1. Gruppenübung zur Linearen Algebra I

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Seien X, Y ⊆ M Mengen. Zeige: X = Y ⟺ X ⊆ Y und Y ⊆ X.

Aufgabe 2. Sei M eine Menge. Dann heißt P ⊆ Pot(M) eine Partition von M, falls gilt:

i) Für alle X, Y ∈ P mit X ≠ Y gilt X ∩ Y = ∅,

ii) ⋃_{X∈P} X = M.

Für m ∈ M sei dann [m]_{P} definiert als das X ∈ P mit m ∈ X.

Bestimme alle Partitionen der Menge {1, 2, 3, 4, 5}.

Aufgabe 3. Sei M eine Menge und P ⊆ Pot(M) eine Teilmenge der Potenzmenge mit der Eigenschaft:

X ∈ P ⟹ M − X ∈ P.

Zeige: Zu P gibt es genau eine Partition P̃ ⊆ Pot(M) mit [x]P̃ = ⋂_{{X∈P \atop x∈X}} X.

Zeige weiter: Falls P aus 2n Teilmengen (≠ M, ∅) besteht, dann besteht P̃ aus m Mengen mit m ≤ 2^{n}. (Hinweis: Zerreißen Sie ein Blatt Papier n mal).

Aufgabe 4. Sei M eine Menge mit m Elementen, und N eine Menge mit n Elementen. Bestimme die Mächtigkeiten (= Anzahl der Elemente) der folgenden Mengen: (i) Pot(M), (ii) M × N, und (iii) M^{N}.

2. Gruppenübung zur Linearen Algebra I

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Seien f : N → O, g : M → N Abbildungen. Zeige:

i) Sind f und g injektiv, so ist f ∘ g injektiv. ii) Sind f und g surjektiv, so ist f ∘ g surjektiv. iii) Sind f und g bijektiv, so ist (f ∘ g)^{−1} = g^{−1} ∘ f^{−1}.

Aufgabe 2. (σ-Algorithmus, Vertiefung) Sei M eine endliche Menge, f : M → M eine Abbildung. Zeige:

i) Es gibt ein n ∈ ℕ mit f^{n+1}(M) = f^{n}(M). Setze N := f^{n}(M). ii) f_{|N} : N → N ist bijektiv. iii) Es gibt ein m ∈ ℕ mit (f_{|N})^{m} = id_{N}.

Aufgabe 3. Zeige mit Hilfe von Satz 1.22, daß ℤ unendlich ist. Aufgabe 4. Berechne f ∘ g, g ∘ f für folgende Funktionen:

i) f : ℝ → ℝ : x ↦ x^{2} + x + 1, g : ℝ → ℝ : x ↦ x^{3} + x − 1. ii) f : ℝ^{3} → ℝ^{3} : (x, y, z) ↦ (x + y + z, 2x + z, −z), g : ℝ^{3} → ℝ^{3} : (x, y, z) ↦

(2x, x + y, 3x − y + 2z). Abgabe: Donnerstag, 02.11.2000, nach der Vorlesung

Aufgabe 1. Bilde alle \underline{möglichen} Matrixprodukte der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3}, B := ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & −1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3},

C := ( \begin{matrix}1 & −1 & 3 & −2 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −4 & −1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×4}, D := ( \begin{matrix}1 \\ −7 \\ 9 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×1}.

Was hat diese Aufgabe mit der Aufgabe 4 des 2. Übungsblattes zu tun?

Aufgabe 2. Erinnerung: Für eine Matrix D ∈ R^{l×k} sei D_{i,j} der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, D_{−,j} die j-te Spalte von D, und D_{i,−} die i-te Zeile. Seien A ∈ ℝ^{m×n}, B ∈ ℝ^{n×p}, und C := A · B ∈ ℝ^{m×p}. Beweise:

1. C_{i,j} = A_{i,−} · B_{−,j}.

2. C_{−,j} = A · B_{−,j}.

3. C_{i,−} = A_{i,−} · B.

4. C = A_{−,1} · B_{1,−} + A_{−,2} · B_{2,−} + ⋯ + A_{−,n} · B_{n,−}. Aufgabe 3. Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & −\sqrt{3}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & \sqrt{2}/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −\sqrt{2}/2 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −\sqrt{2}/2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}/2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −1/2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} \\ x_{8} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Hinweis für Physiker: es handelt sich um ein Gleichungssystem, um die Kräfte in dem folgenden Fachwerk zu berechnen: (x_{i} = Kraft in Stab i, x_{6,7,8} Lagerkräfte, F auf 1 normiert)

S_{1} S_{2}  S_{3}  S_{4} S_{5} A  B F 90^{∘} 30^{∘}  45^{∘}

Aufgabe 4. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen:

1. Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten ist nicht lösbar.

2. Ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten ist lösbar.

3. Ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten ist nicht eindeutig

lösbar. Abgabe: Mittwoch, 08.11.2000, in den Übungsgruppen

Aufgabe 1. Berechne Rechtsinverse für die folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 3 & −3 & 1 \\ −1 & −1 & 1 & 3 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}, B := ( \begin{matrix}1 & −1 & −3 & 0 \\ 1 & 0 & −4 & 0 \\ 1 & 1 & −4 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×4}, C := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & −1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2×3}.

Welche der Matrizen haben auch ein Linksinverses? Gib eine nichtlineare rechtsinverse Funktion für \overline{C} an.

Aufgabe 2. Seien A ∈ ℝ^{m×n}, B ∈ ℝ^{n×p} Matrizen. Zeige:

1. (A · B)^{tr} = B^{tr} · A^{tr}.

2. Sei n = m = p und A, B invertierbar. Zeige: (A · B)^{−1} = B^{−1} · A^{−1}. (Hinweis: benutze die zugehörigen linearen Abbildungen).

Aufgabe 3.(Interpolation)

1. Bestimme alle Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ : x ↦ ax^{3} + bx^{2} + cx + d mit f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5.

2. Bestimme alle Funktionen f : ℝ → ℝ : x ↦ a sin x + b cos x + c cos 2x mit f(0) = 1, f(π/4) = 1, f(π/2) = −1.

Aufgabe 4. Seien N, M Mengen, und φ : M → N eine Abbildung. Definiere eine Abbildung φ̃: ℝ^{N} → ℝ^{M} : f ↦ f ∘ φ.

1. Zeige: φ̃ ist eine lineare Abbildung.

2. Betrachte für n, m ∈ ℕ die Abbildung 11 : \underline{m} × \{1\} → \underline{n} × \{1\} : (i, 1) ↦ (1, 1). Wie sieht die zu ˜11 gehörende Matrix aus?

3. Sei φ : \underline{m} × \{1\} → \underline{n} × \{1\} eine Abbildung, und A die zu φ̃ gehörende Matrix. Zeige: A_{ji} = { 1 falls φ((j,1))=(i,1) 0 falls φ((j,1))≠(i,1) .

4. Sei φ : \underline{n} → \underline{n} bijektiv. Zeige: φ̃ ist bijektiv mit inverser Abbildung φ^{−1} = φ̃^{−1}.

5. Zeige: unter den Voraussetzung von 3.) und 4.) hat A in jeder Zeile und

Spalte genau einen von 0 verschiedenen Eintrag, der 1 ist. Abgabe: Mittwoch, 15.11.2000, in den Übungsgruppen Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Gauß-Algorithmus Gib eine Version des Gauß-Algorithmus für einen beliebigen Körper K an.

Aufgabe 2. Berechne das Inverse der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}−3 & −2 + 2i & −i \\ 5 + 5i & 5 & 2i \\ 2 + 2i & 2 & i \end{matrix} ) ∈ ℂ^{3×3}, B := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ (ℤ/2ℤ)^{5×5}, C := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ (ℤ/3ℤ)^{4×4}

Aufgabe 3. (Elementare Matrizen) Sei K ein Körper, λ, γ ∈ K mit γ ≠ 0. Definiere für i, j ∈ \underline{n}, i ≠ j die folgenden Matrizen aus K^{n×n}

M_{i}(γ) := ( \begin{matrix}1 \\ & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & γ \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ), A_{i}^{j}(λ) := ( \begin{matrix}1 \\ & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & 1 & & & & λ \\ & & & & & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ), V_{i}^{j} := ( \begin{matrix}1 \\ & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & 0 & & & & & & 1 \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & & & & & & & 1 \\ & & & & & 1 & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & ^{.} & ^{.} & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ).

(wobei M_{i}(γ))_{i,i} = γ, (A_{i}^{j}(λ))_{i,j} = λ und (V_{i}^{j})_{i,j} = (V_{i}^{j})_{j,i} = 1. Nicht markierte Einträge sind 0)

1. Sei B ∈ K^{n×m}. Interpretiere die Linksmultiplikation M_{i}(λ)·B, A_{i}^{j}(λ)·B, V_{i}^{j}·B als elementare Zeilenoperation auf B. Die Matrizen M_{i}(γ), A_{i}^{j}(λ), und V_{i}^{j} heißen Elementarmatrizen.

2. Zeige: M_{i}(γ), A_{i}^{j}(λ), V_{i}^{j} ∈ GL_{n}(K) := {X ∈ K^{n×n}| es existiert Y ∈ K^{n×n} mit XY = I_{n}}.

3. Zeige: GL_{n}(K) ist Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation.

Aufgabe 4.

1. Sei A ∈ K^{n×m}, und N_{A} die strikte Stufenform von A. Zeige: es gibt ein g ∈ GL_{n}(K) mit N_{A} = g · A.

2. Zeige: seien A, B ∈ K^{n×m} mit strikter Stufenform N_{A} = N_{B}, so gibt es ein g ∈ GL_{n}(K) mit gA = B.

3. Sei von nun an K = ℝ, und A ∈ ℝ^{n×m}, b ∈ ℝ^{m}. Zeige: Für g ∈ GL_{n}(ℝ) ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b gleich der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (g · A)b = g · b. Insbesondere ändert sich durch Linksmultiplikation von Elementen aus GL_{n}(ℝ) die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 nicht.

4. Sei A ∈ ℝ^{3×3}. Bestimme alle möglichen strikten Stufenformen N_{A} von A.

5. Gib für die Stufenformen aus 4.) die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems N_{A}x = 0 an.

6. Seien A, B ∈ ℝ^{3×3}. Zeige mit Hilfe von 5.) und 3.): A ∼_{GL_{3}(ℝ)} B (d.h. es gibt ein g ∈ GL_{3}(ℝ) mit gA = B) genau dann, wenn N_{A} = N_{B}.

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. (Euklidischer Algorithmus)

1. Kürze \frac{14568917340}{14568917350} vollständig von Hand.

2. Berechne ggT(a, b) und ein (α, β) ∈ ℤ^{2} mit ggT(a, b) = αa + βb für die folgenden Werte: a = 17, b = 91; a = 42, b = 101; a = 668, b = 1001.

3. Invertiere die folgenden Zahlen: 17 + 101ℤ ∈ (ℤ/101ℤ), 39 + 113ℤ ∈ (ℤ/113ℤ), 83 + 167ℤ ∈ (ℤ/167ℤ).

Aufgabe 2. (lineare Codes)

1. Zeige: ι : 𝔽_{2}^{n} → 𝔽_{2}^{n×1} : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ist Isomorphismus.

2. Sei C ≤ 𝔽_{2}^{n} ein linearer Code. Definiere für x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ C den Abstand d(x, y) := |\{i ∈ \underline{n}|x_{i} ≠ y_{i}\}|, und d(C) := Minimum(\{d(x, y)|x, y ∈ C, x ≠ y}). Zeige: d(C) = Minimum({d(x, 0)|x ∈ C, x ≠ 0}). Sowohl d als auch d(C) heißen der Hamming-Abstand von C.

3. Berechne d(C) für C := {α(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) + β(0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) + γ(0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) |α, β, γ ∈ 𝔽_{2}}.

4. Finde eine Matrix A ∈ 𝔽_{2}^{4×7} mit KernĀ = ι(C).

Aufgabe 3. Seien 𝔙, 𝔚 Vektorräume über K. Zeige: Hom(𝔙, 𝔚) := {φ : 𝔙 → 𝔚|φ K-linear} ist Teilraum von 𝔚^{𝔙}.

Aufgabe 4. Seien 𝔙, 𝔚 Vektorräume über K, und φ : 𝔙 → 𝔚 ein Isomorphismus. Zeige: φ^{−1} ist Isomorphismus.

Aufgabe 5. (Operation) Zeige:

1. Die S\underline{4} operiert auf \underline{4}\underline{4} durch: S\underline{4}×\underline{4}\underline{4} : (ν, f) ↦ ν∘f ∘ν^{−1}, d.h. (νf)(i) := ν(f(ν^{−1}(i))).

2. Die Abbildungen f : \underline{4} → \underline{4} : 1 ↦ 2, 2 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 2 und g : \underline{4} → \underline{4} : 1 ↦ 2, 2 ↦ 3, 3 ↦ 1, 4 ↦ 3 liegen in einer Bahn unter dieser Operation. Hinweis: Betrachte die Visualisierung von f, g gemäß Beispiel 1.14 4) (σ-Algorithmus) und beachte Beispiel 1.17 4).

Aufgabe 1.(Polynomdivision)

1. Sei f := x^{7} + x^{5} + x^{3} + 1, g := x^{5} + x^{4} + x^{2} + 1 ∈ 𝔽_{2}[x]. Führe Polynomdivision an f und g durch, d. h. berechne q, r ∈ 𝔽_{2}[x] mit Grad r < Grad g und f = qg + r.

2. Sei f := x^{8} + x^{5} + x^{2} + 1, g := x^{3} + x + 1 ∈ 𝔽_{13}[x]. Berechne den Rest von f mod g, d. h. nur r aus Aufgabenteil 1).

3. Berechne ggT(f, g) für f, g aus Aufgabenteil 2.). Aufgabe 2.(Kern und Bild) Bestimme Kern und Bild der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{5×5}, B := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{5×4}, C := ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{7}^{4×3}

Wie ist jeweils die Anzahl der Elemente von Kern und Bild? Aufgabe 3. Beweise Folgerung 2.50 der Vorlesung, d. h. sei K ein Körper, K[x] der Polynomring in x über K, und 0 ≠ p ∈ K vom Grad n. Zeige:

1. pK[x] := {pq|q ∈ K[x]} ist ein Teilraum von K[x].

2. Der Faktorraum K[x]/pK[x] hat K[x]_{Grad<n} als Vertretersystem.

3. K[x] = K[x]_{Grad<n} ⊕ pK[x].

4. Sei p = x^{5} − 1 ∈ 𝔽_{5}[x]. Zerlege x^{6} − 1 in eine Zerlegung gemäß 3.). Aufgabe 4. Sei π : 𝔙 → 𝔙 linear mit π^{2} = π.

1. Zeige: Kernπ ∩ Bildπ = {0}.

2. Zeige: 𝔙 = Kernπ ⊕ Bildπ, d. h. jedes V ∈ 𝔙 läßt sich eindeutig schreiben als V = V_{K} ⊕ V_{B}, mit V_{K} ∈ Kernπ, V_{B} ∈ Bildπ.

3. Sei 𝔙 = 𝔽_{2}^{4×1} und π = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ). Zerlege V := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) gemäß 2.) als V = V_{K} ⊕ V_{B}.

4. Sei K unendlich, und 𝔙 = K^{3×1}. Gib unendlich viele π an mit Bildπ = K( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) und π^{2} = π.

Gib unendlich viele π an mit Kernπ = K( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) und π^{2} = π. Sonderaufgabe für Physiker. Betrachte ∂_{x} : ℂ[x] → ℂ[x] : ∑ a_{i}x^{i} ↦ ∑ ia_{i}x^{i−1}. Zeige zunächst, daß ∂_{x} linear ist. Sei m_{p} : ℂ[x] → ℂ[x] : f ↦ pf für p ∈ ℂ[x] die Multiplikation mit p. Zeige: ∂_{x} ∘ m_{x} − m_{x} ∘ ∂_{x} = m_{1} = id_{ℂ[x]}. Interpretation: Es handelt sich um eine Darstellung der Heisenberg-Algebra und ist eine embryonale Version der Heisenberg-Unschärfe-Relation der Quantenmechanik.

Abgabe: Mittwoch, 6.12.2000, in den Übungsgruppen Lösung zum 1. Test: T1: JNJNN, T2: JNN, T3: NJNJN, T4: NNJ, T5: JJN, T6: JJN.

Aufgabe 1. Bestimme die Dimension der folgenden Vektorräume:

1. ⟨(2, 3, 4), (3, 2, 0), (0, 0, 1)⟩ ≤ ℚ^{3}

2. ⟨(2, 3, 4), (3, 2, 0), (0, 0, 1)⟩ ≤ 𝔽_{5}^{3}

3. ⟨(0, \sqrt{2}, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2), (1, 0, 0)⟩ ≤ ℝ^{3}

4. ⟨(0, \sqrt{2}, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2), (1, 0, 0)⟩ ≤ ℝ^{3} als ℚ-Vektorraum. Aufgabe 2. Seien 𝔙, 𝔚 Vektorräume über K, φ : 𝔙 → 𝔚 linear. Weiter sei X = (X_{1}, …, X_{n}) ∈ 𝔙^{n} linear unabhängig. Zeige: ⟨X⟩ ∩ Kern φ = {0} genau dann, wenn φ ∘ X = (φ(X_{1}), …, φ(X_{n})) linear unabhängig ist. Aufgabe 3. (Lagrange-Interpolation) Sei K ein Körper, n ∈ ℕ, und s_{1}, …, s_{n} ∈ K paarweise verschieden.

1. Zeige: φ : K[x] → K^{n} : p ↦ (p(s_{1}), …, p(s_{n})) ist linear.

2. Sei λ_{i} := ∏_{{j∈\underline{n} \atop j≠i}}(x − s_{j}) ∈ K[x]. Zeige: Grad λ_{i} = n − 1, und λ_{i}(s_{k}) = a_{k}δ_{ik} für ein a_{k} ≠ 0.

3. Zeige: Die Einschränkung φ_{|K[x]_{Grad<n}} ist surjektiv.

4. Zeige: φ_{|K[x]_{Grad<n}} ist injektiv.

5. Zeige: (λ_{1}, …, λ_{n}) ist Basis von K[x]_{Grad<n}.

6. Gib ein Polynom p ∈ ℚ[x], Grad p < 4 an mit p(0) = 3, p(1) = 2, p(2) = −1, p(3) = 4. Aufgabe 4. Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring über K. Für p ∈ K[x] sei m_{p} : K[x] → K[x] : g ↦ pg.

1. Zeige: Für q ∈ K[x] ist die Abbilddung \overline{m_{p}} : K[x]/qK[x] → K[x]/qK[x] : g+qK[x] ↦ m_{p}(g) + qK[x] wohldefiniert und linear.

2. Zeige: \overline{m_{p}} ist Isomorphismus genau dann, wenn ggT (p, q) = 1.

3. Betrachte q := x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 ∈ ℚ[x]. Stelle (\overline{m_{x^{2}+1}})^{−1} als \overline{m_{g}} dar für g ∈ ℚ[x].

4. Betrachte q := x^{4} + x^{2} + 2 ∈ 𝔽_{3}[x]. Stelle (\overline{m_{x^{3}+x^{2}+1}})^{−1} als \overline{m_{g}} dar für g ∈ 𝔽_{3}[x]. Abgabe: Mittwoch, 13.12.2000, in den Übungsgruppen Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1.(Rang) Bestimme den Rang der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}1 & 5 & 3 \\ 2 & −2 & 2 \\ −1 & 7 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}, B := ( \begin{matrix}1 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & 1 \\ 6 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{7}^{5×4}, C := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{6×6},

Aufgabe 2.(Zassenhausalgorithmus) Seien 𝔙 = ⟨(1, 2, 3, 4), (3, 1, 2, 0), (1, 1, 1, 1)⟩ ≤ 𝔽_{5}^{4} und 𝔘 = ⟨(0, 1, 2, 3), (2, 1, 2, 1)⟩ ≤ 𝔽_{5}^{4}. Bestimme Basen für 𝔘∩𝔙 und 𝔘+𝔙. Ist 𝔽_{5}^{4} = 𝔘⊕𝔙?

Aufgabe 3. In dieser Aufgabe identifizieren wir ausnahmsweise die Polynome mit den durch sie induzierten Polynomabbildungen! Sei C^{∞}(ℝ) := {y ∈ ℝ^{ℝ}|y ist beliebig oft differenzierbar}. Sei φ : C^{∞}(ℝ) → C^{∞}(ℝ) : y ↦ y′′ + y′ + y. Betrachte B = (1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}) ∈ C^{∞}(ℝ)^{5}. Zeige: B ist linear unabhängig, φ(⟨B⟩) ⊆ ⟨B⟩ und berechne B(φ_{|⟨B⟩})^{B}. Gib eine Lösung der (linearen, gewöhnlichen) Differentialgleichung (mit konstanten Koeffizienten) y′′ + y′ + y = x^{4} + 2x + 3 an. Bemerkung: Dies ist eine rudimentäre Version des “Ansatz in Form der rechten Seite”.

Aufgabe 4. Seien 𝔙, 𝔚 Vektorräume über K, φ : 𝔙 → 𝔚 lineare Abbildung, und Rang φ = k, Dim 𝔙 = n, Dim 𝔚 = m. Zeige: Es gibt Basen C von 𝔚 und B von 𝔙 mit:

Cφ^{B} = ( \begin{matrix}I_{k} & 0_{k,n−k} \\ 0_{m−k,k} & 0_{m−k,n−k} \end{matrix} ) ,

wobei I_{k} die k-dimensionale Einheitsmatrix ist, und 0_{i,j} ∈ K^{i×j} die Nullmatrix mit i Zeilen und j Spalten ist. Hinweis: (Wähle und ergänze geeignete Basen von Bild φ und Kern φ.). Sei φ : 𝔙 → 𝔚 gegeben durch

Cφ^{B} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{13}^{3×4}

Bestimme B′, C′ durch Angabe von ^{B}id^{B′}, ^{C}id^{C′}, so daß ^{C′}φ^{B′} obige Gestalt hat.

Abgabe: Donnerstag, 21.12.2000 nach der Vorlesung

Lösung von Test 3: T1: JJNNJ, T2: NNJNJN, T3: JJJNN, T4: NNNJNN

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Sei φ : ℚ^{4} → ℚ^{4} : (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ↦ (x_{1}+3x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}, x_{2}+x_{4}, x_{1}). Seien C = ((1, −1, 0, 0), (1, 0, −1, 0), (1, 1, −1, 1), (2, −3, 2, 2)), D = ((0, −1, 0, 0), (0, −1, −1, 0), (3, 1, 2, 1), (2, −1, 1, 1)) ∈ (ℚ^{4})^{4}. Zeige: C und D sind Basen des ℚ^{4}, und berechne^{C}φ^{C},^{C}φ^{D},^{D}φ^{C} und^{D}φ^{D}.

Aufgabe 2. Sei φ : 𝔙 → 𝔚 gegeben bezüglich der Basen B = (V_{1}, …, V_{4}) von 𝔙 und C = (W_{1}, …, W_{5}) von W mit

Cφ^{B} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{5×4}

Bestimme eine lineare Abbildung ψ : 𝔚 → 𝔽_{2}^{(5−Dim Bild φ)×1}, so daß Kern ψ = Bild φ. Bestimme die Mächtigkeit der Menge {W_{1} +Bild φ, W_{1} +W_{3} +W_{4} +Bild φ, W_{1} +W_{2} +W_{5} +Bild φ} ⊆ 𝔚/Bild φ.

Aufgabe 3. Sei 𝔙 ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum, φ ∈ End(𝔙) ein Endomorphismus von 𝔙, gegeben durch

Bφ^{B} = ( \begin{matrix}4 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}.

Berechne das Minimalpolynom von φ. Bestimme die Eigenwerte von φ und eine Eigenvektorbasis C. Wie sieht dann ^{C}φ^{C} aus?

Aufgabe 4. (Bemerkung 3.46 der Vorlesung) Beweisen Sie: Sei 𝔙 ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und sei n ∈ ℕ.

1. GL(𝔙) operiert auf 𝔙^{n} durch

GL(𝔙) × 𝔙^{n} : (a, X) ↦ a ∘ X = (a(X_{1}), …, a(X_{n})).

2. Sei für X ∈ 𝔙^{n}

φ_{X} : K^{n×1} → 𝔙 : a ↦ Xa = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}.

Dann ist die surjektive Abbildung A (wie Abhängigkeiten)

A : 𝔙^{n} → {𝔘 ≤ K^{n×1}|Dim (𝔘) ≥ n − Dim (𝔙)} : X ↦ Kern φ_{X}

eine trennende Invariante der Operation aus 1.). Insbesondere gibt es eine Bijektion zwischen

𝔙^{n}/ ∼_{A}= 𝔙^{n}/ ∼_{GL(𝔙)} und {𝔘 ≤ K^{n×1}|Dim (𝔘) ≥ n − Dim (𝔙)} .

Abgabe: Mittwoch, 10.1.2001 in der Übung Wir wünschen frohe Weihnachten und ein erfolgreiches Jahr 2001!

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Berechnen Sie die Minimalpolynome μ_{A_{i}} für die folgenden Matrizen A_{i}.

A_{1} := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{5×5}, A_{2} := ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ −2 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3}, A_{3} := ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3},

Welche der Matrizen sind diagonalisierbar? Welche Diagonalformen ergeben sich in diesen Fällen? Kann man diese immer alleine am Minimalpolynom erkennen?

Aufgabe 2. Sei

A := ( \begin{matrix}4 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 & 3 & 3 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{5}^{5×5}

Es ist μ\overline{A} = (x^{2} +x+1)(x^{2} +x+2)(x+2) (Dies brauchen Sie nicht zu beweisen). Berechnen Sie analog zu Satz (3.65) aus der Vorlesung eine Zerlegung von 𝔙 = 𝔙_{1} ⊕ 𝔙_{2} ⊕ 𝔙_{3}, mit \overline{A}(𝔙_{i}) = (𝔙_{i}). Berechnen Sie die Minimalpolynome μ_{\overline{A}_{|𝔙_{i}}}.

Aufgabe 3. Berechnen Sie Begleitmatrizen M_{p_{i}} der folgenden Polynome

p_{1} := x^{5} − 3x^{4} − 4x + 12 ∈ ℝ[x],
p_{2} := x^{5} − 4x^{4} + x^{3} + 8x^{2} − 6x ∈ ℝ[x],
p_{3} := x^{5} − 4x^{4} + x^{3} + 8x^{2} − 6x ∈ ℚ[x].

Welche der Begleitmatrizen sind diagonalisierbar? Auf welche Diagonalgestalt?

Aufgabe 4. (vgl. Beispiel 3.59) Sei 𝔙 ein 2-dimensionaler ℂ-Vektorraum, B = (b_{1}, b_{2})

eine Basis von 𝔙, und α : 𝔙 → 𝔙 eine lineare Abbildung mit ^{B}α^{B} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ). Bestim-

men Sie zunächst die Eigenwerte von α, und eine Eigenvektorbasis B′. Wir betrachten jetzt verschiedene Konkretisierungen des vorangegangenen Sachverhaltes:

1. (formal analytisches Beispiel) Sei ∂ : ℂ[[x]] → ℂ[[x]] : ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j} ↦ ∑_{j=1}^{∞} ja_{j}x^{j−1}. Suchen Sie einen ∂-invarianten Teilraum 𝔙 ≤ ℂ[[x]] (d.h. ∂(𝔙) ⊆ 𝔙), so daß α die Einschränkung von ∂ auf 𝔙 ist. Ist 𝔙 eindeutig bestimmt? Geeignet normiert nennt man die Vektoren der ursprünglichen Basis B sin und cos.

2. (kombinatorisches Beispiel) Sei σ : ℂ[[x]] → ℂ[[x]] : ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j} ↦ ∑_{j=1}^{∞} a_{j}x^{j−1}. Suchen Sie einen σ invarianten Teilraum 𝔙 von ℂ[[x]], so daß α die Einschränkung von σ auf 𝔙 ist. Ist 𝔙 eindeutig bestimmt?

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Berechnen Sie das Minimalpolynom, die Eigenwerte und eine Eigenvektorbasis von \overline{A} mit

A := ( \begin{matrix}0 & −3 & 0 & 1 \\ −1 & 2 & 0 & −1 \\ 1 & 3 & 1 & −1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}.

Aufgabe 2. Sei 𝔙 := ℝ[x]_{Grad<3} der ℝ-Vektorraum der Polynome vom Grad < 3, und Φ : 𝔙 × 𝔙 → ℝ : (p_{1}, p_{2}) ↦ ∫_{0}^{1} p_{1}(x)p_{2}(x)dx. Zeige zunächst, daß Φ eine symmetrische Bilinearform auf 𝔙 ist. Ist Φ auch inneres Produkt? Sei B := (1, x, x^{2}) eine Basis von 𝔙. Berechen Sie _{B}Φ^{B}, Φ(B_{1} + 2B_{2} + B_{3}, B_{1} + B_{3}), und eine Orthogonalbasis von 𝔙.

Aufgabe 3. (vgl. Beispiel 3.67) Sei 𝔙 ein K-Vektorraum, φ ∈ End(𝔙) mit Minimalpolynom μ_{φ} = ∏_{i=1}^{l} p_{i}^{α_{i}}, wobei die p_{i} ∈ K[x] normiert, irreduzibel und paarweise verschieden seien. Zeige:

1. 𝔙_{i} := Kern (p_{i}(φ)^{α_{i}}) ist φ invarianter Teilraum von 𝔙, d.h. φ(𝔙_{i}) ⊆ 𝔙_{i}.

2. Setze q_{j} := ∏_{{i=1 \atop i≠j}}^{l} p_{i}^{α_{i}}, dann ist 𝔙_{i} = Bild (q_{i}(φ)).

Nach Vorlesung ist nun 𝔙 = 𝔙_{1} ⊕ ⋯ ⊕ 𝔙_{l}, und man kann die 𝔙_{i} wahlweise über 1.) oder 2.) berechnen. Sei φ : 𝔙 → 𝔙 gegeben durch

Bφ^{B} := ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ −2 & 3 & −1 & 0 & −2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{5×5}.

Es ist μ_{φ} = (x − 1)(x + 1)^{4}. Berechne eine Zerlegung von 𝔙 = 𝔙_{1} ⊕ 𝔙_{2} mit φ(𝔙_{i}) = 𝔙_{i}, und Dim 𝔙_{i} > 0.

Aufgabe 4. Beweise Folgerung 3.70 der Vorlesung: Sei 𝔙 ein K-Vektorraum, α ∈ End(𝔙). Sei μ_{α} = Π_{i=1}^{l}p_{i}(x) mit p_{i}(x) ∈ K[x] normiert und irreduzibel. Genau dann existiert eine Basis B von 𝔙 mit

Bα^{B} = Diag(I_{r_{1}} ⊗ M_{p_{1}}, …, I_{r_{l}} ⊗ M_{p_{l}}),

wenn die p_{i} paarweise verschieden sind.

Sei nun 𝔙 = 𝔽_{2}^{5×1}, und α = \overline{A} mit

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Es ist μ_{α} = (x − 1)(x^{2} + x + 1). Berechne eine Basis B von 𝔽_{2}^{5×1}, so daß ^{B}α^{B} die obige Gestalt hat, und gib ^{B}α^{B} an.

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. Sei (𝔙, Φ) ein 3-dimensionaler euklidischer Raum mit _{B}Φ^{B} = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

für eine Basis B von 𝔙. Zeige, daß die folgenden linearen Abbildungen selbstadjungiert sind:

Bφ^{B} = ( \begin{matrix}−1 & −1 & −2 \\ −1 & −1 & −2 \\ 3 & 3 & 10 \end{matrix} ) , ^{B}ψ^{B} = ( \begin{matrix}−1 & −2 & −1 \\ 3 & 10 & 3 \\ −1 & −2 & −1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 2.(Hauptachsentransformation) Sei

A = ( \begin{matrix}3 & −2 & −1 \\ −2 & 3 & −1 \\ −1 & −1 & \frac{9}{2} \end{matrix} ) .

Bestimme eine orthogonale Matrix O ∈ O(3, ℝ) so, daß O^{−1}AO Diagonalgestalt hat. Hinweis für Physiker: Es handelt sich um den Trägheitstensor eines starren Körpers. Die Eigenwerte heißen die Hauptträgheitsmomente.

Aufgabe 3. Sei (𝔙, Φ) ein euklidischer Vektorraum, α ∈ End(𝔙) selbstadjungiert. Weiter sei Φ_{α} positiv definit, d.h. alle Eigenwerte von α sind positiv. Zeige: es gibt genau ein positiv definites, selbstadjungiertes γ ∈ End(𝔙), so daß γ^{2} = α.

Aufgabe 4. Sei 𝔙 = ℝ^{n×1} der n-dimensionale euklidische Vektorraum mit dem Standartskalarprodukt. Zeige: O(n, ℝ) := {x ∈ ℝ^{n×n}|x^{tr}x = I_{n}} ist eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation (also eine Untergruppe von GL(n, ℝ)). Zeige weiter: sind B und C Orthonormalbasen von 𝔙, so ist ^{B}(id_{𝔙})^{C} eine orthogonale Matrix. Genauer: Schränkt man die Operation von GL(n, ℝ) auf 𝔙^{n} auf O(n, ℝ) ein, so bilden die Orthogonalbasen genau eine Bahn unter dieser Operation.

Abgabe: Mittwoch, 31.1.2001 in der Übung Lösung zum Test 4: T1: JNJNN, T2: JNNJJNNJ, T3:NJ x^{3} N Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1. (Polarzerlegung) Sei

B := ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

Bestimme ein g ∈ O(3, ℝ) und ein positiv definites, symmetrisches A ∈ ℝ^{3×3}, so daß B = A · g ist. Sind A und g eindeutig? Zeige weiter: ist B ∈ ℝ^{n×n} normal, so gibt es (genau) ein g ∈ O(n, ℝ) und ein positiv definites, symmetrisches A ∈ ℝ^{n×n} mit B = Ag, und es gilt Ag = gA.

Aufgabe 2. Sei (𝔙, Φ) ein Euklidischer Vektorraum. Zeige: 𝔙 → 𝔙^{∗} : V ↦ {W ↦ Φ(V, W)} ist ein Isomorphismus.

Aufgabe 3. (Transponierte) Sei 𝔙 ein 4-dimensionaler 𝔽_{3}-Vektorraum, 𝔚 ein 3-dimensionaler 𝔽_{3}-Vektorraum, und B und C Basen von 𝔙 und 𝔚. Sei α : 𝔙 → 𝔚 linear mit

Cα^{B} := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Seien ψ_{1} : 𝔚 → 𝔽_{3} : aC_{1}+bC_{2}+cC_{3} ↦ a+b+c, ψ_{2} : 𝔚 → 𝔽_{3} : aC_{1}+bC_{2}+cC_{3} ↦ 2a+b+2c, ψ_{3} : 𝔚 → 𝔽_{3} : aC_{1} + bC_{2} + cC_{3} ↦ a + b. Zeige: C^{′∗} := (ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3}) ist Basis von 𝔚^{∗}, und berechne ^{B^{∗}}(α^{tr})^{C^{′∗}}

Aufgabe 4. Seien 𝔙 ≤ ℝ^{ℝ} ein endlich dimensionaler Vektorraum differenzierbarer, 2π periodischer Funktionen mit der Eigenschaft, daß f′ ∈ 𝔙 für alle f ∈ 𝔙. Zeige 𝔙 wird durch Φ : 𝔙 × 𝔙 → ℝ : (f, g) ↦ ∫_{0}^{2π} f(x) · g(x)dx zu einem Euklidischen Vektorraum. Sei α : 𝔙 → 𝔙 : f ↦ f′ ∈ End(𝔙). Zeige mit Hilfe der Produktregel (partielle Integration), daß α schiefsymmetrisch ist. Sei 𝔙 =< 1_{ℝ}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3} >, wobei 1_{ℝ} : R → ℝ : x ↦ 1. s_{k} : ℝ → ℝ : x ↦ sin(kx), c_{k} : ℝ → ℝ : x ↦ cos(kx). 𝔙 ist ein Vektorraum wie oben beschrieben, und B = (1_{ℝ}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3}) ist eine Basis von 𝔙 (dies brauchen Sie nicht zu beweisen). Berechnen Sie ^{B}α^{B}, μ_{α}, und eine Orthonormalbasis B′ von 𝔙, so daß ^{B′}α^{B′} die Form aus Satz 4.30 hat.

Aufgabe 1. Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen:

A := ( \begin{matrix}x + 2 & 1 & 0 \\ 2 & x & 1 \\ 1 & 1 & x + 1 \end{matrix} )∈ 𝔽_{3}(x)^{3×3}, B := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} )∈ 𝔽_{2}^{5×5}, C := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} )∈ ℝ^{3×3}.

Aufgabe 2. Sei 𝔙 = ⟨s_{1}, s_{2}, c_{1}, c_{2}, id_{ℝ}⟩ ≤ ℝ^{ℝ}, wobei s_{k} : ℝ → ℝ : x ↦ sin(kx), c_{k} : ℝ → ℝ : x ↦ cos(kx). Seien φ : 𝔙 → ℝ : f ↦ ∫_{0}^{π/2} f(x)dx, ψ : 𝔙 → ℝ : f ↦ f′(0).

1. Zeige: φ, ψ ∈ 𝔙^{∗}.

2. Sei (a, b) ∈ ℝ^{2}. Bestimme alle f ∈ 𝔙 mit φ(f) = a, ψ(f) = b. Zeige: Die Lösungs-

menge ist eine Restklasse nach ⟨φ, ψ⟩^{⊺}. Aufgabe 3. Sei 𝔙 ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und X ∈ 𝔙^{n−1}. Definiere: φ_{X} := 𝔙 → K : Y ↦ det(X, Y), wobei (X, Y) : \underline{n} → 𝔙 : i ↦ \{{X_{i} für i<n \atop Y für i=n}. Zeige:

1. φ_{X} ∈ 𝔙^{∗},

2. φ_{X} = 0 genau dann, wenn X linear abhängig.

3. Ist X linear unabhängig, so ist Kern φ_{X} = ⟨φ_{X}⟩^{⊺} = ⟨X⟩. Aufgabe 4. Sei 𝔙 ein K-Vektorraum, φ ∈ End(𝔙). Sei 0 ≠ Δ ∈ Λ^{n}(𝔙^{∗}), dann definiere det(φ) := \frac{Δ(φ∘C)}{Δ(C)} für eine Basis C von 𝔙. Zeige: det ist unabhängig von der Wahl von Δ und C, und det φ = det(^{C}φ^{C}) für jede Basis C von 𝔙. Sei nun (𝔙, Φ) ein Euklidischer Vektorraum, und α ∈ O(𝔙, Φ). Zeige:

1. det α = ±1.

2. Ist dim 𝔙 = 2 und det α = 1, so gibt es ein γ ∈ [0, 2π) mit ^{B}α^{B} = \binom{cos γ −sin γ}{sin γ cos γ} := d_{γ} für jede Orthonormalbasis B von 𝔙.

3. Ist dim 𝔙 = 3, und det α = 1, so gibt es eine Orthonormalbasis B von 𝔙 und ein γ ∈ [0, 2π) mit ^{B}α^{B} = diag(1, d_{γ}). Hinweis: Zeige zunächst det(^{B}α^{B} − I_{3}) = det((^{B}α^{B} −I_{3})(^{B}α^{B})^{−1}) = (−1)^{3} det(^{B}α^{B} −I_{3}). Folgere hieraus, daß α den Eigenwert 1 hat.

Abgabe: Donnerstag, 15.1.2001 nach der Vorlesung

Ferienübung zur Linearen Algebra I

Prof. Dr. W. Plesken (WS00/01)

Aufgabe 1.(Algorithmus zur Berechnung des charakteristischen Polynoms) Sei K ein Körper, und 𝔙 ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, α ∈ End(𝔙). Zeige:

1. Ist 𝔘 ≤ 𝔙 ein Teilraum von 𝔙 mit der Eigenschaft, daß α(𝔘) ≤ 𝔘, so ist \overline{α} : 𝔙/𝔘 → 𝔙/𝔘 : V + 𝔘 ↦ α(V) + 𝔘 eine wohldefinierte lineare Abbildung. Also ist α_{|𝔘} ∈ End(𝔘) und \overline{α} ∈ End(𝔙/𝔘).

2. χ_{α} = χ\overline{α} · χ_{α_{|𝔘}}. Hinweis: Ergänzen Sie eine Basis von 𝔘 zu einer Basis B von 𝔙, und betrachten Sie die Gestalt von ^{B}α^{B}.

3. Erweitern Sie die Aussage von 2.) auf die Situation 𝔘_{1} ≤ 𝔘_{2} ≤ … ≤ 𝔙, α(𝔘_{i}) ≤ 𝔘_{i}.

4. Geben Sie einen Algorithmus zur iterativen Bestimmung des charakteristischen Polynoms an, analog zur Bestimmung des Minimalpolynoms. Wo unterscheiden sich die beiden Algorithmen?

Aufgabe 2. Sei 𝔙 ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Basen B und C, und α ∈ End(𝔙) mit:

Bα^{C} = ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 3 & 4 \end{matrix} ) , ^{B}id^{C} = ( \begin{matrix}2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Determinante von α.

Aufgabe 3. Sei 𝔙 ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum, B eine Basis von 𝔙, Φ ∈ Bifo(𝔙) gegeben durch:

BΦ^{B} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 1 \\ −1 & −1 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & −1 & 0 \end{matrix} ) .

Zeige:

1. Φ ∈ Bifo_{−}(𝔙).

2. Φ ist nicht ausgeartet.

3. Ist 𝔘 ≤ 𝔙, so ist Dim 𝔘 + Dim 𝔘^{⊥} = 4.

4. Ist 𝔘 ≤ 𝔙 mit Dim 𝔘 = 1, so ist 𝔘 ≤ 𝔘^{⊥}.

5. Für 𝔘 = ⟨B_{1} + 2B_{2} + 3B_{3} + 4B_{4}, B_{1} − B_{2} + B_{3} − B_{4}⟩ ist 𝔙 = 𝔘 ⊕ 𝔘^{⊥}.

Aufgabe 4. Sei 𝔙 ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Basis B, und Φ_{i} ∈ Bifo_{+}(𝔙) gegeben durch

BΦ_{1}^{B} = ( \begin{matrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 4 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \end{matrix} ) ,_{B}Φ_{2}^{B} = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & 0 \\ −1 & 0 & −1 & −1 \\ 2 & −1 & 2 & −2 \\ 0 & −1 & −2 & −9 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Signatur von Φ_{1} und Φ_{2}.

Abgabe: In der ersten Übung zur Vorlesung Lineare Algebra II

Eine Musterlösung zur Klausur (wesentliche Teile) befindet sich im Internet unter

               http://wwwb.math.rwth-aachen.de/WS00/LA_I/LA_I.html