Zur Organisation der Vorlesung und Übungen Lineare Algebra I (WS 99/00)

Prof. Dr. H. Pahlings

1. Übungen

Jeden Donnerstag wird zu Beginn der Vorlesung ein Übungsblatt ausgegeben, dessen schriftliche Bearbeitung spätestens am Freitag bis 14.00 Uhr (eine Woche später) im Übungskasten des Lehrstuhls D für Mathematik (Sammelbau, Templergraben 64, 2.Etage) abgegeben werden muß. Diese Übungsaufgaben dienen der Aneignung von Methoden und Stoff der Vorlesung und sind eine wesentliche Vorbereitung auf die Klausur und spätere Prüfungen.

Die Übungen finden in Gruppen jeweils Mittwochs von 17.30 bis 19.00 Uhr statt. Dort werden u. a. die Hausaufgaben besprochen und die Bearbeitungen korrigiert zurückgegeben. In der Übungsstunde am 20.10.99 werden Präsenzaufgaben und Beispiele behandelt.

Wer an den Übungen teilnehmen möchte (das sollte jede(r)!), kann sich am Donnerstag, dem 14.10.99, während der Vorlesung in eine der vorbereiteten Listen eintragen. Die endgültige Einteilung in die Übungsgruppen wird am Montag, dem 18.10.99, vor der Vorlesung ausgehängt.

2. Klausuren

Im Rahmen der Vorlesung findet eine Klausur in zwei Teilen statt. Die Termine sind

(1) Klausur, 1. Teil am Freitag, dem 17.12.1999, um 18.00 Uhr,

(2) Klausur, 2. Teil am Freitag, dem 11.2.2000, um 18.00 Uhr,

In den Semesterferien wird es eine Ersatz-Scheinklausur geben.

Für Studierende der Informatik findet in der vorlesungsfreien Zeit eine Vordiplomklausur statt.

Einzelheiten zu diesen Klausuren werden jeweils rechtzeitig bekanntgegeben.

3. Übungsschein

Um einen Übungsschein zu erhalten, müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

(1) 50 % der Übungsaufgaben müssen sinnvoll bearbeitet sein,

(2) die Scheinklausur muß bestanden werden.

4. Diskussionsstunden

Im Anschluß an die Vorlesungstermine am Montag und Donnerstag ist jeweils eine halbe Stunde lang Zeit, Fragen zur Vorlesung und zu den Übungen zu stellen.

5. Weitere Fragen zur Organisation

Mit eventuellen weiteren Fragen zur Organisation von Vorlesung und Übungen können Sie sich im Lehrstuhl D für Mathematik an Frank Lübeck (Raum 202) oder Max Neunhöffer (Raum 229) wenden.

Email-Adressen:

luebeck@math.rwth-aachen.de
neunhoef@math.rwth-aachen.de

6. Übungsaufgaben im Web

Die Übungszettel können unter der WWW-Adresse

http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/LAI/

als DVI und Postscript-Dateien heruntergeladen werden.

7. Literatur zur Vorlesung

Artmann, B.: Lineare Algebra. Birkhäuser 1986, ^{3}1991. Beutelspacher, A.: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren,

Abbildungen und Matrizen. Vieweg 1994. Brieskorn, E.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Band I, Vieweg 1983.

Band II, Vieweg 1985. Band III, Vieweg 1994. Fischer, G.: Lineare Algebra / Analytische Geometrie. 2 Bände, rororo Vieweg 1978. Greub, W. H.: Lineare Algebra. Springer 1967. Halmos, P. R.: Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer 1974. Heinold, J., Riedmüller, B.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 2 Bände, Carl

Hanser ^{2}1975 bzw. 1973. Jänich, K.: Lineare Algebra. Springer Hochschultext 1981. Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie. Springer ^{2}1989, ^{3}1992. Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer ^{2}1985, ^{3}1992. Kowalsky, H.-J.: Lineare Algebra. Walter de Gruyter ^{6}1972. Lang, S.: Introduction to Linear Algebra. Addison-Wesley 1970, ^{2}1988. Lang, S.: Linear Algebra. Addison-Wesley 1966, ^{3}1989. Lingenberg, R.: Linare Algebra. BI-Hochschultaschenbuch 1969. Lorenz, F.: Lineare Algebra I, II. 2 Bände, BI-Hochschultaschenbücher ^{2}1988/89. Satake, I.: Linear Algebra. Marcel Dekker 1975. Stammbach, U.: Lineare Algebra. Teubner 1980. Storch, U., Wiebe, H.: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI Wissen-

schaftsverlag 1990. Strang, G.: Linear Algebra and its Applications. Academic Press ^{3}1988.

8. Aufgabensammlungen

Artmann. B., Peterhänsel W., Sachs E.: Beispiele und Aufgaben zur linearen Algebra.

BI-Hochschultaschenbücher, Band 783, 1978. Heinold, J., Riedmüller, B., Fischer, H.: Aufgaben und Lösungen zur Linearen Algebra

und Analytischen Geometrie. 2 Bände, Carl Hanser 1970/71. Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill, Schaum’s outline

series.

0. Übung zur Vorlesung ,,Lineare Algebra I“ (WS 99/00)

Prof. Dr. H. Pahlings

Die Präsenzaufgaben werden am Mittwoch, dem 20.10.99, in der Übungsstunde erarbeitet.

Die Hausaufgaben sind zu Hause zu bearbeiten und am Freitag, dem 22.10.99, bis 14.00 Uhr im Übungskasten des Lehrstuhls D für Mathematik, zweite Etage im Sammelbau der Fachbereiche 1 und 8, Templergraben 64, abzugeben.

Schreiben Sie auf Ihre Lösungen Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters und den Hörsaal Ihrer Übungsgruppe! Sollte Ihre Lösung mehrere Blätter umfassen, heften Sie diese bitte zusammen. Das Aufgabenblatt braucht nicht mit abgegeben zu werden.

Präsenzaufgaben

Aufgabe P1. Wir definieren auf der Menge ℂ := {(a, b) ∈ ℝ^{2}} von Paaren reeller Zahlen die folgenden beiden arithmetischen Operationen:

(a, b) + (a′, b′) := (a + a′, b + b′) und (a, b) · (a′, b′) := (a · a′ − b · b′, a · b′ + b · a′)

Zeigen Sie, dass ℂ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.

Wir schreiben im Folgenden auch a + bi für das Paar (a, b).

Aufgabe P2. Komplexe Zahlen beschreiben Punkte in der reellen Ebene. Eine Position in der Ebene läßt sich auch durch Polarkoordinaten angeben: Durch die Entfernung r vom Ursprung und einen Winkel ϑ, der die Richtung vom Ursprung angibt. Genauer soll (r, ϑ) dem Punkt r · cos(ϑ) + r · sin(ϑ) · i entsprechen.

(a) Aus welchen Mengen müssen r und ϑ stammen, damit diese Entsprechung bijektiv ist?

(b) Zeigen Sie, dass die Multiplikation für komplexe Zahlen in Polarkoordinaten durch diese Formel beschrieben wird:

(r, ϑ) · (r′, ϑ′) = (r · r′, ϑ + ϑ′)

Bemerkung: Die Additionstheoreme der Winkelfunktionen dürfen ohne Beweis verwendet werden.

(c) Finden Sie eine Zahl a ∈ ℂ mit a^{2} = i.

Aufgabe P3. Für n ∈ ℕ sei ζ_{n} := cos\frac{2π}{n} + i sin\frac{2π}{n} ∈ ℂ. Zeigen Sie:

(a) Für k ∈ ℕ gilt ζ_{n}^{k} = cos\frac{2πk}{n} + i sin\frac{2πk}{n}, und es ist ζ_{n}^{n} = 1.

(b) Für n ≥ 2 gilt 1 + ζ_{n} + ζ_{n}^{2} + … + ζ_{n}^{n−1} = 0.

Die Hausaufgaben sind zu Hause zu bearbeiten und am Freitag, dem 22.10.99, bis 14.00 Uhr im Übungskasten des Lehrstuhls D für Mathematik, zweite Etage im Sammelbau der Fachbereiche 1 und 8, Templergraben 64, abzugeben.

Schreiben Sie auf Ihre Lösungen Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters und den Hörsaal Ihrer Übungsgruppe! Sollte Ihre Lösung mehrer Blätter umfassen, heften Sie diese bitte zusammen. Das Aufgabenblatt braucht nicht mit abgegeben zu werden.

Aufgabe 1. (Injektivität, Surjektivität)

Es sei M eine Menge. Wir bezeichnen mit M^{{2}} := {{a, b}|a, b ∈ M, a ≠ b} die Menge der zweielementigen Teilmengen und setzen:

f : ℤ^{{2}} → ℤ, {a, b} ↦ 2a^{2} + b

Ist das eine Funktion? Wenn ja, ist sie injektiv oder surjektiv?

Aufgabe 2. (Lineare Gleichungssysteme)

Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden drei linearen Gleichungssysteme an. Für die Unbestimmten x und y sollen rationale Zahlen zugelassen sein. In welchen Fällen existieren ganzzahlige Lösungen?

(a) \begin{aligned}2x + 4y & = & 17 \\ 5x − 3y & = & −3 \end{aligned}  (b) \begin{aligned}−\frac{3}{7}x + \frac{5}{6}y & = & 10 \\ \frac{9}{22}x − \frac{35}{44}y & = & 11 \end{aligned}  (c) \begin{matrix}1381794x + 667029y = 66963 \\ 758632x + 366212y = 36764 \end{matrix}

Aufgabe 3. (Abbildungen)

Es seien M und N Mengen und f: M → N eine Abbildung. Beweisen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann, wenn eine Abbildung g: N → M existiert mit der Eigenschaft g ∘ f = id_{M}.

(b) f ist surjektiv genau dann, wenn eine Abbildung g: N → M existiert mit der Eigenschaft f ∘ g = id_{N}.

(c) f ist bijektiv genau dann, wenn eine Abbildung g: N → M existiert mit der Eigenschaft g ∘ f = id_{M} und f ∘ g = id_{N}.

Aufgabe 4. (Äquivalenzrelationen)

Untersuchen Sie, welche der folgenden Relationen reflexiv, symmetrisch, transitiv sind. Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?

R_{1} = {(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 4 teilt a + b},  R_{4} = {(a, b) ∈ ℚ × ℚ | a ≠ b},
R_{2} = {(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 4 teilt a − b},  R_{5} = {(a, b) ∈ ℤ × ℤ | ab ≥ a − b},
R_{3} = {(a, b) ∈ ℕ × ℕ | a^{2} teilt b},  R_{6} = {(a, b) ∈ ℕ × ℕ | ab ≥ a + b}.

Aufgabe 5. Finden Sie alle Lösungen x, y ∈ ℂ des linearen Gleichungssystems

(1 + 3i)x + 2y = −1, 3x − iy = 2 − i.

Aufgabe 6. Es sei (K, +, ·) ein Körper, und es seien a, b ∈ K. Zeigen Sie: Es gilt a^{2} = b^{2} genau dann, wenn a = b oder a = −b ist.

Aufgabe 7. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über dem Körper 𝔽_{2} mit 2 Elementen:

x_{1}  + x_{3}  + x_{5} + x_{6} = 0
x_{2}  + x_{4} + x_{5}  = 1
x_{1}  + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 1
x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  + x_{6} = 1

Aufgabe 8. (Reelle Zahlen)

Betrachten Sie die folgenden beiden Teilmengen der reellen Zahlen ℝ:

ℤ[\sqrt{2}] := \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℤ\},
ℚ[\sqrt{2}] := \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}.

(a) Zeigen Sie, daß die Addition und Multiplikation von Elementen aus ℤ[\sqrt{2}] bzw. ℚ[\sqrt{2}] wieder Elemente der jeweiligen Menge liefern (d. h., die Einschränkung der Addition und Multiplikation von ℝ auf diese Teilmengen liefert Verknüpfungen).

(b) Zeigen Sie, daß ℤ[\sqrt{2}] mit den unter (a) definierten Verknüpfungen ein kommutativer Ring mit Eins und ℚ[\sqrt{2}] sogar ein Körper ist.

Hinweis: Sie dürfen benutzen, daß ℝ ein Körper ist.

Aufgabe 9. (Konstruktion der rationalen Zahlen)

Auf der Menge M := ℤ × (ℤ \ {0}) definieren wir die Relation

R := { ((a, b), (c, d)) ∈ M × M | ad = bc }.

Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Die Äquivalenzklasse von (a, b) ∈ M bezeichnen wir mit [(a, b)]_{R} und die Menge der Äquivalenzklassen mit ℚ. Wir definieren folgende Verknüpfungen:

+ : ℚ × ℚ → ℚ, ([(a, b)]_{R}, [(c, d)]_{R}) ↦ [(ad + bc, bd)]_{R}
∗ : ℚ × ℚ → ℚ, ([(a, b)]_{R}, [(c, d)]_{R}) ↦ [(ac, bd)]_{R}

Beweisen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind. Zeigen Sie weiter, dass ℚ mit den angegebenen Verknüpfungen einen Körper bildet, und überzeugen Sie sich, dass in diesem Körper alle Rechenregeln gelten, die Sie unter dem Namen Bruchrechnung bereits in der Schule gelernt haben. Der Körper ℚ ist also genau der Körper der rationalen Zahlen.

Aufgabe 10. Fassen Sie die folgenden beiden quadratischen Gleichungen jeweils über 𝔽_{11} und über ℂ auf:

(a) X^{2} + 2X + 2 = 0 (b) X^{2} + 3X − 10 = 0

Bestimmen Sie in allen vier Fällen sämtliche Lösungen.

Welche Elemente von 𝔽_{11} sind Quadrate?

Aufgabe 11.

Bringen Sie die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 & 0 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{5}^{4×5} durch elementare Zeilenumformungen

auf Stufenform.

Aufgabe 12. Es sei n ∈ ℕ. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ ℚ^{n×n} sei gegeben durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i & , falls i ≤ j, \\ j & , falls i > j. \end{matrix}

Es sei (b_{1}, … b_{n}) ∈ ℚ^{n} beliebig. Bestimmen Sie eine Lösung (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℚ^{n} des Gleichungssystems a_{i1}x_{1} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i}, mit 1 ≤ i ≤ n, in Abhängigkeit von b. Ist x eindeutig bestimmt?

Aufgabe 13. (Injektivität und Surjektivität) Untersuchen Sie die Abbildungen

f : 𝔽_{5} → 𝔽_{5}, x ↦ x^{3} und g : 𝔽_{7} → 𝔽_{7}, x ↦ x^{3}

auf Injektivität und Surjektivität. Aufgabe 14. (Lineares Gleichungssystem mit Parameter) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über ℝ in Abhängigkeit von r ∈ ℝ:

\begin{aligned}r · x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & + & r · y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & + & r · z & = & 1 \end{aligned}

Aufgabe 15. (Matrizen) Über dem Körper ℚ seien die Matrizen

A_{1} = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ] , A_{2} = [ \begin{matrix}2 & −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ] , A_{3} = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \\ −1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} ] , A_{4} = [ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} ]

gegeben. Berechnen Sie alle Matrixprodukte A_{i}A_{j} mit 1 ≤ i, j ≤ 4, soweit sie definiert sind. Aufgabe 16. (Matrizen) Sei R ein Ring mit Eins und A = [a_{ij}] ∈ R^{n×n} mit

a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für j = i + 1 \\ 0 & sonst \end{matrix}

Berechnen Sie A^{i} = \underbrace{A · A ⋯ A}_{i Faktoren} für 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 17.

Es sei K ein Körper mit 1 ≠ −1 in K. Bestimmen Sie alle Linearkombinationen (x_{1}, …, x_{6}) ∈ K^{6} der Vektoren

(1, 1, 1, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 1, 1) und (0, 0, 1, −1, 1, −1) ∈ K^{6}

bei denen alle x_{i} ∈ {0, 1, −1} sind.

Aufgabe 18. Gegeben sei der Vektorraum V := 𝔽_{3}^{2} = {(x_{1}, x_{2}) | x_{1}, x_{2} ∈ 𝔽_{3}}.

(a) Wieviele Vektoren liegen in V?

(b) Wieviele Teilräume gibt es in V, die von einem Vektor erzeugt sind, also von der Form ⟨x⟩ für ein x ∈ V sind?

Aufgabe 19. Es sei V ein Vektorraum, und es seien A, B und C Teilräume von V.

(a) Zeigen Sie: Genau dann ist A ∪ B ein Teilraum von V, wenn A ⊆ B oder B ⊆ A gilt.

(b) Zeigen Sie: Ist C ⊆ A, so gilt A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + C.

(c) Gelten allgemein die Beziehungen A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) und A + (B ∩ C) = (A + B) ∩ (A + C) ?

Aufgabe 20. Es sei M ⊂ ℤ × ℤ eine endliche, nicht-leere Menge. Ein Element x = (x_{1}, x_{2}) ∈ M heißt innerer Punkt von M, wenn

N(x) := {(x_{1} − 1, x_{2}), (x_{1} + 1, x_{2}), (x_{1}, x_{2} − 1), (x_{1}, x_{2} + 1)} ⊆ M,

und sonst ein Randpunkt von M. Eine Abbildung f : M → ℝ heißt harmonisch, wenn

f(x) = \frac{1}{4} ∑_{y∈N(x)} f(y)

für alle inneren Punkte x von M gilt. Zeigen Sie:

(a) Die Menge H := {f : M → ℝ | f harmonisch} ist ein Teilraum des Vektorraums ℝ^{M} aller reellwertigen Funktionen auf M.

(b) Jede harmonische Abbildung f : M → ℝ ist durch die Werte auf den Randpunkten von M bereits eindeutig bestimmt. (Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall, dass f(x) = 0 für alle Randpunkte x ∈ M gilt, und untersuchen Sie, wo f sein Maximum annehmen kann.)

(c) Zu beliebig vorgegebenen Werten für die Randpunkte von M gibt es stets eine harmonische Abbildung f : M → ℝ, die auf den Randpunkten die vorgegebenen Werte annimmt.

Musterlösung zur Aufgabe 19 im WS 99/00

(a) ”⟸“: Ist A ⊆ B, dann ist A ∪ B = B offenbar auch ein Teilraum von V. B ⊆ A geht analog.

”⟹“: Es sei A ∪ B ein Teilraum von V und A ⊈ B. Zu zeigen: B ⊆ A.

Sei also a ∈ A\B (nach Voraussetzung nicht leer!) und b ∈ B beliebig. Dann ist a+b mit a und b in A∪B. Da aber a+b nicht in B ist (sonst wäre auch a = a+b−b ∈ B), liegt a + b ∈ A und damit auch b = a + b − a ∈ A. Da b beliebig war, folgt B ⊆ A.

(b) Wir zeigen ”⊆“ und ”⊇“:

”⊆“: Sei b + c ∈ A mit b ∈ B und c ∈ C ⊆ A. Dann ist auch b = b + c − c mit c und b + c in A. Also ist b + c ∈ (A ∩ B) + C.

”⊇“: Betrachte b + c mit b ∈ A ∩ B und c ∈ C ⊆ A. Dann ist b + c ∈ A, da sowohl b als auch c in A sind. Also ist b + c ∈ A ∩ (B + C).

(c) Es sei

V := ℝ^{2}, A := ⟨(1, 1)⟩ B := ⟨(1, 0)⟩ und C := ⟨(0, 1)⟩

Dann ist V = A + B = A + C = B + C und 0 = A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C. Damit lassen sich beide Behauptungen widerlegen:

A = A ∩ (B + C) ≠ (A ∩ B) + (A ∩ C) = 0

und

A = A + (B ∩ C) ≠ (A + B) ∩ (A + C) = V.

Musterlösung zur Aufgabe 20 im WS 99/00

(a) Die Bedingung an eine Funktion f : M → ℝ, harmonisch zu sein, ist linear. Deswegen ist mit zwei harmonischen Funktionen f und g auch λ·f +g für jedes λ ∈ ℝ wieder harmonisch:

(λ · f + g)(x)  (für einen inneren Punkt x)
= λ · f(x) + g(x)  (nach Definition von λ · f + g)
= λ · (\frac{1}{4} ∑_{y∈N(x)} f(y)) + (\frac{1}{4} ∑_{y∈N(x)} g(y)) (weil f und g harmonisch sind)
= \frac{1}{4} ∑_{y∈N(x)} (λ · f(y) + g(y))
= \frac{1}{4} ∑_{y∈N(x)}(λ · f + g)(y)  (wieder nach Definition von λ · f + g)

Da die Funktion, die konstant gleich 0 ist, harmonisch ist, und mit obiger Rechnung folgt, dass sowohl die Summe zweier als auch das Vielfache und Negative einer harmonischen Funktion (λ = −1) wieder harmonisch ist, ist die Menge H der harmonischen Funktionen ein Teilvektorraum von ℝ^{M}.

(b) Es sei f eine harmonische Funktion, die auf allen Randpunkten den Wert 0 hat. Da M endlich ist, ist auch die Wertemenge {f(x)|x ∈ M} endlich, enthält also ein maximales Element g. Wenn nun f an einer Stelle x_{0} ∈ M diesen maximalen Wert g annimmt, dann hat f auch an allen Nachbarpunkten y ∈ N(x_{0}) den Wert g, da das arithmetische Mittel

\frac{1}{4} ∑_{y∈N(x_{0})} f(y)

der Werte an den Nachbarpunkten sonst ja echt kleiner als g wäre. Dies kann aber nicht sein, da f harmonisch ist. Also enthält die Menge der Punkte, an denen f den Wert g hat, einen Randpunkt, und g ist damit gleich 0 (um dies zu sehen, kann man zum Beispiel von einem solchen Punkt immer weiter nach links laufen, bis man an einem Randpunkt ist). Genauso schließt man für das Minimum von f, und damit ist bewiesen, dass f konstant gleich 0 ist. Nehmen nun zwei harmonische Funktionen f und g auf dem Rand von M dieselben Werte an, dann verschwindet ihre Differenz auf dem Rand, ist also nach obiger Überlegung als harmonische Funktion komplett gleich 0. Damit ist f = g.

(c) Schreibt man die Funktionswerte einer Funktion auf den Randpunkten von M vor, dann muss man, um f komplett zu beschreiben, noch die Werte an den inneren Punkten von M angeben. Die Anzahl der inneren Punkte sei mit n bezeichnet. Zur Festlegung von f sind also noch n reelle Zahlen zu bestimmen. Die Bedingung, harmonisch zu sein, ergibt für jeden inneren Punkt eine lineare Gleichung in diesen n Unbekannten. Die Werte auf dem Rand gehen in dieses Gleichungssystem in die rechte Seite ein. Insgesamt ergibt das ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten und n Gleichungen. Alle Koeffizienten vor Unbekannten dieser Gleichungen sind entweder gleich 0, gleich 1 oder gleich \frac{1}{4}. Das Problem aus Teil (b) beschäftigte sich mit dem homogenen solchen Gleichungssystem und wir haben gezeigt, dass dieses nur die triviale Lösung hat. Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems bringt man die entsprechende Matrix zunächst auf Stufenform. Aus Teil (b) schließen wir, dass diese Stufenform die Einheitsmatrix ist, und zwar unabhängig davon, ob wir das homogene, oder ein inhomogenes System betrachten (die Matrix ist ja immer gleich!). Also gibt es auch für jede Festsetzung der Werte auf dem Rand genau eine harmonische Funktion, die diese vorgegebenen Werte auf dem Rand annimmt.

Aufgabe 21. (Basisergänzung) Es sei K ein Körper und V := K^{4}.

(a) Sei X := {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 1)}. Welche Bedingungen muß K erfüllen, damit X ein Erzeugendensystem für V ist?

(b) Sei Y := {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0)}. Zeigen Sie: Y ist linear unabhängig.

(c) Geben Sie eine Teilmenge X′ ⊆ X an, so dass Y ∪ X′ eine Basis von V ist.

Aufgabe 22. (Lineare Unabhängigkeit) Untersuchen Sie jeweils die Menge {f_{i}|i ∈ ℕ} auf lineare Unabhängigkeit:

(a) für den Fall

f_{i} ∈ ℚ^{ℕ} mit f_{i}(n) = \{ \begin{matrix}n & für n ≤ i \\ 0 & für n > i \end{matrix} (n ∈ ℕ)

(b) für den Fall

f_{i} ∈ ℝ^{ℝ} mit f_{i}(x) = ∏_{j=1}^{i}(x − j) (x ∈ ℝ)

Aufgabe 23. (Lineare Unabhängigkeit) Geben Sie eine unendliche Teilmenge Y des ℚ -Vektorraums ℚ^{2} an, so dass jede zweielementige Teilmenge von Y linear unabhängig ist. Aufgabe 24. (Basis) Es sei f_{i} : 𝔽_{3} → 𝔽_{3}, x ↦ x^{i} für (0 ≤ i ≤ 2). Zeigen Sie, dass {f_{0}, f_{1}, f_{2}} eine Basis von 𝔽_{3}^{𝔽_{3}} (= Abb(𝔽_{3}, 𝔽_{3})) ist.

Aufgabe 25. (Dimension)

(a) Es sei V := 𝔽_{3}^{5} und

U := ⟨(1, 1, 2, 1, 0), (1, 1, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 2, 1), (2, 2, 0, 2, 1), (1, 1, 0, 1, 0)⟩

Geben Sie eine Basis für U an. Was ist dim U?

(b) Für n ∈ ℕ_{0} sei f_{n} ∈ ℝ^{ℕ_{0}} definiert durch

f_{n}(i) := 1 + n · i (i ∈ ℕ_{0} = ℕ ∪ {0})

Was ist dim ⟨f_{n}|n ∈ ℕ_{0}⟩?

Aufgabe 26. Es sei K ein Körper. Für i ∈ ℕ_{0} sei p_{i} ∈ K^{K} = Abb(K, K) definiert durch p_{i}(x) = x^{i} für x ∈ K. Bestimmen Sie jeweils die Dimension des von {p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}} erzeugten Teilraumes P_{3}(K) für die Fälle K = 𝔽_{2}, K = 𝔽_{3} bzw. K = ℚ.

Aufgabe 27. (Basen)

(a) Es sei V := 𝔽_{2}^{2}. Geben Sie alle Basen von V an.

(b) Es sei V := 𝔽_{2}^{3}. Wie viele Basen von V gibt es, die {e_{1}, e_{2}} enthalten, wobei e_{1} := (1, 0, 0) und e_{2} := (0, 1, 0) ist? Wie viele Basen von V gibt es, die e_{1} enthalten?

Aufgabe 28. (Lineare Abbildungen) Sei V := K^{2×2} und 1 + 1 ≠ 0 im Körper K. Man zeige:

B := (E_{2}, [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]) =: (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4})

ist Basisfolge von V.

Nach Satz 1 (III, §1) gibt es genau eine lineare Abbildung φ : V → K^{3} mit

φ(b_{1}) = (1, 1, 0)
φ(b_{2}) = (0, 1, 0)
φ(b_{3}) = (0, 0, 0)
φ(b_{4}) = (0, 0, 1)

Was ist

φ ([ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ]) für a_{ij} ∈ K?

Aufgabe 29. (Lineare Abbildungen) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a) φ_{1}, φ_{2} : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3} mit:

\begin{matrix}φ_{1} : & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & (x_{1}, x_{1} − x_{2}, x_{1}) \\ φ_{2} : & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & (x_{1}, 0, x_{1}x_{2}) \end{matrix}

(b) Sei V = P_{3}(ℝ) := {f ∈ ℝ^{ℝ}, x ↦ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}| a_{i} ∈ ℝ für i = 0, 1, 2, 3}. ψ_{1}, ψ_{2} : V ⟶ ℝ^{ℝ} mit:

\begin{aligned}ψ_{1}(f)(x) & = & f(x + 1) \\ ψ_{2}(f)(x) & = & xf′(x) \end{aligned}

(Hier soll f′ die Ableitung von f sein.)

Aufgabe 30. (Zyklischer Code) Es sei φ : 𝔽_{2}^{7} ⟶ 𝔽_{2}^{7} mit φ((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})) = (x_{7}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}). Zeigen Sie, dass φ linear ist.

Sei v = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0) ∈ 𝔽_{2}^{7} und U = ⟨φ^{i}(v)| i = 0, 1, 2, …⟩, wobei φ^{0}(v) = v und φ^{i}(v) = φ(φ^{i−1}(v)) für i > 0. Geben Sie eine Basis von U an.

Für x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}) und y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}, y_{6}, y_{7}) aus 𝔽_{2}^{7} sei

d(x, y) = |{i| 1 ≤ i ≤ 7, x_{i} ≠ y_{i}}|

der Abstand von x und y. Bestimmen Sie Min{d(x, y)| x, y ∈ U, x ≠ y}.

Aufgabe 31.

Sei A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ∈ V = ℝ^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AXA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an.

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V.

Aufgabe 32. Sei n ∈ ℕ und V ein n-dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie, dass es genau dann eine lineare Abbildung φ : V ⟶ V mit Kern(φ) = Bild(φ) gibt, wenn n gerade ist.

Anmerkung: Die Aufgaben 31. und 32. sind Klausuraufgaben aus dem WS94/95.

Aufgabe 33.

Es seien die Matrix A=( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{3}^{4×5} und die Vektoren b_{1} =( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), b_{2} =( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

aus 𝔽_{3}^{4} gegeben. Wieviele Lösungen x ∈ 𝔽_{3}^{5} hat das Gleichungssystem A · x = b jeweils für b = b_{1} bzw. b = b_{2}?

Aufgabe 34.

(a) Es sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Im K-Vektorraum V = K^{n×1} seien zwei Teilräume U = ⟨u_{1}, …, u_{r}⟩ und W = ⟨w_{1}, …, w_{t}⟩ gegeben. Weiter sei m = r + t und

A = ( \begin{matrix}u_{1} & … & u_{r} & w_{1} & … & w_{t} \\ u_{1} & … & u_{r} & 0 & … & 0 \end{matrix} ) ∈ K^{2n×m}.

Zeigen Sie: Bringt man A durch elementare Spaltenumformungen auf die Form

A′ = ( \begin{matrix}v_{1} & … & v_{l} & 0 & … & 0 \\ ⋆ & … & ⋆ & y_{1} & … & y_{m−l} \end{matrix} ) ,

wobei die Folge (v_{1}, …, v_{l}) linear unabhängig ist, so ist (v_{1}, …, v_{l}) eine Basis von U +W und die Folge (y_{1}, …, y_{m−l}) ein Erzeugendensystem und, falls dim U = r und dim W = t, sogar eine Basis von U∩W. (Dieser Algorithmus zur Berechnung des Durchschnitts zweier Teilräume stammt von Hans Zassenhaus und heißt deshalb Zassenhaus-Algorithmus.)

Anleitung: Betrachten Sie den Spaltenraum T = SP(A) und die Abbildung π : T →

K^{n×1} mit π (( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )) = x. Zeigen Sie, daß π linear, Bild π = U + W und Kern π =

\{( \begin{matrix}0 \\ y \end{matrix} ) | y ∈ U ∩ W \} ist.

(b) Im Vektorraum V = ℝ^{4×1} seien die beiden Teilräume

U = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ −2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ und W = ⟨( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )⟩

gegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe des in Teil (a) bewiesenen Zassenhaus-Algorithmus Basen für U ∩ W und U + W.

Aufgabe 35. Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K mit dim V = n < ∞. Weiter sei φ : V → V linear mit φ ∘ φ = φ. Man zeige:

(a) Es gilt Kern φ ∩ Bild φ = \{\underline{0}\}.

(b) Es gibt eine Basisfolge B = (v_{1}, …, v_{n}) mit

B[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 \\ & ... & & & 0 \\ & & 1 \\ & & & 0 \\ & 0 & & & ... \\ & & & & & 0 \end{matrix} ]

Gilt die Umkehrung auch?

Aufgabe 36. Es sei

V := P_{4}(ℝ) = {f : ℝ → ℝ | ∃a_{0}, …, a_{4} ∈ ℝ und f(x) = ∑_{i=0}^{4} a_{i}x^{i} ∀x ∈ ℝ}

und φ : V → V sei definiert durch φ(f)(x) = f′′(x) + x · f′(x) − f(x + 1).

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

(b) Berechnen Sie die Matrix _{B}[φ]_{B} bezüglich einer Basisfolge B von V.

(c) Bestimmen Sie eine Basis von Kern φ.

(d) Sei g ∈ V mit g(x) = 2x^{3} + 1. Berechnen Sie φ^{−1}({g}).

Aufgabe 37.

(a) Zeigen Sie, dass die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & −1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3} invertierbar ist, und berechnen Sie ihr Inverses.

(b) Berechnen Sie mittels elementarer Zeilenumformungen eine Matrix X ∈ ℚ^{3×3} mit

( \begin{matrix}1 & 1 & −2 \\ −1 & 2 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) · X = ( \begin{matrix}−1 & 8 & 8 \\ −5 & 7 & 10 \\ 8 & 8 & −4 \end{matrix} ) .

Aufgabe 38. Es sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} heißt untere Dreiecksmatrix, wenn a_{ij} = 0 für alle 1 ≤ i < j ≤ n gilt.

(a) Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei unteren Dreiecksmatrizen aus K^{n×n} wieder eine untere Dreiecksmatrix ist.

(b) Zeigen Sie, dass eine untere Dreicksmatrix A = (a_{ij}) genau dann invertierbar ist, wenn alle Diagonalelemente a_{ii} ≠ 0 sind.

(c) Zeigen Sie, dass

T_{n}(K) := {A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} | a_{ij} = 0, falls i < j, und a_{ii} ≠ 0 für alle i}

mit der üblichen Matrixmultiplikation eine Gruppe ist. Bestimmen Sie für den Fall, dass K ein endlicher Körper mit q Elementen ist, die Anzahl der Elemente von T_{n}(K).

Aufgabe 39. Es seien sin: ℝ → ℝ und cos: ℝ → ℝ die üblichen Winkelfunktionen, V der von sin^{2}, cos^{2} und sin·cos (punktweise erklärtes Produkt von Abbildungen) erzeugte Teilraum von Abb(ℝ, ℝ) und φ, ψ: V → V definiert durch φ(f)(x) = f′(x) bzw. ψ(f)(x) = f(x + π/2) für alle f ∈ V und x ∈ ℝ. (Überprüfen Sie, dass φ und ψ tatsächlich lineare Abbildungen von V in sich sind.)

(a) Zeigen Sie, dass B := (sin^{2}, cos^{2}, sin·cos) linear unabhängig, also eine Basis von V ist.

(b) Berechnen Sie _{B} [φ]_{B}, _{B} [ψ]_{B}, _{B} [φ ∘ ψ]_{B}, _{B} [ψ ∘ φ]_{B}, (ψ ∘ φ)(3sin^{2} + cos^{2}) und (φ ∘ ψ)(sin·cos).

Aufgabe 40. Es seien Permutationen σ, τ ∈ S_{9} definiert durch

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 6 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 4 & 8 & 3 \end{matrix} ) und τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 1 & 2 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 3 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie Darstellungen als Produkte von Zykeln mit disjunkten Ziffernmengen für σ, τ, σ ∘ τ, τ ∘ σ, σ^{−1} ∘ τ ∘ σ und τ^{−1} ∘ σ ∘ τ (Multiplikation jeweils von rechts nach links). Können Sie aus den Ergebnissen für σ^{−1} ∘ τ ∘ σ und τ^{−1} ∘ σ ∘ τ eine allgemeine Regel ableiten? Abgabe: Freitag, den 14.1.2000, bis 14.00 Uhr im Übungskasten am Lehrstuhl.

Aufgabe 41. (Determinanten) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen aus ℝ^{4×4} bzw. ℝ^{3×3}.

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 & π \\ −2 & −3 & 7 & 0 \\ 6 & \frac{1}{5} & \frac{1}{3} & π^{2} \\ 0 & −\frac{1}{2} & 1 & 2 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}2t^{2} & −3 & −t \\ t & t & t^{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}t^{3} & 7 & t \\ 0 & −2 & 1 \\ −1 & \frac{−2}{t^{2}} & 0 \end{matrix} ] .

Für welche Werte des Parameters t ∈ ℝ bzw. t ∈ ℝ \ {0} sind B bzw. C invertierbar?

Aufgabe 42. (Determinanten) Es sei K ein Körper. Berechnen Sie für n ≥ 2 und x, a_{0}, …, a_{n−1} ∈ K die Determinante der Matrix

A = [ \begin{matrix}x & 0 & 0 & 0 & ⋯ & −a_{0} \\ −1 & x & 0 & 0 & ⋯ & −a_{1} \\ 0 & −1 & x & 0 & ⋯ & −a_{2} \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & & & −1 & x & −a_{n−2} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 & −a_{n−1} \end{matrix} ] ∈ K^{n×n}.

Aufgabe 43. Für welche m ∈ ℕ gilt die folgende Aussage?

Sind A, B, C, D ∈ ℚ^{m×m}, so ist det [ \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ] = det A · det D − det B · det C.

Aufgabe 44. Es seien p, q ∈ ℚ[X] mit p = X^{5} + 3X^{4} + 6X^{3} + 6X^{2} + 5X + 3 und q = X^{2} + X + 1.

(a) Dividieren Sie p mit Rest durch q.

(b) Berechnen Sie q(A) und p(A) für A = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2}.

Aufgabe 45. Es sei K ein Körper und A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ K ^{4×4}. Bestimmen Sie die Eigenwerte von A

und die zugehörigen Eigenräume. Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle char K = 2 (d. h., in K gilt 1 + 1 = 0) und char K ≠ 2.

Aufgabe 46.

Es sei A = [ \begin{matrix}5 & −6 \\ 3 & −4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}. Berechnen Sie A^{n} für alle n ∈ ℕ.

Hinweis: Diagonalisieren Sie A.

Aufgabe 47. Es sei K ein Körper, und es seien A, B ∈ K^{n×n} zwei Matrizen, von denen mindestens eine invertierbar ist. Zeigen Sie, dass die charakteristischen Polynome von AB und BA gleich sind.

Kann man auf die Voraussetzung, dass eine der Matrizen invertierbar ist, verzichten?

Aufgabe 48. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit dim V = n, φ ∈ End V und f ∈ K[X].

Man zeige: Ist t ∈ K ein Eigenwert von φ, so ist f(t) ein Eigenwert von f(φ).

Lösung zur Aufgabe 47

Es sei K ein Körper und A und B Matrizen aus K^{n×n}. Dann sind die charakteristischen Polynome von AB und von BA gleich.

Beweis: Wenn eine der beiden Matrizen invertierbar ist (o.E. B), dann folgt die Behauptung aus dieser Rechnung (E_{n} die Einheitsmatrix, x eine Unbestimmte):

χ_{AB} = det(x · E_{n} − AB) = det(B(x · E_{n} − AB)B^{−1}) = det(x · E_{n} − BA) = χ_{BA}

In der Vorlesung kam folgender Satz vor: Satz: Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End(V). Sei weiter f ∈ K[x] ein Polynom mit f(φ) = 0 und f = (x − t)^{m} · f_{0} (t ∈ K) mit einem Polynom f_{0} mit f_{0}(t) ≠ 0. Dann ist

V = Kern(φ − t · id)^{m} ⊕ Bild(φ − t · id)^{m}

Also gibt es eine Basisfolge B = (b_{1}, …, b_{k}, b_{k+1}, …, b_{n}) mit

B[φ]_{B} = [ \begin{matrix}A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{matrix} ] ,

wobei A_{1} eine k × k-Matrix mit charakteristischem Polynom (x − t)^{k} und t kein Eigenwert von A_{2} ist. Ist speziell f = χ_{φ}, dann ist k = m, χ_{A_{1}} = (x − t)^{m} und χ_{A_{2}} = f_{0}.

Wir wenden nun diesen Satz an auf die Matrix AB mit f = χ_{AB} und t = 0, also f = x^{m} · f_{0}, wobei f_{0} nicht durch x teilbar ist. Sei B = (b_{1}, …, b_{n}) die Basisfolge aus dem Satz. AB ist auf dem Erzeugnis der Vektoren (b_{m+1}, …, b_{n}) injektiv (die Matrix A_{2} hat 0 nicht als Eigenwert), also ist die Folge (Bb_{m+1}, …, Bb_{n}) linear unabhängig. Die Matrix BA verhält sich nun auf diesen Vektoren genau wie AB auf (b_{m+1}, …, b_{n}):

(BA)Bb_{i} = B(AB)b_{i} = B ∑_{j=m+1}^{n} a_{ji}b_{j} = ∑_{j=m+1}^{n} a_{ji}Bb_{j},

wobei (a_{ji}) die Matrix _{B}[φ]_{B} ist. BA ist also (nach einem Basiswechsel) von der Form:

[ \begin{matrix}∗ & 0 \\ ∗ & A_{2} \end{matrix} ] (∗)

mit demselben A_{2} wie oben. Deswegen kann BA den Eigenwert 0 höchstens m mal enthalten. Aus Symmetriegründen (gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen) haben also BA und AB den Faktor x gleich oft im charakteristischen Polynom. Das charakteristische Polynom der Matrix A_{2} ist aber gleich f_{0}, also dem anderen Faktor des charakteristischen Polynoms von AB. Andererseits sieht man an (∗), dass das charakteristische Polynom von A_{2} auch ein Teiler des charakteristischen Polynoms von BA ist, woraus die Behauptung folgt. Zusatzübung: Die Aussage stimmt (leicht modifiziert) auch für Matrizen A ∈ K^{n×n′} und B ∈ K^{n′×n}, wie man leicht durch Ergänzen der Matrizen mit Nullen zu quadratischen sieht.

Aufgabe 49. Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n}. Zeigen Sie: Ist A invertierbar, so gibt es ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad < n mit f(A) = A^{−1}.

Aufgabe 50.

Berechnen Sie die Jordan-Normalform von A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ 𝔽_{2}^{5×5}, und bestimmen

Sie eine invertierbare Matrix P ∈ 𝔽_{2}^{5×5}, so dass P^{−1}AP in Jordan-Normalform ist.

Aufgabe 51. Berechnen Sie die Jordansche Normalform J(A) von

A = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 1 & 2 & −1 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{5×5}.

Aufgabe 52. Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ und V = K^{n×n}.

(a) Zeigen Sie: Ist A ∈ V und λ_{A} die durch λ_{A}: X ↦ Spur AX definierte Abbildung von V nach K, so ist λ_{A} linear, d. h., es ist λ_{A} ∈ V^{∗}.

(b) Zeigen Sie: {λ_{A} | A ∈ V } = V^{∗}.

(c) Es sei U = {X ∈ V | X_{ij} = 0 für i > j} die Menge der oberen Dreiecksmatrizen in V. Berechnen Sie den Annihilator U^{∘}.

(d) Zeigen Sie, daß {λ ∈ V^{∗} | λ(XY) = λ(Y X) für alle X, Y ∈ V } ein Teilraum von V^{∗} ist, und geben Sie eine Basis dafür an.

(e) Zeigen Sie, daß ⟨XY − Y X | X, Y ∈ V ⟩ = {Z ∈ V | Spur Z = 0} ist.

Aufgabe 53. V und W seien endlich-dimensionale K-Vektorräume, und φ: V → W sei linear. Wir definie-

ren φ^{T} : W^{∗} → V^{∗}, λ ↦ λ ∘ φ

(wobei V^{∗} und W^{∗} die Dualräume von V bzw. W sind). Zeigen Sie:

(a) φ^{T} ist linear.

(b) φ ist surjektiv (bzw. injektiv) genau dann, wenn φ^{T} injektiv (bzw. surjektiv) ist.

(c) Sind B und C Basen von V bzw. W und B^{∗} und C^{∗} die dazu dualen Basen von V^{∗}

bzw. W^{∗}, dann ist B^{∗} [φ^{T} ]_{C^{∗}} = _{C} [φ]_{B}^{T} .

Aufgabe 54.

(a) Es sei Φ eine Bilinearform auf V = ℝ^{3×1} mit [Φ]_{S} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ], wobei S die Stan-

dardbasis von V ist. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V für Φ.

(b) Beschreiben Sie \{[ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×1} | x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} = 1\} geometrisch (in einem geeigneten

Koordinatensystem).

Aufgabe 55. Es sei V = ℝ^{3×1} und B eine Basisfolge von V. Eine Bilinearform Φ auf V sei gegeben durch

die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ].

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ.

(b) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.)

(c) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ.

(d) Ist Φ positiv definit? (Begründung.)

Aufgabe 56. Es sei V ≤ Abb(ℝ, ℝ) der Vektorraum der auf ℝ integrierbaren Funktionen und Φ : V ×V → ℝ definiert durch

Φ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(x)g(x)dx für f, g ∈ V,

und es sei p ∈ V mit p(x) = 2x^{4} + x^{5} für alle x ∈ ℝ. Berechnen Sie eine bezüglich Φ beste Approximation von p durch eine Polynomfunktion vom Grad kleiner gleich 3. Hinweis: Benutzen Sie die Legendre-Polynome.

Aufgabe 57. Es sei V = ℙ_{2}(ℝ) der Raum der reellen Polynomfunktionen vom Grad kleiner oder gleich 2 und λ_{i} ∈ V^{∗} definiert durch

λ_{i}(f) = ∫_{0}^{i} f(x) dx (1 ≤ i ≤ 3)

(a) Man zeige, dass B = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) eine Basisfolge von V^{∗} ist.

(b) Es sei φ ∈ End V definiert durch φ(f) = f′ und φ^{T} ∈ End V^{∗} wie in Aufgabe 53. Berechnen Sie _{B}[φ^{T}]_{B}.

(c) Zu U = ⟨p_{2} + p_{0}, p_{1} + p_{0}⟩ (mit p_{i}(x) = x^{i} für x ∈ ℝ) berechne man eine Basis des Annihilators U^{0}.

Bearbeitungen der Aufgaben sollen nicht abgegeben werden. Sie werden in der ersten Übungsstunde zur Linearen Algebra II im Sommersemester 2000 besprochen.

Aufgaben mit Begründung

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 10. Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem endlichen Körper 𝔽_{2} an:

x_{3}  + x_{5} = 1
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 1
x_{1} + x_{2}  + x_{4} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3}  + x_{5} = 1

Wieviele Lösungen gibt es? (4 Punkte)

Aufgabe 11. Es sei K ein Körper. Für i ∈ ℕ ∪ {0} sei p_{i} ∈ Abb(K, K) durch p_{i}(x) = x^{i} definiert (wobei p_{0}(0) := 1).

(a) Zeigen Sie, dass die Menge M := {p_{0}+p_{1}, p_{0}+p_{1}+p_{2}} linear unabhängig in Abb(K, K) ist. (2 Punkte)

(b) Ergänzen Sie M zu einer Basis von P_{3}(K) = ⟨{p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}}⟩. (2 Punkte)

Aufgabe 12.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×3} → ℝ^{2×2} mit

Kern(φ) = \{[ \begin{matrix}x & x & x \\ y & y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×3} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(φ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung ψ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(3 Punkte)

Geben Sie jeweils entweder eine solche Abbildung an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 13.

(a) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3} → 𝔽_{3}, x ↦ x^{2} + x surjektiv? (2 Punkte)

(b) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3}^{2×3} → 𝔽_{3}^{2×3}, X ↦ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] · X surjektiv? (3 Punkte)

Aufgabe 14. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (2 Punkte)

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 3 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, W ein K-Vektorraum und V_{1} und V_{2} Teilräume von W. Dann gilt:

W = {k · w | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

W = V_{1} + V_{2} □ Ja □ Nein

W × K = {w · k | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

V_{1} ∩ V_{2} ist Teilraum von W  □ Ja □ Nein
W + V_{1} = W + V_{2}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Kern(φ) = φ^{−1}({0})  □ Ja □ Nein
Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1}(M) = {v ∈ V | für alle w ∈ M ist φ(v) = w} □ Ja □ Nein

φ(v · w) = φ(v) · φ(w) □ Ja □ Nein

{(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(x, y, x − y) | x, y ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(x, 1) | x ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein ∅ ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein

⟨{(x, 1) | x ∈ ℝ}⟩ ist Teilraum in ℝ^{2}  □ Ja □ Nein
{φ : ℝ → ℝ | φ ist linear} ist ein Teilraum des ℝ-Vektorraums ℝ^{ℝ}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(1, 0, 1), (1, 2), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0), (0, 1), (0, 0)} ist Basis von ℝ^{2} □ Ja □ Nein {(1, 1, 1), (1, 2, 3)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 2, 3), (0, 2, 0)} ist Basis des Teilraums ⟨(1, 1, 1), (1, 0, 1)⟩ von ℝ^{3} □ Ja □ Nein Aufgabe 5. K sei ein Körper, V ein K-Vektorraum und X ⊆ V eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Ist X Basis von V, dann ist X endlich □ Ja □ Nein Ist X Basis von V, dann ist X auch Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear abhängig, dann ist X kein Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear unabhängig, dann existiert kein v ∈ X mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩ □ Ja □ Nein Wenn ein v ∈ V \ ⟨X⟩ existiert, dann ist X \ {v} keine Basis von V □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Es sei K ein Körper und alle K^{n} (n ∈ ℕ) seien als K-Vektorräume aufgefasst. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

φ : K^{2} → K^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, x_{2} + x_{1}, x_{1}) □ Ja □ Nein

φ : K^{2} → K, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1} − 1) · (x_{2} + 1) □ Ja □ Nein

φ : K → K, x ↦ 1 □ Ja □ Nein

φ : K → K^{2}, x ↦ (x, x + x)  □ Ja □ Nein
φ : K → K, x ↦ 0  □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper und V und W K-Vektorräume. φ : V → W und ψ : V → W seien zwei lineare Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Kern(φ + ψ) ⊇ Kern(φ) ∩ Kern(ψ)  □ Ja □ Nein
Bild(φ + ψ) ⊆ Bild(φ) + Bild(ψ)  □ Ja □ Nein

Kern(φ + ψ) = Kern(φ) ∩ Kern(ψ) □ Ja □ Nein Bild(φ − ψ) ⊇ Bild(φ) + Bild(ψ) □ Ja □ Nein Kern(φ + ψ) = Kern(φ) + Kern(ψ) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999} ist surjektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000} ist injektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999}. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem über einem Körper

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ...  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

— heißt homogen, wenn b_{1} = 0 ist. □ Ja □ Nein

— ist lösbar, wenn m = n ist. □ Ja □ Nein

— hat einen Lösungsraum der Dimension n − Rg [a_{ij}], □ Ja □ Nein falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.

— kann unlösbar sein, wenn b_{1} ≠ 0 ist. □ Ja □ Nein

— hat immer die Lösung x_{1} = ⋯ = x_{n} = 0. □ Ja □ Nein

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Es seien K ein Körper und A, A′, T ∈ K^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AT = T A′. Dann gilt: det A = det A′ □ Ja □ Nein det A · det T = det A′ · det T □ Ja □ Nein det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′, wenn AT invertierbar ist □ Ja □ Nein det(T A′) = det(T A) □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit reellen Einträgen (x ∈ ℝ):

[ \begin{matrix}7 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}cos(x) & − sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 147 & 7 & 0 \\ π & tan(x) & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 & 0 \\ 7 & −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 3 & −1 & −1 \end{matrix} ]

Aufgabe 3. Es seien K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über K. Es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Grad(f + g) = max(Grad(f), Grad(g)) □ Ja □ Nein Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g) □ Ja □ Nein Grad(f + g) = Grad(f − g) □ Ja □ Nein Es gibt q, r ∈ K[X] mit f = q · g + r mit Grad(rq) < Grad(g). □ Ja □ Nein Ist g ein Teiler von f, dann ist jede Nullstelle von f auch eine von g. □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Es seien K ein Körper und A ∈ K^{k×l}, B ∈ K^{l×m} und C ∈ K^{m×n}. Dann gilt: Rang(AB) ≤ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(AB) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(ABC) = Rang(AB) + Rang(BC) − Rang(B) □ Ja □ Nein Rang(ABC) ≤ min{k, l, m, n} □ Ja □ Nein Rang(ABC) > 0 wenn, ABC ≠ 0 □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Sei n ≥ 4 eine natürliche Zahl und S_{n} die symmetrische Gruppe auf {1, 2, …, n}. Es seien σ und τ Permutationen aus S_{n}. Dann gilt: sgn(σ) · sgn(τ) = sgn(σ ∘ τ) = sgn(τ ∘ σ) □ Ja □ Nein sgn(τ ∘ τ) = +1 □ Ja □ Nein (1, 2, 3) ∘ (2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein Jede Permutation ist ein Produkt von Dreierzykeln. □ Ja □ Nein Es gibt ein τ ∈ S_{n} mit τ^{−1} ∘ (1, 2)(3, 4) ∘ τ = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Sei K ein Körper, M ∈ K^{n×n}, χ_{M} das charakteristische Polynom von M, t ∈ K und (X − t)^{2} ein Teiler von χ_{M}. Dann gilt: t ist Eigenwert von M. □ Ja □ Nein M hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert t. □ Ja □ Nein χ_{M}(M) bildet jeden Eigenvektor von M auf 0 ab. □ Ja □ Nein Der Rang von M ist gleich n, wenn X kein Teiler von χ_{M} ist. □ Ja □ Nein Das Minimalpolynom von M ist durch (X − t) teilbar. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Sei A := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 1999} und B := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 2000}. Es gibt eine surjektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist surjektiv. □ Ja □ Nein Die Abbildung φ : A × B → B, (a, b) ↦ b ist surjektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine injektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Sind die folgenden Aussagen richtig? Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat. □ Ja □ Nein Jede n × n-Matrix ist diagonalisierbar. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie 0 nicht als Eigenwert hat. □ Ja □ Nein Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes einer n × n-Matrix ist immer kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit. □ Ja □ Nein In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 9. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i & für & i = j \\ 1 & für & i ≠ j \end{matrix}

Man berechne det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 10. Seien V := ℝ^{3×1} und

B := ([ \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ −8 \\ 5 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 4 \\ −3 \end{matrix} ]) sowie φ : V → V, [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}z \\ x \\ y \end{matrix} ] .

(a) Zeigen Sie, dass B eine Basisfolge von V ist. (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}. (4 Punkte)

Aufgabe 11. Sei V = ℝ^{n×n} und φ, ψ ∈ End V definiert durch

φ(A) = A^{T}  für A ∈ V  (Transponierte zu A)
ψ(A) = A^{T} + 3A für A ∈ V

(a) Man beweise, dass φ und ψ diagonalisierbar sind. Man bestimme die Eigenwerte von φ und von ψ. (4 Punkte)

(b) Für n = 2 gebe man explizit eine Basis von V an, die aus Eigenvektoren von ψ besteht. (4 Punkte)

Aufgabe 12. Sei A ∈ 𝔽_{5}^{3×3} die folgende Matrix (𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4}):

A := [ \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ]

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. (4 Punkte)

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkte)

(d) Geben Sie für jeden Eigenwert die geometrische und die algebraische Vielfachheit an. (1 Punkt)

Aufgabe 13. Berechnen Sie die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−4 & 0 & 0 & 18 & 0 \\ 4 & 2 & −1 & −12 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & −3 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & −6 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{5×5}

(8 Punkte)

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Es seien K ein Körper und A, A′, T ∈ K^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AT = T A′. Dann gilt: det A = det A′ □ Ja □ Nein det A · det T = det A′ · det T □ Ja □ Nein det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein

det A = det A′, wenn AT invertierbar ist  □ Ja □ Nein
det(T A′) = det(T A)  □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit reellen Einträgen (x ∈ ℝ):

[ \begin{matrix}7 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}cos(x) & − sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 147 & 7 & 0 \\ π & tan(x) & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 & 0 \\ 7 & −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 3 & −1 & −1 \end{matrix} ]

Aufgabe 3. Es seien K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über K. Es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Grad(f + g) = max(Grad(f), Grad(g)) □ Ja □ Nein Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g) □ Ja □ Nein Grad(f + g) = Grad(f − g) □ Ja □ Nein Es gibt q, r ∈ K[X] mit f = q · g + r mit Grad(rq) < Grad(g). □ Ja □ Nein Ist g ein Teiler von f, dann ist jede Nullstelle von f auch eine von g. □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Es seien K ein Körper und A ∈ K^{k×l}, B ∈ K^{l×m} und C ∈ K^{m×n}. Dann gilt: Rang(AB) ≤ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(AB) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(ABC) = Rang(AB) + Rang(BC) − Rang(B) □ Ja □ Nein

Rang(ABC) ≤ min{k, l, m, n}  □ Ja □ Nein
Rang(ABC) > 0 wenn, ABC ≠ 0  □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Sei n ≥ 4 eine natürliche Zahl und S_{n} die symmetrische Gruppe auf {1, 2, …, n}. Es seien σ und τ Permutationen aus S_{n}. Dann gilt:

sgn(σ) · sgn(τ) = sgn(σ ∘ τ) = sgn(τ ∘ σ)  □ Ja □ Nein
sgn(τ ∘ τ) = +1  □ Ja □ Nein

(1, 2, 3) ∘ (2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Jede Permutation ist ein Produkt von Dreierzykeln. □ Ja □ Nein Es gibt ein τ ∈ S_{n} mit τ^{−1} ∘ (1, 2)(3, 4) ∘ τ = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Sei K ein Körper, M ∈ K^{n×n}, χ_{M} das charakteristische Polynom von M, t ∈ K und (X − t)^{2} ein Teiler von χ_{M}. Dann gilt: t ist Eigenwert von M. □ Ja □ Nein M hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert t. □ Ja □ Nein

χ_{M}(M) bildet jeden Eigenvektor von M auf 0 ab.  □ Ja □ Nein
Der Rang von M ist gleich n, wenn X kein Teiler von χ_{M} ist.  □ Ja □ Nein
Das Minimalpolynom von M ist durch (X − t) teilbar.  □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Sei A := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 1999} und B := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 2000}. Es gibt eine surjektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist surjektiv. □ Ja □ Nein

Die Abbildung φ : A × B → B, (a, b) ↦ b ist surjektiv.  □ Ja □ Nein
Es gibt eine injektive Abbildung φ : A → B.  □ Ja □ Nein

Jede Abbildung φ : B → A ist injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Sind die folgenden Aussagen richtig? Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat. □ Ja □ Nein Jede n × n-Matrix ist diagonalisierbar. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie 0 nicht als Eigenwert hat. □ Ja □ Nein Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes einer n × n-Matrix ist immer kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit. □ Ja □ Nein In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 9. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i & für & i = j \\ 1 & für & i ≠ j \end{matrix}

Man berechne det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 10. Seien V := ℝ^{3×1} und

B := ([ \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ −8 \\ 5 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 4 \\ −3 \end{matrix} ]) sowie φ : V → V, [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}z \\ x \\ y \end{matrix} ] .

(a) Zeigen Sie, dass B eine Basisfolge von V ist. (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}. (4 Punkte)

Aufgabe 11. Sei V = ℝ^{n×n} und φ, ψ ∈ End V definiert durch

φ(A) = A^{T}  für A ∈ V  (Transponierte zu A)
ψ(A) = A^{T} + 3A für A ∈ V

(a) Man beweise, dass φ und ψ diagonalisierbar sind. Man bestimme die Eigenwerte von φ und von ψ. (4 Punkte)

(b) Für n = 2 gebe man explizit eine Basis von V an, die aus Eigenvektoren von ψ besteht. (4 Punkte)

Aufgabe 12. Sei A ∈ 𝔽_{5}^{3×3} die folgende Matrix (𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4}):

A := [ \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ]

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. (4 Punkte)

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkte)

(d) Geben Sie für jeden Eigenwert die geometrische und die algebraische Vielfachheit an. (1 Punkt)

Aufgabe 13. Berechnen Sie die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−4 & 0 & 0 & 18 & 0 \\ 4 & 2 & −1 & −12 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & −3 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & −6 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{5×5}

(8 Punkte)

3.4.2000

Nachholklausur zur Linearen Algebra I

WS99/00

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei ℚ der Körper der rationalen Zahlen und V der ℚ-Vektorraum ℚ^{2×2}. Sind die folgenden Teilmengen Teilräume?

\{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ]| x, y ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 1 \\ 0 & x \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
{A ∈ V | Spur A = 0}  □ Ja □ Nein

{A ∈ V | det A = 0} □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kern(φ) = {w ∈ W | es gibt v ∈ V mit φ(v) ≠ w} □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1} (M) = {v ∈ V | φ(v) ∈ M} ein Teilraum von V □ Ja □ Nein Kern(φ) ⊆ Kern(φ^{2}), falls V = W □ Ja □ Nein {(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es seien A, A′, S ∈ ℝ^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AS = SA′. Dann gilt:

det A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ ⟹ det A = 0  □ Ja □ Nein
det(A · A^{T}) ≥ 0  □ Ja □ Nein

det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′ □ Ja □ Nein det(sA) = s det(A) für alle s ∈ ℝ □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {[1, 0, 1], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [2, 2, 1]} ist Erzeugendensystem von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

{[1, 0], [1, −1]} ist linear unabhängig in ℝ^{1×2}.  □ Ja □ Nein
{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}.  □ Ja □ Nein

{[1, 1, 1], [1, 1, 0]} ist Basis des Teilraums ⟨[1, 2, 0], [2, 2, 1]⟩ von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es seien φ : V → W und ψ : W → U lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V, W und U. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Wenn φ und ψ injektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv.  □ Ja □ Nein
Wenn φ und ψ surjektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv.  □ Ja □ Nein

Wenn φ surjektiv und ψ injektiv ist, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ surjektiv ist, dann ist auch ψ surjektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ injektiv ist, dann ist auch ψ injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. S sei ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 3 Unbekannten über dem Körper ℝ. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Jedes solche S hat eine Lösung. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das eindeutig lösbar ist. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das genau 2 Lösungen hat. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das unendlich viele Lösungen hat. □ Ja □ Nein Jedes solche S hat unendlich viele Lösungen. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es seien A, B ∈ ℝ^{n×n} und c ∈ ℝ^{n×1}. Dann gilt: Ist A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ, so ist Rang(A) < n □ Ja □ Nein Rang(A + B) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein

Rang(c · c^{T}) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein
Rang(c^{T} · c) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein

Rang(AB) = Rang(BA) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Matrizen aus ℝ^{2×2} sind diagonalisierbar?

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen. Aufgabe 9. Sei V := ℝ^{1×2} und φ : V → V die Abbildung, die durch φ([x, y]) = [3x − 7y, x − 2y] gegeben ist. Seien weiter B_{1} := ([1, 2], [2, 1]) und B_{2} := ([0, 1], [−1, 0]).

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass B_{1} und B_{2} Basisfolgen von V sind. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B_{1}}[id_{V}]_{B_{2}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{1}}. (2 Punkte)

(d) Wie erhält man _{B_{1}}[φ]_{B_{1}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{2}} direkt aus den Ergebnissen aus (c)? (2 Punkte)

Aufgabe 10. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = i · j für 1 ≤ i, j ≤ n

Man berechne Rang(A) und det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 11. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (3 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, in dem 1 ≠ −1 gilt. Weiter sei φ : K^{1×n} → K^{1×n} die lineare Abbildung, die Vektoren ”spiegelt“, es gelte also φ([x_{1}, x_{2}, …, x_{n}]) = [x_{n}, x_{n−1}, …, x_{1}].

(a) Man berechne das Minimalpolynom von φ. (2 Punkte)

(b) Ist φ diagonalisierbar? (2 Punkte)

(c) Was sind die Eigenwerte von φ? (2 Punkte)

(d) Geben Sie zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

Aufgabe 13. Es sei A ∈ 𝔽_{2}^{4×4} die folgende Matrix:

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

(a) Zeigen Sie: 1 ist Eigenwert von A. (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert 1. (3 Punkte)

(c) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von A. (4 Punkte)

Test

T1) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
V × V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
K × V = {s · v| s ∈ K und v ∈ V }  □ Ja  □ Nein

T2) Seien K, V wie in T1), U ein Teilraum von V und u, v ∈ V. Dann gilt:

u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein
u, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
s ∈ K, u ∉ U ⟹ s · u ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein

T3) Sind die folgenden Teilmengen auch Teilräume des ℝ-Vektorraumes ℝ^{3}?

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(x, x, x)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(x, 1, 0)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein

T4) Sei V ein Vektorraum.

Ist U Teilraum von V, so ist stets V \ U auch Teilraum.  □ Ja  □ Nein
Es gibt einen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein
Es gibt keinen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein

T5) Sei V ein Vektoraum. X ⊆ V ist genau dann linear unabhängig, wenn

– für jedes v ∈ X gilt v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein
– 0 ∈ ⟨X⟩.  □ Ja  □ Nein
– es ein v ∈ V gibt mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein

T6) Sind die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} linear unabhängig?

{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein

T7) Sei V ein Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Dann gilt:

X linear unabhängig ⟹ Y linear unabhängig  □ Ja  □ Nein
X linear abhängig ⟹ Y linear abhängig  □ Ja  □ Nein
X ist Erzeugendensystem von V ⟹ Y ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein
Y ist Erzeugendensystem von V ⟹ X ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test

T1) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  ⊠ Ja  □ Nein
V × V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  ⊠ Nein
K × V = {s · v| s ∈ K und v ∈ V }  □ Ja  ⊠ Nein

T2) Seien K, V wie in T1), U ein Teilraum von V und u, v ∈ V. Dann gilt:

u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U  ⊠ Ja  □ Nein
u, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  ⊠ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  ⊠ Ja  □ Nein
s ∈ K, u ∉ U ⟹ s · u ∉ U  □ Ja  ⊠ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  ⊠ Nein

T3) Sind die folgenden Teilmengen auch Teilräume des ℝ-Vektorraumes ℝ^{3}?

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  □ Ja  ⊠ Nein
{(x, x, x)| x ∈ ℝ}  ⊠ Ja  □ Nein
{(x, 1, 0)| x ∈ ℝ}  □ Ja  ⊠ Nein
{(0, 0, 0)}  ⊠ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  ⊠ Nein

T4) Sei V ein Vektorraum.

Ist U Teilraum von V, so ist stets V \ U auch Teilraum.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt einen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt keinen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  ⊠ Ja  □ Nein

T5) Sei V ein Vektoraum. X ⊆ V ist genau dann linear unabhängig, wenn

– für jedes v ∈ X gilt v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  ⊠ Nein
– 0 ∈ ⟨X⟩.  □ Ja  ⊠ Nein
– es ein v ∈ V gibt mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  ⊠ Nein

T6) Sind die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} linear unabhängig?

{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}  ⊠ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein
{(1, 1, 1), (0, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein
∅  ⊠ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein

T7) Sei V ein Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Dann gilt:

X linear unabhängig ⟹ Y linear unabhängig  □ Ja  ⊠ Nein
X linear abhängig ⟹ Y linear abhängig  ⊠ Ja  □ Nein
X ist Erzeugendensystem von V ⟹ Y ist Erzeugendensystem von V  ⊠ Ja  □ Nein
Y ist Erzeugendensystem von V ⟹ X ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  ⊠ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test

Es sei K ein Körper und U, V und W K-Vektorräume. T1) Ist φ : ℝ → ℝ ℝ-linear, so gilt für alle a, b ∈ ℝ:

φ(0) = 0  □ Ja  □ Nein
φ(1) = 1  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = φ(a) · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = a · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)  □ Ja  □ Nein
Bild φ = ℝ  □ Ja  □ Nein

T2) Ist φ : V → W linear, so ist:

Kern φ = \{φ(v)|v = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
Kern φ = \{v ∈ V |φ(v) = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
φ surjektiv ⟺ φ injektiv  □ Ja  □ Nein
φ injektiv ⟺ Kern φ = \{\underline{0}\}  □ Ja  □ Nein

T3) Sind φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen, so gilt:

Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern ψ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊇ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊇ Bild ψ  □ Ja  □ Nein

T4) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (ℝ, ℝ^{2} und ℝ^{3} als ℝ-Vektorräume)

φ : ℝ → ℝ, x ↦ 2x + 1  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2} − x_{1}, x_{1})  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x)  □ Ja  □ Nein
φ : 𝔽_{2} → 𝔽_{2}, x ↦ x^{2}  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}x_{2}  □ Ja  □ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2} ist surjektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} ist injektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein

T6) Es sei φ : V → W linear und B Basis von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Ist φ injektiv, so ist φ(B) eine Basis von W.  □ Ja  □ Nein
Ist φ surjektiv, so ist φ(B) Erzeugendensystem von W.  □ Ja  □ Nein
Ist V ≅ W, so ist φ ein Isomorphismus.  □ Ja  □ Nein
Ist φ ein Isomorphismus, so ist {φ(v_{1}), …, φ(v_{n})} für jedes n-Tupel  □ Ja  □ Nein

(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} eine Basis von W. T7) Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ... ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}
ist lösbar, wenn n ≥ m.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn Rg [a_{ij}] = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist für m > n nie eindeutig lösbar.  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension Rg [a_{ij}].  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension n − m, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale  □ Ja  □ Nein

Lösung hat. Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test

Es sei K ein Körper und U, V und W K-Vektorräume. T1) Ist φ : ℝ → ℝ ℝ-linear, so gilt für alle a, b ∈ ℝ:

φ(0) = 0  ⊠ Ja  □ Nein
φ(1) = 1  □ Ja  ⊠ Nein
φ(a · b) = φ(a) · φ(b)  □ Ja  ⊠ Nein
φ(a · b) = a · φ(b)  ⊠ Ja  □ Nein
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)  ⊠ Ja  □ Nein
Bild φ = ℝ  □ Ja  ⊠ Nein

T2) Ist φ : V → W linear, so ist:

Kern φ = \{φ(v)|v = \underline{0}\}  □ Ja  ⊠ Nein
Kern φ = \{v ∈ V |φ(v) = \underline{0}\}  ⊠ Ja  □ Nein
φ surjektiv ⟺ φ injektiv  □ Ja  ⊠ Nein
φ injektiv ⟺ Kern φ = \{\underline{0}\}  ⊠ Ja  □ Nein

T3) Sind φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen, so gilt:

Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ  □ Ja  ⊠ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern ψ  □ Ja  ⊠ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊇ Kern φ  ⊠ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ  ⊠ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild φ  □ Ja  ⊠ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊇ Bild ψ  □ Ja  ⊠ Nein

T4) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (ℝ, ℝ^{2} und ℝ^{3} als ℝ-Vektorräume)

φ : ℝ → ℝ, x ↦ 2x + 1  □ Ja  ⊠ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2} − x_{1}, x_{1})  ⊠ Ja  □ Nein
φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x)  ⊠ Ja  □ Nein
φ : 𝔽_{2} → 𝔽_{2}, x ↦ x^{2}  ⊠ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}x_{2}  □ Ja  ⊠ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2} ist surjektiv.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  ⊠ Ja  □ Nein
Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} ist injektiv.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  ⊠ Ja  □ Nein

T6) Es sei φ : V → W linear und B Basis von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Ist φ injektiv, so ist φ(B) eine Basis von W.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist φ surjektiv, so ist φ(B) Erzeugendensystem von W.  ⊠ Ja  □ Nein
Ist V ≅ W, so ist φ ein Isomorphismus.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist φ ein Isomorphismus, so ist {φ(v_{1}), …, φ(v_{n})} für jedes n-Tupel  □ Ja  ⊠ Nein

(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} eine Basis von W. T7) Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ... ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}
ist lösbar, wenn n ≥ m.  □ Ja  ⊠ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn Rg [a_{ij}] = 0 ist.  □ Ja  ⊠ Nein
ist für m > n nie eindeutig lösbar.  □ Ja  ⊠ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension Rg [a_{ij}].  □ Ja  ⊠ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension n − m, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.  □ Ja  ⊠ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale  □ Ja  ⊠ Nein

Lösung hat. Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test 3

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Wenn A′ aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, dann gilt

det(A′) = det(A) □ Ja □ Nein det(A′) = ± det(A) □ Ja □ Nein det(A) = 0 ⇔ det(A′) = 0 □ Ja □ Nein

T2) Für A, B ∈ K^{n×n} und s ∈ K gilt:

det(A + B) = det(A) + det(B) □ Ja □ Nein det(s · A) = s · det(A) □ Ja □ Nein det(AB) = det(A) · det(B) □ Ja □ Nein

T3) (Ergebnis eintragen). Für s ∈ K ist det ([ \begin{matrix}s & s & s \\ s & s & s \\ s & s & s \end{matrix} ]) =

T4) Sei A ∈ K^{n×n} mit det(A) = 0 und b ∈ K^{n×1}. Dann ist das Gleichungssystem Ax = b

– nur lösbar für b = \underline{0}. □ Ja □ Nein – für jedes b lösbar, aber nicht eindeutig. □ Ja □ Nein – für manche b lösbar, aber für kein b eindeutig lösbar. □ Ja □ Nein

T5) Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über 𝔽_{2}

– ist stets lösbar. □ Ja □ Nein – ist nie eindeutig lösbar. □ Ja □ Nein – kann genau 4 Lösungen haben. □ Ja □ Nein – kann genau 2 Lösungen haben. □ Ja □ Nein

T6) Sei B ∈ K^{3×2}, C ∈ K^{2×3} und A = BC. Dann gilt:

det(A) = det(B) · det(C) □ Ja □ Nein det(A) ist nicht definiert □ Ja □ Nein det(A) = 0 □ Ja □ Nein

T7) Seien f, g ∈ K[X] Polynome und sei f vom Grad n > 0. Dann gilt:

fg = 0 ⇒ g = 0 □ Ja □ Nein für A ∈ K^{2×2} mit f · g(A) = 0 ist g(A) = 0 □ Ja □ Nein Grad(f · g) = Grad(f) · Grad(g), falls g ≠ 0 □ Ja □ Nein K[X] ∋ X − a ≠ 0 für jedes a ∈ K □ Ja □ Nein

T8) Sei A ∈ ℚ^{10×10} mit A^{6} = E_{10}.

Dann ist det(A) = 1. □ Ja □ Nein

Test 3 im WS99/00

Der Rang von A ist In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Wenn A′ aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, dann gilt

det(A′) = det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A′) = ± det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⇔ det(A′) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T2) Für A, B ∈ K^{n×n} und s ∈ K gilt:

det(A + B) = det(A) + det(B) □ Ja ⊠ Nein det(s · A) = s · det(A) □ Ja ⊠ Nein det(AB) = det(A) · det(B) ⊠ Ja □ Nein

T3) (Ergebnis eintragen). Für s ∈ K ist det ([ \begin{matrix}s & s & s \\ s & s & s \\ s & s & s \end{matrix} ]) =  0

T4) Sei A ∈ K^{n×n} mit det(A) = 0 und b ∈ K^{n×1}. Dann ist das Gleichungssystem Ax = b

– nur lösbar für b = \underline{0}. □ Ja ⊠ Nein – für jedes b lösbar, aber nicht eindeutig. □ Ja ⊠ Nein – für manche b lösbar, aber für kein b eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein

T5) Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über 𝔽_{2}

– ist stets lösbar. □ Ja ⊠ Nein – ist nie eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 4 Lösungen haben. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 2 Lösungen haben. □ Ja ⊠ Nein

T6) Sei B ∈ K^{3×2}, C ∈ K^{2×3} und A = BC. Dann gilt:

det(A) = det(B) · det(C) □ Ja ⊠ Nein det(A) ist nicht definiert □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T7) Seien f, g ∈ K[X] Polynome und sei f vom Grad n > 0. Dann gilt:

fg = 0 ⇒ g = 0 ⊠ Ja □ Nein für A ∈ K^{2×2} mit f · g(A) = 0 ist g(A) = 0 □ Ja ⊠ Nein Grad(f · g) = Grad(f) · Grad(g), falls g ≠ 0 □ Ja ⊠ Nein K[X] ∋ X − a ≠ 0 für jedes a ∈ K ⊠ Ja □ Nein

T8) Sei A ∈ ℚ^{10×10} mit A^{6} = E_{10}.

Dann ist det(A) = 1. □ Ja ⊠ Nein

Der Rang von A ist  10

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen aus 𝔽_{11} = {0, 1, …, 10} (x ∈ 𝔽_{11}):

[ \begin{matrix}3 & 7 \\ 2 & 7 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x + 2 & x + 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & 9 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \end{matrix} ]

T2) Es seien V und W K-Vektorräume mit dim V = 3, dim W = 2 und φ : V → W ein Epimorphismus. Sind die folgenden Aussagen wahr?

B′[φ]_{B} ∈ K^{2×3} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} ∈ K^{3×2} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

T3) Sei φ ∈ End V mit charakteristischem Polynom χ_{φ} = (X − 1)^{5} und Minimalpolynom μ_{φ} = (X − 1)^{3}; ferner sei dim Kern(φ − id_{V}) = 2. Dann ist die Jordansche Normalform von φ (eines ankreuzen!):

[ \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ]

T4) Sei V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr?

0 ∈ K kann Eigenwert von φ sein.  □ Ja  □ Nein
\underline{0} ∈ V kann Eigenvektor von φ sein.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenwerte haben.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenvektoren haben.  □ Ja  □ Nein
φ hat immer einen Eigenwert.  □ Ja  □ Nein
Ist 0 Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.  □ Ja  □ Nein
Die Summe von Eigenvektoren von φ ist auch Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein

T5) A und A′ seien n × n-Matrizen mit Einträgen in K. Sind die folgenden Aussagen wahr?

χ_{A} = χ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
μ_{A} = μ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ χ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ μ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = 0 ⟺ χ_{A} = X^{n}  □ Ja  □ Nein

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen aus 𝔽_{11} = {0, 1, …, 10} (x ∈ 𝔽_{11}):

[ \begin{matrix}3 & 7 \\ 2 & 7 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x + 2 & x + 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & 9 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \end{matrix} ]

7  -2  6  -44  -16

T2) Es seien V und W K-Vektorräume mit dim V = 3, dim W = 2 und φ : V → W ein Epimorphismus. Sind die folgenden Aussagen wahr?

B′[φ]_{B} ∈ K^{2×3} für Basisfolgen B von V und B′ von W  ⊠ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} ∈ K^{3×2} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  ⊠ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  ⊠ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  ⊠ Nein

B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  ⊠ Nein

T3) Sei φ ∈ End V mit charakteristischem Polynom χ_{φ} = (X − 1)^{5} und Minimalpolynom μ_{φ} = (X − 1)^{3}; ferner sei dim Kern(φ − id_{V}) = 2. Dann ist die Jordansche Normalform von φ (eines ankreuzen!):

[ \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ]

X

T4) Sei V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr?

0 ∈ K kann Eigenwert von φ sein.  ⊠ Ja  □ Nein
\underline{0} ∈ V kann Eigenvektor von φ sein.  □ Ja  ⊠ Nein
φ kann n + 1 Eigenwerte haben.  □ Ja  ⊠ Nein
φ kann n + 1 Eigenvektoren haben.  ⊠ Ja  □ Nein
φ hat immer einen Eigenwert.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist 0 Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.  □ Ja  ⊠ Nein
Die Summe von Eigenvektoren von φ ist auch Eigenvektor.  □ Ja  ⊠ Nein
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor.  □ Ja  ⊠ Nein

T5) A und A′ seien n × n-Matrizen mit Einträgen in K. Sind die folgenden Aussagen wahr?

χ_{A} = χ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  ⊠ Nein
μ_{A} = μ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  ⊠ Nein
Rang A = n ⟺ χ_{A}(0) ≠ 0  ⊠ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ μ_{A}(0) ≠ 0  ⊠ Ja  □ Nein
Rang A = 0 ⟺ χ_{A} = X^{n}  □ Ja  ⊠ Nein