1. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 88/89)

Prof. Dr. Neubüser

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 150 Minuten. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg! Aufgabe 1. Man berechne die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem Körper Z_{2}. 4 Punkte

x_{1}  + x_{3}  + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2}  + x_{5} = 1
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 0
x_{1} + x_{2}  + x_{5} = 1

Aufgabe 2. Es sei V = Abb(R, R) der Vektorraum aller Abbildungen von R nach R. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (Begründung!)

1. M_{1} = {f ∈ V | f(1) = f(−1)} 2 Punkte

2. M_{2} = {f ∈ V | f(1) · f(0) = 0} 3 Punkte

3. M_{3} = {f ∈ V | f(x) = f(x + π) für alle x ∈ R} 2 Punkte

Aufgabe 3.

Es sei V = R^{4} und M = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

1. Man berechne eine Basis von M und ergänze sie zu einer Basis von V. 4 Punkte

2. Man gebe eine Basis von V/M an. 2 Punkte

Aufgabe 4. Man bestimme die \underline{Dimension} des Durchschnitts der folgenden Teilräume T_{1} und T_{2} von Z_{3}^{4}. 4 Punkte

T_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩ , T_{2} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} )⟩ .

Aufgabe 5. Man bestimme die Dimension der folgenden Vektorräume über den angegebenen Körpern.

1. K = Q, V = ⟨( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )⟩ ≤ Q^{2×2} 2 Punkte

2. K = R, V = Hom(R, R) 1 Punkt 3. K ein Körper mit 9 Elementen, V = Abb(K, K) 3 Punkte

Aufgabe 6. Sei φ : R^{3} → R^{2} die lineare Abbildung mit φ(( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}x + z \\ x − y − z \end{matrix} ). Man bestimme

alle Elemente von R^{3}, die durch φ auf ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} ) abgebildet werden. 3 Punkte Aufgabe 7. Es sei V = ⟨f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}⟩ ≤ Abb(R, R) mit f_{0}(x) = 1, f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = x^{2} und f_{3}(x) = x^{3} für alle x ∈ R. Es ist B = (f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}) eine Basis von V (dies ist \underline{nicht} zu zeigen!). Für f ∈ V sei φ(f) ∈ V mit φ(f)(x) = f(x + 1) − f(x − 1) für alle x ∈ R.

1. Man zeige, daß die so definierte Abbildung φ : V → V linear ist. 4 Punkte Auch für den Fall, daß man Teil ?? dieser Aufgabe nicht gelöst hat, behandele man die folgenden Punkte:

2. Man berechne die Matrix _{B}φ_{B}. 3 Punkte 3. Man bestimme eine Basis von Kernφ 2 Punkte 4. Man bestimme die Dimension von Bildφ. 1 Punkt

Aufgabe 8. Es sei V ein Q-Vektorraum der Dimension 3, B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V und

φ ∈ Hom(V, V) mit _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} ). Weiter sei B′ = (B′_{1}, B′_{2}, B′_{3}) mit B′_{1} = −B_{1} + B_{2},

B′_{2} = B_{1} + B_{2} und B′_{3} = B_{2} + B_{3}. Man weise nach, daß B′ eine Basis von V ist und bestimme _{B′}φ_{B′}. 6 Punkte Aufgabe 9. Wieviele invertierbare 3 × 3-Matrizen gibt es über dem Körper Z_{2}? 4 Punkte Aufgabe 10. Es sei V ein Vektorraum, T ein Teilraum von V, T ≠ 0 und X_{1}, X_{2}, …, X_{n} ∈ V so daß (X_{1} + T , X_{2} + T , …, X_{n} + T ) eine Basis von V/T ist.

1. Ist (X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) eine Basis von V? 2 Punkte 2. Ist (X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) linear unabhängig in V? 2 Punkte 3. Ist (X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) ein Erzeugendensystem von V? 1 Punkt

2. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 88/89)

Prof. Dr. Neubüser

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 150 Minuten. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. 6 Punkte

Es sei V ein 4-dimensionaler Q-Vektorraum, T_{1} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} )⟩ ⊆ V und

T_{2} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ⊆ V. Man bestimme Basen von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und T_{1} ∩ T_{2}.

Aufgabe 2. 3 Punkte

Es seien π und σ die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ iπ & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 7 & 6 \end{matrix} , \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ iσ & 7 & 5 & 3 & 4 & 2 & 6 & 1 \end{matrix} gegebenen

Permutationen auf 7 Ziffern. Man schreibe π und σ als Produkt ziffernfremder Zykel und berechne π^{11} und σ^{−1} · π · σ sowie das Vorzeichen von π und σ.

Aufgabe 3. 4 Punkte Es sei π eine Permutation auf n Ziffern, K ein Körper und A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} mit

a_{ij} := \{ \begin{matrix}0 & falls & j ≠ iπ \\ 1 & falls & j = iπ \end{matrix} .

Man zeige mit Hilfe der Summen- Produktformel für Determinanten, daß detA = ε(π) gilt, wobei ε(π) das Vorzeichen der Permutation π ist.

Aufgabe 4. 3 Punkte Es sei K ein Körper, n eine natürliche Zahl und A ∈ K^{n×n} mit A·A^{tr} = I_{n} (Einheitsmatrix). Man zeige: detA ∈ {1, −1}.

Aufgabe 5. 4 Punkte Man berechne die Determinante der folgenden rationalen Matrix:

( \begin{matrix}−1 & −2 & 8 & −17 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 12 & 28 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Aufgabe 6. 3 Punkte Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und X ∈ V, X ≠ 0. Man zeige, daß es ein φ ∈ V^{∗} gibt mit V = ⟨X⟩ ⊕ Kernφ.

Aufgabe 7. 4 Punkte Es sei V = R[x]_{3} der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 3. Es ist B := (1, x, x^{2}, x^{3}) eine Basis von V. Man bestimme die Koordinaten einer Basis des Annihilators von ⟨1 + x + x^{2} + x^{3}, 1 + x^{3}⟩ im Dualraum V^{∗} bezüglich der dualen Basis B^{∗}.

Aufgabe 8. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K, φ ein Endomorphismus von V, X ∈ V ein Eigenvektor von φ zum Eigenwert c ∈ K (insbesondere gilt X ≠ 0!).

1. Es sei ψ := φ − a · id mit a ∈ K. 2 Punkte Man zeige, daß X auch ein Eigenvektor von ψ ist.

2. Man zeige: Ist φ invertierbar, so ist c ≠ 0. 1 Punkte

3. Man zeige: Ist φ invertierbar, so ist X auch ein Eigenvektor von φ^{−1}.

Man gebe den zugehörigen Eigenwert an. 2 Punkte

Aufgabe 9.

Es sei C der Körper der komplexen Zahlen und A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ −2 & −3 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ C^{3×3}.

1. Man bestimme die Eigenwerte von A. 4 Punkte

2. Man benutze 1. um A^{1989} zu bestimmen. 3 Punkte

Aufgabe 10. 7 Punkte Es sei B eine Basis eines 4-dimensionalen Vektorraums V über Q,

φ ein Endomorphismus von V mit _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ −3 & 2 & 0 & 1 \\ −3 & 3 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ).

Man bestimme die Basiswechselmatrix zu einer Fächerbasis B′ von V bzgl. φ.

Aufgabe 11. Es sei V := Abb(R, R) und Φ : V × V → K definiert durch

Φ(f, g) = f(−1) · g(−1) + f(0) · g(0) + f(1) · g(1) für f, g ∈ V .

1. Man zeige: Φ ist eine symmetrische Bilinearform auf V. 2 Punkte

2. Man bestimme das Radikal von Φ. 2 Punkte

3. Es sei W der Teilraum von V der Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich 2. Man bestimme den Orthogonalraum von W in V. 2 Punkte

4. Sei W wie oben und Ψ : W × W → K die Einschränkung von Φ auf W × W. Man zeige: Ψ ist nicht ausgeartet. 2 Punkte

1. Klausur zur LA I (WS 90/91)

Prof. Dr. Pahlings

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters ein. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. In beiden Semesterklausuren müssen zusammen mindestens 50 Punkte erreicht werden. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Wir machen darauf aufmerksam, daß bis zum Ende des auf die Vorlesung folgenden Semesters nicht abgeholte Klausuren (und Übungen) vernichtet werden. Anspruch auf Anrechnen besteht dann nicht mehr.

Aufgabe 1.

Gegeben seien A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ZZ_{2}^{4×5} und b = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ ZZ_{2}^{4}.

Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraumes L des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 (x ∈ ZZ_{2}^{5}), und eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b. Welche Dimension hat L? Wieviele Lösungen hat Ax = b? Begründen Sie Ihre Antworten ! 6 Pkte.

Aufgabe 2. Sei n ≥ 2, A = (a_{ij}) ∈ Q I ^{n×n} definiert durch a_{ij} = i + j − 1 und L die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 (x ∈ Q I ^{n}).

(a) Bestimmen Sie dim L.

Sei b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) ∈ Q I ^{n}. Ist Ax = b lösbar für

(b) b_{i} = 1 für alle i = 1, …, n ?

(c) b_{i} = i(i + 1) für i = 1, …, n ? Begründen Sie Ihre Antworten! 6 Pkte.

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen M ⊆ Q I ^{3} sind Teilräume?

(a) M = {(a, b, c) ∈ Q I ^{3} | a · b + c = 0}.

(b) M = {(a, b, c) ∈ Q I ^{3} | a^{2} + b^{2} + c^{2} = 0}.

(c) M = {(a, b, c) ∈ Q I ^{3} | a − c = 1}. Begründen Sie Ihre Antworten! 5 Pkte.

Aufgabe 4.

Sei V = \{A ∈ Q I ^{2×2} | A ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) A\}.

(a) Zeigen Sie, daß V ein Teilraum von Q I ^{2×2} ist.

(b) Bestimmen Sie eine Basis von V, und ergänzen Sie diese zu einer Basis von Q I ^{2×2} (begründen Sie, daß Sie auch tatsächlich eine Basis von Q I ^{2×2} gefunden haben). 8 Pkte.

Aufgabe 5. Sei K eine Körper und V = Abb(K, K) der Vektorraum aller Abbildungen von K nach K. Seien 0 ≠ a ∈ K und b ∈ K fest vorgegeben, und φ : V → V definiert durch

φ(f)(x) := f(ax + b), f ∈ V, x ∈ K.

(a) Zeigen Sie, daß φ linear ist. Sei jetzt K = IR und P_{2}(IR) ⊆ V der Teilraum der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 2, mit Basis B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) (wobei p_{i}(x) = x^{i}, x ∈ IR).

(b) Zeigen Sie: Für f ∈ P_{2}(IR) ist auch φ(f) ∈ P_{2}(IR).

(c) Sei φ_{1} die Einschränkung von φ auf P_{2}(IR). Bestimmen Sie _{B}[φ_{1}]_{B} für a = 3, b = −1, und zeigen Sie, daß φ_{1} bijektiv ist. 7 Pkte.

Aufgabe 6. Sei V = ZZ_{3}^{3}, W = ZZ_{3}^{2}, und φ : V → W definiert durch

φ(( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )) := ( \begin{matrix}x_{1} + x_{3} \\ x_{2} − x_{1} + x_{3} \end{matrix} ) , x_{i} ∈ ZZ_{3}.

(a) Zeigen Sie, daß φ linear ist.

Seien B = (( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )) und C = (( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )) Basen

von V bzw. W (das müssen Sie nicht beweisen).

(b) Bestimmen Sie _{C}[φ]_{B}.

(c) Berechnen Sie Basen für Kern φ und Bild φ, sowie Rang φ und

c_{C}(φ(v)) für v = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ). 8 Pkte.

2. Klausur zur LA I (WS 90/91)

Prof. Dr. Pahlings

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters ein. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. In beiden Semesterklausuren müssen zusammen mindestens 50 Punkte erreicht werden. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Wir machen darauf aufmerksam, daß bis zum Ende des auf die Vorlesung folgenden Semesters nicht abgeholte Klausuren (und Übungen) vernichtet werden. Anspruch auf Anrechnen besteht dann nicht mehr.

Zur weiteren Organisation

• Diejenigen, die ihren Schein bis Freitag zur Vorlage beim Prüfungsamt benötigen, versehen das Deckblatt mit einem dicken Kreuz in der rechten oberen Ecke. Sind alle Scheinbedingungen erfüllt, so können die Scheine am Freitag 11.00 Uhr im Seminarraum 221, 2.Etage Sammelbau, abgeholt werden.

• Klausurrückgabe und Meckertermin ist Fr, 15.2.1991, 12.15–13.00 Uhr im Fo1.

• Die Nachholklausur findet statt Mo, 15.4. 1991, 14.00–17.00 Uhr im AM.

• Die Scheine werden ausgegeben Di, 16.4.1991, 11.00 Uhr im Fo2.

Aufgabe 1.

Seien σ : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 6 & 5 & 1 & 4 \end{matrix} ) und σ′ : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 6 & 2 & 5 & 4 \end{matrix} ) Permutationen in

S_{6}. Schreiben Sie σ, σ′ als Produkte von Zykeln mit disjunkten Ziffernmengen, und berechnen Sie σ ∘ σ′, σ′ ∘ σ, σ^{−1} ∘ σ′ ∘ σ, sign(σ) und sign(σ′). 6 Pkte.

Aufgabe 2.

Sei A = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ −3 & −2 & 3 \\ −2 & −2 & 3 \end{matrix} ) ∈ IR^{3×3}.

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom, alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A.

(b) Ist A diagonalisierbar? Wenn ja, bestimmen Sie eine invertierbare Matrix P ∈ IR^{3×3}, so daß P^{−1}AP Diagonalgestalt hat.

(c) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A. 9 Pkte.

Aufgabe 3. Seien f = X^{8} + X^{7} + X^{5} + X^{3} + 1 und g = X^{2} + X − 1 Polynome in IR[X].

(a) Dividieren Sie f mit Rest durch g.

(b) Berechnen Sie f(A) für A = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ IR^{2×2}. 7 Pkte.

Aufgabe 4. Berechnen Sie für n ≥ 2 die Determinante d_{n} von A = (a_{ij}) ∈ IR^{n×n}, gegeben durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2 & , falls i = j \\ −1 & , falls j + 1 = i oder i + 1 = j < n \\ −2 & , falls i + 1 = j = n \\ 0 & , sonst. \end{matrix}

8 Pkte.

Aufgabe 5. Gegeben seien die folgenden Teilräume von V = ZZ_{2}^{4}:

U = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩, W = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

Bestimmen Sie Basen für U ∩ W und U + W. 8 Pkte.

Aufgabe 6. Sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} und χ_{A} das charakteristische Polynom von A. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) χ_{A} = X^{n}.

(ii) A^{k} = 0 für ein k ∈ IN.

(iii) A ist ähnlich zu einer Matrix B = (b_{ij}) ∈ K^{n×n} mit b_{ij} = 0 für i ≥ j.

8 Pkte.

Aufgabe 7. Sei

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ ZZ_{2}^{5×5}.

Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von A sowie eine invertierbare Matrix P ∈ ZZ_{2}^{5×5}, so daß P^{−1}AP in Jordan-Normalform ist. 9 Pkte. Aufgabe 8. Sei A = (a_{ij}) ∈ ZZ_{2}^{n×n} gegeben durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & , falls i = j + 1 oder i = 1, j = n \\ 0 & , sonst. \end{matrix}

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Berechnen Sie für den Fall n = 4 alle Eigenwerte von A, die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume, und geben Sie die Jordan-Normalform von A an. (Beachten Sie, daß in ZZ_{2} die Gleichung (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} gilt.) 9 Pkte.

Nachholklausur zur LA I (WS 90/91)

Prof. Dr. Pahlings

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters ein. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50 Punkte erreicht werden. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Wir machen darauf aufmerksam, daß bis zum Ende des auf die Vorlesung folgenden Semesters nicht abgeholte Klausuren (und Übungen) vernichtet werden. Anspruch auf Anrechnen besteht dann nicht mehr.

Aufgabe 1. Sei V = P_{3}(IR) der Vektorraum der Polynomfunktionen f : IR → IR vom Grad ≤ 3, und φ : V → V definiert durch

φ(f)(x) := x · f′(x) − f(x + 1), f ∈ V, x ∈ IR,

wobei f′(x) wie üblich die Ableitung von f an der Stelle x bezeichnet.

(a) Zeigen Sie, daß φ linear ist, und bestimmen Sie _{B}[φ]_{B}, wobei B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}) mit p_{i}(x) := x^{i} (x ∈ IR) ist.

(b) Berechnen Sie Rang(φ); bestimmen Sie eine Basis für Kern(φ) und ergänzen Sie diese zu einer Basis B′ von V.

(c) Berechnen Sie _{B′}[φ]_{B′}. 15 Pkte.

Aufgabe 2. Für welche k ∈ IR hat das Gleichungssystem

−x_{1}  +(k − 3)x_{3} = 1
2x_{1} +2x_{2} +6x_{3} = 2
2x_{1} +(k + 2)x_{2}  +7x_{3} = 4

(a) keine Lösung.

(b) genau eine Lösung.

(c) mehr als eine Lösung. 10 Pkte.

Aufgabe 3. Seien A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ IR^{n×n} gegeben durch

a_{ij} = 1 für alle i, j; b_{ij} = \{ \begin{matrix}i − 1 & , falls i = j, \\ 0 & , sonst. \end{matrix}

Berechnen Sie det(A + B). 10 Pkte.

Aufgabe 4. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End(V). Zeigen Sie: Genau dann ist Rang(φ) = Rang(φ^{2}), wenn Bild(φ) ∩ Kern(φ) = {0} ist. 10 Pkte.

Aufgabe 5. Seien f = X^{8} + X^{5} + X^{3} + X und g = X^{2} − X + 1 Polynome in IR[X].

(a) Dividieren Sie f mit Rest durch g.

(b) Berechnen Sie f(A) für A = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ). 10 Pkte.

Aufgabe 6. Sei

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) ∈ IR^{4×4}.

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A, alle Eigenwerte und die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume.

(b) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von A.

(c) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A. 20 Pkte.

Aufgabe 7. Sei A = (a_{ij}) ∈ Q I^{2n×2n} gegeben durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}−1 & , falls i + j gerade, \\ 0 & , falls i + j ungerade. \end{matrix}

(a) Sei f = X^{2} + nX ∈ Q I[X]. Zeigen Sie: f(A) = 0.

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume. Ist A diagonalisierbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

(c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A. 15 Pkte.

Aufgabe 8. Sei V = ZZ_{3}^{4} mit Standardbasis (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) und U der von e_{1} − e_{2} + e_{3}, e_{1} − e_{3} − e_{4} erzeugte Teilraum. Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ ZZ_{3}^{m×4} (für geeignetes m), so daß U die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems Ax = \underline{0} ist. 10 Pkte.

1. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 92/93)

Lesezeit: 15 Minuten Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (Begründung!)

1. x ∼ y ⇔ es gibt ein n ∈ ZZ mit x − y = 7n. 2 Punkte

2. x ∼ y ⇔ xy > 0. 3 Punkte

3. x ∼ y ⇔ xy ≥ 0. 3 Punkte

Aufgabe 2. Gibt es Nullteiler in dem Ring ZZ/10ZZ? (Begründung!) 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei ZZ_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der \underline{Körper mit drei Elementen}. Man bestimme die \underline{Dimensionen} von T_{1}, T_{2} und des Durchschnitts der Teilräume

T_{1} = ⟨( \overline{2} \overline{0} \overline{1} \overline{0} ) , ( \overline{1} \overline{1} \overline{1} \overline{1} ) , ( \overline{0} \overline{0} \overline{2} \overline{1} )⟩ und T_{2} = ⟨( \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{1} ) , ( \overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} )⟩ von ZZ_{3}^{4}. 5 Punkte

Aufgabe 4. Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis für

1. den Q I -Vektorraum V = Abb(M, Q I ) der Abbildungen von einer Menge M = {a, b, c} in Q I , 2 Punkte

2. den Teilraum T = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) | a + b = 0 und c + d = 0\} ≤ Q I ^{4}. 2 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ −2 \end{matrix} )⟩.

1. Man berechne eine Basis von T und ergänze sie zu einer Basis von V. 4 Punkte 2. Man gebe eine Basis von V /T an. 1 Punkt

Aufgabe 6.

Es sei φ : IR^{3} → IR^{2} die lineare Abbildung mit φ(( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}x − 2y − z \\ x + y \end{matrix} ). Man bestimme

alle Elemente von IR^{3}, die durch φ auf ( \begin{matrix}−4 \\ 1 \end{matrix} ) abgebildet werden. 4 Punkte Aufgabe 7. Es sei K ein beliebiger Körper und V = K^{4711}. Es seien X_{1}, ..., X_{4711} Vektoren aus V, und es

sei φ die durch φ(( a_{1} ; ⋮ ; a_{4711} )) = ∑_{i=1}^{4711} a_{i}X_{i} definierte Abbildung von V in V. Man zeige: Ist

φ surjektiv, so ist φ auch injektiv. Hinweis: Wenn Sie einen Satz der Vorlesung verwenden, müssen Sie zeigen, daß seine Voraussetzungen erfüllt sind! 4 Punkte

Aufgabe 8. Es sei der 3-dimensionale IR-Vektorraum V = ⟨f_{1}, f_{2}, f_{3}⟩ ≤ Abb(IR, IR) mit f_{1}(x) = x + 1, f_{2}(x) = x^{2} + x und f_{3}(x) = x^{4} − 1 für alle x ∈ IR gegeben. Weiter sei W = IR^{3} und

φ : V → W die durch φ(f) = ( \begin{matrix}f(−1) \\ f(0) \\ f(1) \end{matrix} ) definierte Abbildung von V in W. Man beweise

oder widerlege:

1. φ ist linear. 2 Punkte

2. φ ist injektiv. 4 Punkte

3. φ ist surjektiv. 2 Punkte Hinweis: Sie können ohne Beweis benutzen daß (f_{1}, f_{2}, f_{3}) linear unabhängig ist.

Aufgabe 9.

Gegeben seien die Basisfolgen D = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} )\} und D′ = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )\} von IR^{2}, die

Basisfolge B = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )\} von IR^{3} sowie die lineare Abbildung φ : IR^{3} → IR^{2},

die durch die \underline{Koordinatenspalte} D(φ(( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ))) = ( \begin{matrix}2a_{1} + a_{2} \\ a_{2} − a_{3} \end{matrix} ) von φ(( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} )) bezüglich

der Basis D für alle ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ) ∈ IR^{3} definiert ist. Berechnen Sie die Matrix D′φB. 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei IF_{2} der Körper mit zwei Elementen. Wieviele verschiedene Teilräume der Dimensionen 0, 1, 2, 3 bzw. 4 hat der Vektorraum V = IF_{2}^{4}? 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V = Q I ^{3}. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (Begründung!)

1. M_{1} = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) | (a + b)c = 0\}. 2 Punkte

2. M_{2} = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) | a^{2} = b^{2} = c^{2} und 3a = b + c\}. 4 Punkte

(Lassen Sie sich nicht verwirren !!! )

2. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 92/93)

Lesezeit: 15 Minuten Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei IF_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der Köper mit drei Elementen. Man bestimme alle Lösungen des folgenden inhomogenen Gleichungssystems über dem Köper IF_{3}. 5 Punkte

\begin{aligned}\overline{1}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{0}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{2}x_{5} & = & \overline{2} \\ \overline{2}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{1}x_{3}+ & \overline{0}x_{4}+ & \overline{1}x_{5} & = & \overline{1} \\ \overline{1}x_{1}+ & \overline{1}x_{2}+ & \overline{0}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{1}x_{5} & = & \overline{2} \\ \overline{1}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{2}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{0}x_{5} & = & \overline{0} \end{aligned}

Aufgabe 2.

Es seien U_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} )⟩ und U_{2} = ⟨( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} )⟩ Teilräume des

Q I ^{3}. Man bestimme \underline{Basen} für ⟨U_{1}, U_{2}⟩ und U_{1} ∩ U_{2}. 5 Punkte

Aufgabe 3.

1. Man berechne die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}x & −1 & 3 \\ 2x − 1 & −3 & x − 7 \\ 0 & 1 & x + 4 \end{matrix} ). 2 Punkte

2. Für welche x ∈ IR ist M invertierbar ? 1 Punkt

3. Für welche x ∈ IR hat M die Determinante 1 ? 1 Punkt

4. Für diesen Fall (Determinante 1) berechne man die inverse Matrix. 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei A ∈ ZZ^{n×n} eine quadratische Matrix über dem Ring der ganzen Zahlen mit Determinate −1. Man beweise oder widerlege: A ist invertierbar, und A^{−1} ∈ ZZ^{n×n}. 3 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei V = IR^{3}, X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ).

Welche der folgenden Abbildungen von V × V nach IR sind Bilinearformen? (Falls ja, genügt ein kurzer Hinweis warum.)

1. Φ(X, Y) = x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} + y_{3}, 1 Punkt

2. Φ(X, Y) = (x_{1} + x_{2} + x_{3})(y_{1} + y_{2}), 1 Punkt

3. Φ(X, Y) = x_{1}x_{2} − y_{2}y_{3}. 1 Punkt

Aufgabe 6. Es seien K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine invertierbare Matrix und B ∈ K^{n×n}. Es sei weiter V = K^{n} und X ein Eigenvektor bezüglich AB. Man bestimme einen Eigenvektor bezüglich BA. 4 Punkte Aufgabe 7. Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ iπ & 2 & 1 & 4 & 5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 10 & 6 \end{matrix} gegebene Permutatione auf 10 Ziffern.

1. Man schreibe π als Produkt ziffernfremder Zykel. 1 Punkt

2. Man zeige, daß π ungerade ist. 1 Punkt

3. Man bestimme die Ordnung von π. 1 Punkt

4. Man zeige, daß man π nicht als Produkt von Fünferzykeln schreiben kann. 2 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei die invertierbare Matrix A = ( \begin{matrix}5 & 4 & −1 \\ −2 & −1 & 1 \\ 4 & 4 & −1 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3} gegeben.

Bestimmen Sie ein Polynom f vom Grade 2, für das A^{−1} = f(A) gilt. 5 Punkte HINWEIS: Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton.

Aufgabe 9. Es sei V = Q I ^{4} und B die Standardbasis von V. Eine lineare Abbildung φ von V nach V

sei durch _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{4×4} gegeben. Man bestimme eine Fächerbasis für V

bezüglich φ. 8 Punkte HINWEIS: Man kann das charakteristische Polynom von φ an der Matrix _{B}φ_{B} ablesen.

Aufgabe 10. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, V^{∗∗} der Bidualraum von V und

T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X)

der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Man zeige, daß für jeden Teilraum U ≤ V

X^{∗∗} ∈ An(An(U)) ⟺ X ∈ ⋂_{φ∈An(U)} Kern(φ)

gilt. 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei α = \sqrt{2}/2. Man zeige, daß 6 Punkte

2^{1−n} die Determinante der n × n-Matrix ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & 0 & … & 0 \\ −\frac{1}{2} & 1 & ... & ... & ⋮ \\ 0 & ... & ... & −\frac{1}{2} & 0 \\ ⋮ & ... & −\frac{1}{2} & 1 & −α \\ 0 & … & 0 & −α & 1 \end{matrix} ) ist.

Nachholklausur zur Linearen Algebra I Teil 1 (WS 92/93)

Lesezeit: 15 Minuten Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)

1. x ∼ y ⇔ x + y gerade. 3 Punkte

2. x ∼ y ⇔ x ≤ y − 1. 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei IF_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der \underline{Körper mit drei Elementen}. Man bestimme die \underline{Dimensionen} von T_{1}, T_{2} und des Durchschnitts der Teilräume

T_{1} = ⟨( \overline{1} \overline{1} \overline{1} \overline{0} ) , ( \overline{0} \overline{2} \overline{1} \overline{1} )⟩ und T_{2} = ⟨( \overline{2} \overline{2} \overline{1} \overline{2} ) , ( \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{2} ) , ( \overline{1} \overline{0} \overline{0} \overline{2} )⟩ von IF_{3}^{4}. 4 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a + bx + cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis für den Teilraum T = {p ∈ V | p(5) = 0}. 3 Punkte

Aufgabe 4.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} )⟩.

a) Man berechne eine Basis von T und ergänze sie zu einer Basis von V. 3 Punkte b) Man gebe eine Basis von V /T an. 1 Punkt

Aufgabe 5. Es sei V = {a + bx + cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2 und φ die lineare Abbildung von V nach V mit φ : V → V , p → φ(p) mit (φ(p))(x) = p′(x) + p′(x + 1), wobei p′ wie üblich die Ableitung von p nach x bezeichnet. (Die Linearität von φ braucht \underline{nicht} gezeigt zu werden.) Man bestimme alle Elemente von V, die durch φ auf x − 2 abgebildet werden. 4 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V ein K-Vektorraum, und es seien X, Y und Z drei verschiedene Vektoren aus V. Man widerlege (durch Angabe eines Gegenbeispiels) oder beweise die folgende Behauptung: Sind die Mengen {X, Y }, {Y, Z} und {Z, X} linear unabhänigig, so ist auch die Menge {X, Y, Z} linear unabhängig. 3 Punkte Aufgabe 7. Es sei V = Q I ^{3}, W = Q I ^{2}, B eine Basis von V und C eine Basis von W. Es seien lineare

Abbildungen φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} und φ_{4} gegeben mit _{B}φ_{1}_{C} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ), _{B}φ_{2}_{C} = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 2 & −4 \\ 1 & −1 \end{matrix} ),

Cφ_{3}_{B} = (_{B}φ_{1}_{C})^{t} und _{C}φ_{4}_{B} = (_{B}φ_{2}_{C})^{t}. Welche der Abbildungen sind injektiv, welche sind surjektiv? (kurze Begründung) 4 Punkte

Aufgabe 8. Man beweise oder widerlege: Der Vektorraum V = K^{5} hat für jeden Körper K mit p Elementen (p Primzahl) genauso viele ein- wie vierdimensionale Teilräume. 5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = Abb(IR, IR) der Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)

a) M_{1} = {f ∈ V | f(5) = f(−5)} 3 Punkte

b) M_{2} = {f ∈ V | f(5) · f(−5) = 0} 3 Punkte

Aufgabe 10.

Es sei V = Q I ^{3} und W = Q I ^{2}. Dann ist B = \{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )\} eine Basis von V und

D = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} )\} Basis von W. Es sei weiter eine lineare Abbildung φ von V nach

W definiert durch φ(( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}x_{1} − x_{2} \\ x_{2} + x_{3} \end{matrix} ). Man bestimme die Matrix _{D}φ_{B} der linearen

Abbildung φ. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V ein Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und X_{1}, ..., X_{n} ∈ V, so daß (T + X_{1}, ..., T + X_{n}) eine Basis von V /T ist. Man beweise oder widerlege:

a) (X_{1}, ..., X_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 1 Punkt

b) (X_{1}, ..., X_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte

c) (X_{1}, ..., X_{n}) ist eine Basis von V. 1 Punkt

Aufgabe 12. Es sei IF_{4} der Körper mit vier Elementen. Wieviele invertierbare Matrizen gibt es in IF_{4}^{3×3}?

4 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I Teil 2 (20. 4. 93)

Lesezeit: 15 Minuten Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Beweisen Sie: Jedes homogene oder inhomogene lineare Gleichungssystem über einem beliebigen Körper K mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten hat entweder keine Lösung oder mindestens 2 Lösungen. 3 Punkte

Aufgabe 2.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ iπ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 8 & 9 & 7 \end{matrix} gegebene Permutationen auf 9 Ziffern.

a) Schreiben Sie π als Produkt von ziffernfremden Zykeln. 1 Punkt b) Schreiben Sie π als Produkt von Zweierzykeln (Transpositionen). 2 Punkte c) Schreiben Sie π^{2} als Produkt von Dreierzykeln. 1 Punkt d) Beweisen Sie: π läßt sich nicht als Produkt von Dreierzykeln schreiben. 2 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper, n eine natürliche Zahl und A ∈ K^{n×n} mit A · A^{t} = I_{n} (Einheitsmatrix). Beweisen Sie: detA ∈ {1, −1}. 2 Punkte

Aufgabe 4.

Es sei V = IR^{3}, X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ). Welche der folgenden Abbildungen von V × V

nach IR sind Bilinearformen? (Falls ja, genügt ein kurzer Hinweis warum.)

1. Φ(X, Y) = x_{1} − y_{3}, 1 Punkt

2. Φ(X, Y) = x_{1}y_{2} + x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1}. 1 Punkt

Aufgabe 5. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, φ ein Endomorphismus von V und X ∈ V ein Eigenvektor von φ zum Eigenwert c ∈ K (also insbesondere X ≠ 0). Zeigen Sie:

a) Ist ψ := φ − a · id mit a ∈ K, so ist X auch ein Eigenvektor von ψ. 2 Punkte

b) Ist φ invertierbar, so ist c ≠ 0. 2 Punkte

c) Ist φ invertierbar, so ist X auch ein Eigenvektor von φ^{−1}. 1 Punkt (Geben Sie den zugehörigen Eigenwert an.)

Aufgabe 6.

Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V^{∗∗} der Bidualraum von V, und es sei T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X) der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Zeigen Sie: Für jeden Teilraum U ≤ V gilt:

X^{∗∗} ∈ An(An(U)) ⟺ X ∈ ⋂_{φ∈An(U)} Kern(φ) 4 Punkte Aufgabe 7.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ≤ V.

a) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für den Dualraum V^{∗} von V an. 1 Punkt b) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für den Annihilator An T ≤ V^{∗} an. 1 Punkt c) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für die zu einer Basis von V duale Basis (von

V^{∗}) an. 1 Punkt d) Berechnen Sie den Annihilator An T. 4 Punkte

Aufgabe 8.

Im Vektorraum IR^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )⟩ und T_{2} = ⟨( \begin{matrix}3 \\ −2 \\ 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 3 \\ −1 \end{matrix} )⟩

gegeben. Bestimmen Sie je eine Basis für den Durchschnitt T_{1} ∩ T_{2} und das Erzeugnis ⟨T_{1}, T_{2}⟩.

5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = IR^{3} und M := ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −1 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) ∈ IR^{3×3}. Es sei B die Standardbasis von V und

C eine weitere Basis von V mit der Basiswechselmatrix A := _{B}id_{C} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & −3 \end{matrix} ). Eine lineare Abbildung φ ∈ Hom(V, V) sei gegeben durch _{B}φ_{B} = M.

a) Invertieren Sie die Matrix A. 3 Punkte b) Geben Sie (ohne Beweis) eine Formel an, in der die Abbildungsmatrix 1 Punkt

Cφ_{C} durch _{B}φ_{B} und _{B}id_{C} ausgedrückt wird.

c) Berechnen Sie _{C}φ_{C}. 2 Punkte Aufgabe 10. V, B, φ und _{B}φ_{B} seien genauso gegeben wie in Aufgbe 9.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ. 2 Punkte b) Berechnen Sie eine Fächerbasis von V bezüglich φ. 5 Punkte

Aufgabe 11. V, M, B, C und _{B}id_{C} seien genauso gegeben wie in Aufgbe 9. Weiter sei eine Bilinearform Φ auf V seien gegeben durch die Matrix _{B}Φ_{B} = M.

a) Geben Sie (ohne Beweis) eine Formel an, in der die Matrix _{C}Φ_{C} durch 1 Punkt BΦ_{B} und _{B}id_{C} ausgedrückt wird.

Aufgabenblatt 1 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (14. 4. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

b) Ist Φ ein Skalarprodukt? (Antwort mit Begründung!) 1 Punkt Aufgabe 1. Geben Sie jeweils eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, daß

a) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem lösbar ist, 2 Punkte b) ein homogenes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. 2 Punkte

Aufgabe 2. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) x ∼ y ⇔ ggT(x,y) = 7 3 Punkte b) x ∼ y ⇔ 1 < xy 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) M_{1} = {p ∈ V | p(0) = 1} 2 Punkte b) M_{2} = {p ∈ V | p(−2) = 0} 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V = FR^{2} , und es sei E = Hom(V , V) der Endomorphismenring von V. Geben Sie einen Endomorphismus von V an, der Nullteiler von E ist, und zeigen Sie, daß er ein Nullteiler ist.

3 Punkte

Aufgabe 5. Gilt für alle Paare (φ, ψ) von linearen Abbildungen φ und ψ von FR^{2} nach FR, daß

a) Φ_{1} mit Φ_{1}(X, Y) := φ(X) + ψ(Y) eine Bilinearform auf FR^{2} ist, 3 Punkte b) Φ_{2} mit Φ_{2}(X, Y) := φ(X) · ψ(Y) eine Bilinearform auf FR^{2} ist? 3 Punkte

(jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

Aufgabe 6. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V^{∗∗} der Bidualraum von V, und es sei T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X) der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Zeigen Sie: Für jeden Teilraum U ≤ V gilt

An U = ⋂_{X∈U} Kern X^{∗∗}. 5 Punkte Aufgabe 7. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine Basis für das Radikal von V bezüglich Φ. 5 Punkte

Aufgabe 8. Invertieren Sie die Matrix A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 3 \\ 3 & 0 & −4 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3}. 5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Eine Basis B von V ist {1, x, 1 + x^{2}} (dies ist nicht zu zeigen). Man bestimme die Matrix BφB der linearen Abbildung φ : V → V , p → φ(p) mit (φ(p))(x) = p′(x) + p(x + 1), wobei p′ wie üblich die Ableitung von p nach x bezeichnet. (Die Linearität von φ braucht nicht gezeigt zu werden.) 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 3 und T der von {x^{3} + 1, x^{2} + x + 3, 2x^{3} − x^{2} − x − 1} erzeugte Teilraum.

a) Bestimmen Sie eine Basis für T. 3 Punkte b) Bestimmen Sie eine Basis für V /T. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei B die Standardbasis von V = FR^{3}. Eine lineare Abbildung φ von V nach V sei durch

BφB = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ FR^{3×3} gegeben. Man bestimme eine Fächerbasis für V bezüglich φ. 7 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 9 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine normierte Orthogonalbasis von V. 7 Punkte

Aufgabenblatt 1 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (6. 10. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Geben Sie für die folgenden Begriffe jeweils eine vollständige Definition an.

a) lineare Unabhängigkeit einer nicht leeren, nicht notwendigerweise endlichen Menge von Vektoren 2 Punkte

b) Eigenvektor 1 Punkt c) Bilinearform, Skalarprodukt, Radikal 3 Punkte

Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie einführen, zu erklären.

Aufgabe 2. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) x ∼ y ⇔ x teilt y − 7 3 Punkte b) x ∼ y ⇔ xy ≤ 0 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) M_{1} = {p ∈ V | (x − 1) teilt p} 3 Punkte b) M_{2} = {p ∈ V | x teilt (p − 1)} 2 Punkte

Aufgabe 4. Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement, und es sei a ein Nullteiler von R. Zeigen Sie, daß a in R kein (multiplikatives) Inverses besitzt. 3 Punkte

Aufgabe 5. T_{1} und T_{2} seien zwei Teilräume eines K-Vektorraums V, und es sei T_{1}∩T_{2} ≠ T_{1} und T_{1}∩T_{2} ≠ T_{2}. Zeigen Sie, daß T_{1} ∪ T_{2} kein Teilraum von V ist. 3 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V = ⟨B_{1}, …, B_{6}⟩ ein 6-dimensionaler K-Vektorraum, und es seien T_{1} ein 3-dimensionaler und T_{2} ein 5-dimensionaler Teilraum von V. Der Durchschnitt T_{1} ∩ T_{2} habe die Dimension d.

a) Welche Werte kann d annehmen? (Antwort mit Begründung) 2 Punkte b) Geben Sie für jeden dieser Werte ein Beispiel für zwei entsprechende

Teilräume T_{1} und T_{2} an. 2 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V ein K-Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und X_{1}, …, X_{n} ∈ V, so daß (T + X_{1}, …, T + X_{n}) eine Basis des Restklassenraums V/T ist. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) (X_{1}, …, X_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 2 Punkte b) (X_{1}, …, X_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte Aufgabe 8. Es sei Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf einem K-Vektorraum V.

a) Zeigen Sie: Gilt für zwei Vektoren Y_{1}, Y_{2} ∈ V, daß Φ(X, Y_{1}) = Φ(X, Y_{2}) für alle X ∈ V, so folgt Y_{1} = Y_{2}. 2 Punkte

b) Zeigen Sie mit Hilfe von a): Ist Φ wie oben und φ eine Abbildung von V in V, so daß

Φ(X, Y) = Φ(X, φ(Y)) für alle X, Y ∈ V, so ist φ linear. 3 Punkte Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle auftretenden Quantoren hinzuschreiben.

Aufgabe 9. Es sei V = FR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ≤ V. Bestimmen Sie den Annihilator An T ≤ V^{∗}.

5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V der von der Menge B = {sin^{2}x, sinxcosx, cos^{2}x} ⊂ Abb(FR, FR) erzeugte 3-dimensio-nale Vektorraum. Dann ist B eine Basis von V. Ferner sei die (bekanntlich lineare) Abbildung φ : V → V, f(x) ↦ f′(x) + f′′(x) gegeben, wobei f′ und f′′ die gewöhnliche erste und zweite Ableitung von f nach x bezeichnen.

a) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B}. 5 Punkte b) Berechnen Sie Kernφ (und vergessen Sie dabei nicht, daß V aus Funktionen und nicht

aus Zahlenspalten besteht). 3 Punkte

Aufgabe 11. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}1 & −2 & −6 \\ −1 & −2 & 1 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3}. 5 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = Q I ^{3} und B die Standardbasis von V, und es sei M die in Aufgabe 11 gegebene Matrix. Eine lineare Abbildung φ von V nach V sei durch _{B}φ_{B} = M gegeben.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten. 3 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenvektorraum. 2 Punkte

Aufgabe 13. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & −2 & 2 \\ −2 & 3 & −1 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine normierte Orthogonalbasis von V. 7 Punkte

1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (3. 12. 93)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Beweisen Sie, daß der Restklassenring ZZ_{12} zu keinem Körper gemacht werden kann. 2 Punkte

Aufgabe 2.

Im Q I -Vektorraum V_{2×2}(Q I ) seien die Matrizen A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ), A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

gegeben. Ist die Folge (A_{1}, A_{2}, A_{3}) linear unabhängig ? (Antwort mit Begründung) 4 Punkte

Aufgabe 3. Es sei F (IR) der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR. Welche der folgenden Teilmengen von F (IR) sind Teilräume? (Jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)

a) M_{1} = { f ∈ F (IR) | f(−1) + f(1) = 1 } 2 Punkte

b) M_{2} = { f ∈ F (IR) | f(−1)^{2} = f(1)^{2} } 3 Punkte

c) M_{3} = { f ∈ F (IR) | f(−1)^{2} + f(1)^{2} = 0 } 3 Punkte

Aufgabe 4. In einem n-dimensionalen K-Vektorraum V seien Vektoren A, B, C und X, Y, Z gegeben, so daß jede der Folgen (A, B), (A, C) und (B, C) sowie jede der Mengen {X, Y }, {X, Z} und {Y, Z} linear unabhängig sind. Beweisen oder widerlegen Sie (konkretes Gegenbeispiel) jede der folgenden Aussagen.

a) Ist n = 2, so ist die Folge (A, B, C) linear abhängig. 1 Punkt

b) Ist n = 2, so ist die Menge {X, Y, Z} linear abhängig. 2 Punkte

c) Ist n = 3, so ist die Folge (A, B, C) linear unabhängig. 2 Punkte

d) Ist n = 3, so ist die Menge {X, Y, Z} linear unabhängig. 1 Punkt

1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (3. 12. 93) Blatt 2

Aufgabe 5. Bekanntlich bildet die Folge (p_{0}, p_{1}, …, p_{7}) der Potenzfunktionen p_{i} = (x ↦ x^{i}) eine Basis des IR-Vektorraums P_{7}(IR) aller Polynomfunktionen vom Grad ≤ 7. Gibt es eine Basis von P_{7}(IR), in der die Funktionen f_{1} = x^{3} + x^{2} + 4, f_{2} = x^{3} + 4x^{2} − 3x + 1, f_{3} = x^{3} + 3x^{2} − 2x + 2 vorkommen und sonst nur Potenzfunktionen ? (Begründung) 4 Punkte Aufgabe 6. Formulieren Sie eine Definition der linearen Unabhängigkeit einer endlichen Folge von Vektoren. (Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie benutzen, zu erklären.)

2 Punkte

Aufgabe 7. Formulieren Sie den Austauschsatz von E. Steinitz. (Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie benutzen, zu erklären.) 3 Punkte

Aufgabe 8. Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge L des folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystems über dem Restklassenkörper ZZ_{3}.

\begin{aligned}α_{1} · x_{1} & + & α_{1} · x_{2} & + & α_{2} · x_{3} & + & α_{1} · x_{4} & + & α_{0} · x_{5} & = & α_{2} \\ α_{0} · x_{1} & + & α_{2} · x_{2} & + & α_{2} · x_{3} & + & α_{2} · x_{4} & + & α_{1} · x_{5} & = & α_{1} \\ α_{1} · x_{1} & + & α_{0} · x_{2} & + & α_{1} · x_{3} & + & α_{2} · x_{4} & + & α_{2} · x_{5} & = & α_{2} \\ α_{2} · x_{1} & + & α_{2} · x_{2} & + & α_{1} · x_{3} & + & α_{0} · x_{4} & + & α_{2} · x_{5} & = & α_{2}, \end{aligned}

wobei jeweils α_{i} = i + ZZ · 3 ∈ ZZ_{3} ist. Benutzen Sie dabei das in der Vorlesung vorgestellte Schema (mit Angabe der Rechenschritte) und geben Sie L in der in der Vorlesung hergeleiteten Form an. Sie dürfen i statt α_{i} schreiben. 5 Punkte

Aufgabe 9. Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten über einem beliebigen Körper K. Beweisen Sie:

a) Ist das System homogen, so besitzt es mindestens zwei Lösungen. 2 Punkte

b) Ist es inhomogen, so hat es entweder keine oder mindestens zwei Lösungen. 1 Punkt

Aufgabe 10. Im Restklassenring ZZ_{353} zur Primzahl 353 sei das Element α_{151} := 151 + ZZ · 353 gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus das Element (α_{151})^{−1}. 5 Punkte

Aufgabe 11.

Es sei V := V_{4×1}(Q I ) und U = ⟨( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} )⟩. Berechnen Sie eine Basis von V/U.

5 Punkte

Aufgabe 12. In einem affinen Raum M über einem Vektorraum V seien Hyperebenen N = p ⋆ T (N) und L = q ⋆ T (L) gegeben. Zeigen Sie: Für jede Hyperebene K, die die Hyperebenen N und L umfaßt, gilt T (K) ⊇ T (N) + T (L) + ⟨\overrightarrow{pq}⟩. 3 Punkte

2. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (11. 2. 94)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei V = V_{4×1}(ZZ_{3}).

(a) Wieviele Elemente hat V? (Ausrechnen!) 1 Punkt (b) Wieviele Basisfolgen hat V? (Eine Formel genügt.) 2 Punkte (c) Wieviele Teilräume der Dimension 2 hat V? (Ausrechnen!) 2 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V = V_{2×1}(Q I ). Welche der folgenden Abbildungen Φ_{j}: V×V ⟶ Q I sind Bilinearformen? (Jeweils, falls nein, ein konkretes (!) Gegenbeispiel; falls ja, genügt ein kurzer Hinweis warum.)

\begin{matrix}Φ_{1}(X, Y) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \\ Φ_{2}(X, Y) = (x_{1} + x_{2})(y_{1} − y_{2}) \\ Φ_{3}(X, Y) = (x_{1} − y_{1}) + (x_{2} − y_{2}) \end{matrix} \} für X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) . 3 Punkte

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Menge aller Zahlentripel (x, y, z), für die die Matrix ( \begin{matrix}1 & x & 5 \\ 2 & y & 4 \\ 3 & z & 6 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(IR)

invertierbar ist. (Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe eines polynomialen Ausdrucks in x, y und z.) 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V = V_{3×1}(IR) und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben durch die Matrix M(B, Φ, B) = A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ).

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. 4 Punkte (b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 1 Punkt

Aufgabe 5. V, B, Φ und A seien gegeben wie in Aufgabe 4.

(a) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ. 6 Punkte (b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.) 2 Punkte Aufgabe 6. V, B, Φ und A seien gegeben wie in Aufgabe 4. Eine weitere Basisfolge C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) von

V sei durch die Basiswechselmatrix M(B, C) = T = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) gegeben. Berechnen Sie die

Matrix M(C, Φ, C). 2 Punkte

Aufgabe 7.

V, B, Φ und A seien gegeben wie in Aufgabe 4, und es sei S = ( \begin{matrix}1 & 4 & −1 \\ 1 & 2 & −3 \\ −1 & 2 & 7 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(IR).

(a) Berechnen Sie die Determinanten von A und S. 3 Punkte

(b) Beweisen Sie: Es gibt keine Basisfolge A = (A_{1}, A_{2}, A_{3}) von V mit M(B, Φ, A) = S. 2 Punkte

Aufgabe 8. V, B, Φ und A seien gegeben wie in Aufgabe 4.

(a) Invertieren Sie die Matrix A (mit anschließender Probe). 3 Punkte

(b) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix M(B, D) einer Basisfolge D von V, so daß (B, D) ein Paar zueinander bezüglich Φ dualer Basisfolgen ist. 3 Punkte

Aufgabe 9. V, B, C, A und T seien gegeben wie in den Aufgaben 4 und 6, und es sei α: V ⟶ V die lineare Abbildung mit M(B, α, B) = A. Berechnen Sie die Matrix M(C, α, C). 3 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V ein Vektorraum und φ: V ⟶ V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind für eine feste Basisfolge B von V die Folgen B und φ(B) gleichorientierte Basisfolgen, so sind für jede Basisfolge C von V die Folgen C und φ(C) gleichorientierte Basisfolgen. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei E = {−2, −1, 0, 1, 2} ⊆ IR, und es seien l und m die Funktionen in IR^{E} mit den folgenden Werten.

\begin{matrix}x & −2 & −1 & 0 & 1 & 2 \\ l(x) & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ m(x) & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}

Approximieren Sie die Funktion f = (x ⟼ x^{2} − 1 für x ∈ E) ∈ IR^{E} durch eine Funktion im Teilraum T = ⟨l, m⟩ bezüglich des durch

Γ(g, h) = ∑_{x∈E} g(x)h(x)

gegebenen Skalarprodukts. 6 Punkte

1. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine Definition für den Ausdruck ”erzeugt den Vektorraum V “. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben. Vermengen Sie nicht verschiedene, aber äquivalente Formulierungen; nur eine ist verlangt.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei F der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ F | f(−1) ≤ f(0) ≤ f(1)} ein Teilraum von F? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ F | f(−1) + f(1) = f(0)} ein Teilraum von F? 3 Punkte c) Ist M_{3} = {f ∈ F | f(−1) = f(0) oder f(1) = f(0)} ein Teilraum von F? 2 Punkte

Antwort jeweils mit Begründung.

Aufgabe 3. Ist die Teilmenge M = { (1, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0) } von V_{1×3}(ZZ_{2}) eine Restklasse? (Begründung.) 4 Punkte

Aufgabe 4. Über dem Körper ZZ_{11} mit 11 Elementen ist ein \underline{lösbares} inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten gegeben. Für welche der Zahlen

\begin{matrix}n_{1} = 1, & n_{3} = 11, & n_{5} = 100, & n_{7} = 3000, \\ n_{2} = 3, & n_{4} = 33, & n_{6} = 1000, & n_{8} = 15000 \end{matrix}

ist die Aussage A(n_{i}):

”Das System hat notwendigerweise mindestens n_{i} Lösungen“

richtig, für welche nicht? (Achten Sie auf eine vollständige Begründung Ihrer Antwort.) 5 Punkte

Aufgabe 5. Im ZZ_{5}-Vektorraum V_{1×5}(ZZ_{5}) sind die folgenden Vektoren gegeben.

X_{1} = (1, 2, 3, 4, 0),

X_{2} = (4, 1, 3, 0, 2),
X_{3} = (1, 1, 2, 1, 1),
X_{4} = (0, 2, 1, 3, 4),
X_{5} = (3, 0, 2, 0, 4).

a) Berechnen Sie eine Basisfolge für das Erzeugnis T = ⟨X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}⟩. 4 Punkte b) Welche Dimensionen haben die Teilräume T_{1} = ⟨X_{1}, X_{2}, X_{3}⟩, T_{2} = ⟨X_{3}, X_{4}, X_{5}⟩ und

T_{3} = T_{1} ∩ T_{2}? 4 Punkte Aufgabe 6. Im Vektorraum F(IR) aller reellwertigen Abbildungen auf IR betrachten wir die Funktionen

s = ( x ⟼ sinx für x ∈ IR ),
c = ( x ⟼ cosx für x ∈ IR ),
q = ( x ⟼ x^{2} für x ∈ IR ).

Ist die Folge (s, c, q) linear unabhängig? (Antwort mit Begründung.) 4 Punkte

Aufgabe 7.

a) Hat die Restklasse \overline{55} im Restklassenring ZZ_{96} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? (Berechnen Sie es, oder zeigen Sie, daß es keins gibt.) 5 Punkte

b) Hat die Restklasse \overline{6} im Restklassenring ZZ_{96} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? (Berechnen Sie es, oder zeigen Sie, daß es keins gibt.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

a) Die ganzzahligen Lösungen (x, y) ∈ V_{1×2}(ZZ) der Gleichung 113x + 37y = 0 bilden den ZZ-Modul H = (37, −113) · ZZ. Nun sei (x_{0}, y_{0}) eine ganzzahlige Lösung der Gleichung

113x + 37y = 1.

Geben Sie die Menge aller ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung an. 2 Punkte b) Berechnen Sie eine ganzzahlige Lösung (x_{0}, y_{0}) ∈ V_{1×2}(ZZ) der Gleichung 113x+37y = 1.

4 Punkte

Aufgabe 9.

Im CI -Vektorraum V = V_{4×1}(CI ) sind die Vektoren X_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ i \\ 1 + i \end{matrix} ), X_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ i \\ 0 \end{matrix} ), X_{3} = ( \begin{matrix}i \\ 1 + i \\ 1 − i \\ 0 \end{matrix} )

gegeben. Die Folge (X_{1}, X_{2}, X_{3}) ist offensichtlich linear unabhängig. Geben Sie einen Teilraum U von V an derart, daß ( X_{1} + U, X_{2} + U, X_{3} + U ) eine Basisfolge des Faktorraums V/U ist. (Begründung.) 5 Punkte

Aufgabe 10. In einem affinen Raum M über V_{3×1}(Q I ) ist ein Punkt p ∈ M vorgegeben (”Ursprung“). Wir definieren Geraden

G = p ∗ R und H = p ∗ S

durch Angabe der Restklassen

R := ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} )⟩ und S := ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

Zeigen Sie, daß die Geraden G und H sich nicht schneiden. 5 Punkte

2. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Wieviele injektive Vektorraum-Homomorphismen π: V_{2×1}(ZZ_{3}) ⟶ V_{3×1}(ZZ_{3}) gibt es? 5 Punkte

Aufgabe 2.

Im ZZ_{2}–Vektorraum V := V_{3×1}(ZZ_{2}) sei der Vektor X = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) gegeben.

a) Wieviele Teilräume hat der Faktorraum V/⟨X⟩? 3 Punkte b) Wieviele Teilräume von V gibt es, die den Vektor X enthalten? 4 Punkte

Aufgabe 3. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}−1 & −1 & −1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 6 & 3 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 3 Punkte

Aufgabe 4.

Gegeben seien die Vektoren X_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), X_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ V_{4×1}(IR) und Y = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ V_{2×1}(IR)

sowie die lineare Abbildung α: V_{4×1}(IR) ⟶ V_{2×1}(IR), die bezüglich der Standard-Basisfolgen

S_{4} und S_{2} durch die Matrix M(S_{2}, α, S_{4}) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) beschrieben wird.

a) Berechnen Sie α(X_{1}). 1 Punkt b) Berechnen Sie die \underline{Menge} aller Urbilder von Y. 3 Punkte c) Ist die von α auf dem Teilraum U = ⟨X_{1}, X_{2}⟩ bewirkte Abbildung

α|_{U}: U ⟶ V_{2×1}(IR) injektiv? 3 Punkte

Aufgabe 5.

Auf V = V_{3×1}(IR) betrachten wir das Skalarprodukt Γ mit M := M(S, Γ, S) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ),

wobei S die Standard-Basisfolge bezeichnet.

a) Berechnen Sie den Orthogonalraum U zum Teilraum T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ in V. 4 Punkte

b) Berechnen Sie eine Orthogonal-Basisfolge für den durch B = (( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )) erzeugten

Teilraum W von V. 7 Punkte

Aufgabe 6. Ist das Skalarprodukt Γ auf V_{3×1}(IR) aus Aufgabe 5 positiv definit? 6 Punkte Aufgabe 7. Es sei Γ: V × V ⟶ K eine (feste) nicht ausgeartete Bilinearform auf einem K-Vektorraum V (K kommutativ). Wir ordnen jeder linearen Abbildung α: V ⟶ V die Bilinearform Γ_{α} mit

Γ_{α}(Y, X) = Γ(α(Y), X) für Y, X ∈ V

zu. Ist diese Zuordnung

f := (α ⟼ Γ_{α}): Hom^{∘}(V, V) ⟶ Bil(V)

zwischen dem K-Vektorraum Hom^{∘}(V, V) aller linearen Abbildungen auf V und dem K-Vek-torraum Bil(V) aller Bilinearformen auf V

a) linear, 3 Punkte b) injektiv? 5 Punkte

Aufgabe 8. Gegeben sei eine Basisfolge B des Vektorraums V = V_{3×1}(IR). Wir betrachten den Isomorphismus π: V ⟶ V^{∗}, der B auf die duale Basisfolge B^{∗} abbildet. Es sei X ∈ V der Vektor mit

M(B, X) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), und es sei f := π(X) ∈ V^{∗} sein Bild unter π.

Berechnen Sie den Wert f(X) ( also π(X)(X) ). 4 Punkte

Aufgabe 9. Auf dem Intervall I = [0, 2] ⊆ IR seien die Funktionen l, m, f ∈ IR^{I} mit den folgenden Werten gegeben.

für x ∈ [0, 1) für x ∈ [1, 2]
l(x)  1  0
m(x)  0  1
f(x)  x^{2}  x^{2}

Approximieren Sie die Funktion f durch eine Funktion im Teilraum T = ⟨l, m⟩ bezüglich des durch

Γ(g, h) = ∫_{0}^{2} g(x)h(x)dx.

gegebenen Skalarprodukts. (Ergebnis formulieren.) 6 Punkte

Aufgabe 10. Berechnen Sie eine gute Ersatzlösung für das folgende lineare Gleichungssystem über Q I .

\begin{aligned}0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & −4 \\ 2 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & = & 1 \\ 4 · x_{1} & + & 5 · x_{2} & = & 2 \end{aligned}

4 Punkte

Aufgabe 11. Formulieren Sie eine Definition für den Begriff ”Determinantenform“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 3 Punkte

Aufgabe 12. Im Vektorraum V_{3×1}(IR) seien zwei Basisfolgen B und C durch ihre Matrizen M(S, B) =

( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix} ) und M(S, C) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & −1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix} ) bezüglich der Standard-Basisfolge S gegeben.

a) Berechnen Sie die Determinanten der beiden Matrizen. 2 Punkte b) Sind die beiden Basisfolgen gleich orientiert? (Mit Beweis.) 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (5. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1.

Formulieren Sie eine Definition für die Begriffe ”linear abhängig“ und ”linear unabhängig“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 3 Punkte

Aufgabe 2.

Im IR-Vektorraum F = V_{4×1}(IR) seien die folgenden Mengen M_{1} und M_{2} gegeben.

M_{1} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ∈ F | 9x_{1}^{2} − 4x_{4}^{2} = 0\}, M_{2} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ∈ F | 9x_{1}^{2} + 4x_{4}^{2} = 0\}.

a) Ist M_{1} ein Teilraum von F? (Begründung.) 2 Punkte b) Ist M_{2} ein Teilraum von F? (Begründung.) 4 Punkte c) Geben Sie für jede der Mengen M_{1} und M_{2}, sofern sie ein Teilraum ist, eine Basisfolge

an. 2 Punkte

Aufgabe 3.

Es sei ein \underline{lösbares} inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über dem Körper ZZ_{1009} mit 1009 Elementen gegeben (bekanntlich ist 1009 eine Primzahl). Für welche der Zahlen

\begin{matrix}n_{1} = 1, & n_{3} = 1 000, & n_{5} = 10 000, & n_{7} = 10 000 000, \\ n_{2} = 10, & n_{4} = 1 010, & n_{6} = 1 000 000, & n_{8} = 1 000 000 000 \end{matrix}

ist die Aussage ”das System hat notwendigerweise mindestens n_{i} Lösungen“ wahr, für welche ist sie falsch? Geben Sie für Ihre Antwort einen ausführlichen Beweis. 6 Punkte

Aufgabe 4.

In V = V_{4×1}(ZZ_{5}) sei der Teilraum T = ⟨ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟩ gegeben. Geben Sie eine Basisfolge für den

Faktorraum V/T an. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 4 Punkte

Aufgabe 5.

Geben Sie Basen für drei 2-dimensionale Teilräume T_{1}, T_{2}, T_{3} von V := V_{4×1}(IR) an, so daß die Summe von je zweien dieser Teilräume ganz V ist (mit Begründung). 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (5. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6.

Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}−1 & 3 & 4 \\ −3 & 10 & 14 \\ 1 & −4 & −5 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 5 Punkte

Aufgabe 7.

Wir betrachten einen 4-dimensionalen Q I -Vektorraum V und die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) über Q I . Beweisen Sie jeweils (ohne viel zu rechnen), ob oder ob nicht

a) es Basisfolgen B_{1} und B_{2} von V und eine lineare Abbildung φ: V ⟶ V gibt, so daß M(B_{1}, φ, B_{1}) = A und M(B_{2}, φ, B_{2}) = λE für ein λ ∈ Q I (also ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E) ist, 3 Punkte

b) es Basisfolgen C_{1} und C_{2} von V und eine Bilinearform Φ: V × V ⟶ Q I gibt, so daß M(C_{1}, Φ, C_{1}) = A und M(C_{2}, Φ, C_{2}) eine Diagonalmatrix ist. 3 Punkte

Aufgabe 8.

Wir betrachten auf W = V_{1×5}(ZZ_{5}) das Standard-Skalarprodukt Φ: W × W ⟶ ZZ_{5} mit

Φ(X, Y) = ∑_{i=1}^{5} x_{i}y_{i} für X = (x_{1}, …, x_{5}), Y = (y_{1}, …, y_{5}) ∈ W.

a) Ist Φ ausgeartet? 2 Punkte b) Gibt es in W isotrope Vektoren bezüglich Φ? 2 Punkte

Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Aufgabe 9.

Es sei B eine Basisfolge von V = V_{3×1}(ZZ_{3}). Ein Skalarprodukt Φ: V × V ⟶ ZZ_{3} sei gegeben

durch die Matrix M(B, Φ, B) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ). Berechnen Sie eine Orthogonalbasis C von

V bezüglich Φ. (Vergessen Sie nicht die Formulierung des Ergebnisses.) Hinweis: Das Gram-Schmidt-Verfahren ist hier ungeeignet. 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (5. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 10.

Gegeben seien K-Vektorräume W und V gleicher Dimension, eine nicht ausgeartete Bilinearform Φ: W × V ⟶ K sowie ein Paar (B′, B) bezüglich Φ dualer Basisfolgen von W und V.

a) Welche Matrix hat Φ bezüglich B′ und B? 2 Punkte b) Es sei (C′, C) ein weiteres Paar bezüglich Φ dualer Basisfolgen von W und V. Leiten Sie

eine Formel her, mit der sich aus der Basiswechselmatrix M(B, C) die Basiswechselmatrix m(C′, B′) berechnen läßt. 2 Punkte

Aufgabe 11.

Das folgende lineare Gleichungssystem über Q I ist offenbar nicht lösbar.

\begin{aligned}2 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 8 \\ 1 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 4 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 2 \end{aligned}

Berechnen Sie eine \underline{neue rechte Seite}, so daß das Gleichungssystem lösbar wird und die Abweichung der neuen rechten Seite von der alten bezüglich des Standard-Skalarprodukts möglichst klein wird, und zwar auf zwei Arten:

a) nach der allgemeinen Methode der besten Approximation, 8 Punkte b) durch vorherige Bestimmung einer guten Ersatzlösung für ein ”überbestimmtes“ lineares

Gleichungssystem. 6 Punkte

Aufgabe 12.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & 2 \\ −1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ V_{4×4}(IR). 4 Punkte

Aufgabe 13.

Wir betrachten im Restklassenring ZZ_{252} die Restklassen \overline{55} und \overline{42}, die die Zahlen 55 bzw. 42 enthalten.

a) Hat \overline{55} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? Wenn ja, berechnen Sie es. Wenn nein, beweisen Sie, daß es keins gibt. 4 Punkte

b) Hat \overline{42} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? Wenn ja, berechnen Sie es. Wenn nein, beweisen Sie, daß es keins gibt. 2 Punkte

Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine Definition für die Begriffe ”Bilinearform“, ”Skalarprodukt“ und ”ausgeartetes Skalarprodukt“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 4 Punkte

Aufgabe 2. Es sei F der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ F | f(2) · f(3) = f(6)} ein Teilraum von F? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ F | f(2) + f(3) = f(5)} ein Teilraum von F? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 3. Wir betrachten \underline{lösbare} inhomogene lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 5 Unbekannten über dem Körper ZZ_{7} mit 7 Elementen. Bestimmen Sie die natürliche Zahl n, für die die beiden folgenden Aussagen gelten.

(1) Jedes solche System hat mindestens n Lösungen.

(2) Nicht jedes solche System hat mindestens n + 1 Lösungen. (Geben Sie ausführliche Beweise für beide Eigenschaften.) 7 Punkte

Aufgabe 4. Im Vektorraum V = V_{4×1}(ZZ_{5}) über dem Körper ZZ_{5} mit 5 Elementen sei der Teilraum

T = ⟨ ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟩

gegeben. Geben Sie eine Basisfolge für den Faktorraum V/T an. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 5. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 2 & −1 & 3 \\ −1 & 3 & −3 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 5 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6.

Es sei V der Vektorraum V_{4×1}(IR).

a) Geben Sie, falls möglich, zwei 3-dimensionale Teilräume T_{1}, T_{2} von V an mit T_{1}∩T_{2} = {0}. 3 Punkte

b) Geben Sie, falls möglich, drei 2-dimensionale Teilräume U_{1}, U_{2}, U_{3} von V an, die paarweise den Durchschnitt {0} haben. 4 Punkte

c) Gibt es zweihundert 1-dimensionale Teilräume in V, die paarweise den Durchschnitt {0}

haben? 3 Punkte (Antwort jeweils mit Begründung. Achten Sie auf die Formulierung.)

Aufgabe 7.

Wieviele lineare Abbildungen α: V_{4×1}(Q I ) ⟶ V_{3×1}(Q I ) gibt es, welche folgendermaßen abbilden?

A_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟼ B_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), A_{2} =( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )⟼ B_{2} =( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), A_{3} =( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )⟼ B_{3} =( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ).

(Mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basisfolge von V = V_{3×1}(IR) und Φ: V × V ⟶ IR das durch

die Matrix M(B, Φ, B) = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 2 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) bestimmte Skalarprodukt auf V. Berechnen Sie mit

Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasisfolge C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie

a) die Matrix M(C, Φ, C),

b) die Basiswechselmatrix M(B, C) und

c) die Basisvektoren C_{1}, C_{2}, C_{3} als Ausdrücke in B_{1}, B_{2}, B_{3} an. 5 Punkte

Aufgabe 9.

In Aufgabe 8 hätten wir auch das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden können. Aber das funktioniert nicht immer.

a) Warum nicht? 2 Punkte b) Es sei V = V_{n×1}(IR) mit n > 1 und Φ ein Skalarprodukt auf V. Geben Sie für Φ eine

hinreichende Bedingung dafür an, daß man aus \underline{jeder} Basisfolge B von V mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthogonalbasisfolge von V bezüglich Φ berechnen kann. (Mit Begründung.) 2 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 10.

Es sei E = {0, 1, 2, 3, 4} ⊆ IR, und es sei f die Funktion in IR^{E} mit den folgenden Werten.

\begin{matrix}x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(x) & 8 & 4 & 3 & 0 & −10 \end{matrix}

Bestimmen Sie diejenige quadratische Funktion g(x) = ax^{2} + bx + c auf E (also diejenige Funktion g aus dem von den Potenzfunktionen p_{0}, p_{1}, p_{2} aufgespannten Teilraum von IR^{E}), die die beste Approximation der Funktion f bezüglich des durch

Γ(g, h) = ∑_{x∈E} g(x)h(x)

gegebenen Skalarprodukts liefert. (Wir empfehlen, für jede in der Rechnung auftretende Funktion die gegebene Wertetabelle um die entsprechende Zeile zu ergänzen.) 8 Punkte

Aufgabe 11.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −2 \\ 2 & 1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ V_{4×4}(IR). 4 Punkte

Aufgabe 12.

Es sei R ein kommutativer Ring-mit-1, und es sei a ein Nullteiler von R. Zeigen Sie, daß a in R kein (multiplikatives) Inverses besitzt. (Die Formulierung ist wichtig.) 3 Punkte

Aufgabe 13.

Wir betrachten im Restklassenring ZZ_{111} die Restklasse \overline{70}, die die Zahl 70 enthält. Berechnen Sie zu \overline{70} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation. 4 Punkte

Aufgabe 14.

Es sei V der Vektorraum V_{3×1}(ZZ_{3}). Die lineare Abbildung β: V ⟶ V sei bezüglich der

Standardbasis S von V durch die Matrix M(S, β, S) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} ) gegeben.

a) Gibt es in V einen 1-dimensionalen, β-invarianten Teilraum T (d. h. β(T) ≤ T) ?

b) Gibt es in V einen 2-dimensionalen, β-invarianten Teilraum U (d. h. β(U) ≤ U), dessen

sämtliche 1-dimensionale Teilräume ebenfalls β-invariant sind? (Denken Sie daran, daß wir über dem Körper mit 3 Elementen rechnen!) 7 Punkte

1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (9. 12. 94)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 11 gegebenen Aufgaben für insgesamt 48 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten, jedoch werden nur maximal 40 der erreichten Punkte auf den Übungsschein angerechnet. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Geben Sie für die folgenden Begriffe jeweils eine vollständige Definition an.

a) Dimension eines endlich erzeugten Vektorraumes,

b) Summe T_{1} + T_{2} zweier Teilräume eines Vektorraumes,

c) Kern einer linearen Abbildung.

(Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie einführen, zu erklären.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Geben Sie ein Element a ≠ 0 im Ring ZZ_{6} an, das kein (multiplikativ) inverses Element besitzt. (Mit Beweis) 3 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen von Q I ^{2} sind Teilräume von Q I ^{2} ?

M_{1} := { (a, b) | a = b + 5 }, M_{2} := { (a, b) | a = b · 5 }, M_{3} := { (a, b) | a = b^{5} }. (Antwort jeweils mit Begründung) 4 Punkte

Aufgabe 4. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Angabe eines konkreten Gegenbeispiels) die folgende Behauptung: Ist V ein K-Vektorraum über einem Körper K und sind u, v, w Vektoren aus V mit der Eigenschaft, daß jede der Mengen {u, v}, {u, w} und {v, w} linear unabhängig ist, so ist auch die Menge {u, v, w} linear unabhängig. 3 Punkte

Aufgabe 5. Welche der folgenden Abbildungen von IR^{2} in IR^{3} sind linear?

φ_{1} : (x_{1}, x_{2}) ⟼ (x_{1} − x_{2}, 0, 2x_{1} − x_{2}), φ_{2} : (x_{1}, x_{2}) ⟼ (x_{1}x_{2}, x_{1}, x_{2}).

1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I 9. 12. 94

(Antwort jeweils mit Begründung) 4 Punkte Aufgabe 6. Im Vektorraum V = ZZ_{5}^{3×1} seien die Teilräume T_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} )⟩ und T_{2} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} )⟩ gegeben.

a) Bestimmen Sie die Dimensionen von T_{1} + T_{2} und T_{1} ∩ T_{2}. 4 Punkte b) Bestimmen Sie eine Basis von V/T_{1}. 2 Punkte

Aufgabe 7. Es sei n ∈ IN und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine lineare Abbildung φ: V → V mit Kern φ = Bild φ, wenn n gerade ist. 4 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ V = IR^{2×2} und φ: V → V definiert durch φ(X) = AXA für alle X ∈ V.

a) Zeigen Sie, daß φ linear ist. 1 Punkt b) Geben Sie je eine Basis von Kern φ und Bild φ an. 4 Punkte c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern φ zu einer Basis von V. 1 Punkt

Aufgabe 9. Es sei V ein K-Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und v_{1}, ..., v_{n} ∈ V, so daß (v_{1} + T, ..., v_{n} + T) eine Basis von V/T ist. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) (v_{1}, ..., v_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 2 Punkte b) (v_{1}, ..., v_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte

Aufgabe 10. Gegeben sei der 3-dimensionale IR-Vektorraum V = ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ≤ Abb(IR, IR) mit p_{i}(x) = x^{i} für i ∈ {1, 2, 3} und x ∈ IR. (Wir wissen aus der Vorlesung, daß (p_{1}, p_{2}, p_{3}) linear unabhängig ist.)

Weiter sei W = IR^{3×1}, und es sei φ: V → W die durch φ(f) =( \begin{matrix}f(−2) \\ f(0) \\ f(2) \end{matrix} ) definierte Abbildung

von V in W. Ist φ linear? Ist φ surjektiv? Ist φ injektiv? (Antwort jeweils mit Begründung) 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei n ∈ IN und A = [a_{ij}] ∈ IR^{n×n} mit a_{ij} = j − i für 1 ≤ i, j ≤ n. Bestimmen Sie Rg A. Hinweis: Betrachten Sie zuerst die Fälle n = 1, n = 2, n = 3. 6 Punkte

2. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (3. 2. 95)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 10 gegebenen Aufgaben für insgesamt 70 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Sie brauchen insgesamt (also aus beiden Semesterklausuren zusammen) mindestens 50 Punkte, um einen Übungsschein zu erhalten. Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie Definitionen für die Begriffe ”Eigenwert“, ”Eigenvektor“ und ”Eigenraum“. (Vergessen Sie nicht, jeweils alle Voraussetzungen anzugeben.) 4 Punkte

Aufgabe 2. Es seien Permutationen σ, τ ∈ S_{6} definiert durch

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \end{matrix} ) und τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

a) Schreiben Sie σ und τ als Produkte von Zykeln mit disjunkten Ziffernmengen.

b) Berechnen Sie daraus σ·τ, τ ·σ und σ^{−1} ·τ ·σ jeweils in Zykelnschreibweise (Multiplikation von rechts nach links wie in der Vorlesung). 5 Punkte

Aufgabe 3.

In V = IR^{3×1} seien die Teilräume U = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}4 \\ 3 \\ −2 \end{matrix} ]⟩ und W = ⟨[ \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]⟩ gegeben.

Berechnen Sie je eine Basis für U ∩ W und U + W. 6 Punkte

Aufgabe 4. Es seien p, q ∈ Q I [X] mit p = X^{6} − 5X^{5} − 3X^{4} + 5X^{3} + 3X^{2} − 2X − 9 und q = X^{2} − 5X − 2.

a) Dividieren Sie p mit Rest durch q.

b) Berechnen Sie q(A) und p(A) für A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] ∈ Q I ^{2×2}. 7 Punkte

Aufgabe 5.

a) Wieviele invertierbare Matrizen gibt es in ZZ_{5}^{2×2}?

b) Wieviele Matrizen A ∈ ZZ_{5}^{2×2} mit det A = 0 gibt es?

c) Es sei 0 ≠ a ∈ ZZ_{5}. Wieviele Matrizen A ∈ ZZ_{5}^{2×2} mit det A = a gibt es? Antwort jeweils mit Begründung. 7 Punkte Aufgabe 6.

Es sind B = ([ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]) und B′ = ([ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ]) Basisfolgen von V = Q I ^{3}

sowie C = ([ \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ]) und C′ = ([ \begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix} ]) Basisfolgen von W = Q I ^{2}. Eine lineare

Abbildung φ: V → W sei definiert durch φ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}x_{1} + x_{3} \\ x_{2} − x_{3} \end{matrix} ], und es sei v = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] ∈ V.

a) Berechnen Sie _{C} [φ]_{B} und _{C′} [φ]_{B′}.

b) Berechnen Sie c_{B′}(v) und c_{C′}(φ(v)). 8 Punkte

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektrorraum und φ ∈ End V mit φ^{2} = φ. Zeigen Sie:

a) φ ist diagonalisierbar.

b) Ist t ein Eigenwert von φ, so gilt t ∈ {0, 1}. 5 Punkte

Aufgabe 8. Es seien φ und ψ zwei vertauschbare Endomorphismen eines K-Vektorraums V. Zeigen Sie: Jeder Eigenraum von ψ ist φ-invariant. 5 Punkte

Aufgabe 9.

a) Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix A = [ \begin{matrix}0 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 3 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} ] ∈ CI ^{3×3}.

b) Zeigen Sie, ohne irgendwelche Matrixmultiplikationen auszuführen, daß A^{4} gleich der Einheitsmatrix E_{3} ist.

c) Bestimmen Sie ein Polynom p ∈ CI [X] vom Grade 2, für das p(A) = A^{−1} gilt. 12 Punkte

Aufgabe 10. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ ZZ_{2}^{3×3}. Berechnen Sie

a) die Jordan-Normalform von A,

b) eine invertierbare Matrix P ∈ ZZ_{2}^{3×3}, so daß P^{−1}AP in Jordan-Normalform ist,

c) das Minimalpolynom von A. 11 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I (29 3. 95)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 10 gegebenen Aufgaben für insgesamt 60 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Sie brauchen 25 Punkte, um einen Übungsschein zu erhalten. Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1.

a) Formulieren Sie Definitionen für die Begriffe ”Restklasse“, ”Faktorraum“ und ”Dualraum“. Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, jeweils alle Voraussetzungen anzugeben und alle Bezeichnungen, die Sie benutzen (wie z. B. K oder V), zu erklären. 3 Punkte

b) Zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume V und W (über demselben Körper K) seien durch die Basisfolgen B = (v_{1}, …, v_{n}) und C = (w_{1}, …, w_{m}) gegeben, und es sei φ: V → W eine lineare Abbildung von V nach W. Wie ist die Abbildungsmatrix von φ bezüglich B und C definiert? 2 Punkte

Aufgabe 2. Es seien T_{1} und T_{2} zwei 2-dimensionale Teilräume eines 3-dimensionalen Vektorraums. Welche Dimension muß T_{1} ∩ T_{2} mindestens haben? Begründen Sie Ihre Antwort, und geben Sie ein konkretes Beispiel für diesen Fall an. 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper und V = K^{2×2} der Vektorraum der 2 × 2-Matrizen über K. Ist U = {A ∈ V | det A = 0} ein Teilraum von V? (Antwort mit Begründung.) 4 Punkte

Aufgabe 4.

Für welche c ∈ Q I hat das Gleichungssystem [ \begin{matrix}−1 & 0 & c − 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & c + 2 & 7 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ] über Q I a) keine Lösung,

b) genau eine Lösung,

c) mehr als eine Lösung? (Antwort jeweils mit Begründung.) 6 Punkte

Aufgabe 5.

Es seien T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]⟩ zwei Teilräume des Vek-

torraums V = ZZ_{2}^{4×1}. Berechnen Sie eine Basis für T_{1} ∩ T_{2}. 5 Punkte

Aufgabe 6. Gegeben seien ein 2-dimensionaler Vektorraum V über einem Körper K, eine Basis B von V

sowie die zwei Matrizen A_{1} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] und A_{2} = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] aus K^{2×2}. Dann gibt es eine lineare

Abbildung φ: V → V sowie eine Bilinearform Φ: V × V → K mit _{B} [φ]_{B} = [Φ]_{B} = A_{1}. a) Gibt es eine Basis C von V mit _{C} [φ]_{C} = A_{2}? (Antwort mit Begründung.) 4 Punkte b) Gibt es eine Basis D von V mit [Φ]_{D} = A_{2}? (Antwort mit Begründung.) 3 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I 29 3. 95

Aufgabe 7. Im Vektorraum Abb (IR, IR) betrachten wir den Teilraum V, der von den durch

f_{1}(x) = sin^{2}x, f_{2}(x) = cos^{2}x und f_{3}(x) = sinx cosx für alle x ∈ IR

definierten Abbildungen f_{1}, f_{2}, f_{3} erzeugt wird. Dann ist die Menge B = {f_{1}, f_{2}, f_{3}} eine Basis von V. (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Ferner sei φ: V → V die durch

φ(f)(x) = f′(x) + f′′(x) für alle f ∈ V und x ∈ IR

definierte Abbildung von V nach V, wobei f′ und f′′ die gewöhnliche erste und zweite Ableitung von f nach x bezeichnen. Bekanntlich ist φ linear.

a) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B}[φ]_{B}. 5 Punkte b) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ. (Vergessen Sie dabei nicht, daß die

Vektoren von V Funktionen und keine Spalten sind.) 3 Punkte

Aufgabe 8. Es sei K ein Körper, n eine natürliche Zahl, A ∈ K^{n×n} eine invertierbare Matrix und B ∈ K^{n×n}. Zeigen Sie: Jeder Eigenwert von AB ist auch ein Eigenwert von BA. 4 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = P_{3}(IR) der Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 3 auf IR, B = (f_{1}, f_{2}, f_{3})

eine Basisfolge von V und φ die durch die Matrix _{B} [φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 3 & 1 \\ −1 & −3 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] definierte lineare Abbildung von V in V.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten. 3 Punkte b) Berechnen Sie für jeden Eigenwert von φ eine Basis des zugehörigen Eigenraums.

(Vergessen Sie dabei nicht, daß die Vektoren in V Polynomfunktionen und keine Spalten sind.) 5 Punkte

c) Berechnen Sie das Minimalpolynom von φ. 3 Punkte

Aufgabe 10. Es sei wieder V = P_{3}(IR) der Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 3 auf IR und B = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) eine Basisfolge von V, und es sei Φ die durch die Matrix

[Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{matrix} ]

definierte Bilinearform Φ auf V. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis C = (g_{1}, g_{2}, g_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Matrix [Φ]_{C}, die Basiswechselmatrix _{B} [id]_{C} sowie die Basisvektoren g_{1}, g_{2}, g_{3} (als Ausdrücke in f_{1}, f_{2}, f_{3}) an. 7 Punkte Hinweis: Wir empfehlen, die Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen zu benutzen.

Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (14. 3. 1995)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe:

a) Wann heißt eine Abbildung injektiv? 1 Punkt b) Wann heißt ein Endomorphismus diagonalisierbar? 1 Punkt c) Was heißt Dualraum? 1 Punkt

Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, jeweils alle Voraussetzungen anzugeben und alle Bezeichnungen, die Sie benutzen (wie z. B. K oder V), zu erklären.

Aufgabe 2. Es sei V der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ V | f(2) = f(0) + 2} ein Teilraum von V? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ V | f(2) = f(1) · 2} ein Teilraum von V? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Für die Aufgaben 3 bis 5 nehmen wir an, es sei V der Vektorraum V = ZZ_{5}^{3×1}, und es seien in

V die Teilräume T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]⟩, T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ und T_{3} = ⟨[ \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]⟩ gegeben.

Warnung: Denken Sie daran, über ZZ_{5} zu rechnen!

Aufgabe 3.

a) Berechnen Sie die Dimensionen von T_{1}, von T_{2} und von T_{1} + T_{2}. 3 Punkte b) Es gibt einen Dimensionssatz, mit dem man hieraus die Dimension von

T_{1} ∩ T_{2} berechnen kann. Formulieren Sie diesen Satz (als vollständigen

Satz mit allen Voraussetzungen). 2 Punkte

Aufgabe 4. Berechnen Sie je eine Basis für T_{2} und für den Faktorraum V/T_{2}. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 3 Punkte Aufgabe 5. Berechnen Sie eine Basis für T_{1} ∩ T_{3}. 5 Punkte Zur Erinnerung: Denken Sie daran, über ZZ_{5} zu rechnen!

Aufgabe 6. Es sei V = Q I ^{2×2} der Vektorraum der 2 × 2-Matrizen über Q I .

a) Zeigen Sie, daß die durch φ(A) = A + A^{tr} für A ∈ V definierte Abbildung φ: V → V linear ist. 2 Punkte

b) Geben Sie eine Basis B von V an, und berechnen Sie die Abbildungsmatrix B [φ]_{B} von φ bezüglich B. 4 Punkte

c) Berechnen Sie den Rang von φ. 2 Punkte

Aufgabe 7. Gibt es ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 7 Unbekannten über einem geeigneten Körper K, das genau 4 Lösungen hat? (Antwort mit konkretem Beispiel und Beweis oder mit Gegenbeweis. Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V = ZZ_{3}^{5×1} und T ein Teilraum der Dimension 2 von V.

a) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente von T. 2 Punkte b) Berechnen Sie die Anzahl der Basisfolgen von V und von T. 2 Punkte c) Berechnen Sie die Anzahl der 2-dimensionalen Teilräume von V. 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Für die Aufgaben 9 bis 10 legen wir folgende Bezeichnungen fest: Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Durch die Basiswechselmatrix

B [id]_{C} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ −1 & 1 & 0 \end{matrix} ] und die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ] seien eine weitere

Basis C von V und eine lineare Abbildung φ: V → V gegeben.

Aufgabe 9.

a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C} [id]_{B}. 5 Punkte b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{C} [φ]_{C}. 3 Punkte

Aufgabe 10.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten. 5 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum. 3 Punkte Aufgabe 11. Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V

sei gegeben durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix} ]. Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der

simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie

a) die Matrix [Φ]_{C}, 5 Punkte b) die Basiswechselmatrix _{B} [id]_{C} und 1 Punkt c) die Basisvektoren w_{1}, w_{2}, w_{3} (als Ausdrücke in v_{1}, v_{2}, v_{3}) an. 1 Punkt

Aufgabe 12. Es sei n ∈ IN. Die Matrix A = [ a_{ij}] ∈ Q I ^{n×n} sei definiert durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}−1 & für i = j = 1, \\ −2 & für i = j ≥ 2, \\ 1 & für | i − j | = 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Aufgabenblatt Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (28. 9. 1995)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1.

Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe.

a) \underline{Basisfolge} eines endlich erzeugten Vektorraums (geben Sie zwei verschiedene Definitionen an), 2 Punkte

b) \underline{charakteristisches Polynom} (wovon?). 2 Punkte Zur Erinnerung: Eine Definition besteht aus einem oder mehreren vollständigen Sätzen, alle Voraussetzungen werden angegeben, und für alle auftretenden Namen (wie z. B. K oder V) wird gesagt, was für Objekte sie bezeichnen.

Aufgabe 2.

Welche der folgenden Teilmengen des Zeilenraums V = IR^{1×4} sind Teilräume von V?

a) M_{1} = { [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ V | x_{1}^{2} + x_{3}^{4} = 0 }, 3 Punkte b) M_{2} = { [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ V | x_{2}^{1} + x_{4}^{3} = 0 }. 2 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 3.

Bringen Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} ] ∈ K^{4×4} durch elementare Zeilenumformungen

auf Stufenform, und geben Sie ihren Rang an a) für den Fall K = ZZ_{2}, 2 Punkte b) für den Fall K = ZZ_{3}. 3 Punkte

Aufgabe 4.

Gegeben sei ein 4-dimensionaler Vektorraum V über einem Körper K. Für welche der Zahlen n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} gibt es zwei 3-dimensionale Teilräume T_{1} und T_{2} von V mit dim (T_{1} ∩ T_{2}) = n, für welche nicht? (Mit Beweis. Geben Sie insbesondere im ersten Fall jeweils ein konkretes Beispiel für T_{1} und T_{2} an.) 6 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei K ein Körper, n ∈ IN und V = K^{n×n} der Vektorraum der n × n-Matrizen über K.

a) Zeigen Sie: Ist A ∈ K^{n×n} (fest gewählt), so ist die durch φ(X) = XA für X ∈ V definierte Abbildung φ: V → V linear. (Argumentation und Formulierung sind wichtig.) 3 Punkte

b) Sei nun konkret K = IR, n = 2 und A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ]. Wählen Sie eine Basis B von V (geben

Sie sie an), und berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} von φ bezüglich B. 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra 28. 9. 1995

Aufgabe 6.

a) Ist jedes lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und fünf Unbekannten über einem beliebigen Körper lösbar? 3 Punkte

b) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und fünf Unbekannten, das genau vier Lösungen hat? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 7.

Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.

a) Wieviele invertierbare Matrizen gibt es in K^{2×2}? 3 Punkte b) Wieviele Matrizen A ∈ K^{2×2} mit det A = 0 gibt es? 2 Punkte c) Es sei 0 ≠ d ∈ K. Wieviele Matrizen A ∈ K^{2×2} mit det A = d gibt es? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 8.

Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Eine lineare Abbildung φ: V → V

sei durch die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten. 5 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ eine Basis des zugehörigen Eigenraums.

(Warnung: Verwechseln Sie die Vektoren der Eigenräume nicht mit ihren

Koeffizientenspalten bezüglich B.) 3 Punkte

Aufgabe 9.

Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei

gegeben durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix} ].

a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Matrix [Φ]_{C} sowie die Basiswechselmatrix _{B} [id]_{C} an. 5 Punkte

b) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.) 1 Punkt c) Ist Φ positiv definit? (Begründung.) 1 Punkt

Aufgabe 10.

Es sei n ∈ IN. Die Matrix A = [ a_{ij}] ∈ Q I ^{n×n} sei definiert durch a_{ij} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j, \\ −1 & für | i − j | = 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

1. Halbklausur zur Linearen Algebra I (20. 12. 96)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 51 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge M = ℚ \ {1} definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch a ∘ b = (a − 1) · (b − 1) + 1 für a, b ∈ M.

(a) Zeigen Sie, daß ∘ assoziativ ist. (Hinweis: Multiplizieren Sie dabei die Klammerausdrücke nicht aus.)

(b) Gibt es in M ein neutrales Element bezüglich ∘?

(c) Ist M eine Gruppe? 6 Punkte

Aufgabe 2. Im Vektorraum V = K^{2} über einem Körper K sei die Teilmenge M = \{[ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] | a + b = a^{2} \} gegeben. Untersuchen Sie, ob M ein Teilraum von V ist

(a) für den Fall K = ℤ_{2},  (b) für den Fall K = ℤ_{3}.  4 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Abbildungen von ℝ^{3} in ℝ^{3} sind linear?

(a) φ_{1} ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} \\ x_{1} − x_{3} \\ x_{1} + 2x_{2} − 3x_{3} \end{matrix} ], (b) φ_{2} ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}3 + x_{2} \\ 2 + x_{1} \\ 0 \end{matrix} ].

Berechnen Sie jeweils eine Basis von Kern φ_{i} und von Bild φ_{i}, wenn φ_{i} linear ist. 9 Punkte

Aufgabe 4. Auf ℤ sei die Relation R = { (a, b) ∈ ℤ × ℤ | a ≤ 2b } gegeben. Untersuchen Sie, ob R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. (Antwort jeweils mit Begründung) 3 Punkte

Aufgabe 5. Im Restklassenring ℤ_{19} sei das Element a = \overline{9} gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe der in den Hausaufgaben geübten Methode, also ohne a zu potenzieren und ohne euklidischen Algorithmus,

(a) das Element a^{7},  (b) das Element a^{−1}.  4 Punkte

1. Halbklausur zur Linearen Algebra I 20. 12. 96

Aufgabe 6.

In V = ℝ^{3} seien die Vektoren X = [ \begin{matrix}4 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ] und Y = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ] sowie der Teilraum T = ⟨[ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]⟩

gegeben. Zeigen Sie, daß die Folge der Restklassen (T + X, T + Y) linear unabhängig ist.

6 Punkte

Aufgabe 7.

Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 3 \\ 3 & 0 & −4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3} mit Hilfe des in der Vorlesung

vorgestellten Verfahrens. 5 Punkte

Aufgabe 8.

Im Spaltenraum ℝ^{3} seien die Vektoren X = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ], Y = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] und Z = [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ] gegeben. Gibt

es eine lineare Abbildung φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} mit φ(X) = Y, φ(Y) = X und φ(Z) = Z? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? (Auf die Begründung kommt es an.) 6 Punkte

Aufgabe 9.

In Abb (ℝ, ℝ) seien die Funktionen f_{1}, f_{2}, g_{1} und g_{2} gegeben durch

f_{1}(x) = 2e^{3x} − e^{−2x}, f_{2}(x) = −e^{3x} + e^{−2x}, g_{1}(x) = e^{3x}, g_{2}(x) = e^{−2x}.

Wir betrachten den Teilraum V = ⟨f_{1}, f_{2}⟩. Offensichtlich sind C = (f_{1}, f_{2}) und B = (g_{1}, g_{2}) Basen von V, und es gibt zwei lineare Abbildungen φ und ψ von V in V mit φ(f) = f′ und ψ(f) = f^{(19)} (neunzehnte Ableitung von f) für f ∈ V (nicht zu beweisen). Berechnen Sie

(a) die Basiswechselmatrizen _{B}id_{C} und _{C}id_{B} sowie die Abbildungsmatrizen _{B}φ_{B} und _{C}φ_{C},

(b) die Abbildungsmatrizen _{B}ψ_{B} und _{C}ψ_{C}. (Hier genügt es, wenn Sie die großen Zahlen in den Matrizen als Summen von Potenzen schreiben.) 8 Punkte

2. Halbklausur zur Linearen Algebra I (15. 2. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 49 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1.

In V = ℝ^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ]⟩

gegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. 6 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V ein K-Vektorraum und φ ∈ End (V). Beweisen Sie: Ist φ ein Monomorphismus, aber kein Automorphismus von V, so ist dim V = ∞. 4 Punkte

Aufgabe 3.

(a) Ist jedes lineare Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 10 Unbekannten lösbar? (Antwort mit Beweis)

(b) Wie viele Elemente kann ein Körper haben, über dem es ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau 64 Lösungen gibt? Geben Sie alle Möglichkeiten an. (Nur aufzählen, ohne Beweis)

(c) Gibt es ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 10 Unbekannten (über einem geeigneten Körper), das genau 64 Lösungen hat? (Antwort mit Beweis) 4 Punkte

Aufgabe 4.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ iπ & 7 & 8 & 11 & 10 & 9 & 12 & 3 & 2 & 6 & 5 & 1 & 4 \end{matrix} gegebene Permutation

auf der Menge M = {1, 2, …, 12}.

(a) Schreiben Sie π und π^{−1} jeweils als Produkt ziffernfremder Zykel.

(b) Geben Sie die Bahnen auf M unter π an.

(c) Schreiben Sie π als Produkt von Transpositionen.

(d) Zeigen Sie, daß man π nicht als Produkt von Dreierzykeln schreiben kann.

(e) Berechnen Sie die Ordnung von π.

(f) Wie viele Elemente der Gruppe S_{12} haben die gleiche Zykelstruktur wie π? (Sie brauchen das Ergebnis nicht auszumultiplizieren, müssen es aber begründen.) 8 Punkte

2. Halbklausur zur Linearen Algebra I (15. 2. 97) Seite 2

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{4×4} mit Hilfe des Entwick-

lungssatzes. Entwickeln Sie dabei A und alle vorkommenden Unterdeterminanten jeweils nach der ersten Zeile. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen und keine Entwicklung nach anderen Zeilen oder Spalten.) 3 Punkte

Aufgabe 6. Es sei ℤ_{2}[x] der Polynomring über ℤ_{2} und P (ℤ_{2}) der Ring aller Polynomabbildungen von ℤ_{2} in ℤ_{2}, und es sei ε der Homomorphismus von ℤ_{2}[x] auf P (ℤ_{2}), der jedem Polynom

f = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} ∈ ℤ_{2}[x]

die durch \overline{f}: k ↦ a_{0} + a_{1}k + … + a_{n}k^{n} für alle k ∈ ℤ_{2}

definierte Polynomabbildung \overline{f} ∈ P (ℤ_{2}) zuordnet. Weiter sei g = x^{2} + x ∈ ℤ_{2}[x] und G = {f ·g | f ∈ ℤ_{2}[x]} ⊆ ℤ_{2}[x].

Beweisen Sie: Es ist G = Kern ε (also gleich {f ∈ ℤ_{2}[x] | ε(f) = 0 ∈ P (ℤ_{2})}). Hinweis: Zeigen Sie zuerst G ⊆ Kern ε und dann Kern ε ⊆ G. 9 Punkte

Aufgabe 7.

Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 3 \\ −1 & −1 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von A den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Matrix T ∈ ℚ^{3×3}, so daß T^{−1}AT Diagonalgestalt hat. 7 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V ein K-Vektorraum, B eine Basis von V und T ≤ V. Geben Sie (jeweils ohne Beweis) eine Definition an für

(a) den Dualraum V^{∗} von V,

(b) den Annihilator An (T) in V^{∗},

(c) die zu B duale Basis von V^{∗}. 3 Punkte

Aufgabe 9.

Es sei V = ℝ^{4} und T = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ]⟩ ≤ V. Berechnen Sie den Annihilator von T im Dual-

raum V^{∗} von V. Stellen Sie dabei die Elemente φ aus An (T) durch ihre Abbildungsmatrizen Cφ_{B} bezüglich der Standardbasen B von V und C von ℝ dar. (Wichtig ist eine ausreichende Erläuterung Ihrer Rechnung.) 5 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I (15. 2. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 16 gegebenen Aufgaben für insgesamt 84 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge M = {2n | n ∈ ℕ} der positiven geraden Zahlen definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch a ∘ b = \frac{a·b}{2} für alle a, b ∈ M.

(a) Ist ∘ assoziativ?

(b) Gibt es in M ein neutrales Element bezüglich ∘? Wenn ja, welches?

(c) Ist (M, ∘) eine Gruppe? 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ nach ℝ.

(a) Ist M_{1} = {f ∈ V | f(3) + f(5) = f(8)} ein Teilraum von V?

(b) Ist M_{2} = {f ∈ V | f(2) · f(4) = f(8)} ein Teilraum von V? Antwort jeweils mit Begründung. 4 Punkte

Aufgabe 3. Es sei φ die durch φ ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}3x_{1} + 2x_{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} − 2x_{3} \end{matrix} ] gegebene Abbildung von ℝ^{3} in ℝ^{3}.

(a) Zeigen Sie, daß φ linear ist.

(b) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ.

(c) Berechnen Sie eine Basis von Bild φ. 6 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V ein 2-dimensionaler K-Vektorraum. Untersuchen Sie, ob die durch

R = { (X, Y) ∈ V × V | (X, Y) ist linear abhängig }

Semesterklausur zur Linearen Algebra I (15. 2. 97) Seite 2

definierte Relation auf V reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. (Antwort jeweils mit Begründung) 4 Punkte Aufgabe 5. Im \underline{dreidimensionalen K-Vektorraum V = K^{3}} seien Vektoren X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} gegeben, so daß jede der Folgen (X_{1}, X_{2}) und (Y_{1}, Y_{2}) linear unabhängig ist. Wir setzen T = ⟨X_{1}, X_{2}⟩ und betrachten im Restklassenraum V/T die Folge (R_{1}, R_{2}) der Restklassen R_{1} = T + Y_{1} und R_{2} = T + Y_{2}. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (Auf die Begründung Ihrer Antwort kommt es an.)

(a) (R_{1}, R_{2}) ist linear unabhängig.

(b) (R_{1}, R_{2}) ist linear abhängig.

(c) Beides kann vorkommen, es hängt von der Wahl der Vektoren ab. 4 Punkte

Aufgabe 6. Für verschiedene Körper K sei jeweils der Vektorraum V = K^{3} gegeben und darin die Vektoren

X_{1} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ], X_{2} = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ], X_{3} = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]. Für welche Körper K gibt es zu jeder Wahl von

Vektoren Y_{1}, Y_{2}, Y_{3} ∈ V eine lineare Abbildung φ: V → V mit φ(X_{i}) = Y_{i} für i = 1, 2, 3 ? Antwort mit Beweis. Hinweis: Beachten Sie die Charakteristik von K. 6 Punkte

Aufgabe 7.

In V = ℝ^{2} seien die Basen B = (B_{1}, B_{2}) = ([ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ]) und C = (C_{1}, C_{2}) = ([ \begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix} ])

gegeben.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen _{B}id_{C} und _{C}id_{B}.

(b) Wir nehmen weiter an, die obigen Basisvektoren B_{1} und B_{2} seien Eigenvektoren eines Endomorphismus φ von V mit den zugehörigen Eigenwerten c_{1} = 5 und c_{2} = −5. Geben Sie die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B} an.

(c) Berechnen Sie aus den unter (a) und (b) berechneten Matrizen die Abbildungsmatrix _{C}φ_{C} und dann die Abbildungsmatrizen_{B}ψ_{B} und_{C}ψ_{C} für ψ = φ^{11}. (Soweit darin hohe Potenzen von Zahlen vorkommen, brauchen Sie diese nicht auszumultiplizieren.) 8 Punkte

Aufgabe 8.

In V = ℝ^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ]⟩

gegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. 6 Punkte Aufgabe 9. Es sei V ein K-Vektorraum und φ ∈ End (V). Beweisen Sie: Ist φ ein Monomorphismus, aber kein Automorphismus von V, so ist dim V = ∞. 4 Punkte

Aufgabe 10.

(a) Ist jedes lineare Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 10 Unbekannten lösbar? (Antwort mit Beweis)

(b) Wie viele Elemente kann ein Körper haben, über dem es ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau 64 Lösungen gibt? Geben Sie alle Möglichkeiten an. (Nur aufzählen, ohne Beweis)

(c) Gibt es ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 10 Unbekannten (über einem geeigneten Körper), das genau 64 Lösungen hat? (Antwort mit Beweis) 4 Punkte

Aufgabe 11.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ iπ & 7 & 8 & 11 & 10 & 9 & 12 & 3 & 2 & 6 & 5 & 1 & 4 \end{matrix} gegebene Permutation

auf der Menge M = {1, 2, …, 12}.

(a) Schreiben Sie π und π^{−1} jeweils als Produkt ziffernfremder Zykel.

(b) Geben Sie die Bahnen auf M unter π an.

(c) Schreiben Sie π als Produkt von Transpositionen.

(d) Zeigen Sie, daß man π nicht als Produkt von Dreierzykeln schreiben kann.

(e) Berechnen Sie die Ordnung von π.

(f) Wie viele Elemente der Gruppe S_{12} haben die gleiche Zykelstruktur wie π? (Sie brauchen das Ergebnis nicht auszumultiplizieren, müssen es aber begründen.) 8 Punkte

Aufgabe 12. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{4×4} mit Hilfe des Entwick-

lungssatzes. Entwickeln Sie dabei A und alle vorkommenden Unterdeterminanten jeweils nach der ersten Zeile. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen und keine Entwicklung nach anderen Zeilen oder Spalten.) 3 Punkte Aufgabe 13. Es sei ℤ_{2}[x] der Polynomring über ℤ_{2} und P (ℤ_{2}) der Ring aller Polynomabbildungen von ℤ_{2} in ℤ_{2}, und es sei ε der Homomorphismus von ℤ_{2}[x] auf P (ℤ_{2}), der jedem Polynom

f = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} ∈ ℤ_{2}[x]

die durch \overline{f}: k ↦ a_{0} + a_{1}k + … + a_{n}k^{n} für alle k ∈ ℤ_{2}

definierte Polynomabbildung \overline{f} ∈ P (ℤ_{2}) zuordnet. Weiter sei

g = x^{2} + x ∈ ℤ_{2}[x] und G = {f ·g | f ∈ ℤ_{2}[x]} ⊆ ℤ_{2}[x].

Beweisen Sie: Es ist G = Kern ε (also gleich {f ∈ ℤ_{2}[x] | ε(f) = 0 ∈ P (ℤ_{2})}). Hinweis: Zeigen Sie zuerst G ⊆ Kern ε und dann Kern ε ⊆ G. 9 Punkte

Aufgabe 14.

Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 3 \\ −1 & −1 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von A den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Matrix T ∈ ℚ^{3×3}, so daß T^{−1}AT Diagonalgestalt hat. 7 Punkte

Aufgabe 15. Es sei V ein K-Vektorraum, B eine Basis von V und T ≤ V. Geben Sie (jeweils ohne Beweis) eine Definition an für

(a) den Dualraum V^{∗} von V,

(b) den Annihilator An (T) in V^{∗},

(c) die zu B duale Basis von V^{∗}. 3 Punkte

Aufgabe 16. Es sei V = ℝ^{4} und T = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ]⟩ ≤ V. Berechnen Sie den Annihilator von T im Dual-

raum V^{∗} von V. Stellen Sie dabei die Elemente φ aus An (T) durch ihre Abbildungsmatrizen Cφ_{B} bezüglich der Standardbasen B von V und C von ℝ dar. (Wichtig ist eine ausreichende Erläuterung Ihrer Rechnung.) 5 Punkte

1. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 39 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge ℤ der ganzen Zahlen definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch

a ∘ b = a + b + 3 für alle a, b ∈ ℤ.

Ist (ℤ, ∘) eine Gruppe? (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, T ein echter Teilraum von V (also T ≤ V und T ≠ V) und W = Hom (V, V).

(a) Ist M_{1} = {φ ∈ W | T ≤ Kern φ} ein Teilraum von W?

(b) Ist M_{2} = {φ ∈ W | Kern φ ≤ T } ein Teilraum von W? Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = ℤ_{2}^{3} der 3-dimensionale Vektorraum über dem \underline{Körper ℤ_{2} mit 2 Elementen}. Untersuchen Sie, ob die durch

R = { (X, Y) ∈ V × V | X + Y = 0 ∈ V }

definierte Relation auf V reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 1 + 1 + 1 = 3 Punkte

Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein konkretes Gegenbeispiel) jeweils die folgenden Behauptungen.

(a) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a + b ein Nullteiler von R.

1. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97) Blatt 2

(b) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a·b ein Nullteiler von R. 3 + 3 = 6 Punkte Aufgabe 5. Es sei V ≤ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome über ℝ vom Grad ≤ 3, und es sei

T = ⟨x^{3} + x − 2, 2x^{3} − x^{2} − 1, 3x^{3} − 2x^{2} − x⟩ ≤ V.

Berechnen Sie eine Basis von V/T. (Eine ausreichende Erläuterung der Rechenschritte ist wichtig. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.) 5 Punkte

Aufgabe 6. Es sei K ein beliebiger Körper und V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis (B_{1}, B_{2}, B_{3}). Wir betrachten die Teilräume T_{1} = ⟨B_{1}⟩ und T_{2} = ⟨B_{1}, B_{2}⟩ von V. Es sei

F = { φ ∈ Hom (V, V) | φ(T_{1}) ≤ T_{1} und φ(T_{2}) ≤ T_{2} }

die Menge aller linearer Abbildungen von V nach V, die T_{1} und T_{2} jeweils in sich abbilden.

(a) Zeigen Sie, daß F ein Teilraum von Hom (V, V) ist.

(b) Welche Dimension hat F? (Antwort mit Begründung.) 2 + 4 = 6 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Durch die Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] und die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix} ] seien eine weitere Basis

C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V und eine lineare Abbildung φ: V → V gegeben.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B}.

(b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{C}φ_{C}.

(c) Kann man mit Hilfe der oben genannten Matrizen das Bild φ(X) des Vektors X = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 7 \end{matrix} ] aus V berechnen? (Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?) 2 + 2 + 2 = 6 Punkte

Aufgabe 8. In V = ℤ_{5}^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨[ \overline{1} \overline{1} \overline{1} ] , [ \overline{1} \overline{2} \overline{3} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \overline{2} \overline{0} \overline{1} ] , [ \overline{3} \overline{1} \overline{0} ]⟩ gegeben.

Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. (Formulieren Sie die Ergebnisse in einem Schlußsatz.) 4 Punkte

2. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 6 gegebenen Aufgaben für insgesamt 45 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1.

(a) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten, das genau 16 Lösungen hat?

(b) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten, das genau 32 Lösungen hat?

(Antwort jeweils mit konkretem Beispiel und Beweis oder mit Gegenbeweis. Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 2.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ iπ & 9 & 5 & 1 & 7 & 12 & 6 & 10 & 11 & 3 & 2 & 8 & 4 \end{matrix} gegebene Permutation

aus S_{12}, und es sei ρ = (1, 11, 4, 8)(2, 9, 3)(5, 12, 7, 10, 6) ∈ S_{12}.

(a) Schreiben Sie π und π^{−1} jeweils als Produkt ziffernfremder Zykel.

(b) Berechnen Sie die Permutationen π·ρ und ρ·π (in Zykelschreibweise).

(c) Schreiben Sie π als Produkt von Transpositionen.

(d) Kann man ρ als Produkt von Dreierzykeln schreiben? (Antwort mit Begründung.)

(e) Berechnen Sie die Ordnung von π. 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei B die Standardbasis von ℝ^{3} und φ der durch _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} definierte Endomorphismus von ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Fächerbasis C von ℝ^{3} bezüglich φ sowie die zugehörige Abbildungs-

matrix _{C}φ_{C}.

3 + 1 + 5 = 9 Punkte Aufgabe 4. Gilt für alle Paare (φ, ψ) von linearen Abbildungen φ und ψ von ℝ^{2} nach ℝ, daß

(a) Φ_{1} mit Φ_{1}(X, Y) = φ(X) + ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist,

(b) Φ_{2} mit Φ_{2}(X, Y) = φ(X) · ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist? (Antwort jeweils mit Beweis oder konkretem Gegenbeispiel. Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 5. Es sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2 und B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) eine Basis

von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.)

(b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 5 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch

die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.)

(d) Durch die Basiswechselmatrix _{B}id_{A} = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] sei eine weitere Basis A von V ge-

Ersatzklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 14 gegebenen Aufgaben für insgesamt 85 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge ℤ der ganzen Zahlen definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch

a ∘ b = a + b + 3 für alle a, b ∈ ℤ.

Ist (ℤ, ∘) eine Gruppe? (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, T ein echter Teilraum von V (also T ≤ V und T ≠ V) und W = Hom (V, V).

(a) Ist M_{1} = {φ ∈ W | T ≤ Kern φ} ein Teilraum von W?

(b) Ist M_{2} = {φ ∈ W | Kern φ ≤ T } ein Teilraum von W? Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = ℤ_{2}^{3} der 3-dimensionale Vektorraum über dem \underline{Körper ℤ_{2} mit 2 Elementen}. Untersuchen Sie, ob die durch

R = { (X, Y) ∈ V × V | X + Y = 0 ∈ V }

definierte Relation auf V reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 1 + 1 + 1 = 3 Punkte

Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein konkretes Gegenbeispiel) jeweils die folgenden Behauptungen.

(a) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a + b ein Nullteiler von R.

(b) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a·b ein Nullteiler von R. 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 5. Es sei V ≤ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome über ℝ vom Grad ≤ 3, und es sei

T = ⟨x^{3} + x − 2, 2x^{3} − x^{2} − 1, 3x^{3} − 2x^{2} − x⟩ ≤ V.

Berechnen Sie eine Basis von V/T. (Eine ausreichende Erläuterung der Rechenschritte ist wichtig. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.) 5 Punkte

Aufgabe 6. Es sei K ein beliebiger Körper und V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis (B_{1}, B_{2}, B_{3}). Wir betrachten die Teilräume T_{1} = ⟨B_{1}⟩ und T_{2} = ⟨B_{1}, B_{2}⟩ von V. Es sei

F = { φ ∈ Hom (V, V) | φ(T_{1}) ≤ T_{1} und φ(T_{2}) ≤ T_{2} }

die Menge aller linearer Abbildungen von V nach V, die T_{1} und T_{2} jeweils in sich abbilden.

(a) Zeigen Sie, daß F ein Teilraum von Hom (V, V) ist.

Ersatzklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97) Blatt 2

(b) Welche Dimension hat F? (Antwort mit Begründung.) 2 + 4 = 6 Punkte Aufgabe 7. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Durch die Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] und die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix} ] seien eine weitere Basis

C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V und eine lineare Abbildung φ: V → V gegeben.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B}.

(b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{C}φ_{C}.

(c) Kann man mit Hilfe der oben genannten Matrizen das Bild φ(X) des Vektors X = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 7 \end{matrix} ] aus V berechnen? (Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?) 2 + 2 + 2 = 6 Punkte

Aufgabe 8. In V = ℤ_{5}^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨[ \overline{1} \overline{1} \overline{1} ] , [ \overline{1} \overline{2} \overline{3} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \overline{2} \overline{0} \overline{1} ] , [ \overline{3} \overline{1} \overline{0} ]⟩ gegeben.

Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. (Formulieren Sie die Ergebnisse in einem Schlußsatz.) 4 Punkte

Aufgabe 9.

(a) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten, das genau 16 Lösungen hat?

(b) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten, das genau 32 Lösungen hat?

(Antwort jeweils mit konkretem Beispiel und Beweis oder mit Gegenbeweis. Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 10.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ iπ & 9 & 5 & 1 & 7 & 12 & 6 & 10 & 11 & 3 & 2 & 8 & 4 \end{matrix} gegebene Permutation

aus S_{12}, und es sei ρ = (1, 11, 4, 8)(2, 9, 3)(5, 12, 7, 10, 6) ∈ S_{12}.

(a) Schreiben Sie π und π^{−1} jeweils als Produkt ziffernfremder Zykel.

(b) Berechnen Sie die Permutationen π·ρ und ρ·π (in Zykelschreibweise).

(c) Schreiben Sie π als Produkt von Transpositionen.

(d) Kann man ρ als Produkt von Dreierzykeln schreiben? (Antwort mit Begründung.)

(e) Berechnen Sie die Ordnung von π. 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6 Punkte Aufgabe 11. Es sei B die Standardbasis von ℝ^{3} und φ der durch _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} definierte Endomorphismus von ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Fächerbasis C von ℝ^{3} bezüglich φ sowie die zugehörige Abbildungs-

matrix _{C}φ_{C}.

3 + 1 + 5 = 9 Punkte

Aufgabe 12. Gilt für alle Paare (φ, ψ) von linearen Abbildungen φ und ψ von ℝ^{2} nach ℝ, daß

(a) Φ_{1} mit Φ_{1}(X, Y) = φ(X) + ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist,

(b) Φ_{2} mit Φ_{2}(X, Y) = φ(X) · ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist? (Antwort jeweils mit Beweis oder konkretem Gegenbeispiel. Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 13. Es sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2 und B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) eine Basis

von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.)

(b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 5 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 14. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch

die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.)

(d) Durch die Basiswechselmatrix _{B}id_{A} = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] sei eine weitere Basis A von V ge-

Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (17. 3. 1997)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Welche Elemente des Restklassenrings ℤ_{128} = ℤ/128 ℤ sind Nullteiler? Geben Sie nicht eine Liste aller dieser Elemente, sondern eine Beschreibung, die es gestattet, durch Betrachtung einer Zahl z ∈ ℤ sofort zu entscheiden, ob \overline{z} = 128 ℤ + z ein Nullteiler ist oder nicht. (Mit Begründung.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V ein 3-dimensionaler ℝ-Vektorraum und X ∈ V. Wir betrachten den ℝ-Vektorraum W := Hom (V, V) der linearen Abbildungen von V nach V.

(a) Ist M_{1} = {φ ∈ W | X ∈ Kern φ} ein Teilraum von W?

(b) Ist M_{2} = {φ ∈ W | ⟨X⟩ = Kern φ} ein Teilraum von W? Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper. Für jedes n ∈ ℕ ∪ {0} sei V_{n} ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Wir definieren jeweils auf V_{n} eine Relation R_{n} durch

R_{n} = { (X, Y) ∈ V_{n} × V_{n} | (X, Y) ist linear abhängig }.

(a) Für welche n ist R_{n} reflexiv, für welche nicht?

(b) Für welche n ist R_{n} symmetrisch, für welche nicht?

(c) Für welche n ist R_{n} transitiv, für welche nicht? Antwort jeweils mit Beweis. (Quantoren nicht vergessen!) 1 + 1 + 2 = 4 Punkte

Aufgabe 4. Im Vektorraum V = ℝ^{4} sei der Teilraum T = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ gegeben. Berechnen Sie eine Basis von V/T. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 4 Punkte

Aufgabe 5. Im Vektorraum V = ℝ^{2} seien zwei Basen B = (B_{1}, B_{2}) und C = (C_{1}, C_{2}) mit der Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] gegeben. Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Wir betrachten den durch _{B}φ_{B} = A definierten Endomorphismus φ von V und das durch _{B}Φ_{B} = A definierte Skalarprodukt Φ auf V.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B} sowie die Matrizen _{C}φ_{C} und _{C}Φ_{C}.

(b) Was bedeutet es für die Basisvektoren B_{1} und B_{2}, daß die Komponente [_{B}Φ_{B}]_{12} von _{B}Φ_{B} (also der Eintrag in der ersten Zeile, zweiten Spalte von _{B}Φ_{B}) gleich 0 ist?

(c) Was bedeutet es für den Basisvektor B_{2}, daß die Komponente [_{B}φ_{B}]_{12} von _{B}φ_{B} gleich 0 ist? 3 + 1 + 1 = 5 Punkte

Aufgabe 6. Es sei K ein Körper, V = K^{2×2} der Vektorraum der 2 × 2 Matrizen über K und φ : V → K die

Abbildung, die jede Matrix [a_{ij}] aus V auf die Summe ∑_{i=1}^{2} ∑_{j=1}^{2} a_{ij} ihrer Einträge abbildet. (a) Zeigen Sie: φ ist ein lineares Funktional von V.

(b) Berechnen Sie eine Basis von Bild φ.

(c) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ. Formulieren Sie das Ergebnis jeweils in einem Schlußsatz. 3 + 2 + 4 = 9 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (17. 3. 1997)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 7. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung.

Jedes lösbare inhomogene lineare Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 7 Unbekannten über einem beliebigen Körper hat mehr als 10 Lösungen.

(Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 8. Es sei K ein Körper, V ein 7-dimensionaler K-Vektorraum, W ein 3-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ Hom (V, W). Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung.

Jede Restklasse von Kern φ enthält mehr als 10 Elemente. (Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 9. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3} mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten

Verfahrens. (Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben.) 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei B die Standardbasis von ℝ^{3} und φ der durch _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & −3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} definierte Endomorphismus von ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Fächerbasis C von ℝ^{3} bezüglich φ sowie die zugehörige Abbildungsmatrix

Cφ_{C}. 3 + 1 + 5 = 9 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 und B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}) eine Basis von V. Berechnen Sie den Annihilator des Teilraums

T = ⟨ p_{0} + 2p_{1} + p_{2} + 3p_{3}, 2p_{0} + 3p_{1} + p_{2} + 5p_{3} ⟩ ≤ V

im Dualraum V^{∗} von V. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.) 5 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.) 7 + 1 + 2 = 10 Punkte

Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (18. 9. 1997)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Es sei V = ℝ^{2×2} der ℝ-Vektorraum aller 2 × 2 Matrizen über ℝ.

(a) Ist M_{1} = {A ∈ V | Spur A = 0} ein Teilraum von V?

(b) Ist M_{2} = {A ∈ V | det A = 0} ein Teilraum von V? Antwort jeweils mit Begründung. 3 + 2 = 5 Punkte (Zur Erinnerung: Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalglieder.)

Aufgabe 2. Es sei V ≤ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome über ℝ vom Grad ≤ 3, und es sei

T = ⟨ x^{3} + x^{2} + 1, x^{2} + x + 2, 2x^{3} + x^{2} − x ⟩ ≤ V.

Berechnen Sie eine Basis von V/T. Erläutern Sie Ihre Rechnung und formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz. 5 Punkte

Aufgabe 3. Über dem Körper ℤ_{5} = ℤ/5ℤ mit 5 Elementen seien der Vektorraum V = ℤ_{5}^{3} sowie die Teilräume

T_{1} = ⟨[ \overline{1} \overline{2} \overline{3} ] , [ \overline{4} \overline{1} \overline{1} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \overline{2} \overline{1} \overline{3} ] , [ \overline{3} \overline{4} \overline{0} ]⟩ gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-

Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. Formulieren Sie die Ergebnisse in einem Schlußsatz. 4 Punkte

Aufgabe 4.

(a) Beweisen Sie: Es gibt höchstens vier verschiedene (also nicht isomorphe) Körper, über denen es ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau 64 Lösungen gibt.

(b) Über welchen dieser vier Körper gibt es ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten, das genau 64 Lösungen hat? Anleitung: Geben Sie jeweils ein konkretes Beispiel für ein solches Gleichungssystem an, oder beweisen Sie, daß es kein solches Gleichungssytem gibt.

(Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 5. Im Vektorraum V = ℝ^{2} seien zwei Basen B = (B_{1}, B_{2}) und C = (C_{1}, C_{2}) mit der Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] gegeben. Es sei A = [ \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Wir betrachten den durch _{B}φ_{B} = A definierten Endomorphismus φ von V und das durch _{B}Φ_{B} = A definierte Skalarprodukt Φ auf V.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B} sowie die Matrizen _{C}φ_{C} und _{C}Φ_{C}.

(b) Welche Eigenschaft des Basisvektors C_{1} (bzw. C_{2}) kann man aus den Nullen in _{C}φ_{C} ablesen?

(c) Welche Eigenschaft des Basisvektors B_{1} (bzw. B_{2}) kann man aus den Nullen in _{B}Φ_{B} ablesen?

(d) Welche Eigenschaft der Basisvektoren C_{1} und C_{2} kann man aus den Nullen in _{C}Φ_{C} ablesen?

(e) Kann man das Bild φ(X) des Vektors X = [ \begin{matrix}−1 \\ 2 \end{matrix} ] ∈ V mit Hilfe der oben genannten Matrizen berechnen? Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht? 4 + 1 + 1 + 1 + 2 = 9 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (18. 9. 1997)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6. Für n ∈ ℕ betrachten wir den Vektorraum V = ℝ^{n}. Beweisen Sie:

(a) Ist n gerade, so gibt es einen Endomorphismus φ von V mit Kern φ = Bild φ.

(Konkretes Beispiel mit Begründung.)

(b) Ist n ungerade, so gibt es keinen solchen Endomorphismus. 5 + 3 = 8 Punkte

Aufgabe 7. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}. (Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche

elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben.) Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche (das Ergebnis ist ganzzahlig). 5 Punkte

Aufgabe 8. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}10 & 4 & −12 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 4 & −10 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}. Berechnen Sie

(a) die Eigenwerte von A und ihre Vielfachheiten,

(b) zu jedem Eigenwert von A den zugehörigen Eigenraum,

(c) eine Matrix T ∈ ℚ^{3×3}, so daß T^{−1}AT Diagonalgestalt hat. 3 + 3 + 1 = 7 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz. Beachten Sie dabei, daß B nicht die Standardbasis von V zu sein braucht.)

(b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 5 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.) 7 + 1 + 2 = 10 Punkte

Scheinklausur zur Linearen Algebra I (13. 2. 98)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 54 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Gegeben seien zwei Vektorräume V und W, eine lineare Abbildung φ: V → W und zwei Vektoren v_{1}, v_{2} ∈ V. Zeigen Sie: Ist v_{1} ≠ v_{2} und φ(v_{1}) = φ(v_{2}) ≠ 0, so ist (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig. 5 Punkte

Aufgabe 2. Es seien U und W zwei 3-dimensionale Teilräume eines 4-dimensionalen Vektorraums. Welche Dimension hat U ∩ W mindestens? Begründen Sie Ihre Antwort, und geben Sie ein konkretes Beispiel für diesen Fall an.

3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = 𝔽_{2}^{25×1}. Welche der beiden folgenden Teilmengen von V sind Teilräume?

(a) G = {v ∈ V | die Anzahl der Einsen in v ist gerade},

(b) U = {v ∈ V | die Anzahl der Einsen in v ist ungerade}. Empfehlung: Nicht lange rechnen, sondern kurz umformulieren und beweisen. 4 Punkte

Aufgabe 4. Im Vektorraum V = ℝ^{4} seien die Teilräume

U = ⟨ [ 1, 2, 1, 4 ], [ −1, 3, 4, 1 ], [ 1, −1, −2, 1 ] ⟩ und W = ⟨ [ 1, 1, 4, 1 ], [ 1, 2, 3, 3 ] ⟩

gegeben. Berechnen Sie (a) je eine Basis für U und V/U,

(b) je eine Basis für U ∩ W und U + W.

Erläutern Sie jeweils die Rechnung, und geben Sie die Basen konkret an. 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 5.

In V = ℝ^{2×1} seien die Basen B = \{[ \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ]\} und C = \{[ \begin{matrix}−1 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}3 \\ −5 \end{matrix} ]\}, der Vektor v = [ \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ]

und die durch φ([ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}a + b \\ 2a \end{matrix} ] definierte lineare Abbildung φ: V → V gegeben. Bestimmen Sie

(a) die Basiswechselmatrizen M_{B}^{C}(id_{V}) und M_{C}^{B}(id_{V}),

(b) die Abbildungsmatrizen M_{B}(φ) und M_{C}(φ),

(c) den Koordinatenvektor κ_{C}(φ(v)). 3 + 3 + 2 = 8 Punkte

Scheinklausur zur Linearen Algebra I 13. 2. 98

Aufgabe 6. Untersuchen Sie jeweils für n = 2^{20} und für n = 2^{25}, ob es ein nicht homogenes lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 5 Unbekannten über einem geeigneten Körper K gibt, das genau n Lösungen hat. (Sie dürfen verwenden, daß es zu jeder Primzahlpotenz q einen Körper mit q Elementen gibt.) Geben Sie jeweils ein konkretes Beispiel oder einen Gegenbeweis an. 4 Punkte

Aufgabe 7.

Gegeben sei die invertierbare Matrix A = [ \begin{matrix}−2 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie ein Polynom f ∈ ℚ[X] mit der Eigenschaft A^{−1} = f(A), und berechnen Sie damit die Matrix A^{−1}.

(b) Es sei Ã die zu A komplementäre Matrix. Berechnen Sie Ã mit möglichst geringem Aufwand. (Erläutern Sie die Rechnung.) 5 + 2 = 7 Punkte

Aufgabe 8.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [ \begin{matrix}11 & −18 & 9 \\ 6 & −10 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3} und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von A den zugehörigen Eigenraum. 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = ℝ[X], und es sei φ: V → V der durch φ(f) = Xf′ für f ∈ V definierte Endomorphismus von V, wobei f′ die formale Ableitung von f bedeutet, also

f′ = ∑_{i=1}^{n} ia_{i}X^{i−1} für f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ V.

Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von φ. Bei dieser Aufgabe, bei der kaum etwas zu rechnen ist, kommt es auf eine ausführliche und vollständige Argumentation an. Sie sollen hier zeigen, daß Sie mathematische Zusammenhänge sauber formulieren können. 9 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I (17. 4. 98)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 65 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.

(a) Bekanntlich gilt: Ist (v_{1}, v_{2}) ein linear unabhängiges Paar von Vektoren aus V und c ∈ K, so ist auch (v_{1} + c v_{2}, v_{2}) linear unabhängig. Wie beweist man das?

(b) Wir nehmen nun an, es sei dim_{K}V ≥ 2. Zeigen Sie: Ist 0 ≠ v ∈ V, so gibt es ein linear unabhängiges Paar (u, w) von Vektoren aus V mit v = u + w. 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 2. Durch die Abbildungsmatrix M_{C}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}3 & −1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & −1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} ] sei eine lineare Abbildung φ von einem

ℝ-Vektorraum V mit Basis B in einen ℝ-Vektorraum W mit Basis C gegeben. Bestimmen Sie die Dimensionen der Vektorräume V, W, Bild φ, Kern φ, W/Bild φ und V/Kern φ, und erläutern Sie dabei jeweils Ihre Rechnung. 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = ℚ^{2×1}, es sei B = (v_{1}, v_{2}) eine Basis von V, und es sei φ der durch die Abbildungsmatrix

M_{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] gegebene Endomorphismus von V.

(a) Zeigen Sie: φ ist ein Automorphismus von V.

(b) Wegen (a) ist C = (φ(v_{2}), φ(v_{1})) eine Basis von V. Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen M_{B}^{C}(id_{V}) und M_{C}^{B}(id_{V}).

(c) Berechnen Sie mit Hilfe von (b) die Abbildungsmatrix M_{C}(φ).

(d) Es sei v = [ \begin{matrix}−2 \\ 17 \end{matrix} ] ∈ V. Welchen Koordinatenvektor hat der Vektor φ(v) bezüglich der Basis C?

(Antwort mit Begründung.) 2 + 4 + 2 + 2 = 10 Punkte

Aufgabe 4. Über dem Körper ℚ sei das lineare Gleichungssystem

2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{4} = 5
x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} − x_{5} = 2
x_{1} + 2 x_{2} − x_{3}  + x_{5} = 3

gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus aus der Vorlesung (a) eine Basis für den Lösungsraum L des zugehörigen homogenen Systems,

(b) die Menge M aller Lösungen des inhomogenen Systems. zusammen 5 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I 17. 4. 98

Aufgabe 5. Es sei V < ℝ[X] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3. In V seien die Teilräume

U = ⟨ X^{3} − 9X + 11, X^{3} + X^{2} − 6X + 8, X^{3} + 2X^{2} − 3X + 5 ⟩ und

W = ⟨ X^{3} + X^{2} + 2X + 1, X^{3} − X^{2} + 4X ⟩

gegeben. Berechnen Sie eine Basis von U ∩ W und eine Basis von U + W. Erläutern Sie Ihre Rechnung (und vergewissern Sie sich am Schluß, daß die Basen, die Sie angeben, tatsächlich aus Polynomen bestehen). 5 Punkte

Aufgabe 6.

Es sei ℂ der Körper der komplexen Zahlen und A = [ \begin{matrix}0 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & −1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℂ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie A^{−1} mit dem üblichen Verfahren (also mit Hilfe elementarer Umformungen).

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.

(c) Bestimmen Sie die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte, ohne irgendwelche Eigenvektoren zu berechnen. (Mit Beweis.)

(d) Berechnen Sie ein Polynom f ∈ ℂ[X] mit der Eigenschaft A^{−1} = f(A), und berechnen Sie damit noch einmal A^{−1}, ohne (a) zu benutzen.

(e) Es sei Ã die zu A komplementäre Matrix. Beweisen Sie, ohne Ã auszurechen, daß Ã = −A^{−1} ist.

(f) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton und ohne irgendwelche Potenzen von A

als Matrizen auszurechnen, daß A^{4} gleich der Einheitsmatrix E_{3} ist.

3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 = 16 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V = ℝ[X], und es sei φ: V → V der durch φ(f) = Xf′ für f ∈ V definierte Endomorphismus von V, wobei f′ die formale Ableitung von f bedeutet, also

f′ = ∑_{i=1}^{n} ia_{i}X^{i−1} für f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ V.

Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von φ. Bei dieser Aufgabe, bei der kaum etwas zu rechnen ist, kommt es auf eine ausführliche und vollständige Argumentation an. Sie sollen hier zeigen, daß Sie mathematische Zusammenhänge sauber formulieren können. (Hinweis: Es kommt kein Induktionsbeweis vor.) 9 Punkte

Aufgabe 8. Es sei K ein Körper und a, b ∈ K mit a ≠ b. Zeigen Sie:

(a) Die Matrizen A = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}a & 1 \\ 0 & a \end{matrix} ] sind nicht ähnlich. (Hinweis: Bestimmen Sie

etwa alle zu A ähnlichen Matrizen.)

(b) Die Matrizen D = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] und C = [ \begin{matrix}a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} ] sind ähnlich. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß

C diagonalisierbar ist.) 4 + 4 = 8 Punkte

Testklausur zur Linearen Algebra I (19. 12. 97)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 7 gegebenen Aufgaben für insgesamt 52 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Wenn die Klausur eine Scheinklausur wäre, wären zum Bestehen mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei F := ℝ^{ℝ}, und für a ∈ ℝ seien f_{a} ∈ F und g_{a} ∈ F definiert durch

f_{a}(x) = a sinx − \frac{a}{2} , g_{a}(x) = sin ax für x ∈ ℝ.

(a) Ist die Teilmenge M_{1} = { f_{a} | a ∈ ℝ } von F ein Teilraum von F ?

(b) Ist die Teilmenge M_{2} = { g_{a} | a ∈ ℝ } von F ein Teilraum von F ? Antwort jeweils mit Beweis. 3 + 2 = 5 Punkte

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (Antwort jeweils mit Beweis)

(a) φ: ℚ^{2} → ℚ^{2}, [ a_{1}, a_{2} ] ↦ [ a_{1}^{2} − a_{2}, a_{2}^{2} − a_{1} ],

(b) ψ: 𝔽_{2}^{2} → 𝔽_{2}^{2}, [ a_{1}, a_{2} ] ↦ [ a_{1} + a_{2}, a_{1}^{2} + a_{2}^{2} ] (mit 𝔽_{2} := ℤ/2ℤ). 2 + 3 = 5 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper und V = K^{4}. Zeigen Sie:

(a) Es gibt einen Endomorphismus φ von V mit Kern φ = Bild φ.

(b) Der Vektorraum K^{1997} besitzt keinen solchen Endomorphismus. 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 4.

(a) Es sei V = ℝ^{2×2}. Zeigen Sie: \{[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]\} ist eine Basis von V.

Es kommt hier auf die Formulierung an: Erwartet wird ein Beweis aus vollständigen Sätzen, in dem alle logischen Zusammenhänge und Quantoren klar formuliert sind. Nicht nur Stichworte.

(b) Weiter sei T = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V und φ: V → V definiert durch φ(A) = T AT für alle A ∈ V.

Zeigen Sie, daß φ linear ist.

(c) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ und eine Basis von Bild φ.

(d) Ergänzen Sie eine Basis von Kern φ zu einer Basis von V. (Ohne Beweis.)

4 + 2 + 4 + 1 = 11 Punkte

Aufgabe 5. Es sei K ein Körper. Beweisen Sie: Zwei endlich dimensionale Vektorräume über K sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Zur Erinnerung: Formulieren Sie die kausalen Zusammenhänge aus (Text!) und erklären Sie alle Bezeichnungen, die Sie verwenden (wie z. B. φ oder V).

6 Punkte

Testklausur zur Linearen Algebra I 19. 12. 97

Aufgabe 6. Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und m ∈ ℕ mit 1 ≤ m ≤ n. Wie viele linear unabhängige m-Tupel von Vektoren gibt es in V? Antwort mit Beweis. 6 Punkte

Aufgabe 7. Gegeben seien die Matrix A = [ \begin{matrix}3 & 5 \\ 4 & 7 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2} und die Basis B = \{v_{1}, v_{2}\} := \{[ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ]\} von V := ℚ^{2×1} sowie der Endomorhismus φ: V → V, v ↦ Av (das heißt, φ = φ_{A}).

(a) Berechnen Sie die Bilder φ(v_{1}) und φ(v_{2}) sowie ihre Koordinatenvektoren κ_{B}(φ(v_{1})) und κ_{B}(φ(v_{2})).

(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ).

(c) Bestimmen Sie eine Basis C von V, so daß M_{C}^{B}(φ) = E_{2} ist.

(d) Berechnen Sie die Fasern von v_{1} und v_{2}.

(e) Bestimmen Sie eine Basis A von V, so daß M_{B}^{A}(φ) = E_{2} ist. Vergessen Sie nicht den erläuternden Text. 4 + 1 + 1 + 4 + 1 = 11 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (16. 3. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Es seien V_{1} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2 über ℚ,

V_{2} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2 über ℝ, V_{3} der von { [ 3, −1, 3, 2, 1 ], [ 4, 2, −1, 1, 3 ], [ 5, 1, 1, 2, 3 ] } erzeugte Untervektorraum von ℝ^{5}, V_{4} der Quotientenvektorraum ℝ^{5}/V_{3}.

(a) Welche der Vektorräume V_{1} bis V_{4} sind isomorph, welche nicht?

(Bei dieser Aufgabe kommt es auf vollständige Begründung und sorgfältige Argumentation an.)

(b) Geben Sie für ein Paar V_{i} ≅ V_{j} mit i ≠ j einen konkreten Isomorphismus von V_{i} nach V_{j} an. (Erläutern Sie Ihre Rechnung.) 6 + 4 = 10 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen und V = {f ∈ K[X] | deg (f) ≤ 20} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 20 über K, und es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Wie viele linear unabhängige n-Tupel von Vektoren gibt es in V? Finden Sie eine geschlossene Formel, und beweisen Sie sie. 7 Punkte

Aufgabe 3. Es seien V = ℚ^{1×3} und W = ℚ^{1×2}, und es seien B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) und B′ = (v_{2} + v_{3}, 2v_{1} + 3v_{3}, v_{1} − v_{2}) Basen von V und C = (w_{1}, w_{2}) und C′ = (3w_{1} + 2w_{2}, 7w_{1} + 5w_{2}) Basen von W. Weiter sei φ die durch

die Abbildungsmatrix M_{C}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ] definierte lineare Abbildung von V nach W.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen M_{B}^{B′}(id_{V}) sowie M_{C}^{C′}(id_{W}) und M_{C′}^{C}(id_{W}).

(b) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Matrizen die Abbildungsmatrix M_{C′}^{B′}(φ).

(c) Es sei v = v_{1} + v_{2} + v_{3} ∈ V. Berechnen Sie die Koordinatenvektoren κ_{C}(φ(v)) und κ_{C′}(φ(v)). Erklären Sie Ihre Rechnung, soweit nötig. 3 + 3 + 3 = 9 Punkte

Aufgabe 4. Welches ist die kleinste Zahl m, für die es ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und 5 Unbekannten über einem geeigneten Körper K gibt, das genau 64 Lösungen besitzt? (Antwort mit Beweis.) 4 Punkte

Aufgabe 5. Es sei V < ℝ[X] der Vektorraum der rellen Polynome vom Grad ≤ 3. In V seien die Teilräume

U = ⟨ X^{3} + 2X^{2} − X − 2, X^{3} + 3X^{2} − 2X + 1, X^{3} + 5X^{2} − 4X + 7 ⟩ und

W = ⟨ X^{3} + X^{2} + 3X − 2, 2X^{3} + 3X^{2} + 8X + 2 ⟩

gegeben. Berechnen Sie eine Basis von U ∩ W und eine Basis von U + W. Erläutern Sie Ihre Rechnung (und vergewissern Sie sich am Schluß, daß die Basen, die Sie angeben, tatsächlich aus Polynomen bestehen). 5 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (16. 3. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}10 & 1 & −2 \\ −19 & −2 & 4 \\ 25 & 3 & −5 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben. Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche. (Das Ergebnis ist ganzzahlig.) 5 Punkte

Aufgabe 7.

Für welche Werte des Parameters t ∈ ℝ ist die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & t & 4 \\ 2 & t^{2} & 5 \\ 3 & t^{3} & 6 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} invertierbar, für welche nicht? (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{4×4} mit Hilfe des Laplaceschen

Entwicklungssatzes. Entwickeln Sie dabei |A| und alle vorkommenden 3×3-Unterdeterminanten jeweils nach der letzten Spalte. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen, Entwicklung nach anderen Spalten oder Zeilen oder Anwendung der Regel von Sarruss.) 3 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = ℝ^{1×3} und φ : V → V der durch φ( [ a, b, c] ) = [ 2a, a + b + 2c, −b + 4c] definierte Endomorphismus von V.

(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ) von φ bezüglich der Standardbasis B von V.

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten.

(c) Berechnen Sie für jeden Eigenwert von φ seinen Eigenraum und seine geometrische Vielfachheit. 1 + 3 + 6 = 10 Punkte

Aufgabe 10. Es sei K ein Körper und A = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ K^{2×2}.

(a) Berechnen Sie die zu A komplementäre Matrix Ã. (Geben Sie nicht nur das Ergebnis an, sondern zeigen Sie, wie Sie darauf gekommen sind.)

(b) Zeigen Sie, daß die zu Ã komplementäre Matrix ˜ Ã gleich A ist. 3 + 1 = 4 Punkte

Aufgabe 11. Es sei K ein Körper und a, b ∈ K. Zeigen Sie: Die Matrizen A = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}b & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ] sind ähnlich.

4 Punkte

Aufgabenblatt 1 (Lineare Algebra I) zur Vordiplom-Klausur Mathematik II (17. 9. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 1. Beweisen Sie: Ist V ein 4-dimensionaler Vektorraum, so gibt es in V drei 2-dimensionale Untervektorräume, so daß die Summe von je zweien dieser Untervektorräume ganz V ist. (Es kommt auf eine klare Formulierung der logischen Zusammenhänge an.) 4 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K = 𝔽_{2} der Körper mit zwei Elementen, A ∈ K^{2×5} und b ∈ K^{2×1}.

(a) Welche notwendige und hinreichende Bedingung müssen die Matrix A und die Spalte b erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem Ax = b genau 8 Lösungen hat? (Antwort mit Beweis.)

(b) Wie viele verschiedene homogene lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen, 5 Unbekannten und genau 8 Lösungen gibt es über K? (Dabei bezeichnen wir zwei lineare Gleichungssysteme als verschieden, wenn die zugehörigen erweiterten Matrizen verschieden sind.)

(c) Wie viele verschiedene nicht homogene lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen, 5 Unbe-

kannten und genau 8 Lösungen gibt es über K? (Es kommt jeweils auf die sorgfältige Argumentation an.) 3 + 3 + 3 = 9 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper und n ∈ ℕ. In K^{n×n} seien symmetrische Matrizen A und B gegeben, d. h., es sei A^{t} = A ∈ K^{n×n} und B^{t} = B ∈ K^{n×n}. Beweisen Sie: Die Matrix AB ist genau dann symmetrisch, wenn AB = BA ist. 3 Punkte

Aufgabe 4. Invertieren Sie (mit dem Gauß-Algorithmus) die Matrix A = [ \begin{matrix}−9 & 2 & −6 \\ 6 & −1 & 4 \\ 19 & −4 & 13 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche elementaren Umformungen Sie benutzen, Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben. Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche. (Das Ergebnis ist ganzzahlig.) 4 Punkte

Aufgabe 5. Im Vektorraum V = ℝ^{2×2} seien die Untervektorräume

U_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & −1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ]⟩ und U_{2} = ⟨[ \begin{matrix}−1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −3 & 3 \end{matrix} ]⟩

gegeben. Berechnen Sie je eine Basis für U_{1} ∩ U_{2} und U_{1} + U_{2}. Erläutern Sie dabei den Ansatz Ihrer Rechnung, und geben Sie die Basen konkret an. 5 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (17. 9. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 6. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{4×4} mit Hilfe des Laplaceschen

Entwicklungssatzes. Entwickeln Sie dabei |A| und alle vorkommenden 3×3-Unterdeterminanten jeweils nach der letzten Zeile. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen, Entwicklung nach anderen Zeilen oder Spalten oder Anwendung der Regel von Sarruss.) 3 Punkte

Aufgabe 7. Es seien f, g ∈ ℚ[X] mit f = X^{5} − 4X^{4} + 4X^{3} + X^{2} − 9X − 6 und g = X^{2} − 2X − 3.

(a) Dividieren Sie f mit Rest durch g. (Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.)

(b) Berechnen Sie g(A) und f(A) für A = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2}.

4 + 3 = 7 Punkte

Für die Aufgaben 8 und 9 nehmen wir an, es sei V der Vektorraum V = ℝ^{2×2} mit der Standard-

basis B = \{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\} = \{[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]\}, und es sei T = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ] ∈ V.

Weiter sei eine Abbildung φ: V → V definiert durch φ(v) = T v für alle v ∈ V.

Aufgabe 8.

(a) Zeigen Sie, daß φ linear ist.

(b) Beweisen Sie, ohne die betreffenden Polynome zu berechnen: Die charakteristischen Polynome von T und φ sind verschieden, aber ihre Minimalpolynome sind gleich. Bestimmen Sie dazu der Reihe nach die Grade der Polynome χ_{T}, χ_{φ}, μ_{T}, μ_{φ}. (Die Begründungen sind wichtig.)

(c) Zeigen Sie, daß φ ein Automorphismus von V ist. 2 + 5 + 2 = 9 Punkte

Aufgabe 9.

(a) Nach Aufgabe 8 ist φ linear. Berechnen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ).

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten.

(c) Berechnen Sie die Eigenräume von φ. (Achtung: Das müssen Untervektorräume von V sein.)

(d) Berechnen Sie eine Basis C von V, die aus Eigenvektoren von φ besteht, und geben Sie C, die

Basiswechselmatrix M_{B}^{C}(id_{V}) und die Abbildungsmatrix M_{C}(φ) an.

3 + 4 + 4 + 3 = 14 Punkte

Aufgabenblatt 3 (Diskrete Strukturen) zur Vordiplom-Klausur Mathematik II (17. 9. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 10. Es sei a ≥ 1 eine natürliche Zahl. Drücken Sie die Anzahl der ungeordneten k-Zahlpartitionen n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} = n mit n_{i} ≥ a für 1 ≤ i ≤ k durch die Partitionszahlen P_{n′,k′} aus.

7 Punkte

Aufgabe 11. Zeigen Sie, daß die Anzahl der ungeordneten k-Zahlpartitionen n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} = n mit n_{i} ≤ ⌈\frac{n}{2}⌉ für 1 ≤ i ≤ k folgenden Wert hat:

P_{n,k} − ∑_{j=1}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} P_{⌊ \frac{n}{2} ⌋−j,k−1}.

9 Punkte

Aufgabe 12. Bestimmen Sie in folgendem Netzwerk N = (V, B, q, s, c) einen maximalen Fluß:

V = {x_{1}, ..., x_{9}} ∪ {q, s},
B = {(q, x_{i}), (x_{i}, s)|1 ≤ i ≤ 9} ∪ {(x_{i+1}, x_{i})|1 ≤ i ≤ 8},

c((q, x_{i})) = i, c((x_{i}, s)) = 10 − i für 1 ≤ i ≤ 9 und c((x_{i+1}, x_{i})) = 9 − i für 1 ≤ i ≤ 8. 10 Punkte

Aufgabe 13. Es sei T ein Baum mit zwei nicht adjazenten Ecken vom Grad d ≥ 3. Zeigen Sie, daß T mindestens 2d − 2 Endecken besitzt.

9 Punkte

Aufgabe 14. Die Folge (a_{n})_{n≥0} genüge der Rekursion a_{n+1} + a_{n+2} = 2a_{n} mit den Anfangsbedingungen a_{0} = 3 und a_{1} = 0. Bestimmen Sie eine explizite Darstellung dieser Folge.

7 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (17. 9. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 15. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} · z^{n} die erzeugende Funktion der Folge (a_{n})_{n≥0} mit a_{n} = 3 + (−2)^{n}. Welche Folge (b_{n})_{n≥0} hat die erzeugende Funktion

g(z) = \frac{f(\sqrt{z}) + f(−\sqrt{z})}{2}?

(Hinweis: Versuchen Sie es nach Möglichkeit zu vermeiden, die Funktionen f und g explizit zu berechnen.)

10 Punkte

Aufgabe 16. Die Folge (c_{n})_{n≥0} genüge der Rekursion

c_{n+3} + 3 · 10 · c_{n+2} + 3 · 100 · c_{n+1} + 1000 · c_{n} = 0

mit den Anfangsbedingungen c_{0} = 0, c_{1} = −10, c_{2} = 200 und c_{4} = 40000. Bestimmen Sie eine explizite Darstellung dieser Folge. (Beachten Sie, daß c_{3} nicht gegeben ist).

9 Punkte

Aufgabe 17. Zeigen Sie, daß ein Graph G genau dann bipartit ist, wenn für alle seine Teilgraphen H eine Menge V_{H} ⊆ V (H) mit |V_{H}| ≥ \frac{|V (H)|}{2} existiert, so daß keine zwei Ecken aus V_{H} in H adjazent sind. (Hinweis: Betrachten Sie einen Kreis ungerader Länge.) 9 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (15. 3. 1999)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 1. Gegeben seien zwei Vektorräume V und W, ein Untervektorraum U von W und eine lineare Abbildung φ: V → W. Beweisen Sie: φ^{−1}(U) := {v ∈ V | φ(v) ∈ U} ist ein Untervektorraum von V. 4 Punkte

Aufgabe 2. Untersuchen Sie

(a) im Fall V = ℚ^{1×2},

(b) im Fall V = 𝔽_{2}^{1×2}, ob die Abbildung φ: V → V, [ a, b] ↦ [ a + b, a^{2} + b^{2} ] linear ist. 2 + 3 = 5 Punkte

Aufgabe 3.

(a) Gegeben seien zwei lösbare, nicht homogene lineare Gleichungssysteme über einem endlichen Körper K, das eine mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten, das andere mit 4 Gleichungen und 2 Unbekannten. Können die beiden Systeme gleich viele Lösungen haben?

(b) Untersuchen Sie die gleiche Frage für den Fall, dass die beiden Systeme über verschiedenen

endlichen Körpern K_{1} und K_{2} gegeben sind. Antwort jeweils mit Beweis der Unmöglichkeit oder konkretem Beispiel. 4 + 3 = 7 Punkte

Aufgabe 4.

Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & a & 3 \\ 2 & a & 1 & 0 \\ a & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{4×4}.

(a) Berechnen Sie die Determinante von A mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes. Entwickeln Sie dabei |A| und alle vorkommenden 3 × 3-Unterdeterminanten jeweils nach der letzten Spalte. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen, Entwicklung nach anderen Spalten oder Zeilen oder Anwendung der Regel von Sarruss.)

(b) Für welche a ∈ ℝ ist A invertierbar, für welche nicht?

(c) Für welche a ∈ ℤ ist A ganzzahlig invertierbar? Antwort jeweils mit Begründung. 4 + 1 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 5. Es sei K ein Körper mit char (K) ≠ 2, und es sei A ∈ K^{n×n} mit n ∈ ℕ.

(a) Es sei det (A) = d. Berechnen Sie det (−A).

(Geben Sie nicht nur das Ergebnis an, sondern begründen Sie es.)

(b) Zeigen Sie: Wenn n eine ungerade Zahl ist, gilt: Ist A^{t} = −A, so ist A nicht invertierbar. (Wo geht hier die Charakteristik von K ein?)

(c) Zeigen Sie: Wenn n eine gerade Zahl ist, gilt die Aussage in (b) nicht. (Betrachten Sie zunächst den Fall n = 2.) 2 + 3 + 3 = 8 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (15. 3. 1999)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 6. Im ℝ-Vektorraum V der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 seien zwei Basen B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) und

C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}) mit der Basiswechselmatrix M_{B}^{C}(id_{V}) = [ \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix} ] sowie zwei Untervektorräume

U_{1} = ⟨ v_{1} + 3v_{2} + v_{4}, v_{1} − 3v_{3} + v_{4}, v_{1} + 4v_{2} + v_{3} + v_{4} ⟩,

U_{2} = ⟨ w_{1} − w_{3} + w_{4}, w_{2} + 2w_{3} − 2w_{4} ⟩

gegeben.

(a) Stellen Sie die Erzeugenden von U_{2} als Linearkombinationen aus B dar.

(b) Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von U_{1} ∩ U_{2} und eine Basis von U_{1} + U_{2}. (Erläutern Sie Ihre Rechnung außerhalb des eigentlichen Zassenhaus-Schemas, insbesondere den Ansatz, und geben Sie die resultierenden Basen an.)

(c) Berechnen Sie nun die Basiswechselmatrix M_{C}^{B}(id_{V}).

(d) Es seien w_{1} = X^{3} − X^{2} + 1 und w_{2} = X^{2} − X + 1. Berechnen Sie eine Darstellung des Durchschnitts U_{1} ∩ U_{2} als \underline{Men}g\underline{e} von Polynomen. (Wenn Sie sich beim Zassenhaus-Algorithmus nicht verrechnet haben, geht das.) 4 + 5 + 3 + 3 = 15 Punkte

Aufgabe 7.

Es sei ℂ der Körper der komplexen Zahlen und A = [ \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & −1 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℂ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Zeigen Sie, ohne irgendwelche Potenzen von A auszurechnen, dass A^{5} gleich 16 ·A ist. (Auf die Argumentation kommt es an.) 4 + 3 = 7 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V = ℝ^{1×3} und φ: V → V der durch φ( [ a, b, c] ) = [ 5a + 2c, 2a + 3b + 2c, −4a − c] definierte Endomorphismus von V.

(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ) von φ bezüglich der Standardbasis B von V.

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten.

(c) Berechnen Sie die Eigenräume von φ. (Achtung: Das müssen Untervektorräume von V sein.)

(d) Berechnen Sie eine Basis C von V, die aus Eigenvektoren von φ besteht, und geben Sie C, die

Basiswechselmatrix M_{B}^{C}(id_{V}) und die Abbildungsmatrix M_{C}(φ) an.

1 + 3 + 4 + 3 = 11 Punkte

Aufgabe 9. Es sei K ein Körper, a ∈ K und A = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ]. Bestimmen Sie die Menge aller zu A ähnlichen Ma-

trizen aus K^{2×2}. (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabenblatt 3 (Diskrete Strukturen) zur Vordiplom-Klausur Mathematik II (15. 3. 1999)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 10. Es seien a_{1}, ..., a_{n} beliebige natürliche Zahlen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

a) Zwei der Zahlen aus der Menge N = {0, a_{1}, a_{1} + a_{2}, ..., a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}} ergeben bei Division durch n denselben Rest.

b) Es gibt zwei Zahlen 0 ≤ k < l ≤ n, so dass ∑_{i=k+1}^{l} a_{i} ein Vielfaches von n ist. 8 Punkte

Aufgabe 11. Es sei a_{n} für n ∈ ℕ die Anzahl der Mengen S ⊆ {1, ..., n} mit der Eigenschaft, dass

{x, x + 1| x ∈ S} = {1, ..., n}

ist. Drücken Sie die Zahlen a_{n} für n ∈ ℕ mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen aus. (Hinweis: Beweisen Sie eine Rekursion für die a_{n}.) 8 Punkte

Aufgabe 12. Gegeben sei eine Folge von Graphen (G_{n})_{n≥1}, so dass G_{1} = ({v_{1}}, ∅) und für n ≥ 2 der Graph G_{n} = (V_{n}, E_{n}) aus G_{n−1} = (V_{n−1}, E_{n−1}) entsteht, indem man zu V_{n−1} eine Ecke v_{n} hinzufügt und mit mehr als \frac{n−1}{2} Ecken von G_{n−1} verbindet, d.h. |N(v_{n})| > \frac{n−1}{2}. Zeigen Sie, dass G_{n} für n ≥ 3 hamiltonsch ist. 8 Punkte

Aufgabe 13. Zeigen Sie, dass P_{n,k} für n, k ∈ ℕ die Anzahl der ungeordneten Zahlpartitionen

n + k^{2} − k = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}

von n + k^{2} − k in genau k Summanden ist, für die |n_{i} − n_{j}| ≥ 2 für alle 1 ≤ i < j ≤ k gilt. 9 Punkte

Aufgabe 14. Die Folge (a_{n})_{n≥0} genüge der Rekursion a_{n+4} + 3 a_{n+3} + a_{n+2} = 3 a_{n+1} + 2 a_{n} mit den Anfangsbedingungen a_{0} = 8, a_{1} = −8 und a_{2} = 24. Bestimmen Sie eine explizite Darstellung dieser Folge.

7 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (15. 3. 1999)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik Professor Dr. E. Triesch, Lehrstuhl II für Mathematik RWTH Aachen

Aufgabe 15. Die Mengen A_{1}, ..., A_{n} ⊆ {1, ..., n} mit n ∈ ℕ bilden eine ”Kette“, falls A_{i} ⊆ A_{i+1} und A_{i} ≠ A_{i+1} für 1 ≤ i ≤ n − 1 gilt. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

a) Für jede Kette A_{1}, ..., A_{n} gilt |A_{i}| = i für 1 ≤ i ≤ n, und es gibt genau n! verschiedene Ketten.

b) Zu einer Menge B ⊆ {1, ..., n} gibt es genau |B|! · (n − |B|)! verschiedene Ketten A_{1}, ..., A_{n} mit A_{|B|} = B.

c) Gilt für die Mengen B_{1}, ..., B_{m} ⊆ {1, ..., n}, dass B_{i} ⊈ B_{j} für 1 ≤ i ≠ j ≤ m, dann gilt

∑_{i=1}^{m} \frac{1}{\binom{n}{|B_{i}|}} ≤ 1. 12 Punkte

Aufgabe 16. Es sei G = (U ∪ W, E) ein bipartiter Graph mit den Partitionsmengen U und W mit |U| = |W | = n. Es sei d(x, G) = |N(x, G)| ≥ \frac{n}{2} für alle x ∈ U ∪ W. Zeigen Sie, dass G ein perfektes Matching besitzt. (Hinweis: Betrachten Sie eine minimale Eckenüberdeckung.) 8 Punkte

Aufgabe 17. Bestimmen Sie einen maximalen Fluss und einen minimalen Schnitt in dem Netzwerk N = (V, B, q, s, c)

mit V = {q = 1, 2, 3, ..., 8, s = 9},

B = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 6), (2, 9), (3, 4), (4, 7), (5, 4),
(5, 7), (5, 8), (6, 3), (6, 7), (7, 9), (8, 6), (8, 9)},

c((1, 2)) = 5, c((1, 5)) = 10, c((2, 3)) = 1, c((2, 6)) = 2, c((2, 9)) = 1, c((3, 4)) = 2, c((4, 7)) = 7, c((5, 4)) = 5, c((5, 7)) = 2, c((5, 8)) = 3, c((6, 3)) = 3, c((6, 7)) = 1, c((7, 9)) = 8, c((8, 6)) = 2 und c((8, 9)) = 1. 8 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil A (18. 12. 98)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jeder Seite nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 13 gegebenen Aufgaben für insgesamt 54 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, dass ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine explizite Definition für den Begriff ”linear abhängig“. (Sie sollen also nicht schreiben: ”Nicht linear unabhängig“.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Gibt es im ℚ-Vektorraum ℝ drei Vektoren u, v, w, so dass zwar alle Paare (u, v), (u, w) und (v, w) linear unabhängig sind, aber die Folge (u, v, w) linear abhängig ist? (Beweis der Unmöglichkeit oder Beispiel.) 3 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen des Zeilenraums V = ℝ^{1×4} sind Teilräume von V?

(a) M_{1} = { [ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ] ∈ V | a_{1}^{2} + a_{3}^{4} = 0 },

(b) M_{2} = { [ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ] ∈ V | a_{2}^{1} + a_{4}^{3} = 0 }. (Antwort jeweils mit Begründung.) 3 + 2 = 5 Punkte

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die Menge aller Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über ℚ.

\begin{aligned}5 · x_{1} & + & 10 · x_{2} & − & 8 · x_{3} & + & 11 · x_{4} & = & 12 \\ 2 · x_{1} & + & 4 · x_{2} & − & 3 · x_{3} & + & 4 · x_{4} & = & 5 \\ 1 · x_{1} & + & 2 · x_{2} & − & 2 · x_{3} & + & 3 · x_{4} & = & 2 \end{aligned}

5 Punkte

Aufgabe 5.

Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ −2 & −3 & −1 & −4 & −1 \\ −2 & −1 & −3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & −1 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{4×5}.

(a) Bestimmen Sie die Gauß-Jordan-Basis des Zeilenraums Zr A.

(b) Es sei A = (A_{1}, …, A_{5}) die Folge der Spalten von A. Bestimmen Sie eine Teilfolge von A, die eine Basis von ⟨ A ⟩ ist. 3 + 1 = 4 Punkte

Aufgabe 6.

(a) S und T seien 2-dimensionale Teilräume eines Vektorraums V über einem Schiefkörper K. Welche Dimensionen können die Teilräume S ∩ T und S + T haben? Geben Sie alle Möglichkeiten an. (Mit Begründung.)

(b) Es sei nun konkret V = P_{5}(ℝ) der (6-dimensionale) ℝ-Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 5 über ℝ. Geben Sie für jede der Möglichkeiten aus (a) ein Beispiel an. (Ohne Beweis, aber natürlich in vollständigen Sätzen.) 2 + 3 = 5 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil A 18. 12. 98

Aufgabe 7. Es sei p eine Primzahl, ℤ_{p} der Restklassenring modulo p und \overline{a} ein Element aus ℤ_{p} mit \overline{a} ≠ \overline{0}.

(a) Wie ist ℤ_{p} als Menge definiert?

(b) Bekanntlich ist ℤ_{p} ein Körper, also gibt es in ℤ_{p} ein Element \overline{a}^{−1}. Beschreiben Sie mit wenigen kurzen Sätzen, wie und warum man \overline{a}^{−1} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen kann. Hinweis: Sie sollen \underline{nicht} den euklidischen Algorithmus beschreiben. 1 + 3 = 4 Punkte

Aufgabe 8.

Wir betrachten die Abbildung α = ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] ↦ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} ): ℤ_{7}^{4×1} → ℤ_{7}. Geben Sie zu jedem

Element y ∈ Bild (α) die Urbildmenge α^{−}(y) an. Wie viele Elemente hat α^{−}(y) jeweils? Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie viele solche Mengen Sie angeben sollen und wie Sie die Menge α^{−}(y) knapp und trotzdem explizit angeben. 6 Punkte

Aufgabe 9. Gegeben sei der Vektorraum V = ℤ_{5}^{1×4} über dem Körper ℤ_{5} = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} \} mit 5 Elementen und in

V der Teilraum T = ⟨ [ \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} ], [ \overline{2}, \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} ], [ \overline{3}, \overline{4}, \overline{1}, \overline{3} ] ⟩.

Berechnen Sie eine Basisfolge von T, ergänzen Sie sie zu einer Basisfolge von V, und bestimmen Sie eine Basisfolge von V/T. 4 Punkte

Aufgabe 10. Im ℝ-Vektorraum F (ℝ) aller Funktionen von ℝ nach ℝ betrachten wir den von den Funktionen s_{1} = (x ↦ sin(x)) , s_{2} = (x ↦ sin(2x)) , s_{3} = (x ↦ 2 sin(x)) erzeugten Teilraum V = ⟨ s_{1}, s_{2}, s_{3} ⟩. Geben Sie einen zu V isomorphen ℝ-Vektorraum W an, der nicht Teilraum von F (ℝ) ist. (Ohne Beweis.) 2 Punkte

Aufgabe 11. Untersuchen Sie, ob die Abbildung f = ([ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}a + 1 \\ b \end{matrix} ]): ℝ^{2×1} → ℝ^{2×1} injektiv, surjektiv, bijektiv, linear ist. 3 Punkte

Aufgabe 12. Geben Sie ein Beispiel einer linearen Abbildung α an, für die Kern (α) und Cokern (α) die Dimension 1 haben. (Es kommt auf die Formulierung an. Die Linearität Ihrer Abbildung brauchen Sie nicht zu beweisen.) 3 Punkte

Aufgabe 13. In einem affinen Raum P über dem 2-dimensionalen ℝ-Vektorraum ⟨ p_{0}, p_{1} ⟩ der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 1 seien ein Punkt P als Ursprung und weitere vier Punkte A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} durch ihre Vektoren

\begin{matrix}P A_{1}^{⇀}= p_{0}·1 − p_{1}·3, & P B_{1}^{⇀}= p_{0}·2 − p_{1}·1, \\ P A_{2}^{⇀}= p_{0}·5 + p_{1}·2, & P B_{2}^{⇀}= p_{0}·3 − p_{1}·1 \end{matrix}

gegeben. Berechnen Sie, falls er existiert, den Schnittpunkt S der Geraden A_{1}B_{1} und A_{2}B_{2}. 7 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B (17. 2. 99)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jeder Seite nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 78 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten (die beiden letzten Aufgaben sind etwas schwieriger). Beachten Sie, dass ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1.

Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} und Z die Zeilenumformung Z_{2} | Z_{2} − 3 Z_{1}. Schreiben Sie die

umgeformte Matrix Z(A) als Matrixprodukt mit A. 3 Punkte

Aufgabe 2. Gegeben seien ein ℝ-Vektorraum V, eine lineare Abbildung φ und eine Bilinearform Φ von V, zwei Vektoren v_{1}, v_{2} ∈ V, zwei Basisfolgen B und C von V mit der Basiswechselmatrix _{B}id_{C} =

T := [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] und die drei Matrizen A_{1} = [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} ] , A_{2} = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] , A_{3} = [ \begin{matrix}2 & 7 \\ 1 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2},

so dass in der Menge M := {A_{1}, A_{2}, A_{3}} sowohl die Matrizen _{B}φ_{B}, ^{B}Φ_{B} und [_{B}v_{1},_{B}v_{2} ] als auch die Matrizen _{C}φ_{C}, ^{C}Φ_{C} und [_{C}v_{1},_{C}v_{2} ] alle vorkommen.

(a) Bestimmen Sie in M die Matrizen [_{B}v_{1},_{B}v_{2} ] , _{B}φ_{B} und ^{B}Φ_{B}, soweit sie eindeutig identifizierbar sind. (Schreiben Sie die während der Rechnung auftretenden Matrizen möglichst übersichtlich hin, und formulieren Sie die Ergebnisse aus. Es reicht nicht, dass die Ergebnisse richtig sind, die Argumentation ist wichtig.)

(b) Berechnen Sie Φ(φ(v_{1}), φ(v_{2})). 16 + 3 = 19 Punkte

Aufgabe 3. Auf einem 3-dimensionalen ℝ-Vektorraum V mit Basis B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) sei ein Skalarprodukt Φ

durch ^{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}0 & 0 & −3 \\ 0 & 3 & 0 \\ −3 & 0 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Sylvesterbasis C = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) von V bezüglich Φ. Geben Sie dabei jeweils kurz (also ohne viel Text) an, welche Umformungen Sie benutzen, und geben Sie am Schluss die Basis C sowie die Matrizen _{B}id_{C} und ^{C}Φ_{C} an.

(b) Eine zweite Bilinearform Ψ auf V sei durch ^{C}Ψ_{C} = ^{B}Φ_{B} gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit Ψ(x, y) = Φ(φ(x), φ(y)) für alle x, y ∈ V? (Antwort mit Beweis.) 6 + 4 = 10 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B 17. 2. 99

Aufgabe 4. Welche der folgenden Bilinearformen Φ definieren einen euklidischen ℝ-Vektorraum (V, Φ)?

(a) V = ⟨sin, cos⟩, Φ(x_{1} sin + x_{2} cos, y_{1} sin + y_{2} cos) = x_{1}y_{1} − 2 x_{1}y_{2} − 2 x_{2}y_{1} + 7 x_{2}y_{2} für alle x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ ℝ.

(b) V = P_{1}(ℝ) (Polynomfunktionen vom Grad ≤ 1), B = (p_{0}, p_{1}), ^{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} ].

(Antwort jeweils mit Beweis.) 5 + 4 = 9 Punkte

Aufgabe 5. (V, Γ) sei ein euklidischer ℝ-Vektorraum und φ eine orthogonale lineare Abbildung von (V, Γ).

(a) Zeigen Sie, dass φ höchstens die Eigenwerte 1 und −1 hat.

(b) Zeigen Sie, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal bezüglich Γ sind.

(c) Geben Sie eine orthogonale lineare Abbildung eines euklidischen Vektorraums mit einem Eigenwert −1 an. 3 + 3 + 3 = 9 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V ein ℝ-Vektorraum und B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) eine Basis von V. Auf V sei ein Skalarprodukt

Φ durch ^{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 2 & −2 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 9 & −9 \\ −2 & 4 & −9 & 20 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthogonalbasis C = (c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}) von V bezüglich Φ.

(b) Geben Sie die Matrizen _{B}id_{C} und ^{C}Φ_{C} an.

(c) Bestimmen Sie die beste Approximation des Vektors b_{4} im Teilraum ⟨b_{1}, b_{2}, b_{3}⟩ von V. 7 + 4 + 2 = 13 Punkte

Aufgabe 7. Auf dem Intervall I = [0, 1] ⊆ ℝ betrachten wir die reellwertigen stetigen Funktionen

p = (x ↦ x) und q = (x ↦ x^{4}).

Sie erzeugen einen 2-dimensionalen Teilraum T des ℝ-Vektorraums aller stetigen Funktionen auf I. Wir versehen T mit dem Skalarprodukt

Γ(f, g) = ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx für f, g ∈ T.

Berechnen Sie Länge und gegenseitige Lage der Vektoren p und q in (T, Γ), und zeichnen (skizzieren) Sie p und q als Pfeile in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichlangen Einheitsstrecken. 8 Punkte

Aufgabe 8. Gegeben sei ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum V mit einer Bilinearform Φ. Untersuchen Sie die Abbildung γ := (x ↦ _{x}Φ): V → V^{∗}, wobei _{x}Φ := (y ↦ Φ(x, y)): V → K gesetzt ist. (Zum Beispiel: Wann ist γ injektiv?) bis zu 7 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I (9. 4. 99)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jeder Seite nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 12 gegebenen Aufgaben für insgesamt 74 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, dass ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Gibt es in einem geeigneten Vektorraum eine linear abhängige Folge von vier Vektoren, von denen je drei (in der gegebenen Reihenfolge) eine linear unabhängige Folge bilden? (Beispiel oder Beweis der Unmöglichkeit.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystems über dem Körper ℚ.

\begin{aligned}1 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & − & 1 · x_{3} & + & 1 · x_{4} & = & 2 \\ 2 · x_{1} & − & 1 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 2 · x_{4} & = & 1 \\ 1 · x_{1} & − & 2 · x_{2} & + & 2 · x_{3} & + & 1 · x_{4} & = & −1 \end{aligned}

(a) Bestimmen Sie die Menge M aller Lösungen, und stellen Sie sie als Restklasse nach einem geeigneten Teilraum U in einem geeigneten Vektorraum V dar. Was ist V? Was ist U?

(b) Betrachten Sie M nun als Vektor im Vektorraum W = V/U aller Restklassen von V nach U. Bestimmen Sie eine Basis von W. (Mit Begründung.) 5 + 3 = 8 Punkte

Aufgabe 3.

Es sei V = ℝ^{3×1}, T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]⟩.

(a) Geben Sie eine lineare Abbildung φ: V → V an, so dass Kern φ = T_{1} und Bild φ = T_{2} ist.

(b) Ist φ eindeutig bestimmt? (Antwort mit Begründung.) 3 + 2 = 5 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ nach ℝ. Welche der beiden folgenden Abbildungen φ und ψ von V nach V sind linear?

(a) φ(f) = (x ↦ f(x) + 5 für x ∈ ℝ) für f ∈ V,

(b) ψ(f) = (x ↦ f(x) · 5 für x ∈ ℝ) für f ∈ V. Antwort jeweils mit Begründung. 2 + 3 = 5 Punkte

Aufgabe 5. Es sei F_{3} ein Körper mit 3 und F_{7} ein Körper mit 7 Elementen. Wir betrachten in F_{3}^{1×6} ein Komplement A zum Teilraum ⟨ [ 0, 1, 2, 0, 1, 2 ] ⟩ und in F_{7}^{4×1} den Faktorraum B = F_{7}^{4×1}/W nach dem Teilraum W = ⟨ [ 1, 1, 1, 1 ]^{tr} ⟩. Welcher der Vektorräume A und B enthält mehr Vektoren? 4 Punkte

Aufgabe 6.

Invertieren Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Matrix A = [ \begin{matrix}10 & −6 & −11 \\ −8 & 5 & 9 \\ 3 & −2 & −3 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluss die Matrix A^{−1} explizit angeben. Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche (das Ergebnis ist ganzzahlig). 5 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra I Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B 9. 4. 99

Aufgabe 7. Gegeben seien zwei Matrizen A_{1} = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] und A_{2} = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] aus ℝ^{2×2} sowie ein 2-dimensionaler

ℝ-Vektorraum V mit Basisfolge B. Weiter seien in V eine lineare Abbildung φ, eine Bilinearform Φ und zwei Vektoren v_{1}, v_{2} gegeben mit _{B}φ_{B} = ^{B}Φ_{B} = [_{B}v_{1},_{B}v_{2} ] = A_{1}.

(a) Gibt es eine Basisfolge C von V mit _{C}φ_{C} = A_{2} ?

(b) Gibt es eine Basisfolge C von V mit ^{C}Φ_{C} = A_{2} ?

(c) Gibt es eine Basisfolge C von V mit [_{C}v_{1},_{C}v_{2} ] = A_{2} ? Auf die sorgfältige und vollständige Argumentation kommt es an. 4 + 3 + 3 = 10 Punkte

Aufgabe 8. Formulieren Sie eine Definition für den Begriff ”Orthogonalprojektion“. Zur Erinnerung: Eine Definition besteht aus einem oder mehreren vollständigen Sätzen, alle Voraussetzungen müssen angegeben sein, und für alle auftretenden Namen (wie z. B. V oder v) muss gesagt werden, was für Objekte sie bezeichnen. 3 Punkte

Aufgabe 9. Auf einem 3-dimensionalen ℝ-Vektorraum V mit Basis B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) sei ein Skalarprodukt Φ durch

BΦ_{B} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Sylvesterbasis C = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) von V bezüglich Φ. Geben Sie dabei jeweils kurz (also ohne viel Text) an, welche Umformungen Sie benutzen, und geben Sie am Schluss die Basis C sowie die Matrizen _{B}id_{C} und ^{C}Φ_{C} an.

(b) Bestimmen Sie die beste Approximation (bezüglich Φ) des Vektors b_{3} im Teilraum ⟨b_{1}, b_{2}⟩ von V. 7 + 4 = 11 Punkte

Aufgabe 10. Im ℝ-Vektorraum V = ℝ^{2×1} mit der Standardbasis S = (e_{1}, e_{2}) seien eine Bilinearform Φ und ein

Endomorphismus φ durch die Matrizen ^{S}Φ_{S} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 13 \end{matrix} ] und _{S}φ_{S} = [ \begin{matrix}1 & 5 \\ −1 & −1 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Zeigen Sie, dass (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum ist.

(b) Finden Sie einen Vektor v, so dass φ(e_{1}) und φ(v) bezüglich Φ orthogonal sind.

(c) Welches Winkelmaß hat das Vektorpaar (φ(e_{1}), φ(e_{2}))? 4 + 3 + 5 = 12 Punkte

Aufgabe 11. Im ℝ-Vektorraum V = ℝ^{2×1} mit der Standardbasis S = (e_{1}, e_{2}) sei durch _{S}φ_{S} = [ \begin{matrix}8 & 6 \\ −9 & −7 \end{matrix} ] eine

lineare Abbildung φ: V → V gegeben. Gibt es eine Basis B von V, so dass jeder Vektor v aus B durch φ auf einen Vektor vλ mit λ ∈ {−3, −1, 0, 2} abgebildet wird? Untersuchen Sie die Frage mit den Mitteln der Vorlesung. Wichtig sind die Erläuterung Ihres Ansatzes und die Begründungen. 5 Punkte

Aufgabe 12. Das durch die Standardbasis S = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) von ℝ^{4×1} aufgespannte Parallelotop (Einheitswürfel) habe das Volumen 7. Welches Volumen hat dann das von φ(S) aufgespannte Bild-Parallelotop unter der linearen Abbildung φ, die durch

φ(e_{1}) = 2 e_{1} + 3 e_{2}, φ(e_{2}) = − e_{1} − 5 e_{2}, φ(e_{3}) = 5 e_{3}, φ(e_{4}) = 2 e_{4}

definiert wird? 3 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (16. 9. 1999)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik Priv.-Doz. Dr. R. Winkel, Lehrstuhl für Mathematik und Institut für Reine und Angewandte Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1.

(a) Geben Sie ein Beispiel V eines 16-dimensionalen Vektorraums, dessen Elemente Abbildungen sind. (Vergessen Sie nicht die formal korrekte Angabe der Operationen.)

(b) Geben Sie Teilräume A, B Ihres Vektorraums V an, die die Dimensionen 3 und 4 haben und wo S := A + B die Dimension 5 hat. Welche Dimension hat D := A ∩ B? 4 + 2 = 6 Punkte

Aufgabe 2. Stellen Sie sich einen Vektorraum mit einer endlichen Basisfolge B als gegeben vor. Weiter seien Teilräume A und B durch endliche Folgen von Erzeugenden gegeben, die überdies als Linearkombinationen in der Basisfolge B dargestellt sind. Wie prüft man, ob A ein Teilraum von B ist? 4 Punkte

Aufgabe 3. Je nach Wahl des reellen Parameters t hat das lineare Gleichungssystem

\begin{aligned}1 & · & x_{1} & + & 0 & · & x_{2} & − & (t + 1) & · & x_{3} & = & −2 \\ 0 & · & x_{1} & + & t & · & x_{2} & + & 0 & · & x_{3} & = & t \\ 1 & · & x_{1} & − & t & · & x_{2} & + & 0 & · & x_{3} & = & 2 − t \end{aligned}

unterschiedliche Lösungsmengen.

(a) Für welche Werte von t ist das Gleichungssystem lösbar?

(b) Berechnen Sie in den lösbaren Fällen jeweils die Lösungsmenge M und schreiben Sie sie als

Element eines Faktorraums F von ℝ^{3×1}. Welche Dimension hat F?

3 + 6 = 9 Punkte

Aufgabe 4. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem so gut wie es geht.

\begin{aligned}3 x & + & 5 y & = & 1 \\ 6 x & + & 10 y & = & 7. \end{aligned}

5 bis 7 Punkte

Aufgabe 5. Wir betrachten die quadratischen Matrizen

A_{1} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & −1 & 0 \end{matrix} ] , A_{2} = [ \begin{matrix}3 & 3 & 8 \\ 3 & 2 & 8 \\ 8 & 8 & 22 \end{matrix} ] , A_{3} = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 2 & 2 \\ −1 & 2 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3}.

(a) Berechnen Sie (multiplikativ) inverse Matrizen zu diesen Matrizen.

(b) Welche der durch α_{i} := (x ↦ A_{i} x für x ∈ ℝ^{3×1}) : ℝ^{3×1} → ℝ^{3×1} definierten Abbildungen α_{1}, α_{2}, α_{3} sind linear, welche injektiv, welche Isomorphismen?

(c) Auf einem 3-dimensionalen ℝ-Vektorraum V mit einer Basisfolge B seien zwei Skalarprodukte Φ und Ψ durch ihre Matrizen ^{B}Φ_{B} = A_{2} und ^{B}Ψ_{B} = A_{3} gegeben. Welche dieser Skalarprodukte sind nicht ausgeartet, welche positiv definit? (Begründung.)

6 + 3 + 5 = 14 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (16. 9. 1999)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik Priv.-Doz. Dr. R. Winkel, Lehrstuhl für Mathematik und Institut für Reine und Angewandte Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6. Es sei V = ℝ^{1×5}.

Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit Kern φ < Bild φ?

Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit Kern φ = Bild φ?

Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit Kern φ > Bild φ? (Antwort jeweils mit Beispiel oder Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 7.

Zur reellen 3 × 5-Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & −1 & −2 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} ] betrachten wir die lineare Abbildung φ =

(x ↦ Ax für x ∈ ℝ^{5×1}): ℝ^{5×1} → ℝ^{3×1}. Berechnen Sie eine Basisfolge von ℝ^{3×1}/Bild φ. 6 Punkte

Aufgabe 8. In einem n-dimensionalen K-Vektorraum V seien Basisfolgen B, C und D sowie eine lineare Abbildung φ und eine Bilinearform Φ gegeben, so dass _{D}id_{B} = ^{C}Φ_{C} = A ∈ K^{n×n} und _{D}id_{C} = _{B}φ_{B} = B ∈ K^{n×n} gilt. Berechnen Sie für die Matrizen _{C}φ_{C} und ^{B}Φ_{B} jeweils eine Formel, die die gesuchte Matrix in A und B ausdrückt (und keine Klammern enthält). 5 Punkte

Aufgabe 9.

(a) Geben Sie ein Beispiel eines ℝ-Vektorraums V mit einer nicht ausgearteten Bilinearform Φ und einem Teilraum W ≤ V, für den V nicht die (innere) direkte Summe der Teilräume W und W^{⊥} ist.

(b) Gilt in Ihrem Beispiel die Formel dim W + dim W^{⊥} = dim V ? 4 + 1 = 5 Punkte

Aufgabe 10. Auf dem reellen Intervall I = [ 0, 1 ] sei die Funktion f = (x ↦ −x^{2} + 1) : I → I gegeben. Stellen sie sich vor, jemand fragt Sie: Welche der beiden Polynomfunktionen g = (x ↦ −x + 1) : I → I und h = (x ↦ −x + \frac{5}{4}) : I → I vom Grad 1 approximiert f ”besser“? Da Sie wegen Ihrer Klausur wenig Zeit haben, überlassen Sie ihm das Rechnen und sagen ihm nur, welche Ausdrücke er ausrechnen soll. Welche? 4 Punkte

Aufgabe 11. Wie viele Geraden hat ein 3-dimensionaler affiner Raum (also ein affiner Raum über einem 3-dimen-sionalen Vektorraum) über dem Körper ℤ_{2}? (Wie ergibt sich diese Anzahl?) 4 Punkte

Aufgabe 12. Wegen 4711 = 7·673 ist der Restklassenring ℤ_{4711} = ℤ/4711 ℤ kein Körper. Trotzdem besitzt die Restklasse, in der die Zahl 205 liegt, ein (multiplikativ) inverses Element (warum?). Berechnen Sie es (und erläutern Sie dabei Ihre Rechnung). 5 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (16. 9. 1999)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik Priv.-Doz. Dr. R. Winkel, Lehrstuhl für Mathematik und Institut für Reine und Angewandte Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 13. Formulieren Sie den Satz von Dilworth für den Spezialfall eines Spernerposets P, und verifizieren Sie ihn am Hassediagramm eines rangsymmetrischen Spernerposets ihrer Wahl, welches B_{3} (=Poset der Teilmengen von {1, 2, 3}) als echtes induziertes Unterposet enthält. 7 Punkte

Aufgabe 14.

(a) Zeichnen Sie die Hassediagramme des Posets P = \underline{1} ⊕ (\underline{2} + \underline{2}) ⊕ \underline{1} und des Posets O(P) aller Ideale von P. Geben Sie den Elementen von P geeignete Namen und notieren Sie an jedem Element von O(P) die Elemente des entsprechenden Ideals von P; unterstreichen Sie dabei die Elemente der erzeugenden Antikette.

(b) Charakterisieren Sie für beliebige Posets P und Q die Elemente von O(P ⊕ Q) mit Hilfe der Elemente von O(P) und O(Q). 6 + 4 = 10 Punkte

Aufgabe 15. Beweisen Sie einmal algebraisch und dann kombinatorisch mit Hilfe von Teilmengen:

\binom{n}{r}\binom{r}{k} = \binom{n}{k}\binom{n − k}{r − k} für n, r, k ∈ ℕ_{0} = \{0, 1, 2, …\}

und leiten Sie daraus ab:

∑_{k=0}^{r} \binom{n}{k}\binom{n − k}{r − k} = 2^{r}\binom{n}{r} .

8 Punkte

Aufgabe 16. N.N. behauptet: “Die Anzahl der k-Multimengen, die man aus einer n-Menge bilden kann, ist \frac{n^{k}}{k!} , weil ....”

(a) Was hat N.N. vermutlich als Begründung gegeben und was ist daran verkehrt?

(b) Welches ist die richtige Anzahl? Ist diese ≥ oder ≤ als \frac{n^{k}}{k!} , oder hängt das von n und k ab?

(c) Geben Sie einen Beweis des richtigen Ergebnisses. 4 + 2 + 3 = 9 Punkte

Aufgabe 17. Eine Zählfunktion f : ℕ_{0} ⟶ ℂ habe die rationale erzeugende Funktion

∑_{n≥0} f(n)x^{n} = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{−4x^{3} + 4x^{2} + 7x + 2}{4x^{4} − 4x^{3} − 3x^{2} + 2x + 1} .

Bestimmen Sie eine Rekursionformel (inklusive Anfangsbedingungen) und eine explizite Darstellung für f. 12 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (16. 9. 1999)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik Priv.-Doz. Dr. R. Winkel, Lehrstuhl für Mathematik und Institut für Reine und Angewandte Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 18. Für jede natürliche Zahl n sei

L_{n} := {(l_{1}, …, l_{n}) ∈ ℕ_{0}^{n} | 0 ≤ l_{i} ≤ n − i, i = 1, …, n}

und S_{n} die Menge der Permutationen von {1, …, n}.

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung L : S_{n} ⟶ L_{n} definiert durch

l_{i} = l_{i}(π) := ♯{j | i < j, π(i) > π(j)} für i = 1, …, n

eine Bijektion mit l_{1} + … + l_{n} = l(π) [l(π) die Länge von π] ist.

(b) Berechnen Sie L(π) für π = 4163752 ∈ S_{7} und L^{−1}(3, 6, 4, 0, 2, 1, 1, 0) ∈ S_{8}.

6 + 2 = 8 Punkte

Aufgabe 19. Bestimmen Sie für das nachstehend abgebildete Netzwerk zwei maximale Flüsse mit verschiedenen zugehörigen minimalen Schnitten L = (A, \overline{A}):

[figure: a; c_{1}; c_{2}; c_{3}; b; d; g; h; j; m_{1}; m_{2}; z] 1520 25  15 15 1015 20 10  15 1515 15 15  20 10  10 1515 5  10  25 25

Überprüfen Sie, dass es sich bei Ihren Lösungen tatsächlich um Flüsse handelt und dass in beiden Fällen die maximalen Flussstärken mit den minimalen Kapazitäten übereinstimmen; markieren Sie alle für die Berechnung der Kapazität relevanten Kanten. 12 Punkte

Aufgabe 20.

(a) Geben Sie den Satz von Turan an und folgern Sie daraus, dass jeder Graph mit 2n Ecken und n^{2} + 1 oder mehr Kanten einen K_{3} als Untergraph enthält.

(b) Zeigen Sie, dass jeder 3-reguläre Graph G eine gerade Eckenzahl hat, und bestimmen Sie die Anzahl der Kanten von G.

(c) Zeigen Sie mit Hilfe von (a) und (b), dass es (bis auf Isomorphie) nur einen 3-regulären Graphen mit 4 Ecken geben kann. 4 + 2 + 2 = 8 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (21. 3. 2000)

Professor Dr. H. Pahlings, Professor Dr. U. Schoenwaelder Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Welche der folgenden Teilmengen des Zeilenraums V = ℝ^{1×3} sind Teilräume von V?

(a) M_{1} = { [ a, b, c] ∈ V | a + b + c = 0 },

(b) M_{2} = { [ a, b, c] ∈ V | a^{2} + b^{2} + c^{2} = 0 },

(c) M_{3} = { [ a, b, c] ∈ V | a^{3} + b^{3} + c^{3} = 0 }.

(Antwort jeweils mit Begründung.) 6 Punkte

Aufgabe 2. Gegeben sei eine Matrix A ∈ ℝ^{3×3}. Wir berechnen daraus eine neue Matrix B ∈ ℝ^{3×3}, indem wir zunächst auf A die Zeilenumformung Z_{2} | Z_{2} + 2 Z_{1} und dann auf die so entstandene Matrix die Zeilenumformung Z_{3} | Z_{3} − Z_{1} + 3 Z_{2} anwenden. Schreiben Sie B als Produkt zweier Matrizen, von denen eine gleich A ist. 3 Punkte

Aufgabe 3.

(a) Berechnen Sie für die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & −2 & 6 & 7 \\ −1 & 1 & −9 & 1 \\ 2 & −2 & −2 & 13 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×4} eine Basis des Zeilenraums und eine Basis des Spaltenraums.

(b) Begründen Sie Ihre Berechnungsmethode für die Basis des Zeilenraums. 6 Punkte

Aufgabe 4. Invertieren Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Matrix M = [ \begin{matrix}5 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}. 4 Punkte

Aufgabe 5. Max behauptet:

Sind u, v Vektoren eines Vektorraums V und ist v ∈ ⟨u⟩, so ist die Folge (u, v) linear abhängig. Moritz behauptet:

Sind u, v Vektoren eines Vektorraums V und ist die Folge (u, v) linear abhängig, so gilt v ∈ ⟨u⟩. Wer hat Recht? Beide, einer, keiner? Falls nicht beide: Für welche Vektorräume sind beide Aussagen wahr? (Es kommt auf die sorgfältige und vollständige Argumentation an.) 6 Punkte

Aufgabe 6. Berechnen Sie das Rechtsradikal A^{⊥} = {y ∈ ℚ^{4×1} | x·A·y = 0 für alle x ∈ ℚ^{1×3}} zur Matrix A aus Aufgabe 3. Begründen Sie dabei Ihr Vorgehen. 5 Punkte

Aufgabe 7.

Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, das die Lösungsmenge [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] + ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ], [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ ⊂ ℝ^{3×1}

hat. (Erklären Sie, wie Sie darauf kommen, und zeigen Sie, dass es die Bedingung erfüllt.) 4 Punkte

Aufgabe 8. Geben Sie ein (konkretes) Beispiel für eine surjektive lineare Abbildung an, so dass die Dimension des Kerns dreimal so groß ist wie die Dimension des Bildes. 3 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (21. 3. 2000)

Professor Dr. H. Pahlings, Professor Dr. U. Schoenwaelder Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 9. Es sei n ∈ ℕ_{0}. Wir wollen Polynomfunktionen f und g auf ℝ ”n-äquivalent“ (bei x = 0) nennen, wenn ihre Differenz die Form (f − g)(x) = x^{n}·q(x) (x ∈ ℝ) für eine Polynomfunktion q ∈ P (ℝ) hat.

(a) Zeigen Sie, dass n-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation auf P (ℝ) ist.

(b) Geben Sie für n = 1 ein Repräsentanten\underline{system} für die Äquivalenzklassen an.

(c) Kann man (allgemein) die n-Äquivalenzklassen als Elemente eines Faktorraums von P (ℝ) schreiben? (Begründung.) 6 Punkte

Aufgabe 10. Im Restklassenring ℤ_{2001} = ℤ/2001 ℤ betrachten wir die Elemente a = \overline{49} und b = \overline{81}.

(a) Prüfen Sie möglichst einfach nach, ob die Elemente a und b invertierbar sind.

(b) Berechnen Sie die Inversen von a und b, soweit sie existieren. (Erläutern Sie dabei Ihre Rechnung.) 5 Punkte

Aufgabe 11. Gegeben seien ein ℝ-Vektorraum V mit Basisfolgen B und C, eine lineare Abbildung φ: V → V und

ein Skalarprodukt Γ: V × V → ℝ. Dabei sei _{B}id_{C} = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] und _{B}φ_{B} = ^{B}Γ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ] .

(a) Berechnen Sie _{C}φ_{C} und ^{C}Γ_{C}.

(b) Ist Γ nicht ausgeartet? Ist Γ positiv definit? (Antwort mit Begründung.) 5 Punkte

Aufgabe 12.

Es sei V ein ℝ-Vektorraum, B eine Basisfolge von V und Ψ das durch ^{B}Ψ_{B} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & −1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} ]

gegebene Skalarprodukt auf V. Berechnen Sie eine Basisfolge C von V, für die^{C}Ψ_{C} eine Diagonalmatrix ist. (Empfehlung: Vermeiden Sie Brüche.) 5 Punkte

Aufgabe 13. Im ℝ-Vektorraum P_{1}(ℝ) der reellen Polynomfunktionen vom Grad ≤ 1 seien die Vektoren

a = (x ↦ 3 + 2x): ℝ → ℝ und b = (x ↦ 1 − x): ℝ → ℝ

gegeben. Geben Sie positiv definite Skalarprodukte Γ_{1} und Γ_{2} auf P_{1}(ℝ) an, so dass a und b bezüglich Γ_{1} orthogonal, aber bezüglich Γ_{2} nicht orthogonal sind. 4 Punkte

Aufgabe 14. Wir betrachten ℝ^{1×2} als euklidischen Vektorraum bezüglich des Skalarprodukts Φ mit^{S}Φ_{S} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] bezüglich der Standardbasisfolge S. Welcher Vektor in ⟨ [ 3, 3 ] ⟩ approximiert den Vektor [ 0, 3 ] am besten? (Begründung.) 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (21. 3. 2000)

Professor Dr. H. Pahlings, Professor Dr. U. Schoenwaelder Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 15. Beschreiben Sie für jede natürliche Zahl L ≥ 3 ein Poset P mit den folgenden Eigenschaften: L ist die Länge der längsten Kette von P und jedes Element von P liegt in einer Kette der Länge L; trotzdem besitzt P auch eine maximale (= gesättigte) Kette der Länge < L, ja sogar maximale Ketten aller Längen k für 1 < k < L. 7 Punkte

Aufgabe 16. Definieren Sie die Verfeinerungsordnung für das Poset P_{n} aller Mengenpartitionen von {1, …, n} und die entsprechende Überdeckungsrelation. Zeichnen Sie das Unterposet von P_{4}, welches als Elemente alle Partitionen von

[figure: 1; 2; 3; 4]

in konvexe Blöcke enthält. (Beschriften Sie die Elemente geeignet!) Welche Elemente von P_{4} kommen dabei nicht vor? 8 Punkte

Aufgabe 17. Gegeben sei ein konvexes n-Eck, bei dem sich nie mehr als zwei Verbindungsgeraden von je 2 Ecken in einem Punkt schneiden. Wie viele Schnittpunkte von je zwei Verbindungsgeraden liegen echt im Inneren des n-Ecks (also nicht außerhalb und nicht auf dem Rand)? 9 Punkte

Aufgabe 18. Die Eulerzahlen A(n, k) zählen die Anzahl der Permutationen in S_{n} mit genau k Anstiegen, wobei ein Platz i ein Anstieg von π ist, wenn π(i) < π(i + 1) gilt. (Man setzt A(0, 0) := 1, A(0, k) := 0 für k ≥ 1). Zeigen Sie für alle n ∈ ℕ die Rekursionsformel

A(n, k) = (n − k) A(n − 1, k − 1) + (k + 1) A(n − 1, k). 9 Punkte

Aufgabe 19. Gegeben sei die lineare Rekursion

f(n + 4) − 3 f(n + 3) − 6 f(n + 2) + 28 f(n + 1) − 24 f(n) = 0

mit Anfangsbedingungen

f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 13, f(3) = 35.

Berechnen Sie die explizite Lösung und geben Sie eine rationale erzeugende Funktion für die Koeffizienten f(n) an. 12 Punkte

Vordiplom-Klausur Mathematik II (21. 3. 2000)

Professor Dr. H. Pahlings, Professor Dr. U. Schoenwaelder Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 20. Zeigen Sie: In jeder Gruppe von n ≥ 2 Personen sind immer (mindestens) zwei, welche mit der gleichen Anzahl anderer Personen in der Gruppe bekannt sind. (“Bekanntsein” wird als irreflexive, symmetrische Relation aufgefaßt, welche im Allgemeinen nicht transitiv ist.) Formulieren Sie die Behauptung auch in der Sprache der Graphentheorie. 8 Punkte

Aufgabe 21. Bestimmen und skizzieren Sie für das nachstehend abgebildete Netzwerk (mindestens) vier maximale Flüsse mit ganzzahligen Werten. (Ungerichtete Kanten können dabei in beiden Richtungen mit der angegebenen Kapazität durchlaufen werden).

[figure: a; b; g; j; d; h; k; f; i; m; z; 7; 6; 4; 5; 5; 4; 4; 4; 4; 6; 5; 5; 6; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 7; 5]

Ist es möglich, zwei maximale Flüsse mit verschiedenen zugehörigen minimalen Schnitten L = (A, \overline{A}) zu finden? 8 Punkte

Aufgabe 22. Zeigen Sie, dass ein Graph G = (E, K) mit |E| = n und |K| > \binom{n−1}{2} zusammenhängend ist. Gibt es

einen unzusammenhängenden Graphen mit n Ecken und |K| = \binom{n−1}{2} Kanten? 7 Punkte

Aufgaben mit Begründung

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 10. Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem endlichen Körper 𝔽_{2} an:

x_{3}  + x_{5} = 1
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 1
x_{1} + x_{2}  + x_{4} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3}  + x_{5} = 1

Wieviele Lösungen gibt es? (4 Punkte)

Aufgabe 11. Es sei K ein Körper. Für i ∈ ℕ ∪ {0} sei p_{i} ∈ Abb(K, K) durch p_{i}(x) = x^{i} definiert (wobei p_{0}(0) := 1).

(a) Zeigen Sie, dass die Menge M := {p_{0}+p_{1}, p_{0}+p_{1}+p_{2}} linear unabhängig in Abb(K, K) ist. (2 Punkte)

(b) Ergänzen Sie M zu einer Basis von P_{3}(K) = ⟨{p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}}⟩. (2 Punkte)

Aufgabe 12.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×3} → ℝ^{2×2} mit

Kern(φ) = \{[ \begin{matrix}x & x & x \\ y & y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×3} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(φ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung ψ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(3 Punkte)

Geben Sie jeweils entweder eine solche Abbildung an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 13.

(a) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3} → 𝔽_{3}, x ↦ x^{2} + x surjektiv? (2 Punkte)

(b) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3}^{2×3} → 𝔽_{3}^{2×3}, X ↦ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] · X surjektiv? (3 Punkte)

Aufgabe 14. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (2 Punkte)

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 3 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, W ein K-Vektorraum und V_{1} und V_{2} Teilräume von W. Dann gilt:

W = {k · w | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

W = V_{1} + V_{2} □ Ja □ Nein

W × K = {w · k | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

V_{1} ∩ V_{2} ist Teilraum von W  □ Ja □ Nein
W + V_{1} = W + V_{2}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Kern(φ) = φ^{−1}({0})  □ Ja □ Nein
Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1}(M) = {v ∈ V | für alle w ∈ M ist φ(v) = w} □ Ja □ Nein

φ(v · w) = φ(v) · φ(w) □ Ja □ Nein

{(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(x, y, x − y) | x, y ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(x, 1) | x ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein ∅ ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein

⟨{(x, 1) | x ∈ ℝ}⟩ ist Teilraum in ℝ^{2}  □ Ja □ Nein
{φ : ℝ → ℝ | φ ist linear} ist ein Teilraum des ℝ-Vektorraums ℝ^{ℝ}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(1, 0, 1), (1, 2), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0), (0, 1), (0, 0)} ist Basis von ℝ^{2} □ Ja □ Nein {(1, 1, 1), (1, 2, 3)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 2, 3), (0, 2, 0)} ist Basis des Teilraums ⟨(1, 1, 1), (1, 0, 1)⟩ von ℝ^{3} □ Ja □ Nein Aufgabe 5. K sei ein Körper, V ein K-Vektorraum und X ⊆ V eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Ist X Basis von V, dann ist X endlich □ Ja □ Nein Ist X Basis von V, dann ist X auch Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear abhängig, dann ist X kein Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear unabhängig, dann existiert kein v ∈ X mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩ □ Ja □ Nein Wenn ein v ∈ V \ ⟨X⟩ existiert, dann ist X \ {v} keine Basis von V □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Es sei K ein Körper und alle K^{n} (n ∈ ℕ) seien als K-Vektorräume aufgefasst. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

φ : K^{2} → K^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, x_{2} + x_{1}, x_{1}) □ Ja □ Nein

φ : K^{2} → K, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1} − 1) · (x_{2} + 1) □ Ja □ Nein

φ : K → K, x ↦ 1 □ Ja □ Nein

φ : K → K^{2}, x ↦ (x, x + x)  □ Ja □ Nein
φ : K → K, x ↦ 0  □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper und V und W K-Vektorräume. φ : V → W und ψ : V → W seien zwei lineare Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Kern(φ + ψ) ⊇ Kern(φ) ∩ Kern(ψ)  □ Ja □ Nein
Bild(φ + ψ) ⊆ Bild(φ) + Bild(ψ)  □ Ja □ Nein

Kern(φ + ψ) = Kern(φ) ∩ Kern(ψ) □ Ja □ Nein Bild(φ − ψ) ⊇ Bild(φ) + Bild(ψ) □ Ja □ Nein Kern(φ + ψ) = Kern(φ) + Kern(ψ) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999} ist surjektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000} ist injektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999}. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem über einem Körper

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ...  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

— heißt homogen, wenn b_{1} = 0 ist. □ Ja □ Nein

— ist lösbar, wenn m = n ist. □ Ja □ Nein

— hat einen Lösungsraum der Dimension n − Rg [a_{ij}], □ Ja □ Nein falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.

— kann unlösbar sein, wenn b_{1} ≠ 0 ist. □ Ja □ Nein

— hat immer die Lösung x_{1} = ⋯ = x_{n} = 0. □ Ja □ Nein

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Es seien K ein Körper und A, A′, T ∈ K^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AT = T A′. Dann gilt: det A = det A′ □ Ja □ Nein det A · det T = det A′ · det T □ Ja □ Nein det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′, wenn AT invertierbar ist □ Ja □ Nein det(T A′) = det(T A) □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit reellen Einträgen (x ∈ ℝ):

[ \begin{matrix}7 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}cos(x) & − sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 147 & 7 & 0 \\ π & tan(x) & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 & 0 \\ 7 & −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 3 & −1 & −1 \end{matrix} ]

Aufgabe 3. Es seien K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über K. Es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Grad(f + g) = max(Grad(f), Grad(g)) □ Ja □ Nein Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g) □ Ja □ Nein Grad(f + g) = Grad(f − g) □ Ja □ Nein Es gibt q, r ∈ K[X] mit f = q · g + r mit Grad(rq) < Grad(g). □ Ja □ Nein Ist g ein Teiler von f, dann ist jede Nullstelle von f auch eine von g. □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Es seien K ein Körper und A ∈ K^{k×l}, B ∈ K^{l×m} und C ∈ K^{m×n}. Dann gilt: Rang(AB) ≤ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(AB) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(ABC) = Rang(AB) + Rang(BC) − Rang(B) □ Ja □ Nein Rang(ABC) ≤ min{k, l, m, n} □ Ja □ Nein Rang(ABC) > 0 wenn, ABC ≠ 0 □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Sei n ≥ 4 eine natürliche Zahl und S_{n} die symmetrische Gruppe auf {1, 2, …, n}. Es seien σ und τ Permutationen aus S_{n}. Dann gilt: sgn(σ) · sgn(τ) = sgn(σ ∘ τ) = sgn(τ ∘ σ) □ Ja □ Nein sgn(τ ∘ τ) = +1 □ Ja □ Nein (1, 2, 3) ∘ (2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein Jede Permutation ist ein Produkt von Dreierzykeln. □ Ja □ Nein Es gibt ein τ ∈ S_{n} mit τ^{−1} ∘ (1, 2)(3, 4) ∘ τ = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Sei K ein Körper, M ∈ K^{n×n}, χ_{M} das charakteristische Polynom von M, t ∈ K und (X − t)^{2} ein Teiler von χ_{M}. Dann gilt: t ist Eigenwert von M. □ Ja □ Nein M hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert t. □ Ja □ Nein χ_{M}(M) bildet jeden Eigenvektor von M auf 0 ab. □ Ja □ Nein Der Rang von M ist gleich n, wenn X kein Teiler von χ_{M} ist. □ Ja □ Nein Das Minimalpolynom von M ist durch (X − t) teilbar. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Sei A := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 1999} und B := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 2000}. Es gibt eine surjektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist surjektiv. □ Ja □ Nein Die Abbildung φ : A × B → B, (a, b) ↦ b ist surjektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine injektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Sind die folgenden Aussagen richtig? Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat. □ Ja □ Nein Jede n × n-Matrix ist diagonalisierbar. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie 0 nicht als Eigenwert hat. □ Ja □ Nein Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes einer n × n-Matrix ist immer kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit. □ Ja □ Nein In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 9. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i & für & i = j \\ 1 & für & i ≠ j \end{matrix}

Man berechne det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 10. Seien V := ℝ^{3×1} und

B := ([ \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ −8 \\ 5 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 4 \\ −3 \end{matrix} ]) sowie φ : V → V, [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}z \\ x \\ y \end{matrix} ] .

(a) Zeigen Sie, dass B eine Basisfolge von V ist. (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}. (4 Punkte)

Aufgabe 11. Sei V = ℝ^{n×n} und φ, ψ ∈ End V definiert durch

φ(A) = A^{T}  für A ∈ V  (Transponierte zu A)
ψ(A) = A^{T} + 3A für A ∈ V

(a) Man beweise, dass φ und ψ diagonalisierbar sind. Man bestimme die Eigenwerte von φ und von ψ. (4 Punkte)

(b) Für n = 2 gebe man explizit eine Basis von V an, die aus Eigenvektoren von ψ besteht. (4 Punkte)

Aufgabe 12. Sei A ∈ 𝔽_{5}^{3×3} die folgende Matrix (𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4}):

A := [ \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ]

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. (4 Punkte)

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkte)

(d) Geben Sie für jeden Eigenwert die geometrische und die algebraische Vielfachheit an. (1 Punkt)

Aufgabe 13. Berechnen Sie die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−4 & 0 & 0 & 18 & 0 \\ 4 & 2 & −1 & −12 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & −3 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & −6 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{5×5}

(8 Punkte)

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil B

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Es seien K ein Körper und A, A′, T ∈ K^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AT = T A′. Dann gilt: det A = det A′ □ Ja □ Nein det A · det T = det A′ · det T □ Ja □ Nein det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein

det A = det A′, wenn AT invertierbar ist  □ Ja □ Nein
det(T A′) = det(T A)  □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit reellen Einträgen (x ∈ ℝ):

[ \begin{matrix}7 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}cos(x) & − sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 147 & 7 & 0 \\ π & tan(x) & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 & 0 \\ 7 & −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 3 & −1 & −1 \end{matrix} ]

Aufgabe 3. Es seien K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über K. Es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Grad(f + g) = max(Grad(f), Grad(g)) □ Ja □ Nein Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g) □ Ja □ Nein Grad(f + g) = Grad(f − g) □ Ja □ Nein Es gibt q, r ∈ K[X] mit f = q · g + r mit Grad(rq) < Grad(g). □ Ja □ Nein Ist g ein Teiler von f, dann ist jede Nullstelle von f auch eine von g. □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Es seien K ein Körper und A ∈ K^{k×l}, B ∈ K^{l×m} und C ∈ K^{m×n}. Dann gilt: Rang(AB) ≤ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(AB) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(ABC) = Rang(AB) + Rang(BC) − Rang(B) □ Ja □ Nein

Rang(ABC) ≤ min{k, l, m, n}  □ Ja □ Nein
Rang(ABC) > 0 wenn, ABC ≠ 0  □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Sei n ≥ 4 eine natürliche Zahl und S_{n} die symmetrische Gruppe auf {1, 2, …, n}. Es seien σ und τ Permutationen aus S_{n}. Dann gilt:

sgn(σ) · sgn(τ) = sgn(σ ∘ τ) = sgn(τ ∘ σ)  □ Ja □ Nein
sgn(τ ∘ τ) = +1  □ Ja □ Nein

(1, 2, 3) ∘ (2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Jede Permutation ist ein Produkt von Dreierzykeln. □ Ja □ Nein Es gibt ein τ ∈ S_{n} mit τ^{−1} ∘ (1, 2)(3, 4) ∘ τ = (1, 2, 3, 4) □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Sei K ein Körper, M ∈ K^{n×n}, χ_{M} das charakteristische Polynom von M, t ∈ K und (X − t)^{2} ein Teiler von χ_{M}. Dann gilt: t ist Eigenwert von M. □ Ja □ Nein M hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert t. □ Ja □ Nein

χ_{M}(M) bildet jeden Eigenvektor von M auf 0 ab.  □ Ja □ Nein
Der Rang von M ist gleich n, wenn X kein Teiler von χ_{M} ist.  □ Ja □ Nein
Das Minimalpolynom von M ist durch (X − t) teilbar.  □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Sei A := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 1999} und B := {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 2000}. Es gibt eine surjektive Abbildung φ : A → B. □ Ja □ Nein Jede Abbildung φ : B → A ist surjektiv. □ Ja □ Nein

Die Abbildung φ : A × B → B, (a, b) ↦ b ist surjektiv.  □ Ja □ Nein
Es gibt eine injektive Abbildung φ : A → B.  □ Ja □ Nein

Jede Abbildung φ : B → A ist injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Sind die folgenden Aussagen richtig? Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat. □ Ja □ Nein Jede n × n-Matrix ist diagonalisierbar. □ Ja □ Nein Eine n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie 0 nicht als Eigenwert hat. □ Ja □ Nein Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes einer n × n-Matrix ist immer kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit. □ Ja □ Nein In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 9. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i & für & i = j \\ 1 & für & i ≠ j \end{matrix}

Man berechne det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 10. Seien V := ℝ^{3×1} und

B := ([ \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ −8 \\ 5 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ 4 \\ −3 \end{matrix} ]) sowie φ : V → V, [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}z \\ x \\ y \end{matrix} ] .

(a) Zeigen Sie, dass B eine Basisfolge von V ist. (3 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}. (4 Punkte)

Aufgabe 11. Sei V = ℝ^{n×n} und φ, ψ ∈ End V definiert durch

φ(A) = A^{T}  für A ∈ V  (Transponierte zu A)
ψ(A) = A^{T} + 3A für A ∈ V

(a) Man beweise, dass φ und ψ diagonalisierbar sind. Man bestimme die Eigenwerte von φ und von ψ. (4 Punkte)

(b) Für n = 2 gebe man explizit eine Basis von V an, die aus Eigenvektoren von ψ besteht. (4 Punkte)

Aufgabe 12. Sei A ∈ 𝔽_{5}^{3×3} die folgende Matrix (𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4}):

A := [ \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ]

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. (4 Punkte)

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkte)

(d) Geben Sie für jeden Eigenwert die geometrische und die algebraische Vielfachheit an. (1 Punkt)

Aufgabe 13. Berechnen Sie die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−4 & 0 & 0 & 18 & 0 \\ 4 & 2 & −1 & −12 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & −3 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & −6 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{5×5}

(8 Punkte)

3.4.2000

Nachholklausur zur Linearen Algebra I

WS99/00

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei ℚ der Körper der rationalen Zahlen und V der ℚ-Vektorraum ℚ^{2×2}. Sind die folgenden Teilmengen Teilräume?

\{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ]| x, y ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 1 \\ 0 & x \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein

{A ∈ V | Spur A = 0} □ Ja □ Nein {A ∈ V | det A = 0} □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kern(φ) = {w ∈ W | es gibt v ∈ V mit φ(v) ≠ w} □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1} (M) = {v ∈ V | φ(v) ∈ M} ein Teilraum von V □ Ja □ Nein Kern(φ) ⊆ Kern(φ^{2}), falls V = W □ Ja □ Nein {(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)} □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es seien A, A′, S ∈ ℝ^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AS = SA′. Dann gilt: det A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ ⟹ det A = 0 □ Ja □ Nein det(A · A^{T}) ≥ 0 □ Ja □ Nein det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′ □ Ja □ Nein det(sA) = s det(A) für alle s ∈ ℝ □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {[1, 0, 1], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [2, 2, 1]} ist Erzeugendensystem von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 0], [1, −1]} ist linear unabhängig in ℝ^{1×2}. □ Ja □ Nein {[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 1, 1], [1, 1, 0]} ist Basis des Teilraums ⟨[1, 2, 0], [2, 2, 1]⟩ von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es seien φ : V → W und ψ : W → U lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V, W und U. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Wenn φ und ψ injektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. □ Ja □ Nein Wenn φ und ψ surjektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv. □ Ja □ Nein Wenn φ surjektiv und ψ injektiv ist, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ surjektiv ist, dann ist auch ψ surjektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ injektiv ist, dann ist auch ψ injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. S sei ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 3 Unbekannten über dem Körper ℝ. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Jedes solche S hat eine Lösung. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das eindeutig lösbar ist. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das genau 2 Lösungen hat. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das unendlich viele Lösungen hat. □ Ja □ Nein Jedes solche S hat unendlich viele Lösungen. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es seien A, B ∈ ℝ^{n×n} und c ∈ ℝ^{n×1}. Dann gilt: Ist A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ, so ist Rang(A) < n □ Ja □ Nein Rang(A + B) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein Rang(c · c^{T}) = 1, falls c ≠ 0 □ Ja □ Nein Rang(c^{T} · c) = 1, falls c ≠ 0 □ Ja □ Nein Rang(AB) = Rang(BA) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Matrizen aus ℝ^{2×2} sind diagonalisierbar?

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen. Aufgabe 9. Sei V := ℝ^{1×2} und φ : V → V die Abbildung, die durch φ([x, y]) = [3x − 7y, x − 2y] gegeben ist. Seien weiter B_{1} := ([1, 2], [2, 1]) und B_{2} := ([0, 1], [−1, 0]).

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass B_{1} und B_{2} Basisfolgen von V sind. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B_{1}}[id_{V}]_{B_{2}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{1}}. (2 Punkte)

(d) Wie erhält man _{B_{1}}[φ]_{B_{1}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{2}} direkt aus den Ergebnissen aus (c)? (2 Punkte)

Aufgabe 10. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = i · j für 1 ≤ i, j ≤ n

Man berechne Rang(A) und det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 11. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (3 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, in dem 1 ≠ −1 gilt. Weiter sei φ : K^{1×n} → K^{1×n} die lineare Abbildung, die Vektoren ”spiegelt“, es gelte also φ([x_{1}, x_{2}, …, x_{n}]) = [x_{n}, x_{n−1}, …, x_{1}].

(a) Man berechne das Minimalpolynom von φ. (2 Punkte)

(b) Ist φ diagonalisierbar? (2 Punkte)

(c) Was sind die Eigenwerte von φ? (2 Punkte)

(d) Geben Sie zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

Aufgabe 13. Es sei A ∈ 𝔽_{2}^{4×4} die folgende Matrix:

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

(a) Zeigen Sie: 1 ist Eigenwert von A. (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert 1. (3 Punkte)

(c) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von A. (4 Punkte)

3.4.2000

Nachholklausur zur Linearen Algebra I

WS99/00

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei ℚ der Körper der rationalen Zahlen und V der ℚ-Vektorraum ℚ^{2×2}. Sind die folgenden Teilmengen Teilräume?

\{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ]| x, y ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 1 \\ 0 & x \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
{A ∈ V | Spur A = 0}  □ Ja □ Nein

{A ∈ V | det A = 0} □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kern(φ) = {w ∈ W | es gibt v ∈ V mit φ(v) ≠ w} □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1} (M) = {v ∈ V | φ(v) ∈ M} ein Teilraum von V □ Ja □ Nein Kern(φ) ⊆ Kern(φ^{2}), falls V = W □ Ja □ Nein {(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es seien A, A′, S ∈ ℝ^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AS = SA′. Dann gilt:

det A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ ⟹ det A = 0  □ Ja □ Nein
det(A · A^{T}) ≥ 0  □ Ja □ Nein

det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′ □ Ja □ Nein det(sA) = s det(A) für alle s ∈ ℝ □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {[1, 0, 1], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [2, 2, 1]} ist Erzeugendensystem von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

{[1, 0], [1, −1]} ist linear unabhängig in ℝ^{1×2}.  □ Ja □ Nein
{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}.  □ Ja □ Nein

{[1, 1, 1], [1, 1, 0]} ist Basis des Teilraums ⟨[1, 2, 0], [2, 2, 1]⟩ von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es seien φ : V → W und ψ : W → U lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V, W und U. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Wenn φ und ψ injektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv.  □ Ja □ Nein
Wenn φ und ψ surjektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv.  □ Ja □ Nein

Wenn φ surjektiv und ψ injektiv ist, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ surjektiv ist, dann ist auch ψ surjektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ injektiv ist, dann ist auch ψ injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. S sei ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 3 Unbekannten über dem Körper ℝ. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Jedes solche S hat eine Lösung. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das eindeutig lösbar ist. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das genau 2 Lösungen hat. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das unendlich viele Lösungen hat. □ Ja □ Nein Jedes solche S hat unendlich viele Lösungen. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es seien A, B ∈ ℝ^{n×n} und c ∈ ℝ^{n×1}. Dann gilt: Ist A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ, so ist Rang(A) < n □ Ja □ Nein Rang(A + B) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein

Rang(c · c^{T}) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein
Rang(c^{T} · c) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein

Rang(AB) = Rang(BA) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Matrizen aus ℝ^{2×2} sind diagonalisierbar?

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen. Aufgabe 9. Sei V := ℝ^{1×2} und φ : V → V die Abbildung, die durch φ([x, y]) = [3x − 7y, x − 2y] gegeben ist. Seien weiter B_{1} := ([1, 2], [2, 1]) und B_{2} := ([0, 1], [−1, 0]).

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass B_{1} und B_{2} Basisfolgen von V sind. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B_{1}}[id_{V}]_{B_{2}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{1}}. (2 Punkte)

(d) Wie erhält man _{B_{1}}[φ]_{B_{1}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{2}} direkt aus den Ergebnissen aus (c)? (2 Punkte)

Aufgabe 10. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = i · j für 1 ≤ i, j ≤ n

Man berechne Rang(A) und det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 11. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (3 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, in dem 1 ≠ −1 gilt. Weiter sei φ : K^{1×n} → K^{1×n} die lineare Abbildung, die Vektoren ”spiegelt“, es gelte also φ([x_{1}, x_{2}, …, x_{n}]) = [x_{n}, x_{n−1}, …, x_{1}].

(a) Man berechne das Minimalpolynom von φ. (2 Punkte)

(b) Ist φ diagonalisierbar? (2 Punkte)

(c) Was sind die Eigenwerte von φ? (2 Punkte)

(d) Geben Sie zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

Aufgabe 13. Es sei A ∈ 𝔽_{2}^{4×4} die folgende Matrix:

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

(a) Zeigen Sie: 1 ist Eigenwert von A. (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert 1. (3 Punkte)

(c) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von A. (4 Punkte)

Test 1 im WS99/00

T1) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
V × V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
K × V = {s · v| s ∈ K und v ∈ V }  □ Ja  □ Nein

T2) Seien K, V wie in T1), U ein Teilraum von V und u, v ∈ V. Dann gilt:

u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein
u, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
s ∈ K, u ∉ U ⟹ s · u ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein

T3) Sind die folgenden Teilmengen auch Teilräume des ℝ-Vektorraumes ℝ^{3}?

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(x, x, x)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(x, 1, 0)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein

T4) Sei V ein Vektorraum.

Ist U Teilraum von V, so ist stets V \ U auch Teilraum.  □ Ja  □ Nein
Es gibt einen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein
Es gibt keinen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein

T5) Sei V ein Vektorraum. X ⊆ V ist genau dann linear unabhängig, wenn

– für jedes v ∈ X gilt v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein
– 0 ∈ ⟨X⟩.  □ Ja  □ Nein
– es ein v ∈ V gibt mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein

T6) Sind die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} linear unabhängig?

{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein

T7) Sei V ein Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Dann gilt:

X linear unabhängig ⟹ Y linear unabhängig  □ Ja  □ Nein
X linear abhängig ⟹ Y linear abhängig  □ Ja  □ Nein
X ist Erzeugendensystem von V ⟹ Y ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein
Y ist Erzeugendensystem von V ⟹ X ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test 1 im WS99/00

T1) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  ⊠ Ja  □ Nein
V × V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  ⊠ Nein
K × V = {s · v| s ∈ K und v ∈ V }  □ Ja  ⊠ Nein

T2) Seien K, V wie in T1), U ein Teilraum von V und u, v ∈ V. Dann gilt:

u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U  ⊠ Ja  □ Nein
u, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  ⊠ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  ⊠ Ja  □ Nein
s ∈ K, u ∉ U ⟹ s · u ∉ U  □ Ja  ⊠ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  ⊠ Nein

T3) Sind die folgenden Teilmengen auch Teilräume des ℝ-Vektorraumes ℝ^{3}?

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  □ Ja  ⊠ Nein
{(x, x, x)| x ∈ ℝ}  ⊠ Ja  □ Nein
{(x, 1, 0)| x ∈ ℝ}  □ Ja  ⊠ Nein
{(0, 0, 0)}  ⊠ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  ⊠ Nein

T4) Sei V ein Vektorraum.

Ist U Teilraum von V, so ist stets V \ U auch Teilraum.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt einen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt keinen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  ⊠ Ja  □ Nein

T5) Sei V ein Vektorraum. X ⊆ V ist genau dann linear unabhängig, wenn

– für jedes v ∈ X gilt v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  ⊠ Nein
– 0 ∈ ⟨X⟩.  □ Ja  ⊠ Nein
– es ein v ∈ V gibt mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  ⊠ Nein

T6) Sind die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} linear unabhängig?

{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}  ⊠ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein
{(1, 1, 1), (0, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein
∅  ⊠ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  ⊠ Nein

T7) Sei V ein Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Dann gilt:

X linear unabhängig ⟹ Y linear unabhängig  □ Ja  ⊠ Nein
X linear abhängig ⟹ Y linear abhängig  ⊠ Ja  □ Nein
X ist Erzeugendensystem von V ⟹ Y ist Erzeugendensystem von V  ⊠ Ja  □ Nein
Y ist Erzeugendensystem von V ⟹ X ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  ⊠ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test 2 im WS99/00

Es sei K ein Körper und U, V und W K-Vektorräume. T1) Ist φ : ℝ → ℝ ℝ-linear, so gilt für alle a, b ∈ ℝ:

φ(0) = 0  □ Ja  □ Nein
φ(1) = 1  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = φ(a) · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = a · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)  □ Ja  □ Nein
Bild φ = ℝ  □ Ja  □ Nein

T2) Ist φ : V → W linear, so ist:

Kern φ = \{φ(v)|v = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
Kern φ = \{v ∈ V |φ(v) = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
φ surjektiv ⟺ φ injektiv  □ Ja  □ Nein
φ injektiv ⟺ Kern φ = \{\underline{0}\}  □ Ja  □ Nein

T3) Sind φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen, so gilt:

Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern ψ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊇ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊇ Bild ψ  □ Ja  □ Nein

T4) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (ℝ, ℝ^{2} und ℝ^{3} als ℝ-Vektorräume)

φ : ℝ → ℝ, x ↦ 2x + 1  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2} − x_{1}, x_{1})  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x)  □ Ja  □ Nein
φ : 𝔽_{2} → 𝔽_{2}, x ↦ x^{2}  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}x_{2}  □ Ja  □ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2} ist surjektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} ist injektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein

T6) Es sei φ : V → W linear und B Basis von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Ist φ injektiv, so ist φ(B) eine Basis von W.  □ Ja  □ Nein
Ist φ surjektiv, so ist φ(B) Erzeugendensystem von W.  □ Ja  □ Nein
Ist V ≅ W, so ist φ ein Isomorphismus.  □ Ja  □ Nein
Ist φ ein Isomorphismus, so ist {φ(v_{1}), …, φ(v_{n})} für jedes n-Tupel  □ Ja  □ Nein

(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} eine Basis von W. T7) Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ... ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}
ist lösbar, wenn n ≥ m.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn Rg [a_{ij}] = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist für m > n nie eindeutig lösbar.  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension Rg [a_{ij}].  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension n − m, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale  □ Ja  □ Nein

Lösung hat. Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test 2 im WS99/00

Es sei K ein Körper und U, V und W K-Vektorräume. T1) Ist φ : ℝ → ℝ ℝ-linear, so gilt für alle a, b ∈ ℝ:

φ(0) = 0  ⊠ Ja  □ Nein
φ(1) = 1  □ Ja  ⊠ Nein
φ(a · b) = φ(a) · φ(b)  □ Ja  ⊠ Nein
φ(a · b) = a · φ(b)  ⊠ Ja  □ Nein
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)  ⊠ Ja  □ Nein
Bild φ = ℝ  □ Ja  ⊠ Nein

T2) Ist φ : V → W linear, so ist:

Kern φ = \{φ(v)|v = \underline{0}\}  □ Ja  ⊠ Nein
Kern φ = \{v ∈ V |φ(v) = \underline{0}\}  ⊠ Ja  □ Nein
φ surjektiv ⟺ φ injektiv  □ Ja  ⊠ Nein
φ injektiv ⟺ Kern φ = \{\underline{0}\}  ⊠ Ja  □ Nein

T3) Sind φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen, so gilt:

Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ  □ Ja  ⊠ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern ψ  □ Ja  ⊠ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊇ Kern φ  ⊠ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ  ⊠ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild φ  □ Ja  ⊠ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊇ Bild ψ  □ Ja  ⊠ Nein

T4) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (ℝ, ℝ^{2} und ℝ^{3} als ℝ-Vektorräume)

φ : ℝ → ℝ, x ↦ 2x + 1  □ Ja  ⊠ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2} − x_{1}, x_{1})  ⊠ Ja  □ Nein
φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x)  ⊠ Ja  □ Nein
φ : 𝔽_{2} → 𝔽_{2}, x ↦ x^{2}  ⊠ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}x_{2}  □ Ja  ⊠ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2} ist surjektiv.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  ⊠ Ja  □ Nein
Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} ist injektiv.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  ⊠ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  ⊠ Ja  □ Nein

T6) Es sei φ : V → W linear und B Basis von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Ist φ injektiv, so ist φ(B) eine Basis von W.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist φ surjektiv, so ist φ(B) Erzeugendensystem von W.  ⊠ Ja  □ Nein
Ist V ≅ W, so ist φ ein Isomorphismus.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist φ ein Isomorphismus, so ist {φ(v_{1}), …, φ(v_{n})} für jedes n-Tupel  □ Ja  ⊠ Nein

(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} eine Basis von W. T7) Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ... ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}
ist lösbar, wenn n ≥ m.  □ Ja  ⊠ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn Rg [a_{ij}] = 0 ist.  □ Ja  ⊠ Nein
ist für m > n nie eindeutig lösbar.  □ Ja  ⊠ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension Rg [a_{ij}].  □ Ja  ⊠ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension n − m, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.  □ Ja  ⊠ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale  □ Ja  ⊠ Nein

Lösung hat. Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.

Test 3 im WS99/00

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Wenn A′ aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, dann gilt

det(A′) = det(A) □ Ja □ Nein det(A′) = ± det(A) □ Ja □ Nein det(A) = 0 ⇔ det(A′) = 0 □ Ja □ Nein

T2) Für A, B ∈ K^{n×n} und s ∈ K gilt:

det(A + B) = det(A) + det(B) □ Ja □ Nein det(s · A) = s · det(A) □ Ja □ Nein det(AB) = det(A) · det(B) □ Ja □ Nein

T3) (Ergebnis eintragen). Für s ∈ K ist det ([ \begin{matrix}s & s & s \\ s & s & s \\ s & s & s \end{matrix} ]) =

T4) Sei A ∈ K^{n×n} mit det(A) = 0 und b ∈ K^{n×1}. Dann ist das Gleichungssystem Ax = b

– nur lösbar für b = \underline{0}. □ Ja □ Nein – für jedes b lösbar, aber nicht eindeutig. □ Ja □ Nein – für manche b lösbar, aber für kein b eindeutig lösbar. □ Ja □ Nein

T5) Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über 𝔽_{2}

– ist stets lösbar. □ Ja □ Nein – ist nie eindeutig lösbar. □ Ja □ Nein – kann genau 4 Lösungen haben. □ Ja □ Nein – kann genau 2 Lösungen haben. □ Ja □ Nein

T6) Sei B ∈ K^{3×2}, C ∈ K^{2×3} und A = BC. Dann gilt:

det(A) = det(B) · det(C) □ Ja □ Nein det(A) ist nicht definiert □ Ja □ Nein det(A) = 0 □ Ja □ Nein

T7) Seien f, g ∈ K[X] Polynome und sei f vom Grad n > 0. Dann gilt:

fg = 0 ⇒ g = 0 □ Ja □ Nein für A ∈ K^{2×2} mit f · g(A) = 0 ist g(A) = 0 □ Ja □ Nein Grad(f · g) = Grad(f) · Grad(g), falls g ≠ 0 □ Ja □ Nein K[X] ∋ X − a ≠ 0 für jedes a ∈ K □ Ja □ Nein

T8) Sei A ∈ ℚ^{10×10} mit A^{6} = E_{10}.

Dann ist det(A) = 1. □ Ja □ Nein

Der Rang von A ist In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Wenn A′ aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, dann gilt

det(A′) = det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A′) = ± det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⇔ det(A′) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T2) Für A, B ∈ K^{n×n} und s ∈ K gilt:

det(A + B) = det(A) + det(B) □ Ja ⊠ Nein det(s · A) = s · det(A) □ Ja ⊠ Nein det(AB) = det(A) · det(B) ⊠ Ja □ Nein

T3) (Ergebnis eintragen). Für s ∈ K ist det ([ \begin{matrix}s & s & s \\ s & s & s \\ s & s & s \end{matrix} ]) =  0

T4) Sei A ∈ K^{n×n} mit det(A) = 0 und b ∈ K^{n×1}. Dann ist das Gleichungssystem Ax = b

– nur lösbar für b = \underline{0}. □ Ja ⊠ Nein – für jedes b lösbar, aber nicht eindeutig. □ Ja ⊠ Nein – für manche b lösbar, aber für kein b eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein

T5) Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über 𝔽_{2}

– ist stets lösbar. □ Ja ⊠ Nein – ist nie eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 4 Lösungen haben. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 2 Lösungen haben. □ Ja ⊠ Nein

T6) Sei B ∈ K^{3×2}, C ∈ K^{2×3} und A = BC. Dann gilt:

det(A) = det(B) · det(C) □ Ja ⊠ Nein det(A) ist nicht definiert □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T7) Seien f, g ∈ K[X] Polynome und sei f vom Grad n > 0. Dann gilt:

fg = 0 ⇒ g = 0 ⊠ Ja □ Nein für A ∈ K^{2×2} mit f · g(A) = 0 ist g(A) = 0 □ Ja ⊠ Nein Grad(f · g) = Grad(f) · Grad(g), falls g ≠ 0 □ Ja ⊠ Nein K[X] ∋ X − a ≠ 0 für jedes a ∈ K ⊠ Ja □ Nein

T8) Sei A ∈ ℚ^{10×10} mit A^{6} = E_{10}.

Dann ist det(A) = 1. □ Ja ⊠ Nein

Der Rang von A ist  10

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen aus 𝔽_{11} = {0, 1, …, 10} (x ∈ 𝔽_{11}):

[ \begin{matrix}3 & 7 \\ 2 & 7 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x + 2 & x + 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & 9 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \end{matrix} ]

T2) Es seien V und W K-Vektorräume mit dim V = 3, dim W = 2 und φ : V → W ein Epimorphismus. Sind die folgenden Aussagen wahr?

B′[φ]_{B} ∈ K^{2×3} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} ∈ K^{3×2} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

T3) Sei φ ∈ End V mit charakteristischem Polynom χ_{φ} = (X − 1)^{5} und Minimalpolynom μ_{φ} = (X − 1)^{3}; ferner sei dim Kern(φ − id_{V}) = 2. Dann ist die Jordansche Normalform von φ (eines ankreuzen!):

[ \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ]

T4) Sei V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr?

0 ∈ K kann Eigenwert von φ sein.  □ Ja  □ Nein
\underline{0} ∈ V kann Eigenvektor von φ sein.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenwerte haben.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenvektoren haben.  □ Ja  □ Nein
φ hat immer einen Eigenwert.  □ Ja  □ Nein
Ist 0 Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.  □ Ja  □ Nein
Die Summe von Eigenvektoren von φ ist auch Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein

T5) A und A′ seien n × n-Matrizen mit Einträgen in K. Sind die folgenden Aussagen wahr?

χ_{A} = χ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
μ_{A} = μ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ χ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ μ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = 0 ⟺ χ_{A} = X^{n}  □ Ja  □ Nein

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen aus 𝔽_{11} = {0, 1, …, 10} (x ∈ 𝔽_{11}):

[ \begin{matrix}3 & 7 \\ 2 & 7 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x + 2 & x + 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & 9 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \end{matrix} ]

7  -2  6  -44  -16

T2) Es seien V und W K-Vektorräume mit dim V = 3, dim W = 2 und φ : V → W ein Epimorphismus. Sind die folgenden Aussagen wahr?

B′[φ]_{B} ∈ K^{2×3} für Basisfolgen B von V und B′ von W  ⊠ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} ∈ K^{3×2} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  ⊠ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  ⊠ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  ⊠ Nein

B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  ⊠ Nein

T3) Sei φ ∈ End V mit charakteristischem Polynom χ_{φ} = (X − 1)^{5} und Minimalpolynom μ_{φ} = (X − 1)^{3}; ferner sei dim Kern(φ − id_{V}) = 2. Dann ist die Jordansche Normalform von φ (eines ankreuzen!):

[ \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ]

X

T4) Sei V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr?

0 ∈ K kann Eigenwert von φ sein.  ⊠ Ja  □ Nein
\underline{0} ∈ V kann Eigenvektor von φ sein.  □ Ja  ⊠ Nein
φ kann n + 1 Eigenwerte haben.  □ Ja  ⊠ Nein
φ kann n + 1 Eigenvektoren haben.  ⊠ Ja  □ Nein
φ hat immer einen Eigenwert.  □ Ja  ⊠ Nein
Ist 0 Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.  □ Ja  ⊠ Nein
Die Summe von Eigenvektoren von φ ist auch Eigenvektor.  □ Ja  ⊠ Nein
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor.  □ Ja  ⊠ Nein

T5) A und A′ seien n × n-Matrizen mit Einträgen in K. Sind die folgenden Aussagen wahr?

χ_{A} = χ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  ⊠ Nein
μ_{A} = μ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  ⊠ Nein
Rang A = n ⟺ χ_{A}(0) ≠ 0  ⊠ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ μ_{A}(0) ≠ 0  ⊠ Ja  □ Nein
Rang A = 0 ⟺ χ_{A} = X^{n}  □ Ja  ⊠ Nein

20.9.2000

Vordiplomklausur Lineare Algebra I/Diskrete Strukturen 20.9.2000

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, v_{1}, …, v_{n} ∈ V und 1 ≤ i, j ≤ n. Sind folgende Aussagen richtig? Ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist (v_{1}, v_{2}) linear abhängig, so gibt es s ∈ K mit v_{2} = s · v_{1} . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind (v_{1}, v_{2}), (v_{2}, v_{3}) und (v_{1}, v_{3}) linear unabhängig, so ist

(v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein (v_{1}, v_{2}) ist linear unabhängig genau dann, wenn (v_{1} + v_{2}, v_{2})

linear unabhängig ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten über dem Körper 𝔽_{2} – ist nicht eindeutig lösbar, wenn m > n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 6 Lösungen haben, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– ist stets lösbar, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– hat immer eine nicht-triviale Lösung, wenn es homogen ist . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 4 Lösungen haben, wenn m = n − 1 ist . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Sei V = ℝ^{ℝ} und φ_{1} : V → V definiert durch φ_{1}(f)(x) = f(x + 1), φ_{2} : V → V durch φ_{2}(f)(x) = f(x) + 1 und φ_{3} : V → V durch φ_{3}(f)(x) = f(x^{2}) für f ∈ V und x ∈ ℝ. φ_{1} ist injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ_{1} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{2} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{2} ist surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{3} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Es sei (e_{1}, e_{2}, e_{3}) die Standardbasis des ℝ^{3}. Es gibt eine lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} mit φ(e_{1}) = φ(e_{2}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ(e_{1}) = φ(e_{3}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Kern(φ) = Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Kern(φ) ≥ Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ(e_{1} + e_{2}) = φ(e_{2} + e_{3}) = φ(e_{1} + e_{3}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es sei V = K^{2×2} mit einem beliebigen Körper K. Welche der folgenden Mengen sind Teilräume von V? {A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein {A ∈ V | Rg A = 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

\{A ∈ V | A · [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | A^{2} = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein {A ∈ V | A = A^{T} } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Aufgabe 6. Für jeden Körper K, jedes n ∈ ℕ, alle A, B ∈ K^{n×n} und alle s ∈ K gilt: det(A + B) = det A + det B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(sA) = s det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(AB) = det(BA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein det A = det B ⟹ det(A − B) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{2} = E_{n}, so ist det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Für A ∈ ℂ^{n×n} sei χ = χ_{A} = det(X · E_{n} − A) das charakteristische Polynom und μ = μ_{A} das Minimalpolynom von A. Dann gilt für jedes solche A: Ist f ∈ ℂ[X] mit f(A) = 0, so ist χ | f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist f ∈ ℂ[X] mit χ | f, so ist f(A) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist χ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist μ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = X^{n} − 3, so ist χ = X^{n} − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Für alle Vektorräume V und alle φ ∈ End V gilt: Hat φ den Eigenwert 1, so ist φ invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 0, so ist φ nicht invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 1, so hat φ^{2} = φ ∘ φ ebenfalls den Eigenwert 1 □ Ja □ Nein Hat φ^{2} den Eigenwert 0, so hat φ ebenfalls den Eigenwert 0 . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2} = id_{V} und t Eigenwert von φ, so ist t ∈ {1, −1}. . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Sei 2 < n ∈ ℕ und A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{2n×2n} mit

a_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & für i ≡ j (mod 2) (d.h. i − j ist gerade) \\ 1 & sonst \end{matrix} .

Dann gilt: Rg A = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Rg A = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein A ist diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Das Minimalpolynom ist X^{3} − n^{2}X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 10. Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n}. Ist A kongruent zu einer Diagonalmatrix, dann ist A symmetrisch . . □ Ja □ Nein Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix … □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so sind sie ähnlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so haben sie die gleiche Determinante …. □ Ja □ Nein Sind A und B ähnlich, so haben sie die gleiche Spur . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 11. Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ, für die das Gleichungssystem über ℝ

\begin{aligned}tx_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ 2x_{1} & + & tx_{2} & + & 3x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \end{aligned}

(a) lösbar ist,

(b) eindeutig lösbar ist.

(c) Zu jedem t gebe man die Dimension des Lösungsraums des zugehörigen homogenen Systems an. (6 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, V = K^{2×2},

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ A & ↦ & A^{T} + A \end{matrix}

und B = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}). Hierbei ist E_{ij} die Matrix, die an der Stelle (i, j) eine Eins und sonst lauter Nullen hat, und A^{T} ist die transponierte Matrix zu A.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

(b) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}.

(c) Geben Sie je eine Basis von Bild φ und von Kern φ an.

(d) Welche Bedingung muss K erfüllen, damit V = Bild φ + Kern φ ist? (6 Punkte)

Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A_{n} = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ ℚ^{n×n} für alle n ∈ ℕ, wobei

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i + 1 & für i = j \\ j & für i ≠ j \end{matrix}

ist. Alle Umformungen sind zu erklären. (6 Punkte)

Aufgabe 14. Es sei V = 𝔽_{2}^{4×1} und

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ v & ↦ & Av \end{matrix} mit A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ 𝔽_{2}^{4×4}

(a) Berechnen Sie das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von φ.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von φ.

(c) Geben Sie zu jedem Eigenraum eine Basis an.

(d) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von φ. (7 Punkte)

20.9.2000

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, v_{1}, …, v_{n} ∈ V und 1 ≤ i, j ≤ n. Sind folgende Aussagen richtig? Ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist (v_{1}, v_{2}) linear abhängig, so gibt es s ∈ K mit v_{2} = s · v_{1} . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind (v_{1}, v_{2}), (v_{2}, v_{3}) und (v_{1}, v_{3}) linear unabhängig, so ist

(v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein (v_{1}, v_{2}) ist linear unabhängig genau dann, wenn (v_{1} + v_{2}, v_{2})

linear unabhängig ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten über dem Körper 𝔽_{2} – ist nicht eindeutig lösbar, wenn m > n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 6 Lösungen haben, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– ist stets lösbar, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– hat immer eine nicht-triviale Lösung, wenn es homogen ist . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 4 Lösungen haben, wenn m = n − 1 ist . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Sei V = ℝ^{ℝ} und φ_{1} : V → V definiert durch φ_{1}(f)(x) = f(x + 1), φ_{2} : V → V durch φ_{2}(f)(x) = f(x) + 1 und φ_{3} : V → V durch φ_{3}(f)(x) = f(x^{2}) für f ∈ V und x ∈ ℝ. φ_{1} ist injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ_{1} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ_{2} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{2} ist surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ_{3} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Es sei (e_{1}, e_{2}, e_{3}) die Standardbasis des ℝ^{3}. Es gibt eine lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} mit

φ(e_{1}) = φ(e_{2}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ(e_{1}) = φ(e_{3}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Kern(φ) = Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Kern(φ) ≥ Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ(e_{1} + e_{2}) = φ(e_{2} + e_{3}) = φ(e_{1} + e_{3}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es sei V = K^{2×2} mit einem beliebigen Körper K. Welche der folgenden Mengen sind Teilräume von V? {A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein {A ∈ V | Rg A = 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

\{A ∈ V | A · [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | A^{2} = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | A = A^{T} } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Für jeden Körper K, jedes n ∈ ℕ, alle A, B ∈ K^{n×n} und alle s ∈ K gilt: det(A + B) = det A + det B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(sA) = s det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(AB) = det(BA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det A = det B ⟹ det(A − B) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{2} = E_{n}, so ist det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Für A ∈ ℂ^{n×n} sei χ = χ_{A} = det(X · E_{n} − A) das charakteristische Polynom und μ = μ_{A} das Minimalpolynom von A. Dann gilt für jedes solche A: Ist f ∈ ℂ[X] mit f(A) = 0, so ist χ | f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist f ∈ ℂ[X] mit χ | f, so ist f(A) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist χ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist μ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = X^{n} − 3, so ist χ = X^{n} − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Für alle Vektorräume V und alle φ ∈ End V gilt: Hat φ den Eigenwert 1, so ist φ invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 0, so ist φ nicht invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 1, so hat φ^{2} = φ ∘ φ ebenfalls den Eigenwert 1 □ Ja □ Nein Hat φ^{2} den Eigenwert 0, so hat φ ebenfalls den Eigenwert 0 . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2} = id_{V} und t Eigenwert von φ, so ist t ∈ {1, −1}. . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Sei 2 < n ∈ ℕ und A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{2n×2n} mit

a_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & für i ≡ j (mod 2) (d.h. i − j ist gerade) \\ 1 & sonst \end{matrix} .

Dann gilt: Rg A = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Rg A = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein A ist diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Das Minimalpolynom ist X^{3} − n^{2}X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 10. Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n}. Ist A kongruent zu einer Diagonalmatrix, dann ist A symmetrisch . . □ Ja □ Nein Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix … □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so sind sie ähnlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so haben sie die gleiche Determinante …. □ Ja □ Nein Sind A und B ähnlich, so haben sie die gleiche Spur . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 11. Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ, für die das Gleichungssystem über ℝ

\begin{aligned}tx_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ 2x_{1} & + & tx_{2} & + & 3x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \end{aligned}

(a) lösbar ist,

(b) eindeutig lösbar ist.

(c) Zu jedem t gebe man die Dimension des Lösungsraums des zugehörigen homogenen Systems an. (6 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, V = K^{2×2},

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ A & ↦ & A^{T} + A \end{matrix}

und B = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}). Hierbei ist E_{ij} die Matrix, die an der Stelle (i, j) eine Eins und sonst lauter Nullen hat, und A^{T} ist die transponierte Matrix zu A.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

(b) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}.

(c) Geben Sie je eine Basis von Bild φ und von Kern φ an.

(d) Welche Bedingung muss K erfüllen, damit V = Bild φ + Kern φ ist? (6 Punkte)

Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A_{n} = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ ℚ^{n×n} für alle n ∈ ℕ, wobei

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i + 1 & für i = j \\ j & für i ≠ j \end{matrix}

ist. Alle Umformungen sind zu erklären. (6 Punkte)

Aufgabe 14. Es sei V = 𝔽_{2}^{4×1} und

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ v & ↦ & Av \end{matrix} mit A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ 𝔽_{2}^{4×4}

(a) Berechnen Sie das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von φ.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von φ.

(c) Geben Sie zu jedem Eigenraum eine Basis an.

(d) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von φ. (7 Punkte)

Vordiplomklausur Lineare Algebra I 27.3.2001

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Es sei K ein Körper und V = K^{2×2} der K-Vektorraum der 2 × 2-Matrizen. Welche der folgenden Teilmengen sind Teilräume (d.h. Untervektorräume)? {A ∈ V | det A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein {A ∈ V | A^{2} = E_{2}} (E_{2} ist die Einheitsmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + A^{T} = \underline{0}\} (\underline{0} ist die Nullmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + sE_{2} = \underline{0} für ein s ∈ K\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

\{A ∈ V |A · [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = \underline{0}\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear? φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} · x_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x − 1, x + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (2x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ : ℝ^{2×2} → ℝ, A ↦ det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper, A ∈ K^{m×n} und \underline{0} ≠ b ∈ K^{m×1}, wobei \underline{0} der Nullvektor ist. Weiter seien L = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = b\} und L_{0} = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = \underline{0}\}. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Teilraum heißt Untervektorraum)

L ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L_{0} ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L ≠ ∅ genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist v ∈ L, so ist L = {v + w | w ∈ L_{0}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein |L| = 1 genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein |L_{0}| = 1 ⟹ |L| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist m < n, so ist L ≠ ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist m > n, so ist L = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Dann ist (v_{1}, …, v_{n}) linear abhängig genau dann, wenn

es s_{1}, …, s_{n} ∈ K gibt mit ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein für alle s_{1}, …, s_{n} ∈ K gilt ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein aus ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} mit s_{i} ∈ K folgt s_{1} = ⋯ = s_{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein für jedes i ∈ {1, …, n} gilt v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein es i ∈ {1, …, n} gibt mit v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein es ein v ∈ V gibt mit v ∉ ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Vordiplomklausur Lineare Algebra I 27.3.2001

Aufgabe 5. Es sei V ein 2-dimensionaler 𝔽_{2} -Vektorraum. Tragen Sie die richtigen Zahlen ein. Die Anzahl

der Vektoren von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der 1-dimensionalen Teilräume von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der Basisfolgen von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der Basen (d.h. Basismengen) ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der bijektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der linearen Abbildungen (d.h. Linearformen) φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

der surjektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aufgabe 6. Es seien V und W Vektorräume über ℚ mit dim V = 3, dim W = 2, φ : V → W ein Epimorphismus (d.h. surjektive, lineare Abbildung) und ψ : W → V ein Monomorphismus (d.h. injektive, lineare Abbildung). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist _{B′}[φ]_{B} ∈ ℚ^{2×3} . . . . .□ Ja □ Nein Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist Rg(_{B}[ψ]_{B′}) = 2 … □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Für jede Basis B von V ist _{B}[ψ ∘ φ]_{B} ∈ ℚ^{3×3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Für jede Basis B von V ist det (_{B}[ψ ∘ φ]_{B}) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End V. Weiter sei μ ∈ K[X] das Minimalpolynom und χ ∈ K[X] das charakteristische Polynom von φ. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Es ist stets Grad μ < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Es ist stets Grad χ = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist φ injektiv, so ist 0 kein Eigenwert von φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Genau dann ist t ∈ K Eigenwert von φ, wenn μ(t) = 0 ist . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = χ, so ist φ diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2n} = 0, so ist φ^{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist μ = X − 1, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist χ = (X − 1)^{n}, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 8.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×1} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}x \\ x \end{matrix} ] |x ∈ ℝ\}?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\}?

(4 Punkte)

Geben Sie jeweils eine solche Abbildung explizit an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 9. Es seien n ≥ 2 und a_{i,j}, b_{i,j} ∈ ℝ für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ n mit:

a_{i,j} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j = 1 \\ 2 & für i = j > 1 \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} und b_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} .

Man berechne

(a) det[a_{i,j}], (3 Punkte)

(b) det[b_{i,j}]. (3 Punkte)

Aufgabe 10. Es sei V = P_{2}(ℝ) der ℝ-Vektorraum der reellen Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ vom Grad kleiner oder gleich 2 und φ : V → V sei definiert durch φ(f)(x) = f′(x) + f(x − 1) für x ∈ ℝ und f ∈ V. Dabei steht f′ für die Ableitung von f.

(a) Man zeige: φ ist linear. (1 Punkt)

(b) Man berechne A = _{B}[φ]_{B} für die Basisfolge B = (p_{0} +p_{1}, −p_{0} +p_{1}, p_{2}); dabei ist p_{i} ∈ V definiert durch p_{i}(x) = x^{i} und p_{0}(x) = 1 für x ∈ ℝ und i = 1, 2. (Es braucht nicht bewiesen zu werden, dass B eine Basis ist.) (2 Punkte)

(c) Man berechne die Eigenwerte von φ und gebe zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

(d) Ist φ diagonalisierbar? (1 Punkt)

(e) Was ist die Jordansche Normalform von φ? (1 Punkt)

Aufgabe 11. Es sei Φ eine Bilinearform auf V = ℝ^{3×1} mit Gram-Matrix

[Φ]_{S} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

wobei S die Standardbasis von V ist.

(a) Ist Φ nicht ausgeartet? Ist Φ positiv definit? (2 Punkte)

(b) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis B von V bezüglich Φ und berechnen Sie [Φ]_{B}. (4 Punkte)

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Es sei K ein Körper und V = K^{2×2} der K-Vektorraum der 2 × 2-Matrizen. Welche der folgenden Teilmengen sind Teilräume (d.h. Untervektorräume)? {A ∈ V | det A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein {A ∈ V | A^{2} = E_{2}} (E_{2} ist die Einheitsmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + A^{T} = \underline{0}\} (\underline{0} ist die Nullmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + sE_{2} = \underline{0} für ein s ∈ K\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

\{A ∈ V |A · [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = \underline{0}\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear?

φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} · x_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x − 1, x + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (2x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{2×2} → ℝ, A ↦ det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper, A ∈ K^{m×n} und \underline{0} ≠ b ∈ K^{m×1}, wobei \underline{0} der Nullvektor ist. Weiter seien L = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = b\} und L_{0} = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = \underline{0}\}. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Teilraum heißt Untervektorraum)

L ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L_{0} ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L ≠ ∅ genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist v ∈ L, so ist L = {v + w | w ∈ L_{0}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein |L| = 1 genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

|L_{0}| = 1 ⟹ |L| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Ist m < n, so ist L ≠ ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist m > n, so ist L = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Dann ist (v_{1}, …, v_{n}) linear abhängig genau dann, wenn

es s_{1}, …, s_{n} ∈ K gibt mit ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein für alle s_{1}, …, s_{n} ∈ K gilt ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein aus ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} mit s_{i} ∈ K folgt s_{1} = ⋯ = s_{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

für jedes i ∈ {1, …, n} gilt v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

es i ∈ {1, …, n} gibt mit v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

es ein v ∈ V gibt mit v ∉ ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Vordiplomklausur Lineare Algebra I 27.3.2001

Aufgabe 5. Es sei V ein 2-dimensionaler 𝔽_{2} -Vektorraum. Tragen Sie die richtigen Zahlen ein. Die Anzahl

der Vektoren von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

der 1-dimensionalen Teilräume von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

der Basisfolgen von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der Basen (d.h. Basismengen) ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

der linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der bijektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der linearen Abbildungen (d.h. Linearformen) φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

der surjektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Aufgabe 6. Es seien V und W Vektorräume über ℚ mit dim V = 3, dim W = 2, φ : V → W ein Epimorphismus (d.h. surjektive, lineare Abbildung) und ψ : W → V ein Monomorphismus (d.h. injektive, lineare Abbildung). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist _{B′}[φ]_{B} ∈ ℚ^{2×3} . . . . .□ Ja □ Nein Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist Rg(_{B}[ψ]_{B′}) = 2 … □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Für jede Basis B von V ist _{B}[ψ ∘ φ]_{B} ∈ ℚ^{3×3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Für jede Basis B von V ist det (_{B}[ψ ∘ φ]_{B}) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End V. Weiter sei μ ∈ K[X] das Minimalpolynom und χ ∈ K[X] das charakteristische Polynom von φ. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Es ist stets Grad μ < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Es ist stets Grad χ = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ injektiv, so ist 0 kein Eigenwert von φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Genau dann ist t ∈ K Eigenwert von φ, wenn μ(t) = 0 ist . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = χ, so ist φ diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2n} = 0, so ist φ^{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist μ = X − 1, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist χ = (X − 1)^{n}, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 8.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×1} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}x \\ x \end{matrix} ] |x ∈ ℝ\}?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\}?

(4 Punkte)

Geben Sie jeweils eine solche Abbildung explizit an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 9. Es seien n ≥ 2 und a_{i,j}, b_{i,j} ∈ ℝ für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ n mit:

a_{i,j} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j = 1 \\ 2 & für i = j > 1 \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} und b_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} .

Man berechne

(a) det[a_{i,j}], (3 Punkte)

(b) det[b_{i,j}]. (3 Punkte)

Aufgabe 10. Es sei V = P_{2}(ℝ) der ℝ-Vektorraum der reellen Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ vom Grad kleiner oder gleich 2 und φ : V → V sei definiert durch φ(f)(x) = f′(x) + f(x − 1) für x ∈ ℝ und f ∈ V. Dabei steht f′ für die Ableitung von f.

(a) Man zeige: φ ist linear. (1 Punkt)

(b) Man berechne A = _{B}[φ]_{B} für die Basisfolge B = (p_{0} +p_{1}, −p_{0} +p_{1}, p_{2}); dabei ist p_{i} ∈ V definiert durch p_{i}(x) = x^{i} und p_{0}(x) = 1 für x ∈ ℝ und i = 1, 2. (Es braucht nicht bewiesen zu werden, dass B eine Basis ist.) (2 Punkte)

(c) Man berechne die Eigenwerte von φ und gebe zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

(d) Ist φ diagonalisierbar? (1 Punkt)

(e) Was ist die Jordansche Normalform von φ? (1 Punkt)

[Φ]_{S} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

wobei S die Standardbasis von V ist.

(a) Ist Φ nicht ausgeartet? Ist Φ positiv definit? (2 Punkte)

(b) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis B von V bezüglich Φ und berechnen Sie [Φ]_{B}. (4 Punkte)