Raum)

Sei V (n + 1)-dimensionaler K-Vektorraum, dann heißt

P (V) = {⟨v⟩ |v ∈ V, v ≠ 0} dim P (V) = n

projektiver Raum über V. Ist U Teilraum von V und dim U = r + 1, dann heißt

{⟨v⟩ |v ∈ U\{0}}

r-dimensionaler projektiver Unterraum.

102 KAPITEL 4. AFFINE UND PROJEKTIVE RÄUME Bemerkung

\begin{matrix}A_{0} = \{[ \begin{matrix}1 \\ x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ]| x_{i} ∈ K\} & ↪ ^{1} & P (K^{n+1}) \\ x & ↦ & ⟨x⟩ \end{matrix}

Die ⟨v⟩ ∈ P (K^{n+1})\φ_{0}(A_{0}) heißen uneigentliche Punkte von A_{0}.

\begin{matrix}A_{0} ≅ A_{i} = \{[ \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ]| x_{i} = 1\} & ↪ & P (K^{n+1}) \\ φ_{i}: x & ↦ & ⟨x⟩ \end{matrix}

Eine andere Einbettung bedeutet andere uneigentliche Punkte. Beispiel

1) n = 1; K = IR

P (IR^{2}) = φ_{0}(A_{0}) ∪ \{⟨[ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ]⟩\}

2) n = 2; K = IR

P (IR^{3}) = φ_{0}(A_{0}) ∪ \underbrace{\{\left⟨{\underbrace{( \begin{matrix}0 \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )} \atop ≠\underline{0}}\right⟩ | x_{i} ∈ K\}}_{uneigentliche Gerade} 2 verschiedene Geraden haben in

P (IR^{3}) einen Schnittpunkt ⟨x, y⟩ ∩ ⟨x′, y′⟩ = ⟨z⟩. 2’) Ellipse in

A_{0} = \{[ \begin{matrix}1 \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ]| x_{0} = 1 ∧ (\frac{x_{1}}{x_{0}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{x_{0}} )^{2} = 1\}
= \{[ \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ]| x_{0} = 1 ∧ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{0}^{2}\}

1diese Zeichen bedeutet Einbettung

Abbildung 4.6: Ellipse im dreidimensionalen Raum

Kegel

K = \{⟨[ \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ]⟩| x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{0}^{2}\}

A_{1}: x_{1} = 1 \{⟨[ \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ]⟩ ∩ A_{1}| x_{0}^{2} − x_{1}^{2} = 1\} ist eine Hyperbel.
A_{3}: x_{1} − x_{0} = 1 \{⟨[ \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ]⟩ ∩ A_{3}| x_{1} + x_{0} + x_{2}^{2} = 0\} ist eine Parabel.

Somit lassen sich also alle Quadriken durch Kegelschnitte erzeugen.

3) n = 3; K = ZZ_{2} |P (ZZ_{2}^{3})| = 7

Satz 1 (Eigenschaften der Geraden)

Ist P = P (V) ein 2-dimensionaler projektiver Raum, dann gilt:

(a) zu ⟨v⟩ , ⟨w⟩ ∈ P gibt es genua eine Gerade g = ⟨v, w⟩ mit ⟨v⟩ , ⟨w⟩ ∈ g.

(b) Je 2 Geraden haben genau einen Schnittpunkt.

(c) Jede Gerade enthält mindestens 3 Punkte.

Abbildung 4.7: projektiver Raum zu ZZ_{2}^{3}

Beweis:

Eigenschaften der projektiven Räume und Dimensionssatz aus LA I

□

Definition (projektive Ebene)

Eine Menge P (von Punkten) zusammen mit einer Menge G (von Geraden), wobei jedes g ∈ G eine nichtleere Teilmenge von P ist, heißt projektive Ebene, wenn (a),(b),(c) aus Satz 1 gelten.

Bemerkung K Körper mit q Elementen

|P (K^{3})| = \frac{q^{3} − 1}{q − 1} = q^{2} + q + 1

Jede projektive Gerade g ∈ P (K^{3}) hat

\frac{q^{2} − 1}{q − 1} = q + 1

Punkte.

Satz 2 (Ordnung der projektiven Ebene)

Ist (P, G) eine endliche projektive Ebene, so hat jede Gerade g ∈ G genau gleich viele Elemente, etwa r + 1, und |P | = r^{2} + r + 1. r heißt Ordnung der projektiven Ebene.

Beweis:

Seien g_{1}, g_{2} ∈ G; g_{1} ≠ g_{2} zu zeigen: |g_{1}| = |g_{2}|

X ↦ g(X, P) ∩ g_{2} ist Bijektion
g_{1} → g_{2}

durch P gehen genau |g_{1}| = r + 1 Geraden, also

|P | = |r + 1| · r + 1 = r^{2} + r + 1
□

Satz 3

Ist (P, G) eine beliebige, endliche projektive Ebene, in der der Satz von Desargues gilt, dann gibt es einen Körper K mit |K| = q (= p^{r}, p Primzahl), sodaß P ≅ P (K^{3}) ist.

Bemerkung

(i) Es gibt auch projektive Ebenen (P, G), in denen der Satz von Desargues nicht gilt.

(ii) Es ist aber nicht bekannt, ob es eine projektive Ebene (P, G) mit Ordnung r gibt, wobei r keine Primzahlpotenz ist.

(iii) Es gibt keine projektive Ebene der Ordnung 6.

(iv) Es gibt auch keine projektive Ebene der Ordnung 10 (Computerbeweis).

to be continued...

106 KAPITEL 4. AFFINE UND PROJEKTIVE RÄUME

Anhang A

Übungsaufgaben

Aufgabe 1 Es sei V = IR^{3×1} und B eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ].

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ.

(b) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.)

(c) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ.

(d) Ist Φ positiv definit? (Begründung.)

(e) Berechnen Sie den Rang und die Signatur von Φ.

Aufgabe 2 Es sei V = IR^{n×n} und Φ: V × V → IR definiert durch

Φ(A, B) = n · Spur(A · B) − Spur(A) · Spur(B) für A, B ∈ V.

Zeigen Sie:

(a) Φ ist eine ausgeartete symmetrische Bilinearform; geben Sie das Radikal von Φ an.

(b) Es sei T der Teilraum von V, bestehend aus den Matrizen mit Spur 0; dann ist die Einschränkung Φ_{0} von Φ auf T × T nicht ausgeartet.

(c) Bestimmen Sie Rang und Signatur von Φ.

Hinweis: Sei T_{1} := {A ∈ T | A^{tr} = −A}; zeigen Sie, daß Φ(A, A) < 0 für alle 0 ≠ A ∈ T_{1} gilt.

108 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN

Aufgabe 3 Es sei S(n) = \{A ∈ C^{n×n} | \overline{A} = −A^{tr}\}.

(a) Zeigen Sie, daß S(n) ein IR-Vektorraum ist.

(b) Welche Dimension hat S(n) als IR-Vektorraum?

Aufgabe 4

(a) Es sei Φ ein Skalarprodukt auf V = IR^{3×1} mit [Φ]_{S} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ], wobei S die Standardbasis von V ist. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V für Φ.

(b) Beschreiben Sie \{[ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] ∈ IR^{3×1} | x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} = 1\} geometrisch (in einem geeigneten Koordinatensystem).

Aufgabe 5 Es sei V ≤ Abb(IR, IR) der Vektorraum der auf IR integrierbaren Funktionen und Φ : V × V → IR definiert durch

Φ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(x)g(x)dx für f, g ∈ V,

und es sei p ∈ V mit p(x) = 2x^{4} + x^{5} für alle x ∈ IR. Berechnen Sie eine bezüglich Φ beste Approximation von p durch eine Polynomfunktion vom Grad kleiner gleich 3.

Aufgabe 6 V und W seien endlich-dimensionale K-Vektorräume, und φ: V → W sei linear. Wir definieren

trφ : W^{∗} → V^{∗}, λ ↦ λ ∘ φ

(wobei V^{∗} und W^{∗} die Dualräume von V bzw. W sind). Zeigen Sie:

(a) ^{tr}φ ist linear.

(b) φ ist surjektiv (bzw. injektiv) genau dann, wenn ^{tr}φ injektiv (bzw. surjektiv) ist.

(c) Sind B und C Basen von V bzw. W und B^{∗} und C^{∗} die dazu dualen Basen von

V^{∗} bzw. W^{∗}, dann ist

B^{∗} [^{tr}φ]_{C^{∗}} = _{C} [φ]_{B}^{tr} .

Aufgabe 7

Auf einem Q-Vektorraum V mit Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) sei eine symmetrische Bilinearform Φ gegeben durch

Φ(v_{i}, v_{j}) := \{ \begin{matrix}1 & für i = j, \\ −\frac{1}{2} & für i = j − 1 oder i = j + 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Zeigen Sie, daß Φ positiv definit ist.

Aufgabe 8

Es sei V ein C-Vektorraum und Ψ: V × V → C eine Sesquilinearform. Zeigen Sie: Ist Ψ(v, v) = 0 für alle v ∈ V, so ist Ψ(v, w) = 0 für alle v, w ∈ V.

Aufgabe 9

Eine Matrix A ∈ IR^{n×n} heißt positiv definit, wenn A^{tr} = A und wenn x^{tr}Ax > 0 ist für alle x ∈ IR^{n×1} \ {0}. Zeigen Sie:

(a) Ist P ∈ GL(n, IR), so ist A := P P^{tr} positiv definit.

(b) Ist A positiv definit, so gibt es eine untere Dreiecksmatrix P mit A = P P^{tr}. Hinweis: Denken Sie an das Gram-Schmidt-Verfahren, und überlegen Sie sich, daß das Inverse einer unteren Dreiecksmatrix auch eine untere Dreiecksmatrix ist.

Aufgabe 10

Zeigen Sie: Für jede Matrix A ∈ C^{m×n} ist RgA = Rg\overline{A}.

Aufgabe 11

Es sei V ein endlich-dimensionaler IR-Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt Φ, und es sei B eine Orthonormalbasis von V bzgl. Φ. Eine lineare Abbildung φ: V → V heißt antisymmetrisch, wenn φ^{∗} = −φ gilt (wobei φ^{∗} die zu φ adjungierte Abbildung bezeichnet). Zeigen Sie:

(a) Es sei A = _{B}[φ]_{B}. Genau dann ist φ antisymmetrisch, wenn A^{tr} = −A gilt.

(b) Genau dann ist φ antisymmetrisch, wenn Φ(x, φ(x)) = 0 für alle x ∈ V gilt.

(c) Jede lineare Abbildung φ : V → V läßt sich in eindeutiger Weise in der Form φ = φ_{S} + φ_{A} schreiben, wobei φ_{S} symmetrisch und φ_{A} antisymmetrisch ist.

(d) Ist dim V = 2 und φ: V → V antisymmetrisch, so ist _{B}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}0 & x \\ −x & 0 \end{matrix} ] für ein

x ∈ IR.

110 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 12 Es sei V ein n-dimensionaler C-Vektorraum mit Basis B, und es sei Φ: V × V → C eine hermitesche Form auf V mit [Φ]_{B} = A = [a_{ij}] ∈ C^{n×n}. Für 1 ≤ k ≤ n sei

d_{k} = det [ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{k1} & … & a_{kk} \end{matrix} ] .

Zeigen Sie:

(a) Genau dann ist Φ positiv definit, wenn d_{k} > 0 für k = 1, …, n gilt.

(b) Genau dann ist Φ negativ definit, wenn (−1)^{k}d_{k} > 0 für k = 1, …, n gilt.

Aufgabe 13 Es sei V = IR^{3×1}, φ: V → V linear und B eine Basis von V mit

B[φ]_{B} = A = [ \begin{matrix}1 & −2 & −1 \\ −2 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ] .

(a) Ist φ diagonalisierbar?

(b) Es sei Φ : V × V → IR ein Skalarprodukt auf V mit [Φ]_{B} = A. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bzgl. Φ.

(c) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P ∈ IR^{3×3}, so daß P^{−1}AP Diagonalgestalt hat.

(d) Geben Sie für a = 0 und a = 1 jeweils eine geometrische Interpretation der folgenden Menge Q_{a} an:

Q_{a} := \{[ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] ∈ IR^{3×1} | x^{2} − 4xy − 2xz + y^{2} − 2yz + \frac{5}{2}z^{2} = a\}.

Aufgabe 14

Bestimmen Sie eine unitäre Matrix P ∈ C^{3×3}, so daß P^{−1} [ \begin{matrix}1 & i & 0 \\ −i & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] P eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe 15

(a) Es sei (V, Φ) ein 2-dimensionaler euklidischer Raum, B eine beliebige Orthonormalbasis von V und φ ∈ O(V, Φ). Zeigen Sie, daß

B[φ]_{B} = [ \begin{matrix}cos ϑ & − sin ϑ \\ sin ϑ & cos ϑ \end{matrix} ] oder _{B}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}cos ϑ & sin ϑ \\ sin ϑ & − cos ϑ \end{matrix} ] mit 0 ≤ ϑ < 2π.

Geben Sie für jeden der beiden Fälle eine geometrische Interpretation.

(b) Es sei V ein 2-dimensionaler IR-Vektorraum, B eine Basis von V, Φ : V × V → IR

eine Bilinearform auf V mit [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] und φ ∈ O(V, Φ). Zeigen Sie, daß

B[φ]_{B} = [ \begin{matrix}cosh ϑ & sinh ϑ \\ sinh ϑ & cosh ϑ \end{matrix} ] oder _{B}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}cosh ϑ & − sinh ϑ \\ sinh ϑ & − cosh ϑ \end{matrix} ] oder

B[φ]_{B} = [ \begin{matrix}− cosh ϑ & sinh ϑ \\ sinh ϑ & − cosh ϑ \end{matrix} ] oder _{B}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}− cosh ϑ & − sinh ϑ \\ sinh ϑ & cosh ϑ \end{matrix} ] mit ϑ ∈ IR.

(Dabei ist cosh ϑ = \frac{1}{2}(e^{ϑ} + e^{−ϑ}) und sinh ϑ = \frac{1}{2}(e^{ϑ} − e^{−ϑ}). Zu jedem a ∈ IR gibt es genau ein ϑ ∈ IR mit sinh ϑ = a.) Geben Sie eine geometrische Interpretation.

Aufgabe 16

Es sei K ein Körper mit char K ≠ 2 und V ein K-Vektorraum der Dimension n. Weiter sei Φ : V × V → K eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform und φ: V → V eine beliebige (nicht als linear vorausgesetzte) Abbildung mit

Φ(φ(v), φ(w)) = Φ(v, w) für alle v, w ∈ V.

Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V, so daß (φ(v_{1}), …, φ(v_{n})) ebenfalls eine Basis von V ist.

(b) φ ist linear und eine Isometrie von (V, Φ).

Aufgabe 17

(a) Bestimmen Sie eine Matrix X ∈ IR^{3×3} mit X^{2} = [ \begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ].

(b) Bestimmen Sie eine symmetrische, positiv definite Matrix A ∈ IR^{3×3} und eine

orthogonale Matrix B ∈ IR^{3×3} mit AB = \frac{1}{3} [ \begin{matrix}2 & 6 & 1 \\ 1 & −6 & 2 \\ 2 & −3 & −2 \end{matrix} ].

Aufgabe 18

Es sei (V, Φ) ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Raum und G eine endliche Gruppe, deren Elemente lineare Abbildungen von V nach V sind. Zeigen Sie:

(a) Durch

Φ′(v, w) := ∑_{φ∈G} Φ(φ(v), φ(w)), v, w ∈ V,

wird wiederum ein Skalarprodukt auf V definiert, und es gilt: Φ′(φ(v), φ(w)) = Φ′(v, w) für alle v, w ∈ V und φ ∈ G.

(b) Ist U ein Teilraum von V mit φ(U) ⊆ U für alle φ ∈ G, so gilt auch φ(U^{⊥}) ⊆ U^{⊥} für alle φ ∈ G, wobei U^{⊥} der Orthogonalraum von U bezüglich Φ′ ist.

(c) Es gibt eine Basis B von V, so daß _{B}[φ]_{B} für alle φ ∈ G eine orthogonale bzw. unitäre Matrix ist.

Aufgabe 19

Geben Sie alle irreduziblen Polynome vom Grad ≤ 4 in ZZ_{2}[X] an.

Aufgabe 20

Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe des euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler d der Elemente a und b des Ringes R, und stellen Sie d als Linearkombination von a und b dar:

(a) für den Fall R = ZZ, a = 12 417 233 und b = 12 422 731,

(b) für den Fall R = ZZ_{2}[X], a = X^{10} + X^{6} + X^{4} und b = X^{12} + X^{2} + X + 1.

Aufgabe 21

Es sei K ein Körper und f = X^{n} +a_{n−1}X^{n−1} +…+a_{1}X +a_{0} ∈ K[X]. Die Begleitmatrix

A_{f} = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} zu f ist definiert durch a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j + 1, \\ −a_{i−1} & für j = n, \\ 0 & sonst. \end{matrix} Zeigen Sie:

(a) Die charakteristische Matrix zu A_{f} ist äquivalent zur n × n-Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen 1, …, 1, f (wobei n − 1 Einsen vorkommen),

(b) f ist das charakteristische Polynom von A_{f},

(c) f ist das Minimalpolynom von A_{f}.

Aufgabe 22 Es sei R ein euklidischer Ring, und es seien a, b, d, v ∈ R mit a ≠ 0, b ≠ 0, d ∈ ggT(a, b) und v = \frac{ab}{d}. Zeigen Sie: Die Matrizen A = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] und A′ = [ \begin{matrix}d & 0 \\ 0 & v \end{matrix} ] sind äquivalent. Geben Sie Matrizen P, Q ∈ GL(2, R) an, so daß P AQ = A′ gilt.

Aufgabe 23 Bestimmen Sie die Invariantenteiler der folgenden Matrizen A über dem jeweils angegebenen Ring R:

(a) A = [ \begin{matrix}4 & −1 & 5 & 3 & 6 \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 6 & 12 & 0 & 0 \\ 2 & −1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] über R = ZZ,

(b) A = [ \begin{matrix}1 + X & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + X & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 + X & 1 \\ 1 & 0 & 0 & X \end{matrix} ] über R = ZZ_{2}[X].

Aufgabe 24 Es seien K und L Körper mit K ≤ L, und es seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Dann kann man A und A′ auch als Elemente von L^{n×n} auffassen. Zeigen Sie: Wenn es eine invertierbare Matrix P ∈ L^{n×n} gibt mit A′ = P^{−1}AP, so gibt es auch eine invertierbare Matrix Q ∈ K^{n×n} mit A′ = Q^{−1}AQ.

Aufgabe 25

Berechnen Sie für A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ Q^{3×3} die rationale kanonische Form A′ und eine invertierbare Matrix P mit P^{−1}AP = A′.

Aufgabe 26 Wie viele Klassen ähnlicher Matrizen gibt es

(a) in ZZ_{2}^{2×2},

(b) in GL(3, ZZ_{2}) ?

Aufgabe 27

Es sei K ein Körper.

(a) Zeigen Sie: Für 1 ≤ n ≤ 3 sind A, B ∈ K^{n×n} genau dann ähnlich, wenn die charakteristischen Polynome χ_{A} und χ_{B} sowie die Minimalpolynome μ_{A} und μ_{B} übereinstimmen.

(b) Gilt das auch für n = 4?

Aufgabe 28

Berechnen Sie für die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ZZ_{2}^{5×5}

(a) die rationale kanonische Form,

(b) das charakteristische Polynom,

(c) das Minimalpolynom,

(d) die Weierstraßsche Normalform,

(e) falls sie existiert, die Jordansche Normalform.

Aufgabe 29

Für U = ⟨[ \begin{matrix}3 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ]⟩_{ZZ} ∈ ZZ^{2×1} seien die Restklassen a = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]+U und b = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ]+U

gegeben. Bestimmen Sie für x = a bzw. x = b jeweils die kleinste natürliche Zahl k ∈ ZZ mit k·x = 0+U. Skizzieren Sie Vertreter x_{i} ∈ ZZ^{2×1} mit ZZ^{2×1}/U = {x_{i} +U | 1 ≤ i ≤ 6}, wobei x_{i} + U = i · a ist.

Aufgabe 30

Gegeben seien die beiden Untermoduln

U_{1} = ⟨[ \begin{matrix}−37 \\ 16 \\ 18 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}14 \\ −4 \\ −6 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−12 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} ]⟩_{ZZ} und U_{2} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−2 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ]⟩_{ZZ}

des freien ZZ-Moduls M = ZZ^{3×1}. Zeigen Sie, daß U_{1} ≠ U_{2}, aber M/U_{1} ≅ M/U_{2} gilt.

Aufgabe 31

Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnungen 123, 124, 125, 126 und 127.

Aufgabe 32

Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ EndV. Zeigen Sie:

(a) Es sei R = K[X]. Dann wird V durch die Definition f ·v := f(φ)(v) (v ∈ V, f ∈ R) zu einem endlich erzeugten R-Modul, der mit V_{φ} bezeichnet werde.

(b) Die R-Untermoduln von V_{φ} sind genau die φ-invarianten Teilräume von V. Für v ∈ V ist R · v ein φ-zyklischer Teilraum von V (das heißt, R · v hat eine Basis der Form (w, φ(w), …, φ^{m−1}(w)) für ein w ∈ R · v und m ∈ IN).

(c) Ist auch ψ ∈ EndV, so gilt V_{φ} ≅_{R} V_{ψ} (das heißt, V_{φ} und V_{ψ} sind als R-Moduln isomorph) genau dann, wenn es einen Automorphismus σ ∈ EndV gibt mit ψ = σ^{−1}φσ.

(d) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und A = _{B}[φ]_{B} ∈ K^{n×n}, so gilt

V_{φ} ≅_{R} R^{n×1} SM(XE_{n} − A).

Aufgabe 33

Prüfen Sie:

(a) Gibt es eine lineare Abbildung φ : IR^{2} ⊗ IR^{2} → IR^{2} mit φ(v ⊗ w) = v + w für alle v, w ∈ IR^{2} ?

(b) Gibt es eine lineare Abbildung φ : IR^{2}⊗IR^{2} → IR mit φ(v⊗w) = v_{1}w_{1}+v_{1}w_{2}−2v_{2}w_{2} für alle v = (v_{1}, v_{2}), w = (w_{1}, w_{2}) ∈ IR^{2} ?

Aufgabe 34

Es seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume und V^{∗} der Dualraum von V.

(a) Für w ∈ W und λ ∈ V^{∗} sei φ_{w,λ} : V → W definiert durch φ_{w,λ}(v) = λ(v) · w (v ∈ V). Zeigen Sie: φ_{w,λ} ist linear, d. h., φ_{w,λ} ∈ Hom(V, W).

(b) Zeigen Sie: Die Abbildung φ: W × V^{∗} → Hom(V, W), definiert durch φ((w, λ)) = φ_{w,λ}, ist bilinear.

(c) Konstruieren Sie einen natürlichen Isomorphismus zwischen W ⊗ V^{∗} und Hom(V, W).

Aufgabe 35

Es sei K ein Körper und A ∈ K^{m×n} mit Rang(A) = r. Zeigen Sie: Es gibt Vektoren v_{i} ∈ K^{m}, w_{i} ∈ K^{n} (1 ≤ i ≤ r) mit A = ∑_{i=1}^{r} v_{i} · w_{i}^{tr}.

Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Spezialfall A = (a_{ij}) mit a_{ii} = 1 für i = 1, …, r und a_{ij} = 0 sonst.

Aufgabe 36 Zeigen Sie: Sind m, n ∈ IN und ist d ∈ ggT(m, n), so sind die folgenden Moduln als ZZ-Moduln isomorph.

(a) ZZ_{m} ⊗ ZZ_{n} ≅ ZZ_{d},

(b) ZZ ⊗ ZZ_{n} ≅ ZZ_{n},

(c) Q ⊗ ZZ_{n} ≅ {0}.

Aufgabe 37 Es sei V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:

(a) v_{1}, …, v_{r} ∈ V sind linear unabhängig genau dann, wenn v_{1} ∧ … ∧ v_{r} ≠ 0 gilt.

(b) Ist v ∈ V, so gibt es genau eine lineare Abbildung φ: ⋀^{r} V → ⋀^{r+1} V mit

φ(v_{1} ∧ … ∧ v_{r}) = v_{1} ∧ … ∧ v_{r} ∧ v

für alle v_{i} ∈ V.

(c) Ist

∑ a_{i_{1}...i_{r}}w_{i_{1}} ∧ … ∧ w_{i_{r}} = ∑ b_{j_{1}...j_{r}}u_{j_{1}} ∧ … ∧ u_{j_{r}}

in ⋀^{r} V, und ist v ∈ V, so folgt

∑ a_{i_{1}...i_{r}}w_{i_{1}} ∧ … ∧ w_{i_{r}} ∧ v = ∑ b_{j_{1}...j_{r}}u_{j_{1}} ∧ … ∧ u_{j_{r}} ∧ v

in ⋀^{r+1} V.

(d) Bestimmen Sie jeweils die Plückerkoordinaten der Teilräume

T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−3 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}4 \\ −2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ −1 \\ √ & \overline{5} \\ 1 \end{matrix} ]⟩

von IR^{4×1} (mit Standardbasis B).

Aufgabe 38 Es sei V = IR^{3×1} und W = C^{3×1}. Dann können wir V als Teilmenge von W auffassen, und für jeden C-Teilraum U von W ist dann U ∩ V ein IR-Teilraum von V. Bestimmen Sie eine IR-Basis für U ∩ V in den beiden Fällen

(a) U = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ i \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−i \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ]⟩, (b) U = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ i \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}i \\ 1 \\ i \end{matrix} ]⟩.

Aufgabe 39

Es sei V ein n-dimensionaler C-Vektorraum und φ ∈ End(V). Zeigen Sie: Ist (t_{1}, …, t_{n}) eine Folge von Eigenwerten von φ, in der jeder Eigenwert von φ höchstens so oft vorkommt, wie seine geometrische Vielfachheit angibt, so ist t_{1} ⋯ t_{r} ein Eigenwert von ⋀^{r} φ.

118 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN

Anhang B

Semesterklausur zu LA II

Semesterklausur zur Linearen Algebra II (7. 7. 95)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 65 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Sie brauchen mindestens 25 Punkte, um einen Übungsschein zu erhalten. Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1

Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe.

(a) Was ist eine ”Sesquilinearform“, und wann heißt sie ”hermitesch“?

(b) Wann heißen zwei Matrizen ”ähnlich“, wann ”äquivalent“?

(c) Es seien a, b und d Elemente eines Integritätsbereichs. Wann heißt d ein ”größter gemeinsamer Teiler“ von a und b? 7 Punkte

Aufgabe 2

Es sei V ein 3-dimensionale IR-Vektorrraum und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V.

Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ.

(b) Ist Φ positiv definit? (Begründung.)

(c) Berechnen Sie den Rang und die Signatur von Φ.

(d) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.) 8 Punkte

Aufgabe 3 Es sei V = Q^{3×1} und B die Standardbasis von V. Eine lineare Abbildung φ: V → V sei durch die Abbildungsmatrix _{B}[φ]_{B} = A = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & −2 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Ist φ diagonalisierbar? (Begründung.)

(b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P ∈ Q^{3×3}, so daß P^{−1}AP Diagonalgestalt hat.

(c) Es sei Φ: V × V → Q ein Skalarprodukt auf V mit [Φ]_{B} = A. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ. 10 Punkte

Aufgabe 4

(a) Berechnen Sie in ZZ_{2}[X] einen größten gemeinsamen Teiler d der Polynome f_{1} = X^{3} + X^{2} + X + 1 und f_{2} = X^{5} + X^{4} + X^{2} + 1.

(b) Stellen Sie d in der Form a·f_{1} + b·f_{2} mit a, b ∈ ZZ_{2}[X] dar. 6 Punkte

Aufgabe 5 Es sei f = (X^{2} + 1)(X + 1)^{2} ∈ IR[X].

(a) Zeigen Sie: Haben zwei Matrizen A, B ∈ IR^{5×5} das Polynom f als Minimalpolynom, d. h., ist μ_{A} = μ_{B} = f, so sind A und B ähnlich.

(b) Wieviele Klassen ähnlicher Matrizen, die f als Minimalpolynom haben, gibt es in IR^{6×6} ? (Mit Beweis.) 9 Punkte

Aufgabe 6

Berechnen Sie für die Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ ZZ_{2}^{4×4}

(a) die rationale kanonische Form,

(b) das charakteristische Polynom,

(c) das Minimalpolynom,

(d) die Weierstraßsche Normalform,

(e) falls sie existiert, die Jordansche Normalform. 10 Punkte Aufgabe 7

Es sei IR^{2} = IR^{2×1}.

(a) Geben Sie für jeden der beiden IR-Vektorräume IR^{2} × IR^{2} und IR^{2} ⊗ IR^{2} eine Basis an, und zeigen Sie, daß die beiden Vektorräume isomorph sind.

(b) Zeigen Sie: Es gibt keinen Isomorphismus φ : IR^{2}×IR^{2} → IR^{2}⊗IR^{2} mit φ(u, v) = u⊗v für alle u, v ∈ IR^{2}.

(c) Läßt sich der Vektor z = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ] ⊗ [ \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ] ⊗ [ \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ] ∈ IR^{2} ⊗ IR^{2} in der Form u ⊗ v

mit u, v ∈ IR^{2} schreiben? (Hinweis: Benutzen Sie die eindeutige Darstellung von z und u ⊗ v in einer Basis von IR^{2} ⊗ IR^{2}.) 10 Punkte

Aufgabe 8

In einem euklidischen Ring R seien zwei Elemente a, b ∈ R mit 1 ∈ ggT(a, b) gegeben. Zeigen Sie:

R/aR ⊗ R/bR ≅ {0}

(als R-Moduln). 5 Punkte 122 ANHANG B. SEMESTERKLAUSUR ZU LA II