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Lineare Algebra I

bei Prof. Plesken WS 1991/92, 1995/96 2. überarbeitete Auflage Markus Ottensmann Achim Blumensath

16. April 1996

Inhaltsverzeichnis

I  Mengen, Abbildungen, algebraische Strukturen  1
I.1  Definition Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1
I.2  Definition Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1
I.3  Definition Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
I.4  Bemerkung (Äquivalenzrelation - Partition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
I.5  Definition Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
I.6  Definition bijektiv, Bild, Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
I.7  Definition endlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
I.8  Bemerkung (Komposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
I.9  Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

I.10 Definition Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Anwendung auf Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.11 Zahlbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.12 Zahlbereichsvergröberung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.13 Definition Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II  Vektorräume  9

a) Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.1 Defintion Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.3 Definition Teilraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.5 Definition lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.6 Satz (Menge der Lösungen eines GLSH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.7 Satz (Vektorraum der linearen Gleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 b) Teilräume und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.8 Satz (Schnittmenge von Teilräumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.9 Definition Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.10 Satz (Vektorraum eines Erzeugnisses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.11 Definition Erzeugendensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Lineare Unabhängigkeit, Basen 17 III.1 Definition linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2 Satz (n-Tupel eines Vektors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.3 Definition Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.4 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.5 Definition Koordinatenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.6 Defintion Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.7 Satz (Existenz einer Basis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.9 Satz (Steinitzscher Austauschsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.10 Folgerung (Anzahl von Basisvektoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.11 Definition Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.12 Folgerung: Basisergänzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III.13 Satz (Äquivalente Aussagen zu Basis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III.14 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 III.15 Satz von Graßmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

IV lineare Gleichungsssysteme 26 IV.1 Bemerkung (Elementare Schritte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV.2 Bemerkung (Umwandlung eines Erzeugendensystems zu einer Basis) . . . . . . 26 IV.3 Bemerkung (elementare Schritte und Basen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.4 Satz (Überführung zweier Basen ineinander) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.5 Algorithmus: Konstruktion einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.6 Folgerung (Gaußsches Eliminationsverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 IV.7 Bemerkung (Definition Äquivalenzrelation auf V) . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.8 Satz (Lösungsmenge eines Gleichungssystems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.9 Bemerkung (Matrix des Gleichungssystems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.10 Satz (Lösbarkeit eines GLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.11 Definition Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV.12 Satz (Dimension eines GLSH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 IV.13 Satz (Faktorraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 IV.14 Satz (Dimension des Faktorraums) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 IV.15 Definition Spaltenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV.16 Satz (Spaltenraum - Lösungsraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV.17 Bemerkung (Isomorphismus von φ^{−1}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IV.18 Folgerung (Spaltenrang = Zeilenrang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

V  Lineare Abbildungen  39

V.1 Definition linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 V.2 Definition Kern, Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 V.3 Bemerkung (Kern/Bild) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 V.4 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 V.5 Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 V.6 Folgerung aus dem Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 V.7 Anwendung des Homomorpiesatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 V.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 V.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 V.10 Folgerung (Zassenhaus-Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 V.11 Satz (lineare Abb. zwischen Vektorräumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 V.12 Definition Matrix einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 V.13 Erinnerung zum Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 V.14 Satz (Matrix einer linearen Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 V.15 Bemerkung (Vektorraum der Abbildungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 V.16 Satz (Isomorphismus zwischen Matrix und Abbildung) . . . . . . . . . . . . . 50 V.17 Definition Matrixprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 V.18 Satz (Komposition linearer Abbildungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 V.19 Bemerkung (Grundlage zum Assoziativgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 V.20 Folgerung (Assoziativität der Matrizenmultiplikation) . . . . . . . . . . . . . . 54 V.21 Definition invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 V.22 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 V.23 Satz (bijektive Abbildungen auf endlich erzeugte Vektorräume) . . . . . . . . . 55 V.24 Satz (Inverserve Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 V.25 Bemerkung (Inverse der Identitätsabbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 V.26 Basistransformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 V.27 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Rechnerische Bestimmung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 V.28 Definition Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 V.29 Bemerkung (Transponieren eines Matrixproduktes) . . . . . . . . . . . . . . . 58 V.30 Bemerkung (Spaltenkonvention) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.30.1 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 60 V.30.2 Interpretation der elementaren Umformungen . . . . . . . . . . . . . 61

V.31 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 V.32 Bemerkung (Der kommutative Ring der Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . 65 V.33 Definition Grad, pK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 V.34 Bemerkung (Grad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 V.35 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 V.36 Satz (Restklasse der Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 V.37 Definition Polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 V.38 Satz (Abbildung von K[X] in die Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . 68 V.39 Lemma (Nullstellen einer Polynomfunktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI Der Dualraum 71 VI.1 Definition Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 VI.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 VI.3 Definition Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 VI.4 Satz (Basis des Dualraums) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 VI.5 Satz (Koordinatenspalte/-zeile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 VI.6 Satz (Basistransformation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Zur Dualität von Teilräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 VI.7 Definition Annulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 VI.8 Bemerkung (zum Annulator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 VI.9 Dualitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Anwendung auf GLSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Transponieren von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 VI.10 Definition transponierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 VI.11 Satz (Matrix und die transponierte Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 VI.12 Satz (Kern, Bild der transpoinierten Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 VI.13 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VII Bilinearformen 81 VII.1 Definition Bilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 VII.2 Bemerkung (Linearität in den Komponenten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 VII.3 Satz (Bilinearform einer Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 VII.4 Definition Grammatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 VII.5 Satz (Isomorphismus zwischen BiFo(V) und Grammatrix) . . . . . . . . . . . . 84 VII.6 Satz (Transformationsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 VII.7 Definition symmetrische Bilinearform, Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . 85 VII.8 Bemerkung (Matrix des Skalarproduktes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 VII.9 Definition orthogonal, Radikal, nicht ausgeartet . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VII.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VII.11 Satz (Skalarprodukt - Dualraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VII.12 Folgerung (Rang der Grammatrix und Radikal) . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VII.13 Satz (Skalarprodukt auf Restklassenraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 VII.14 Bemerkung (Einschränkung des Skalarproduktes auf Teilraum) . . . . . . . . . 88 VII.15 Bemerkung (Radikal des eingeschränkten Skalarproduktes) . . . . . . . . . . . 89 VII.16 Satz (Dimension des Senkrechtraumes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 VII.17 Definition direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VII.17.1 Zusammenhang mit der äußeren direkten Summe . . . . . . . . . . . 90 VII.18 Satz (orthogonale direkte Summe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 VII.19 Satz (reziproke Basis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 VII.20 Satz (reziproke Basiswechselmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 VII.21 Definition Orthogonal– Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 VII.22 Satz (Existenz einer Orthogonalbasis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 VII.23 Definition positiv/negativ definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 VII.24 Bemerkung (definites Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 VII.25 Sylvesterscher Trägheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Zusammenspiel nicht ausgeartetes Skalarprodukt & lineare Abbildungen . . . . . . . . 97 VII.26 Definition adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 VII.27 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 VII.28 Satz (Matrix der Adjungierten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 VII.29 Definition normale, symmetrische, orthogonale Abbildung . . . . . . . . . . . . 99 VII.30 Bemerkung (Eigenschaft symmetrischer und orthogonaler Abbildungen) …. 99 Euklidische Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 VII.31 Definition euklidischer Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 VII.32 Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 99 VII.33 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 VII.34 Definition Länge, Winkel, Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 VII.35 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 VII.36 Satz von Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII.37 Definition Orthogonalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII.38 Satz (Eigenschaft der Orthogonalprojektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII.39 Bemerkung (Projection) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 VII.40 Definition Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 VII.41 Bemerkung (orthogonale Abbildungen und Spiegelungen) . . . . . . . . . . . . 106 VII.42 Definition orthogonale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 VII.43 Satz (Matrix einer orthogonalen Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

VIII Determinanten 109 Vorbemerkung über die symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 VIII.1 Definition symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 VIII.2 Bemerkung (über S_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 VIII.3 Definition Zykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 VIII.4 Lemma (Disjunkte Zykelschreibweise für Permutationen) . . . . . . . . . . . . 110 VIII.5 Bemerkung (Produkt von Transpositionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 VIII.6 Definition Signum-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 VIII.7 Satz (Eigenschaften der Signum-Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 VIII.8 Definition Untergruppe, Rechtsrestklasse, Vertretersystem . . . . . . . . . . . 112 VIII.9 Satz (Bijektion zwischen Rechtsrestklassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VIII.10 Definition Determinante, alternierend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VIII.11 Satz (Eigenschaften einer Determinanten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 VIII.12 Satz (Eindeutigkeit einer Determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 VIII.13 Satz (Existenz der Determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VIII.14 Folgerung (Teilraum der Linearformen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VIII.15 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VIII.16 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 VIII.17 Satz (Determinante und lineare Unabhängigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 VIII.18 Definition Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 VIII.19 Satz (Determinante der Transponierten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 VIII.20 Folgerung (Entwicklung nach der k-ten Spalte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 VIII.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 VIII.22 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VIII.23 Determinantenmultiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VIII.24 Folgerung (generelle lineare Gruppe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VIII.25 Definition Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 VIII.26 Defintion Determinante einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 VIII.27 Satz (Eigenschaften der Determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 VIII.28 Bemerkung (Invarianten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Interpretetion der Determinante im Falle reeller Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . 122 VIII.29 Definition Parallelepiped, Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 VIII.30 Bemerkung (orientierte Volumenverzerrung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 VIII.31 Definition Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 VIII.32 Satz (Drehachse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

IX Eigenwerte und Eigenvektoren 125 IX.1 Definition Eigenwert, –vektor, –raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IX.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IX.3 Definition Charakteristisches Polynom, Hauptminor . . . . . . . . . . . . . . . 125 IX.4 Satz (charakteristisches Polynom & Eigenwerte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 IX.5 Satz (linear unabhängige Eigenvektoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 IX.6 Definition Eigenvektorbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 IX.7 Satz (Existenz einer Eigenvektorbasis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 IX.8 Satz (Hamilton – Cayley) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 IX.9 Folgerung (Invertierbare Abbildung nach Hamilton – Cayley) . . . . . . . . . . 131 IX.10 Definition algebraisch abgeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 IX.11 Satz (Fächerbasis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Zwischenexkurs über Polynomringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 IX.12 Definition Ringhomomorphismus, Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 IX.13 Homomorphiesatz für Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 IX.14 Definition Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IX.15 Bemerkung (”Hauptsatz der Algebra“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IX.16 Definition größter gemeinsamer Teiler, teilerfremd . . . . . . . . . . . . . . . . 135 IX.17 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 IX.18 Definition irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 IX.19 Folgerung (Körper des Restklassenringes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 IX.20 Lemma (ggT und algebraisch abgeschlossene Körper) . . . . . . . . . . . . . . 136 IX.21 Satz (Polynom als Produkt irreduzibler Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . 137 Anwendung auf Matrizen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 IX.22 Satz (Teilräume nach charakteristischem Polynom) . . . . . . . . . . . . . . . 138 IX.23 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 IX.24 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 IX.25 Lemma (Kette von Teilräumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 IX.26 Definition Jordanblock, Blockdiagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 IX.27 Satz (Jordan-Normalform, lokaler Teil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 IX.28 Allgemeine Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 a) Anwendung auf homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 144 IX.29 Definition C^{i}(ℝ, ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 IX.30 Definition lineare Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 IX.31 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 IX.32 Lemma (Dimension des Kerns) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 IX.33 Definition Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . 146 IX.34 Satz (Lösungsraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 IX.35 Bemerkung (inhomogene Differentialgleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . 148 IX.36 Definition komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 IX.37 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 IX.38 Satz (Lösungsräume nach p(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 IX.39 Definition homogene lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 149 b) Anwendung auf lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . 149 IX.40 Definition lineare Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 IX.41 Lemma (Dimension der Lösungsmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 IX.42 Satz (Teilräume nach dem zugeordneten Polynom) . . . . . . . . . . . . . . . . 150 IX.43 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Rechnerische Bestimmung des charakteristischen Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . 152 IX.44 Definition Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 IX.45 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 IX.46 Satz (Minimalpolynom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 IX.47 Algorithmus (Berechnung von p_{φ}(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

viii  INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel I

Mengen, Abbildungen, algebraische Strukturen

I.1 Definition Mengen

M, N, M_{i}, A seien Mengen, wobei i ∈ I. I ist eine (Index-)Menge.

1. M heißt Teilmenge von A, in Zeichen : M ⊆ A, falls aus x ∈ M immer x ∈ A folgt. (x ∈ M ⇒ x ∈ A)

2. Für M, N ⊆ A heißt M ∩ N := {x ∈ A|x ∈ M und x ∈ N} der Schnitt (Durchschnittsmenge von M und N). Für M_{i} ⊆ A, für alle i ∈ I : ⋂_{i∈I} M_{i} := {x ∈ A|x ∈ M_{i} für alle i ∈ I} heißt der

Schnitt der M_{i}.

3. Für M, N ⊆ A heißt M ∪ N := {x ∈ A|x ∈ M oder x ∈ N} die Vereinigung von M und N. Entsprechend für M_{i} ⊆ A für alle i ∈ I ist ⋃_{i∈I} M_{i} := {x ∈ A|existiert ein i ∈ I mit x ∈ M_{i}}

die Vereinigung der M_{i}.

4. Für M, N ⊆ A heißt M \ N := M − N = {x ∈ A|x ∈ M und x ∉ N} die Differenzmenge von M ohne N.

5. Pot(A) := {X|X ⊆ A} heißt die Potenzmenge von A.

6. M × N := {(m, n)|m ∈ M und n ∈ N} heißt das cartesische Produkt von M und N oder die Paarmenge von M und N. Dabei gelten: (m, n) = (m′, n′) ⇔ m = m′ und n = n′ für m, m′ ∈ M; n, n′ ∈ N.

I.2 Definition Relation

Sei M eine Menge

1. Eine Teilmenge R von M × M (R ⊆ M × M) heißt Relation (Schreibweise (a, b) ∈ R ⇔: aRb [a steht in Relation zu b]).

2. Eine Relation R ⊆ M × M heißt

(a) reflexiv, falls: (a, a) ∈ R für alle a ∈ M (aRa)

(b) symmetrisch, falls: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R (aRb ⇒ bRa)

(c) transitiv, falls: (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R (aRb und bRc ⇒ aRc)

3. Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation 1. ℕ = {1, 2, 3, 4, … } = Menge der natürlichen Zahlen

2. H = Menge der Hörer dieser Vorlesung

3. ℕ × ℕ = {(a, b)|a ∈ ℕ, b ∈ ℕ} ⋮ ; 3 ∗  ∗  ∗ ; (3,3) ; 2 ∗  ∗  ∗ …; (1,2) ; 1 ∗  ∗  ∗ ; (2,1) ; 1  2  3

Beispiel I.1: Mengen

1. Sei M = ℕ und R = ” < “ (a < b ⇔ b − a ∈ ℕ)

ist nicht reflexiv  nicht symmetrisch  aber transitiv.

2. Sei M = ℕ und R = ” ≤ “

ist reflexiv  nicht symmetrisch  aber transitiv.

3. Sei M eine beliebige Menge und R = ”=“ ist eine Äquivalenzrelation.

4. ℤ′ = {(x + b = a)|a, b ∈ ℕ} R =∼ mit (x + a = b) ∼ (x + a′ = b′) ⇔ a + b′ = b + a′ ist eine Äquivalenzrelation.

Beispiel I.2: Relationen

I.3 Definition Partition

M sei eine Menge. Eine Partition oder Zerlegung oder Klasseneinteilung von M ist eine Menge P von Teilmengen von M. (P ⊆ Pot(M)) mit

1. M = ⋃ C, C ∈ P, d. h. für jedes m ∈ M existiert ein C ∈ P mit m ∈ C

2. seien C, C′ ∈ P ⇒ C = C′ oder C ∩ C′ = ∅, d. h. für jedes m ∈ M existiert höchstens ein C ∈ P mit m ∈ C.

I.4 Bemerkung (Äquivalenzrelation - Partition)

1. Sei R eine Äquivalenzrelation auf die Menge M und für x ∈ M sei C_{x} = {y ∈ M|yRx}. Dann ist P = {C_{x}|x ∈ M} eine Partition.

2. Sei P ⊆ Pot(M) eine Partition von M. Definiere

R = {(a, b) ∈ M × M|es existiert ein C ∈ P mit a ∈ C und b ∈ C}.

Dann ist R eine Äquivalenzrelation.

Beweis

1. x ∈ C_{x}, (R reflexiv) ⇒ M = ⋃_{x∈M} C_{x}. Also Punkt 1 von I.3.

Seien C_{x}, C_{y} ∈ P mit C_{x} ∩ C_{y} ≠ ∅.

Behauptung: C_{x} = C_{y}
Beweis: Es existiert ein a ∈ C_{x} ∩ C_{y}. Zeige C_{a} = C_{x}

{b ∈ C_{x} ⇒ bRx \atop a ∈ C_{x} ∩ C_{y} ⇒ aRx}\} ⇒(symm.) bRx und xRa ⇒(trans.) b ∼ a

d. h. b ∈ C_{a} (gezeigt C_{x} ⊆ C_{a})

umgekehrt:

{b ∈ C_{a} ⇒ bRa \atop aRx}\} ⇒(trans) b ∼ x

d. h. b ∈ C_{x} (gezeigt C_{a} ⊆ C_{x} )

Also: C_{x} = C_{a}. x durch y ersetzen ⇒ C_{y} = C_{a}. Also C_{x} = C_{y} d. h. Punkt 2 von I.3

2. Zu beweisen ist, daß R eine Äquivalenzrelation ist.

(a) Da ein C ∈ P existiert mit a ∈ C gilt: (a, a) ∈ R ⇒ R ist relexiv.

(b) Sei a, b ∈ C daher gilt: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ⇒ R ist symmetrisch.

(c) a, b ∈ C, b, c ∈ C ⇒ a, c ∈ C ⇒ R ist transitiv.

q.e.d.

I.5 Definition Abbildung

Seien M, N Mengen. φ heißt Abbildung (Funktion) von M nach N (Abkürzung: φ : M → N), falls jedem Element m ∈ M genau ein Element mφ ∈ N (manchmal auch mit φ(m) bezeichnet) zugeordnet wird. ( Man kann Abbildung auch ähnlich wie Relation als Teilmenge [φ] von M × N einführen mit:

1. Für jedes m ∈ M existiert ein n ∈ N mit (m, n) ∈ [φ].

2. (m, n_{1}), (m, n_{2}) ∈ [φ] ⇒ n_{1} = n_{2}

Zusammenhang : [φ] = {(m, mφ)|m ∈ M})

1. φ : ℕ → ℕ : a ↦ a^{2} (aφ = a^{2} für alle a ∈ ℕ).

2. Sei H die Menge der Hörer und S die Menge der Sitze, dann ist φ : H → S : h ↦ Sitz(h) eine Abbildung, falls alle sitzen.

3. ℤ′ := {(x+b = a)|a, b ∈ ℕ_{2}} (x ist eine ”unbestimmte“) φ : ℕ×ℕ → ℤ′ : (a, b) ↦ x+a = b ist eine Abbildung.

Beispiel I.3: Abbildungen

I.6 Definition bijektiv, Bild, Urbild

Sei φ : M → N eine Abbildung.

1. φ heißt

(a) injektiv, falls für alle m, m′ ∈ M gilt: mφ = m′φ ⇒ m = m′.

(b) surjektiv (auf N), falls für jedes n ∈ N ein m ∈ M existiert mit mφ = n.

(c) bijektiv, falls φ injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall heißt φ^{−1} : N → M mit nφ^{−1} = m genau dann, wenn mφ = n, die zu φ inverse Abbildung.

2. Mφ = {mφ|m ∈ M} (⊆ N) heißt das Bild von φ.

3. Für X ⊆ N heißt Xφ^{−1} := {m ∈ M|mφ ∈ X} das Urbild von X unter φ.

1. φ : ℕ → ℕ : a ↦ a^{2} ist injektiv, aber nicht surjektiv und nicht bijektiv.

2. φ : H → S : h ↦ Sitz(h) ist injektiv, wenn auf jedem Stuhl nur eine Person sitzt.

3. ℕ × ℕ → ℤ′ : (a, b) ↦ (x + b = a) ist bijektiv.

Beispiel I.4: bijektive Abbildungen

I.7 Definition endlich

Eine Menge M heißt endlich, falls ein n ∈ ℕ und dazu eine bijektive Abbildung: φ : M → {1, 2, …, n} existiert. (n heißt dann die Anzahl |M| der Elemente von M.) Daß diese Anzahl wohldefiniert ist, sieht man so:

M {{φ \atop ↗}\{1, …, n\} \atop {↘ \atop ψ}\{1, …, m\}}φ, ψ seien Bijektionen. Zu zeigen ist nun, daß n = m.

α = φ^{−1}ψ : {1, …, n} →{1, …, m}
i ↦(iφ^{−1})ψ

α ist bijektiv, da φ und ψ bijektiv sind.

\begin{matrix}1α, …, nα sind n versch. Elem. von \{1, …, m\}, \\ also n ≤ m \\ 1α^{−1}, …, mα^{−1} sind m versch. Elem. von \{1, …, n\}, \\ also m ≤ n \end{matrix} \} ⇒ n = m

I.8 Bemerkung (Komposition)

Seien φ : M → N und ψ : N → O Abbildungen, dann ist

φψ : M → O : m ↦ (mφ)ψ

auch eine Abbildung (genannt die Komposition oder Hintereinanderausführung) von φ und ψ. Manchmal wird eine andere Schreibweise benutzt:

ψ ∘ φ : M → O : m ↦ ψ(φ(m))

\underline{I.9. Satz 5}

I.9 Satz

Sei φ : M ↦ N eine Abbildung.

1. φ̃ ⊆ M ×M definiert durch φ̃ := {(m, m′) ∈ M ×M|mφ = m′φ} ist eine Äquivalenzrelation auf M mit den Äquivalenzklassen {n}φ^{−1}, wobei n = mφ für ein m ∈ M. Also ist die zugehörige Partition P_{φ} = {{n}φ^{−1}|n ∈ Mφ}.

2. ν : M → P_{φ} : m ↦ {mφ}φ^{−1} ist eine surjektive Abbildung.

3. φ̄ : P_{φ} → N : {n}φ^{−1} ↦ n ist eine injektive Abbildung.

4. φ = νφ̄ d. h.:

\begin{matrix}φ \\ M ⟶ N \\ ν ↘ ↗ φ̄ \\ P_{φ} \end{matrix}

Beweis

1. Überprüfen, ob φ̃ eine Äquivalenzrelation ist, d.h prüfen nach Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:

(a) mφ = mφ, also (m, m) ∈ φ̃ für alle m ∈ M (also reflexiv).

(b) mφ = m′φ ⇒ m′φ = mφ = (m, m′) ∈ φ̃ für alle m, m′ ∈ M (also symmetrisch).

(c) mφ = m′φ, m′φ = m′′φ ⇒ mφ = m′′φ für alle m, m′, m′′ ∈ M (also transitiv).

2. Folgt aus der Definition von P_{φ}.

3. Zu zeigen ist, daß φ̄ wohldefiniert ist, d. h. falls {n}φ^{−1} = {n′}φ^{−1}, dann ist n = n′. Dies ist hier klar. Daher ist φ̄ wohldefiniert, d. h. φ̄ ist eine Abbildung. Nun muß noch gezeigt werden, daß φ̄ injektiv ist. Also A, B ∈ P_{φ} mit Aφ̄ = Bφ̄. Sei A = {n}φ^{−1} und B = {n′}φ^{−1} für n, n′ ∈ Mφ ⇒ Aφ̄ = n, Bφ̄ = n′, also n = n′.

4. Folgt ebenfalls aus der Definition.

q.e.d.

I.10 Definition Verknüpfung

Sei M eine Menge: Eine Abbildung □ : M × M → M : (m, n) ↦ m□n heißt (2-stellige-) Verknüpfung (auf M). Eine Menge M mit einer oder mehreren Verknüpfungen heißt algebraische Struktur.

• + : ℕ × ℕ → ℕ : (m, n) ↦ m + n ist eine Verknüpfung,

• · : ℕ × ℕ → ℕ : (m, n) ↦ m · n ist auch eine Verknüpfung • d. h. (ℕ, +), (ℕ, ·), (ℕ, +, ·) sind algebraische Strukturen.

Beispiel I.5: Verknüpfung, algebraische Strukturen

Anwendung auf Zahlbereiche

Sei ℤ′ := {(x + b = a)|a, b ∈ ℕ}. Für die Gleichung (x + 3 = 5) ∈ ℤ′ existiert eine Lösung in ℕ: Lösung = 2. Aber für die Gleichungen (x + 5 = 3) und (x + 7 = 5) existiert keine Lösung in ℕ, aber intuitiv kann man sagen, daß die Gleichungen die gleiche Lösung haben. Um auf eine Lösung zu kommen wendet man hier das Prinzip ”Erzwinge Lösbarkeit“ an. 1.Anwendung des Prinzips: Zahlbereichserweiterung.

I.11 Zahlbereichserweiterung

Konstruktion von ℤ aus ℕ

1. Sei ∼ eine Äqivalenzrelation auf ℤ′ (ℤ ist die Menge der Äquivalenzklassen), wobei

(x + b = a) ∼ (x + b′ = a′) :⇔ a + b′ = a′ + b

2. auf ℤ′ definiere man

• die Addition durch: (x + b = a) + (x + b′ = a′) := (x + (b + b′) = a + a′)

• und eine Multiplikation: (x + b = a) · (x + b′ = a′) := (x + (a · b′ + b · a′) = a · a′ + b · b′)

Diese beiden Verknüpfungen sind verträglich mit ∼, d.h. Summen und Produkte äquivalenter Elemente sind äquivalent. Daher sind C_{(x+b=a)} + C_{(x+b′=a′)} := C_{(x+(b+b′)=(a+a′))} und C_{(x+b=a)} · C_{(x+b′=a′)} := C_{(x+(a·b′+b·a′)=a·a′+b·b′)} wohldefinierte Verknüpfungen von ℤ := ℤ′/ ∼

3. ε : ℕ → ℤ : n ↦ C_{(x+1=n+1)} ist eine injektive Abbildung, für die gilt:

(\underbrace{m + n}_{in ℕ})ε = \underbrace{mε + nε}_{in ℤ}, (m · n)ε = mε · nε

4. 0 := C_{(x+1=1)} hat die Eigenschaft 0 + a = a + 0 = a für alle a ∈ ℤ

5. C_{(x+a=b)} löst die Gleichung x + a = b (genauer: x + aε = bε).

Beweis

2. Es muß gezeigt werden, daß die Addition (”+“) und die Multiplikation (”·“) wohldefiniert auf ℤ sind (Wohldefiniert bedeutet hier ”Unabhängigkeit von der Repräsentantenwahl“.) z. B. Addition ist wohldefiniert:

C_{(x+b=a)} = C_{(x+b_{1}=a_{1})}  (I.1)
C_{(x+b′=a′)} = C_{(x+b′_{1}=a′_{1})}  (I.2)

Zu zeigen ist:

C_{(x+(b+b′)=(a+a′))} = C_{(x+(b_{1}+b′_{1})=(a_{1}+a′_{1}))}  (I.3)

Nach der Definition von ∼ heißt :

(I.3) : a + a′ + b_{1} + b′_{1} = b + b′ + a_{1} + a′_{1}  (I.4)
{(I.1) : a + b_{1} \atop (I.2) : a′ + b′_{1}} {= \atop =} {b + a_{1} \atop b′ + a′_{1}} \} + ⇒ Gleichnug (I.4).

3. Zeige: ε ist injektiv:

ℕ → ℤ : n ↦ C_{(x+1=n+1)} (x + 1 = n + 1) ∼ (x + 1 = m + 1) ⇒ n = m n, m ∈ ℕ ist ebenso verträglich mit + und ·.

5. C_{(x+b=a)} löst x + bε = aε sollte aus der Definition folgen. Zu zeigen ist:

\underbrace{C_{(x+b=a)} + C_{(x+1=b+1)}}_{C_{(x+b+1=a+b+1)}} = C_{(x+1=a+1)}

d. h.: (x + b + 1 = a + b + 1) ∼ (x + 1 = a + 1)

q.e.d.

I.12 Zahlbereichsvergröberung

Konstruktion von 𝔽_{2}

1. {∼ \atop 2} ist eine Äquivalenzrelation auf ℕ, definiert durch a{∼ \atop 2}b :⇔ a und b lassen bei der Division durch 2 denselben Rest (0 oder 1). Kurz: (2|a − b) (2 teilt a − b). 𝔽_{2} := ℕ/{∼ \atop 2} = Menge der Äquivalenzklassen.

2. \begin{matrix}C_{a} + C_{b} := C_{a+b} \\ C_{a} · C_{b} := C_{a·b} \end{matrix}\} definiert die \{ Addition Multiplikation

3. Sei a + x = b (a, b ∈ ℕ)

C_{a} + C_{b} = C_{a+b} löst die Gleichung C_{a} + x = C_{b}.

Beweis

1. Zu zeigen ist, daß {∼ \atop 2} eine Äquivalenzrelation ist:

(a) (2|a − a) aus a = a folgt die Reflexivität.

(b) (2|a − b) ⇒ (2|b − a) ⟹ Symmetrie.

(c) (2|a − b), (2|b − c) ⇒ (2|a − c) ⟹ Transitivität.

2. Zu zeigen ist die Unabhängigkeit von Vertretern:

C_{a} = C_{a′}, C_{b} = C_{b′} ⟹ \{{C_{a+b} = C_{a′+b′} \atop C_{a·b} = C_{a′·b′}}

q.e.d.

Die Gleichung 3 · x = 5 ist nicht in ℤ lösbar, aber in 𝔽_{2} : C_{3} · x = C_{5}. Aber die Lösung in 𝔽_{2} hat nicht mehr die gleiche Aussagekraft wie die Gleichung.

I.13 Definition Körper

Sei K eine Menge.

• (0) Sei + := K × K → K eine Verknüpfung.

• (1) (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativgesetz).

• (2) Es existiert genau ein 0 ∈ K mit a + 0 = 0 + a = a für alle a ∈ K.

• (3) Zu jedem a ∈ K existiert genau ein −a ∈ K mit (−a) + a = a + (−a) = 0.

• (4) a + b = b + a gilt für alle a, b ∈ K (Kommutativgesetz).

• (0’) Sei · := K × K → K eine weitere Verknüpfung.

• (1’) (a · b) · c = a · (b · c) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativgesetz).

• (2’) Es existiert genau ein 1 ∈ K, 1 ≠ 0 mit a · 1 = 1 · a = a für alle a ∈ K.

• (3’) Zu jedem a ∈ K, a ≠ 0 existiert genau ein a^{−1} ∈ K mit a^{−1} · a = a · a^{−1} = 1.

• (4’) a · b = b · a gilt für alle a, b ∈ K (Kommutativgesetz).

• (a) (a + b) · c = a · c + b · c für alle a, b, c ∈ K (Distributivgesetz)

• (a’) c · (a + b) = c · a + c · b für alle a, b, c ∈ K Wenn alle Bedingungen erfüllt sind, dann heißt (K, +, ·) Körper. (K, +) heißt

• Halbgruppe, falls (0) und (1) erfüllt sind,

• Monoid (Halbgruppe mit 1), falls (0)… (2) erfüllt sind,

• Gruppe, falls (0)… (3) erfüllt sind,

• und kommutative Gruppe, falls (0)… (4) erfüllt sind. (K, +, ·) heißt

• Ring, falls (0)… (4), (0’),(1’) und (a),(a’) erfüllt sind,

• Ring mit 1, falls (0)… (4), (0’)… (2’) und (a),(a’) erfüllt sind,

• kommutativer Ring, falls (0)… (4), (0’)… (1’),(4’) und (a),(a’) erfüllt sind,

• Divisions-Ring, falls (0)… (4), (0’)… (3’) und (a),(a’) erfüllt sind.

• (ℕ, +) ist eine Halbgruppe,

• (ℕ ∪ {0}, +) ist ein Monoid,

• (ℤ, +) ist eine (abelsche) kommutative Gruppe,

• (ℤ, +, ·) ist ein kommutativer Ring,

• (ℚ, +, ·) ist ein Körper,

• (𝔽_{2}, +, ·) ist ein Körper,

• (ℝ, +, ·) ist ein Körper.

Beispiel I.6: Körper

Kapitel II

Vektorräume

a) Grundlagen

II.1 Defintion Vektorraum

Sei K ein Körper. Eine Menge V ≠ ∅ heißt Vektorraum über K, oder K-Vektorraum, falls

1. eine Verknüpfung + : V × V → V definiert ist, so daß (V, +) eine kommutative Gruppe ist,

d. h.

• (VG_{1}) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) für alle X, Y, Z ∈ V.

• (VG_{2}) Es existiert genau ein 0 ∈ V mit X + 0 = 0 + X = X für alle X ∈ V.

• (VG_{3}) Zu jedem X ∈ V existiert ein −X ∈ V mit X + (−X) = (−X) + X = 0.

• (VG_{4}) X + Y = Y + X für alle X, Y ∈ V.

2. eine Abbildung · : K × V → V : (a, X) ↦ a · X definiert ist mit • (VS_{1}) (a · b) · X = a · (b · X) für alle a, b ∈ K, X ∈ V.

• (VS_{2}) a · (X + Y) = a · X + a · Y für alle a ∈ K, X, Y ∈ V.

• (VS_{3}) (a + b)X = a · X + b · X für alle a, b ∈ K, X ∈ V.

• (VS_{4}) 1 · X = X für alle X ∈ V. Die Elemente von V heißen Vektoren. Das Beispiel II.1 zeigt mehrere K-Vektorräume.

II.2 Bemerkung

Sei V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

1. 0 · X = 0 ∀ X ∈ V

2. −X = (−1) · X ∀ X ∈ V

3. (−a) · X = −aX ∀ a ∈ K, X ∈ V

Beweis

1. X + 0 · X =_{[nach VS_{4}]} 1 · X + 0 · X =_{[VS_{3}]} (1 + 0) · X =_{[Körpereigenschaft]} 1 · X =_{[VS_{4}]} X ⇒_{[VG_{3}]} 0 · X = 0.

2. X + (−1)X = 1X + (−1)X = (1 + (−1)) · X = 0 · X = 0 ⇒ (−1)X = −X.

3. aX + (−a)X = (a + (−a)) · X = 0 · X = 0 ⇒ (−a)X = −aX.

q.e.d.

Sei K ein Körper.

1. V = K ist ein Vektorraum über K mit + : V × V → V und · : K × V → V von (K, +, ·) übernommen.

2. V = K^{n} := {(a_{1}, …, a_{n}) | a_{i} ∈ K für i = 1, 2, …, n}.

((a_{1}, …, a_{n}) = (b_{1}, …, b_{n}) :⇔ a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2} ⋯ a_{n} = b_{n}) K^{n} ist ein K-Vektorraum mit

• (a_{1}, …, a_{n}) + (b_{1}, …, b_{n}) := (a_{1} + b_{1}, …, a_{n} + b_{n}) ∀ a_{1} … a_{n} und b_{1} … b_{n} ∈ K^{n}

• a · (a_{1}, …, a_{n}) := (a · a_{1}, …, a · a_{n}) ∀ a_{1} … a_{n} ∈ K^{n}, a ∈ K

• 0-Vektor: (0, …, 0)

• −(a_{1}, …, a_{n}) = (−a_{1}, …, −a_{n})

3. Sei K ein Körper und I eine Menge (von Indizes) V = K^{I} := {f | f : I → K} ist ein K-Vektorraum mit den folgenden Verknüpfungen:

• f + g : I → K : i ↦ if + ig ∀ f, g ∈ K^{I}

• a · f : I → K : i ↦ (if) · a ∀ a ∈ K, f ∈ K^{I}

• 0-Vektor: 0 : I → K : i ↦ 0

• −f : I → K : i ↦ −if

Beachte: K^{n} kann als K^{{1...n}} aufgefasst werden. (a_{1} … a_{n}) definert die Abbildung {1, …, n} → K : i ↦ a_{i}. f : {1, …, n} → K definiert das n-Tupel {1f, 2f, …, nf} , d. h. ein n-Tupel oder eine Folge der Länge n kann als Abbildung von {1, …, n} → K aufgefaßt werden.

4. Seien V_{1} und V_{2} K-Vektorräume.

W := V_{1} × V_{2} = {(v_{1}, v_{2}) | v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2}} ist ein K-Vektorraum mit

• (v_{1}, v_{2}) + (w_{1}, w_{2}) := (v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}) ∀v_{1}, w_{1} ∈ V_{1} v_{2}, w_{2} ∈ V_{2}

• und a · (v_{1}, v_{2}) = (a · v_{1}, a · v_{2}) ∀a ∈ K v_{i} ∈ V_{i} (i = 1, 2)

Bezeichnung: W = V_{1} ⊕ V_{2} heißt die (äußere) direkte Summe von V_{1} und V_{2}.

5. {0} ist ein K-Vektorraum mit 0 + 0 = 0 und a · 0 = 0 ∀ a ∈ K. {0} heißt der triviale K-Vektorraum.

Beispiel II.1: Vektorräume

II.3 Definition Teilraum

Sei V ein K-Vektorraum, W ⊆ V heißt (K−)Teilraum (Unterraum) von V, falls

1. W ≠ ∅

2. für beliebige X, Y ∈ W, a, b ∈ K gilt: a · X + b · Y ∈ W

Schreibweise: W ≤ V.

II.4 Bemerkung

V sei K-Vektorraum, W ≤ V ⇒ W ist K-Vektorraum.

Beweis

Die Verknüpfungen W × W → W, K × W → W werden durch Einschränkung der Verknüpfungen von V (+ : V × V → V, · : K × V → V) definiert. Jetzt müssen nur noch die Vektorraumaxiome verifiziert werden.

q.e.d.

• V ist K-Vektorraum ⇒ {0} ≤ V, V ≤ V {0} und V heißen auch die trivialen Teilräume von V.

• Sei (a, b, c) ∈ K^{3}

L := {(x, y, z)|(x, y, z) ∈ K^{3}, ax + by + cz = 0} ≤ K^{3}

L ≠ ∅ , denn (0, 0, 0) ∈ L

\begin{matrix}(x, y, z) ∈ L \\ (x′, y′, z′) ∈ L \\ e, f ∈ K \end{matrix} \} e(x, y, z) + f(x′, y′, z′) ∈ L

denn:

\begin{matrix}ax + by + cz = 0 / · e \\ ax′ + by′ + cz′ = 0 / · f \end{matrix} \} + : ⋯ + ⋯ = 0

Beispiel II.2: Teilräume

II.5 Definition lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (GLS) über dem Körper K mit m Gleichungen und n unbekannten (unbestimmten) x_{1}, …, x_{n} ist gegeben durch folgende Gleichungen:

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Dabei sind a_{ij}, b_{i} ∈ K für i = 1, …, m und j = 1, …, n fest vorgegeben. Das GLS heißt homogen, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0. (Ist m = 1, so sprechen wir von einer linearen Gleichung.) (l_{1}, …, l_{n}) ∈ K^{n} heißt Lösung des GLS, falls man durch Ersetzen der x_{i} durch l_{i} m richtige Gleichungen in K erhält.

II.6 Satz (Menge der Lösungen eines GLSH)

Die Menge L der Lösungen eines linearen homogenen Gleichungssystems (GLSH) mit n unbekannten bildet einen Teilraum von K^{n}.

Für I = {0} ∪ ℕ bezeichnet man K^{I} auch als Vektorraum der formalen Potenzreihen: K[[x]]

K[[x]] := {f|f : I → K : i ↦ a_{i}} = {∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i}|a_{i} ∈ K}

Schreibweise: f = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} = f(x)

Also: ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} : I → K : i ↦ a_{i} ist die Definition von ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} .

(∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} + ∑_{i=0}^{∞} b_{i}x^{i} = ∑_{i=0}^{∞}(a_{i} + b_{i})x^{i})

Der Teilraum K[x] der Polynome in K[[x]] ist definiert durch:

K[x] := {∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i}|a_{i} ∈ K, ∃n mit a_{i} = 0 für i > n}

Jetzt läßt sich nachrechnen, daß K[x] ein Teilraum von K[[x]] ist.

Beispiel II.3: Vektorraum der formalen Potenzreihen

Beweis

1. \underbrace{(0, …, 0)}_{n} ∈ L ⇒ L ≠ ∅

2. Sei l = (l_{1}, …, l_{n}) ∈ L und l′ = (l′_{1}, …, l′_{n}) ∈ L, a, b ∈ K.

Behauptung: a · l + b · l′ ∈ L Beweis: für i = 1, 2, …, n

{a_{i1}l_{1} + ⋯ + a_{in}l_{n} = 0 | · a \atop a_{i1}l′_{1} + ⋯ + a_{in}l′_{n} = 0 | · b}\} +
⇒ a_{i1}(al_{1} + bl′_{1}) + ⋯ + a_{in}(al_{n} + bl′_{n}) = 0

d. h. al + bl′ ∈ L

q.e.d.

II.7 Satz (Vektorraum der linearen Gleichungen)

1. Die Menge der über K linearen Gleichungen mit den Unbestimmten x_{1}, …, x_{n} bilden einen K-Vektorraum. Der Vektorraum wird mit G(x_{1}, …, x_{n}) oder G(K; x_{1}, …, x_{n}) bezeichnet.

2. Die Menge H(K; x_{1}, …, x_{n}) (oder H(x_{1}, …, x_{n})) der homogenen K-linearen Gleichungen in x_{1}, …, x_{n} bilden einen Teilraum von G(K; x_{1}, …, x_{n}) (H ≤ G).

Beweis

1. Sei G_{1} = (a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} = b) ∈ G(x_{1}, …, x_{n})

G′_{1} = (a′_{1}x_{1} + a′_{2}x_{2} + ⋯ + a′_{n}x_{n} = b′) ∈ G(x_{1}, …, x_{n})

G_{1} + G′_{1} := ((a_{1} + a′_{1})x_{1} + ⋯ + (a_{n} + a′_{n})x_{n} = b + b′)
∈ G(x_{1}, …, x_{n})
a · G_{1} := (aa_{1}x_{1} + ⋯ + aa_{n}x_{n} = ab) a ∈ K
∈ G(x_{1}, …, x_{n})

Nun kann man verifiziern, daß die Vektorraum-Axiome erfüllt sind.

2. H = H(x_{1}, …, x_{n}) ≠ ∅, da (0x_{1}, …, 0x_{n}) ∈ H. Sei G_{1}, G′_{1} ∈ H, d. h.

b = b′ = 0 ⇒ aG_{1} + aG′_{1} ∈ H, da a · b + a′ · b′ = 0.

q.e.d.

b) Teilräume und Mengen

II.8 Satz (Schnittmenge von Teilräumen)

Sei T ≠ ∅ eine Menge von Teilräumen W von V.

⇒ ⋂_{W∈T} W := {W ∈ V | W ∈ W für alle W ∈ T } ≤ V

Beweis

1. ⋂_{W∈T} W ≠ ∅: für alle W ∈ T gilt 0 ∈ W also 0 ∈ ⋂_{W∈T} W.

2. Seien X, Y ∈ ⋂_{W∈T} W und a, b ∈ K

⇒ X, Y ∈ W für alle W ∈ T ⇒ (W ≤ V) Also a · X + b · Y ∈ W für alle W ∈ T, a, b ∈ K

⇒ (Def. von ∩) a · X + b · Y ∈ ⋂_{W∈T} W

q.e.d.

Siehe auch Beispiel II.4.

Gegeben GLSH mit m Gleichungen ⇒ jede Gleichung hat Lösungsraum L_{i}. Der Lösungsraum L der GLSH ist L = ⋂_{i=1}^{m} L_{i}

Beispiel II.4: Lösungsraum eines GLSH

II.9 Definition Erzeugnis

Sei V ein K-Vektorraum und M ⊆ V.

1. Das Erzeugnis (Vektorraumerzeugnis) ⟨M⟩ von M ist der Schnitt aller Teilräume von V, die

M enthalten: ⟨M⟩ := ⋂_{\begin{matrix}W≤V \\ M⊆W \end{matrix}} W

2. Eine Linearkombination von Elementen aus M ist ein Vektor X ∈ V, für den ein n ∈ ℕ, a_{1}, …, a_{n} ∈ K und X_{1}, …, X_{n} ∈ M existieren, so daß X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}. Ist M = ∅, so ist der Nullvektor die einzige Linearkombination (LK) von Vektoren aus M.

II.10 Satz (Vektorraum eines Erzeugnisses)

Sei V ein K-Vektorraum, M ⊆ V.

1. ⟨M⟩ ist wohldefiniert und es gilt ⟨M⟩ ≤ V.

2. ⟨M⟩ besteht aus den Linearkombinationen der Elemente von M.

Beweis

1. T = {W | W ≤ V und M ⊆ W} ≠ ∅, da V ∈ T, also ist ⟨M⟩ wohldefiniert. Aus II.8 folgt ⟨M⟩ ≤ V.

2. Sei Lk(M) = Menge der Linearkombinationen der Elemente von M.

(a) Behauptung: Lk(M) ≤ V Beweis:

i. 0 ∈ Lk(M), denn für M = ∅ gilt dies durch Definition und sonst existiert ein X ∈ M,

so daß 0 · X ∈ Lk(M); d. h. Lk(M) ≠ ∅. ii. Sei M ≠ ∅ und X, Y ∈ Lk(M) ⟹ es existieren x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m} ∈ M und

a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{m}, a, b ∈ K mit

X = a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n} und
Y = b_{1}y_{1} + ⋯ + b_{m}y_{m}
⇒  aX + bY = (aa_{1})x_{1} + ⋯ + (aa_{n})x_{n} +
(bb_{1})y_{1} + ⋯ + (bb_{m})y_{m} ∈ Lk(M).
(b) Behauptung: Lk(M) ∈ T, also ⟨M⟩ ≤ Lk(M)

Beweis: Es gilt: M ⊆ Lk(M), da für beliebige X ∈ M X = 1 · X ∈ Lk(M)

(c) Behauptung: Für jedes W ∈ T gilt: Lk(M) ⊆ W. ( d. h. Lk(M) ≤ ⟨M⟩)

Beweis: Sei X ∈ Lk(M) ⇒ ∃X_{1}, …, X_{n} ∈ M, a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit X = a_{1}X_{1}, …, a_{n}X_{n}.

Sei nun W ∈ T ⇒_{(M⊆W)} a_{i}X_{i} ∈ W für i = 1, …, n ⇒_{(Summe)} \underbrace{\underbrace{a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2}}_{∈W} + ⋯ + a_{n}X_{n}}_{∈W}

d. h. Lk(M) ⊆ W.

Aus 2a. + 2b. + 2c. ⟹ Lk(M) = ⟨M⟩.

1.

K = ℝ  V = ℝ^{ℝ}
M = {id_{ℝ}}  id_{ℝ} : ℝ → ℝ : x ↦ x
⟨M⟩ := {a · id_{ℝ} | a ∈ ℝ}
a · id_{ℝ} : ℝ → ℝ : x ↦ a · x.

2. Sei I ≠ ∅ und V = K^{I} = {f | f : I → K}. Für jedes i ∈ I sei ī ∈ K^{I} mit

ī: I → K : \begin{cases}j ↦ 1 & , falls j = i \\ j ↦ 0 & , falls j ≠ i \end{cases}

Behauptung: ⟨ī | i ∈ I⟩ = {f ∈ K^{I} | if = 0 für alle bis auf endlich viele i ∈ I} =: F. Beweis: Sei f ∈ F und I_{f} = {i ∈ I | if ≠ 0} = {i_{1}, …, i_{k}}. I_{f} ist endlich nach der Definition von f.

⇒ f = \underbrace{(i_{1}f)}_{∈K} ·ī_{1} + (i_{2}f) · ī_{2} + ⋯ + (i_{k}f) · ī_{k} ∈ ⟨ī | i ∈ I⟩

Also ist F ⊆ ⟨ī | i ∈ I⟩. F ⊇ ⟨ī | i ∈ I⟩ ist erfüllt, da if ≠ 0 nur für endlich viele.

q.e.d.

Beispiel II.5: Erzeugnis

II.11 Definition Erzeugendensystem

Sei V ein K−V ektorraum und M ⊆ V Teilmenge. M heißt Erzeugendensystem von V, falls V = ⟨M⟩. Ist M = {x_{1}, …, x_{n}} für ein n ∈ ℕ, so schreibt man V = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ und V heißt dann endlich erzeugt.

Kapitel III

Lineare Unabhängigkeit, Basen

III.1 Definition linear unabhängig

Sei V ein K-Vektorraum. Ein n-Tupel (X_{1}, …, X_{n}) von Vektoren X_{i} ∈ V heißt linear unabhängig, falls für a_{1}, …, a_{n} ∈ K gilt:

a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = 0 ⇒ a_{1} = ⋯ = a_{n} = 0

(d. h. der Nullvektor läßt sich nur auf die triviale Weise aus X_{1}, …, X_{n} linear kombinieren.) Weiter: (X_{1}, …, X_{n}) heißt linear abhängig, falls für a_{1}, …, a_{n} ∈ K gilt:

a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = 0 mit mindestens einem a_{i} ≠ 0

III.2 Satz (n-Tupel eines Vektors)

Seien die Vektoren X_{1}, …, X_{n} ∈ V linear unabhängig. Dann existiert für jedes X ∈ ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩ genau ein n-Tupel (a_{1}, …, a_{n}) ∈ K^{n} von Zahlen a_{i} ∈ K mit

X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}

Beweis

• Die Existenz des n-Tupels folgt aus Satz II.8 :

Lk({X_{1}, …, X_{n}}) = ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩.

• Zu zeigen ist noch die Eindeutigkeit.

Dazu sei a_{1}, …, a_{n} ∈ K und b_{1}, …, b_{n} ∈ K mit:

a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = b_{1}X_{1} + ⋯ + b_{n}X_{n}
⇒(a_{1} − b_{1})X_{1} + ⋯ + (a_{n} − b_{n})X_{n} = 0
⇒_{(lin.unabh.)} a_{1} − b_{1} = ⋯ = a_{n} − b_{n} = 0
⇒a_{1} = b_{1}, …, a_{n} = b_{n}

q.e.d.

1. Der Nullvektor 0 ist linear abhängig. ((1 · 0 = 0), 1 ≠ 0)

2. Sei V = ℝ^{ℝ},

id_{ℝ} = P_{1} : ℝ → ℝ : x ↦ x
P_{i} : ℝ → ℝ : x ↦ x^{i}
P_{0} : ℝ → ℝ : x ↦ 1

z. B. ist (P_{1}, P_{2}) linear unabhängig.

Beweis:

Sei a, b ∈ ℝ mit

a · P_{1} + b · P_{2} = 0  (← Null-Abbildung: ℝ → ℝ : x ↦ 0)
a · x + b · x^{2} = 0  ∀x ∈ ℝ

1(a · P_{1} + b · P_{2}) = 0  a · 1 + b · 1^{2} = 0
−1(a · P_{1} + b · P_{2}) = 0 a · (−1) + b · (−1)^{2} = 0 (III.1)
(III.1) + (III.1) ⇒ 2b = 0 ⇔ b = 0

Eingesetzt ergibt dies für a: a = 0.

q.e.d.

Beispiel III.1: lineare Unabhängigkeit

III.3 Definition Basis

Sei V ein K-Vektorraum. (X_{1}, …, X_{n}) mit X_{i} ∈ V heißt Basis von V, falls gilt:

1. V = ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩

2. (X_{1}, …, X_{n}) ist linear unabhängig.

d. h. eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Zusatz: ∅ ist Basis von {0}.

III.4 Folgerung

Ist 𝔅 = (X_{1}, …, X_{n}) Basis von V (≠ ∅), so läßt sich jedes X ∈ V schreiben, als

X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} mit a_{i} ∈ K

(a_{1}, …, a_{n}) ist eindeutig durch X festgelegt. Genauer:

κ_{𝔅} : V → K^{n} : X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} ↦ (a_{1}, …, a_{n})

ist eine wohldefinierte bijektive Abbildung (wohldefiniert, da nach der Definition jedem X nur ein (a_{1}, …, a_{n}) zugeordnet wird).

Beweis

• Zeige κ_{𝔅} ist wohldefiniert: κ_{𝔅} ist wohldefiniert, denn jedes X ∈ V läßt sich als Linearkombination der X_{i} darstellen und die Koeffizienten a_{i} sind eindeutig durch X (und durch 𝔅) festgelegt.

• Zeige κ_{𝔅} ist injektiv:

Seien X, Y ∈ V mit Xκ_{𝔅} = Y κ_{𝔅} = (a_{1}, …, a_{n})

⇒ X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = Y, d. h. X = Y

⇒ κ_{𝔅} ist injektiv.

• Zeige κ_{𝔅} ist surjektiv: Sei (a_{1}, …, a_{n}) ∈ K^{n} beliebig. ⇒ es existiert ein Y ∈ V mit

Y = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}

(sonst wäre V kein K-Vektorraum.) ⇒ κ_{𝔅} ist surjektiv.

q.e.d.

κ_{𝔅} überträgt das Rechnen: Seien X, Y ∈ V, a, b ∈ K. Dann gilt:

(aX + bY)κ_{𝔅} = a(Xκ_{𝔅}) + b(Y κ_{𝔅})

III.5 Definition Koordinatenabbildung

Xκ_{𝔅} heißen die Koordinaten von X bezüglich der Basis 𝔅, κ_{𝔅} heißt die Koordinatenabbildung (bezüglich 𝔅).

III.6 Defintion Isomorphismus

Seien V und W K-Vektorräume. Eine bijektive Abbildung φ : V → W heißt Isomorphismus, falls

(aX + bY)φ = a(Xφ) + b(Y φ) ∀a, b ∈ K, ∀X, Y ∈ V

Man sagt: V und W sind isomorph (V ≅ W). (Dann ist φ^{−1} : W → V ebenso isomorph.)

G(K, x_{1}, …, x_{n}) und K^{n+1} sind isomorph:
φ : (a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n} = b) ↦ (a_{1}, …, a_{n}, b)

Beispiel III.2: Isomorphismus

III.7 Satz (Existenz einer Basis)

Sei V ein K-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem (Kurz: V ist endlich erzeugt). Dann hat V eine Basis.

Beweis

Sei M = {X_{1}, …, X_{n}} ⊆ V mit V = ⟨M⟩.

• Ist (X_{1}, …, X_{n}) linear unabhängig ⇒ fertig, die Basis ist schon gefunden.

• Sei also (X_{1}, …, X_{n}) linear abhängig, d. h. es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K und ein i_{0}, 1 ≤ i_{0} ≤ n mit a_{i_{0}} ≠ 0, so daß

a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = 0  (III.2)

OBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) sei i_{0} = n. Multipliziere (III.2) mit a_{n}^{−1} (a_{n} ≠ 0):

b_{1}X_{1} + ⋯ + b_{n−1}X_{n−1} + X_{n} = 0  (b_{i} = a_{i} · a_{n}^{−1})
⇔ (−b_{1})X_{1} + ⋯ + (−b_{n−1})X_{n−1} = X_{n}

Also: ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩ = ⟨X_{1}, …, X_{n−1}⟩

Entweder ist (X_{1}, …, X_{n−1}) linear unabhängig, dann ist man fertig, denn die Basis ist gefunden worden, oder (X_{1}, …, X_{n−1}) ist linear abhängig, dann wiederholt man den obigen Vorgang. Nach endlichen vielen Schritten (da nur endlich viele Vektoren vorhanden sind) hat man eine Basis.

q.e.d.

Warnung: Die Basis, die man aus M erhält, ist nicht eindeutig durch M festgelegt. Siehe auch Beispiel III.3.

Sei V = ℝ^{2} und M = {(1, 1), (1, 0), (0, 1), (1, −1)}. Dann gibt es 12 verschiedene Basen, die man aus Elementen von M konstruieren kann. Z. B. ist ((1, 1), (1, 0)) linear unabhängig. Ebenso ist ((1, 0), (0, 1)) linear unabhängig. Damit sind beide 2-Tupel eine Basis von V. Aber ((1, 1), (1, 0)) ≠ ((1, 0), (0, 1)).

Beispiel III.3: Konstruktion einer Basis

III.8 Folgerung

Für jeden endlich erzeugten K-Vektorraum V ≠ {0} exisitert ein n, so daß V ≅ K^{n}. (Für V = {0} ist K^{0} = {0}.)

III.9 Satz (Steinitzscher Austauschsatz)

Sei V = ⟨B_{1}, …, B_{n}⟩ und sei X_{1}, …, X_{k} ∈ V linear unabhängig. Dann können die B_{i} so umnumeriert werden, daß

V = ⟨X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}⟩

Beweis (Induktion nach k.)

Fall k = 1: Da X_{1} ∈ ⟨B_{1}, …, B_{n}⟩

⇒ ∃ a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit X_{1} = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n}

mit mindestens einem a_{i} ≠ 0. (sonst X_{1} = 0 und (X_{1}, …, X_{n}) linear abhängig, dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.) OBdA. sei a_{1} ≠ 0 (sonst vertausche B_{1} und B_{i}):

a_{1}B_{1} = X_{1} − a_{2}B_{2} − ⋯ − a_{n}B_{n} , also:
B_{1} = a_{1}^{−1}X_{1} − a_{1}^{−1}a_{2}B_{2} − ⋯ − a_{1}^{−1}a_{n}B_{n}  (III.3)

Dann ist V = ⟨X_{1}, B_{2}, …, B_{n}⟩. Denn für ein beliebiges X ∈ V existieren a′_{i} ∈ K mit

X = a′_{1}B_{1} + ⋯ + a′_{n}B_{n}

Setze für B_{1} (III.3) ein ⇒ X ∈ Lk(X_{1}, B_{2}, …, B_{n}). Induktionsannahme: X_{1}, …, X_{k−1} seien linear unabhängig und V = ⟨B_{1}, …, B_{n}⟩. Obiger Satz gelte für k − 1. Klar ist nach Voraussetzung, daß X_{1}, …, X_{k} linear unabhängig sind. Nach der Induktionsannahme gilt:

X_{k} ∈ ⟨X_{1}, …, X_{k−1}, B_{k}, …, B_{n}⟩

d. h. es existieren a_{1}, …, a_{k−1}, b_{k}, …, b_{n} ∈ K mit:

X_{k} = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k−1}X_{k−1} + b_{k}B_{k} + ⋯ + b_{n}B_{n}

Es ist eines der b_{i} ≠ 0, denn falls b_{k} = ⋯ = b_{n} = 0, folgt:

−X_{k} + a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k−1}X_{k−1} = 0

Dies ist aber ein Widerspruch zu der Bedingung, daß (X_{1}, …, X_{k}) linear unabhängig sind. Also OBdA sei b_{k} ≠ 0 wie oben:

B_{k} ∈ ⟨X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}⟩
d. h. V = ⟨X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}⟩

q.e.d.

III.10 Folgerung (Anzahl von Basisvektoren)

Je zwei Basen eines endlich erzeugten K-Vektorraums haben gleichviele Elemente.

Beweis

Seien (B_{1}, …, B_{k}) und (B′_{1}, …, B′_{n}) Basen von V. ⇒ (B_{1}, …, B_{k}) ist linear unabhängig und (B′_{1}, …, B′_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. ⇒(nach Steinitz) k ≤ n. Aus Symmetriegründen: n ≤ k ⇒ n = k.

q.e.d.

III.11 Definition Dimension

Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis von V heißt die Dimension von V (dim V = dim_{K} V). Ist V nicht endlich erzeugt, so ist die Dimension unendlich.

1. dim K^{n} = n Beweis: \underbrace{((1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1))}_{Standardbasis des Körpers} ist Basis von K^{n}

2. dim K[x] ist unendlich.

3. dim G(K, x_{1}, …, x_{n}) = n + 1. Basis: ((x_{1} = 0), …, (x_{n} = 0), (0 = 1))

4. Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Dimension. (Denn eine Basis wird auf eine Basis abgebildet.)

Beispiel III.4: Dimension einiger Vektorräume

III.12 Folgerung: Basisergänzungssatz

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Jedes linear unabhängige System X_{1}, …, X_{k}(∈ V) kann zu einer Basis von V ergänzt werden.

Beweis

Da V endlich erzeugt ist, folgt nach Satz III.7, V hat eine Basis (B_{1}, …, B_{n}). ⇒ (nach dem Steinitzschen Austauschsatz III.9 nach Umnumerierung) es existiert B_{k+1}, …, B_{n} ∈ V mit (X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}) ist Erzeugendensystem von V. Durch Weglassen von linear abhängigen Vektoren erhalten wir aus (X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}) eine Basis von V (Satz III.7). Eine Basis von V hat n Vektoren, also kann man keinen Vektor weglassen, d. h. (X_{1}, …, X_{k}, B_{k+1}, …, B_{n}) ist bereits eine Basis.

q.e.d.

III.13 Satz (Äquivalente Aussagen zu Basis)

Sei V ein K-Vektorraum, X_{1}, …, X_{n} ∈ V. Äquivalent sind folgende Aussagen:

1. (X_{1}, …, X_{n}) ist Basis von V.

2. (X_{1}, …, X_{n}) ist maximal linear unabhängig (d. h. (X_{1}, …, X_{n}, Y) ist linear abhängig für alle Y ∈ V)

3. (X_{1}, …, X_{n}) ist minimales Erzeugendensystem von V.

Beweis

1. ⇒ 2. Sei (X_{1}, …, X_{n}) Basis von V ⇒ (X_{1}, …, X_{n}) ist linear unabhängig.

Zeige: für ein beliebiges Y ∈ V ist (X_{1}, …, X_{n}, Y) linear abhängig:

Beweis: Es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit

Y = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}
⇔ 0 = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} + \underbrace{(−1)}_{≠0} Y

d. h. (X_{1}, …, X_{n}, Y) ist linear abhängig.

2. ⇒ 3. Seien X_{1}, …, X_{n} maximal linear unabhängig (in V).

1. Behauptung: X_{1}, …, X_{n} ist Erzeugendensystem Dazu: Sei Y ∈ V beliebig ⇒ (X_{1}, …, X_{n}, Y) ist linear abhängig, dh. es existieren

(a_{1}, …, a_{n+1}) ≠ (0, …, 0) ∈ K^{n+1} mit
a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} + a_{n+1}Y = 0

a_{n+1} ≠ 0, da sonst (X_{1}, …, X_{n}) linear abhängig ist.

⇒ Y = −a_{n+1}^{−1}(a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}) ∈ ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩

2. Behauptung: (X_{1}, …, X_{n}) ist ein minimales Erzeugendensystem Angenommen (X_{1}, …, X_{i−1}, X_{i+1}, …, X_{n}) sei ein Erzeugendsystem von V. ⇒ X_{i} läßt sich durch eine Linearkombination von

X_{1}, …, X_{i−1}, X_{i+1}, …, X_{n}

ausdrücken. Dies ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von (X_{1}, …, X_{n}).

q.e.d.

3. ⇒ 1. Sei (X_{1}, …, X_{n}) ein minimales Erzeugendensystem.

Behauptung: (X_{1}, …, X_{n}) ist eine Basis, d. h. ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Beweis:

• Es ist ein Erzeugendensystem nach Voraussetzung.

• Angenommen (X_{1}, …, X_{n}) sei linear abhängig.

⇒ es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit mindestens einem a_{i_{0}} ≠ 0, so daß:

0 = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}
⇒ X_{i_{0}} = −a_{i_{0}}^{−1}(a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{i_{0}−1}X_{i_{0}−1} + a_{i_{0}+1}X_{i_{0}+1} + ⋯ + a_{n}X_{n})

Dies ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von (X_{1}, …, X_{n}) als Erzeugendensystem.

q.e.d.

III.14 Folgerung

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, W ≤ V. Dann ist W auch endlich erzeugt und

1. dim W ≤ dim V

2. dim W = dim V ⇔ V = W

Beweis

1. Man konstruiere eine Basis von W:

• Falls W = {0} √

• sonst wähle X_{1} ∈ W, X_{1} ≠ 0. Ist W = ⟨X_{1}⟩ √ (da X_{1} linear unabhängig ist)

• sonst wähle X_{2} ∈ W − ⟨X_{1}⟩ (X_{2} ∈ W aber X_{2} ∉ ⟨X_{1}⟩), d. h. (X_{1}, X_{2}) sind linear unabhängig. Falls W = ⟨X_{1}, X_{2}⟩ √

• sonst wähle X_{3} ∈ W − ⟨X_{1}, X_{2}⟩ ⇒ (X_{1}, X_{2}, X_{3}) sind linear unabhängig. etc…

Der Prozeß terminiert nach spätestens dim V Schritte wegen Satz III.13, also ist W endlich erzeugt und dim W ≤ dim V

Bezeichnung:

Sei V ein K-Vektorraum, U, W ≤ V:

U + W := \underbrace{⟨U, W⟩}_{:=⟨U∪W⟩} = \{X + Y |X ∈ U, Y ∈ W\}

III.15 Satz von Graßmann

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, U, W ≤ V, dann gilt:

dim(U ∩ W) + dim(U + W) = dim U + dim W

Beweis

Sei (X_{1}, …, X_{k}) eine Basis von U ∩ W (eine Basis existiert nach der Folgerung III.14. U ist endlich erzeugt ⇒ III.12 es existieren Y_{1}, …, Y_{s} ∈ U, so daß (X_{1}, …, X_{k}, Y_{1}, …, Y_{s}) eine Basis von U ist. Ebenso existeren Z_{1}, …, Z_{t} ∈ W, so daß (X_{1}, …, X_{k}, Z_{1}, …, Z_{t}) eine Basis von W ist. Behauptung:

(X_{1}, …, X_{k}, Y_{1}, …, Y_{s}, Z_{1}, …, Z_{t})  (III.4)

ist eine Basis von U + W. Sei X ∈ U + W ⇒ es existiert ein u ∈ U, w ∈ W mit X = u + w, also existieren a_{1}, …, a_{k}, b_{1}, …, b_{s} ∈ K mit:

u = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k}X_{k} + b_{1}Y_{1} + ⋯ + b_{s}Y_{s}

und es existeren c_{1}, …, c_{k}, d_{1}, …, d_{t} ∈ K mit:

w = c_{1}X_{1} + ⋯ + c_{k}X_{k} + d_{1}Z_{1} + ⋯ + d_{t}Z_{t}

⇒ X = u + w
= (a_{1} + c_{1})X_{1} + ⋯ + (a_{k} + c_{k})X_{k} +
b_{1}Y_{1} + ⋯ + b_{s}Y_{s} + d_{1}Z_{1} + ⋯ d_{t}Z_{t}
d. h. ⟨X⟩ = U + W

Zeige nun, daß III.4 linear unabhängig ist. Dazu seien a_{i}, b_{i}, c_{i} ∈ K mit:

0 =a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k}X_{k} + b_{1}Y_{1} + ⋯ + b_{s}Y_{s} +
c_{1}Z_{1} + ⋯ + c_{t}Z_{t}  (III.5)
⇒ \underbrace{−c_{1}Z_{1} − ⋯ − c_{t}Z_{t}}_{∈W} = \underbrace{a_{1}X_{1} + ⋯ + b_{s}Y_{s}}_{∈U} ∈ U ∩ W

Da die linke Seite eine Linearkombination aus W, und die rechte Seite eine Linearkombination aus U ist, sind beide Linearkombinationen ∈ U ∩ W. Daher lassen sie sich bereits aus der Basis von U ∩ W eindeutig linearkombinieren, z. B. durch d_{1}X_{1} + ⋯ + d_{k}X_{k} für d_{1}, …, d_{k} ∈ K.

⇒ (a_{1} − d_{1})X_{1} + ⋯ + (a_{k} − d_{k})X_{k} + b_{1}Y_{1} + ⋯ + b_{s}Y_{s} = 0

Nach Vorraussetzung ist (X_{1}, …, X_{k}, Y_{1}, …, Y_{s}) linear unabhängig, da es eine Basis von U ist.

⇒ a_{1} − d_{1} = ⋯ = a_{k} − d_{k} = \underline{b_{1} = ⋯ = b_{s} = 0}

Aus Symmetriegründen gilt \underline{c_{1} = ⋯ = c_{t} = 0}. Setzt man die b_{i} und c_{i} in (III.5) so bleibt:

a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k}X_{k} = 0

da (X_{1}, …, X_{k}) linear unabhängig ist (Basis von U ∩ W) folgt:

\underline{a_{1} = ⋯ = a_{k} = 0}

⟹ X ist linear unabhängig und somit eine Basis von U + W.

q.e.d.

Kapitel IV

Konstruktive Behandlung von Erzeugendensystemen, Anwendung auf lineare Gleichungssysteme

IV.1 Bemerkung (Elementare Schritte)

Sei (X_{1}, …, X_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Dann ist

1. (X_{1}, …, X_{i−1}, X_{j}, X_{i+1}, …, X_{j−1}, X_{i}, X_{j+1}, …, X_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Per_{i,j} : Permutiere (vertausche) X_{i} und X_{j}.

2. (X_{1}, …, X_{i}, …, X_{j} + a · X_{i}, …, X_{n}) (i ≠ j) ein Erzeugendensystem von V. Add_{i,j}(a) : addiere das a-fache von X_{i} auf X_{j}.

3. (X_{1}, …, X_{i−1}, a · X_{i}, X_{i+1}, …, X_{n}) mit a ≠ 0 ein Erzeugendensystem von V. Mult_{i}(a) : multipliziere X_{i} mit a.

Beachte: Jeder Elementare Schritt kann durch einen elementaren Schritt wieder rückgängig gemacht werden.

IV.2 Bemerkung (Umwandlung eines Erzeugendensystems zu einer Basis)

Ein Erzeugendensystem (X_{1}, …, X_{n}) von V läßt sich durch elementare Schritte auf die Gestalt

(Y_{1}, …, Y_{k}, 0, …, 0) mit Y_{i} ∈ {X_{1}, …, X_{n}}

umformen, wobei (Y_{1}, …, Y_{k}) eine Basis von V ist.

Beweis

Finde erstes i mit X_{i} ≠ 0. Falls i ≠ 1 wende Per_{1,i} an. Also sei oBdA. X_{1} ≠ 0. In der allgemeinen Situation seien (X_{1}, …, X_{s}) linear unabhängig. Finde im allgemeinen Schritt das kleinste j mit s < j ≤ n, so daß (X_{1}, …, X_{s}, X_{j}) linear unabhängig sind. Falls j ≠ s + 1, wende Per_{s+1,j} an. Am Ende erhält man:

• (X_{1}, …, X_{k}, X_{k+1}, …, X_{n}) mit (X_{1}, …, X_{k}) linear unabhängig.

• X_{k+1}, …, X_{n} ∈ ⟨X_{1}, …, X_{k}⟩

Sei z. B. X_{k+1} = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k}X_{k}. Wende nacheinander Add_{1,k+1}(−a_{1}), Add_{2,k+1}(−a_{2}), …, Add_{k,k+1}(−a_{k}) an. Als Ergebnis erhält man dann (X_{1}, …, X_{k}, 0, X_{k+2}, …, X_{n}). In gleicher Weise werden nun X_{k+2}, …, X_{n} eleminiert.

q.e.d.

IV.3 Bemerkung (elementare Schritte und Basen)

Seien 𝔅 = (X_{1}, …, X_{n}) und 𝔅′ = (Y_{1}, X_{2}, …, X_{n}) Basen von V. Man kann 𝔅′ aus 𝔅 durch elementare Schritte erhalten.

Beweis

Sei Y_{1} = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}. Dann ist a_{1} ≠ 0, da sonst (Y_{1}, X_{2}, …, X_{n}) linear abhängig ist. Dies ist ein Widerspruch zu der Forderung, daß 𝔅′ eine Basis ist. Wende nun die folgenden elementaren Schritte an:

𝔅 ⟶^{Mult_{1}(a_{1})} 𝔅_{1} = (a_{1}X_{1}, X_{2}, …, X_{n})
⟶^{Add_{2,1}(a_{2})} 𝔅_{2} = (a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2}, X_{2}, …, X_{n})
⟶^{Add_{3,1}(a_{3})} 𝔅_{3} …
⋮
⟶^{Add_{n,1}(a_{n})} 𝔅′

IV.4 Satz (Überführung zweier Basen ineinander)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum.

1. Je zwei Basen von V können durch Hintereinanderausführung von elementaren Schritten ineinander überführt werden.

2. Je zwei Erzeugendensysteme von V mit gleichvielen Elementen können durch Hintereinanderausführung elementarer Schritte ineinander überführt werden.

Beweis

1. Wende IV.3 und den Beweis des Austauschsatzes von Steinitz an (Umnummerieren - Per_{i,j} anwenden), bis sukzessive alle Basisvektoren durch die neuen ersetzt werden.

2. folgt aus 1. und Bemerkung IV.2.

IV.5 Algorithmus: Konstruktion einer Basis

Konstruktion einer Basis aus einem endlichen Erzeugendensystem bei Teilräumen von K^{n}. Gegeben: X_{1}, …, X_{m} ∈ K^{n} mit X_{i} = (X_{i1}, …, X_{in}) Gesucht: Eine Basis von ⟨X_{1}, …, X_{m}⟩. Algorithmus:

( X_{1} ; ⋮ ; X_{m} ) = ( \begin{matrix}X_{11} & … & X_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ X_{m1} & … & X_{mn} \end{matrix} )

1. Sei V = K^{4} und sei X_{1} = (1, 1, 1, 1) X_{2} = (0, 1, −1, 0) X_{3} = (0, 0, 0, 1) Gesucht: Basis von ⟨X_{1}, X_{2}, X_{3}⟩. Sind (X_{1}, X_{2}, X_{3}) linear unabhängig? (K ist hier noch beliebig!) D. h. existieren a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ K ein a_{i} ≠ 0 mit:

a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + a_{3}X_{3} = 0
(a_{1}, a_{1} + a_{2}, a_{1} − a_{2}, a_{1} + a_{3}) = (0, 0, 0, 0)
⇒ a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 0

Diese Methode ist aber schlecht, da sie unübersichtlich und somit nicht sehr einfach zu lösen ist, wenn kompliziertere Aufgaben gestellt sind. Besser ist es die Vektoren in folgender Form zu schreiben:

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix}→ a_{1} = 0 \\ → a_{2} = 0 \\ → a_{3} = 0 \end{matrix}

2. Gesucht: Eine Basis von

U = ⟨(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8), (9, 10, 11, 12)⟩ ≤ ℚ^{4}

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix})  \begin{matrix}Add_{1,2}(−5) \\ ⟶ \\ Add_{1,3}(−9) \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & −4 & −8 & −12 \\ 0 & −8 & −16 & −24 \end{matrix})  \begin{matrix}Add_{2,3}(−2) \\ ⟶ \\ Mult_{2}(−\frac{1}{4}) \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

⇒ ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)) ist eine Basis von U.

Beispiel IV.1: Bestimmung von Basen

• Suche das kleinste j (Spaltenindex) mit X_{ij} ≠ 0 für ein i (Zeilenindex).

• Wenn dieses j gefunden, suche kleinstes i mit X_{ij} ≠ 0. (Also suche erste Spalte ungleich Null, deren erster Eintag ungleich Null ist.)

(\begin{matrix}0 & … & 0 & 0 \\ & & & ⋮ & … \\ ⋮ & ... & ⋮ & 0 \\ & & & X_{ij} & … \\ 0 & … & 0 & ⋮ \end{matrix})

• Falls i ≠ 1, wende Per_{1,i} an.

• Wende Mult_{1}(X_{1j}^{−1}) an.

(\begin{matrix}0 & … & 0 & 1 & ? & … \\ & & & ? \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \end{matrix})

• Um nun die Koeffizienten in der Spalte unterhalb der 1 auf 0 zu bringen wendet man nacheinander Add_{1,2}(−X_{2j}), …, Add_{1m}(−X_{mj}) an und erhält

(\begin{matrix}0 & … & 0 & 1 & ? & … & ? \\ ⋮ & & ⋮ & 0 & & Y_{2} \\ & & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 0 & & Y_{m} \end{matrix})  text  Y_{2}, …, Y_{m} ∈ K^{n−j}

• Wende dasselbe Verfahren auf Y_{2}, …, Y_{m} an, bis der Nullvektor oder nichts übrigbleibt.

(\begin{matrix}& 1 & ? & … \\ 0 & 0 & … & 1 & ? & … \\ & ⋮ & & 0 & … & 1 & ? … \\ & & & ⋮ & & 0 & … \end{matrix})

• Die Zeilen ≠ (0, …, 0) bilden eine Basis von ⟨X_{1}, …, X_{m}⟩.

Überprüfe die Vektoren in folgender Matrix auf lineare Unabhägigkeit:

( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & −1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & −1 & 0 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} )

\underrightarrow{Per_{1,2}}  ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & −1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & −1 & 0 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} )

\begin{matrix}Add_{2,3}(−2) \\ ⟶ \\ Add_{2,4}(−1) \end{matrix} ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & −1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & −1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & −1 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )

\begin{matrix}Mult_{4}(−2^{−1}) \\ ⟶ \\ Per & 3,4 \end{matrix}  ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & −1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & −1 & 3 \end{matrix} )

Alle Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis des von ihnen erzeugten Teilraums. Die Dimension ist vier.

Beispiel IV.2: Konstruktion einer Basis aus einem Erzeugendensystem

IV.6 Folgerung (Gaußsches Eliminationsverfahren)

Jedes K-lineare Gleichungssystem

\begin{aligned}a_{11}X_{1} & + ⋯ + & a_{1n}X_{n} & = & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}X_{1} & + ⋯ + & a_{mn}X_{n} & = & b_{m} \end{aligned}  (IV.1)

kann durch elementare Umformungen auf ”Treppengestalt“ gebracht werden, ohne daß sich dabei die Lösungsmenge ändert.

Beweis

φ : G(X_{1}, …, X_{n}) → K^{n+1} : (a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = b) ↦ (a_{1}, …, a_{n}, b) Wende φ an, wende dann den Algorithmus IV.5 an, anschließend wende φ^{−1} an. Die Lösungsmenge ändert sich nicht. Die Vorbedingung dafür, daß man φ anwenden kann ist, daß φ ein Isomorphismus ist. Siehe dazu auch Beispiel IV.3. Beachte: Per_{ij}, Add_{ij}(a) und Mult_{i}(a) ändern die Lösungsmenge nicht.

Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

X_{1} + 2X_{2} + 3X_{3} = 4
5X_{1} + 6X_{2} + 7X_{3} = 8
9X_{1} + 10X_{2} + 11X_{3} = 12

Wende nun φ auf das Gleichungssystem an. Dann erhält man folgende Matrix:

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix})

Nun kann der Algorithmus IV.5 angewendet werden:

→ (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Nun kann man φ^{−1} anwenden, um wieder die Gleichungen zu erhalten:

→ \begin{aligned}X_{1} + 2X_{2} + 3X_{3} & = & 4 \\ X_{2} + 2X_{3} & = & 3 \\ 0 & = & 0 \end{aligned}

⇒ Die Lösungsmenge ist: {(−2 + a, 3 − 2a, a)|a ∈ K}.

Beispiel IV.3: Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

IV.7. Bemerkung (Definition Äquivalenzrelation auf V)  31

IV.7 Bemerkung (Definition Äquivalenzrelation auf V)

Sei V ein K-Vektorraum und W ≤ V

1. Definition: Seien x, y ∈ V:

x{∼ \atop W} y :⇔ x − y ∈ W

Dann ist {∼ \atop W} eine Äquivalenzrelation auf V.

2. Definition: Sei x ∈ V. Die Menge x + W := {x + w | w ∈ W} heißt die Restklasse von x nach W.

3. Die Äquivalenzklassen bezüglich {∼ \atop W} sind gerade die Restklassen x + W mit x ∈ V.

IV.8 Satz (Lösungsmenge eines Gleichungssystems)

Sei (IV.1) ein lineares Gleichungssystem über K und (IV.1_{0}) das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem. Dann gilt:

1. Die Lösungsmenge L_{0} von (IV.1_{0}) ist ein Teilraum von K^{n}.

2. Die Lösungsmenge L von (IV.1) ist entweder leer (d. h. das Gleichungssystem ist nicht lösbar), oder es ist eine Restklasse nach L_{0}, d. h. wenn (l_{1}, …, l_{n}) ∈ L irgendeine Lösung von (IV.1) ist, so ist L = (l_{1}, …, l_{n}) + L_{0}.

Beweis

1. Siehe Satz II.6

2. Seien x, y ∈ L ⇒ x − y ∈ L_{0} Wende nun die Bemerkung IV.7 an.

q.e.d.

Beachte: In Treppengestalt läßt sich die Lösbarkeit und eine Basis von L_{0} ablesen.

IV.9 Bemerkung (Matrix des Gleichungssystems)

(\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix})  (IV.2)

heißt die Matrix des Gleichungssystems. Für ein a_{ij} aus der Matrix heißt i der Zeilenindex und j der Spaltenindex. Die b_{i}’s haben den Spaltenindex n+1. Ist die Matrix in Stufengestalt (Endergebnis des Gaußschen Algorithmus), so nennt man die Spaltenindizes an den Stufen Stufenindizes. Die übrigen Spaltenindizes heißen Fehlindizes.

IV.10 Satz (Lösbarkeit eines GLS)

Sei (IV.2) ein lineares Gleichungssystems in Treppengestalt, dessen Matrix m Zeilen (≠ 0) und n + 1 Spalten hat. Dann gilt:

1. (IV.2) ist genau dann lösbar, wenn n + 1 kein Stufenindex ist.

1.

x_{1} +2x_{2} +3x_{3} +x_{4} = 4
x_{2} +2x_{3}  = 8
0 · x_{4} = 7 → Gleichung nicht lösbar

Ein Gleichungssystem ist genau dann lösbar, falls in der Treppengestalt

(0x_{1} + ⋯ + 0x_{n} = b) mit b ≠ 0

nicht vorkommt.

2. Bestimme die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems

\begin{aligned}x_{1} & +2x_{2} & +3x_{3} & +x_{4} & = & 4 \\ & x_{2} & +2x_{3} & & = & 3 \end{aligned}

Zunächst eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems z. B. x_{4} = x_{3} = 0, x_{2} = 3, x_{1} = −2 (−2, 3, 0, 0) Dann bestimme ein Erzeugendensystem (Basis) von L_{0} (dem zugehörigen homogenen Gleichungssystems)

(a) Setze x_{3} = 1 und x_{4} = 0 ⇒ x_{2} = −2, x_{1} = 1 Also: (1, −2, 1, 0) ∈ L_{0}

(b) Setze nun x_{3} = 0 und x_{4} = 1 ⇒ x_{2} = 0, x_{1} = −1 Also: (−1, 0, 0, 1) ∈ L_{0}

Jetzt kann man die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems angeben:

L = (−2, 3, 0, 0) + ⟨(1, −2, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)⟩
= {(−2 + a − b, 3 − 2a, a, b)|a, b ∈ K}

Beispiel IV.4: Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

2. Die Dimension des zugehörigen homogenen Löungssystems ist gleich der Anzahl der Fehlindizes auf der linken Seite.

Die Basis von L_{0} kann so gewählt werden, daß ein Fehlindex i mit 1 und alle anderen mit 0 besetzt werden. Man erhält je einen Vektor pro Fehlindex, wobei i alle Fehlindizes durchläuft. Bei der Bestimmung einer Partikulären Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist es am einfachsten x_{i} = 0 zu setzen für alle Fehlindizes i.

IV.11 Definition Matrix

Sei K ein Körper, n, m ∈ ℕ.

1. Eine m × n-Matrix über K ist eine Abbildung

A : \underbrace{\{1, …, m\}}_{Zeilenindizes} × \underbrace{\{1, …, n\}}_{Spaltenindizes} → K

1.

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{matrix} ) \overrightarrow{in Treppe} ( \begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ ↑ & & ↑ & ↑ \end{matrix} )

Stufenindizes: 1, 3, 4 (siehe Pfeile ↑) Fehlindex : 2 Partikuläre Lösung:

x_{2} = 0 ⇒ (8\frac{1}{2}, 0, −14, 5) ist eine Lösung

Basis von L_{0}: Setze x_{2} = 1 (alle anderen Fehlindizes = 0)

L_{0} = ⟨(−\frac{1}{2}, 1, 0, 0)⟩
L = \{(8\frac{1}{2}, 0, −14, 5) + ⟨(−\frac{1}{2}, 1, 0, 0)⟩\}

= \{(8\frac{1}{2} − \frac{a}{2}, a, −14, 5)\}

2. Das Gleichungssystem folgender Matrix ist nicht lösbar:

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

Beispiel IV.5: Bestimmung der Lösung eines linearen Gleichungssystems

Schreibweise:

(\begin{matrix}A_{11} & & & & … & & & & A_{1n} \\ & . & . & . \\ ⋮ & & & & A_{ij} & & & & ⋮ \\ & & & & & . & . & . \\ A_{m1} & & & & … & & & & A_{mn} \end{matrix})

2. Die Menge aller (m × n)-Matrizen über K wird mit K^{m×n} bezeichnet. Sie bildet einen K-Vektorraum. (K^{n} wird identifiziert mit K^{1×n})

3. A_{1} = (A_{11}, …, A_{1n}), …, A_{m} = (A_{m1}, …, A_{mn}) heißen Zeilenvektoren von A.

4. Der Zeilenraum Z(A) ist der von A_{1} , …, A_{m} erzeugte Teilraum von K^{n}. Die Dimension des Zeilenraumes von A heißt der (Zeilen-)Rang von A (bzw. Rg(A)).

5. Sei (IV.1) ein lineares Gleichungssystem. Dann heißt

M(∗) = (\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix})

die zugehörige Matrix, oder die zugehörige erweiterte Matrix.

M_{e}(∗) = (\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix})

heißt die zugehörige eingeschränkte Matrix.

IV.12 Satz (Dimension eines GLSH)

Sei (IV.2) ein lineares Gleichungssystem und L_{0} der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Gleichungsystems.

1. (IV.2) ist lösbar ⇔ Rg(M(∗)) = Rg(M_{e}(∗))

2. dim L_{0}(∗) = n − Rg(M_{e}(∗))

Beweis

1. Der Rang und die Lösbarkeit bleiben ungeändert beim Anwenden elementarer Umformungen. Daher sei oBdA (IV.2) in Treppenform gegeben:

(IV.2) ist lösbar ⇔ (0, …, 0, b) mit b ≠ 0 ist nicht die letzte Zeile

Rg(M(∗)) = \begin{cases}Rg(M_{e}(∗)) & , falls (0, …, 0, b), b ≠ 0 nicht letzte Zeile \\ Rg(M_{e}(∗)) + 1 & , falls (0, …, 0, b), b ≠ 0 letzte Zeile \end{cases}

2.

dim L_{0} = Anzahl der linken Fehlindizes

= n − Anzahl der linken Stufenindizes

= n − Rg(M_{e}(∗))

q.e.d.

IV.13 Satz (Faktorraum)

Sei V ein K-Vektorraum, W ≤ V. Dann bildet

V/W := {X + W | X ∈ V}

einen K-Vektorraum, in dem Addition und Multiplikation wie folgt definiert sind; für alle X, Y ∈ V, a ∈ K gilt:

(X + W) + (Y + W) := (X + Y) + W
a(X + W) := aX + W

V/W heißt der Faktorraum (Quotientenraum, Restklassenraum) von V nach W.

Beweis

Zeige, daß die Addition und Multiplikation wohldefiniert sind: Für X + W = X′ + W und Y + W = Y′ + W (d. h. X − X′, Y − Y′ ∈ W) Zeige:

• (X + Y) + W = (X′ + Y′) + W, d. h. (X + Y) − (X′ + Y′) ∈ W, d. h. (X − X′) + (Y − Y′) ∈ W√

• aX + W = aX′ + W, d. h.

aX − aX′ ∈ W ⇔ a(X − X′) ∈ W√

Nun müssen noch die Vektorraumaxiome verifiziert werden. So ist der 0-Vektor: 0 + W = W und das inverse Element ist: −(X + W) = −X + W.

q.e.d.

Für lineare Gleichungsysteme mit vorgegebener linker Seite (IV.2) sei L_{0} der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Gleichungssystem.

• X + L_{0} = Lösungsmenge von (IV.2) mit rechter Seite ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} )

• Y + L_{0} = Lösungsmenge von (IV.2) mit rechter Seite ( c_{1} ; ⋮ ; c_{n} )

• X + Y + L_{0} = Lösungsmenge von (IV.2) mit rechter Seite ( b_{1} + c_{1} ; ⋮ ; b_{n} + c_{n} )

• Sei a ∈ K:

aX + L_{0} = Lösungsmenge von (IV.2) mit rechter Seite ( ab_{1} ; ⋮ ; ab_{n} )

Beispiel IV.6: Lösungsmenge

IV.14 Satz (Dimension des Faktorraums)

Sei W ≤ V, V endlich erzeugt über K. Dann gilt:

dim V/W = dim V − dim W

Beweis

V ist endlich erzeugt ⇒ W ist endlich erzeugt. Sei (X_{1}, …, X_{k}) eine Basis von W. Ergänze zu einer Basis von V : (X_{1}, …, X_{k}, X_{k+1}, …, X_{n}) Behauptung: 𝔅 = (X_{k+1} + W, …, X_{n} + W) ist eine Basis von V/W Beweis:

1. Zeige 𝔅 ist ein Erzeugendensystem:

X + W ∈ V/W ⇒ es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit

X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}

⇒ X + W = a_{1}(X_{1} + W) + ⋯ + a_{k}(X_{k} + W) +
a_{k+1}(X_{k+1} + W) + ⋯ + a_{n}(X_{n} + W)
= \underbrace{0 + ⋯ + 0}_{0-Vektor in V/W} +

a_{k+1}(X_{k+1} + W) + ⋯ + a_{n}(X_{n} + W)√

2. Zeige 𝔅 ist linear unabhängig:

Sei a_{k+1}, …, a_{n} ∈ K mit

a_{k+1}(X_{k+1} + W) + ⋯ + a_{n}(X_{n} + W) = 0 + W
⇒ a_{k+1}X_{k+1} + ⋯ + a_{n}X_{n} ∈ W

also existieren a_{1}, …, a_{k} ∈ K mit

a_{k+1}X_{k+1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = −(a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{k}X_{k})
d. h. a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} = 0 ⇒ (da (X_{1}, …, X_{n}) linear unabhängig) a_{1} = ⋯ = a_{n} = 0
⇒ a_{k+1} = ⋯ = a_{n} = 0

q.e.d.

IV.15 Definition Spaltenraum

Sei A ∈ K^{m×n} eine Matrix mit den Spalten A _{1}, …, A _{n}. Dann heißt

S(A) := ⟨A _{1}, …, A _{n}⟩ ≤ K^{m×1}

der Spaltenraum von A.

Spaltenrang(A) := dim S(A)

IV.16 Satz (Spaltenraum - Lösungsraum)

Sei A ∈ K^{m×n} gegeben.

1. R_{A} = {B ∈ K^{m×1}|(IV.1) mit M(∗) = (A|B) lösbar } ≤ K^{m×1}

2. R_{A} = S(A) (Spaltenraum von A)

3. Sei L_{0} Lösungsraum von (IV.1_{0}) mit M(∗_{0}) = ( \begin{matrix}& 0 \\ A & ⋮ \\ & 0 \end{matrix} ). Dann gilt: K^{n}/L_{0} und R_{A} sind

isomorph.

IV.17. Bemerkung (Isomorphismus von φ^{−1})  37

Beweis

1. R_{A} ≠ ∅, da der 0-Vektor aus R_{A} ist. Seien die Gleichungssysteme (A|B_{1}), (A|B_{2}) lösbar mit den Lösungen (l_{1}, …, l_{n}) bzw. (l′_{1}, …, l′_{n}). Dann ist (A|aB_{1} + bB_{2}) lösbar mit der Lösung

a(l_{1}, …, l_{n}) + b(l′_{1}, …, l′_{n})  (a, b ∈ K)  √

2. (IV.2) ist genau dann lösbar, wenn

X_{1} ( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} ) + ⋯ + X_{n} ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) lösbar mit

\underbrace{X_{1}A _{1} + ⋯ + X_{n}A _{n}}_{LK aus Spaltenraum(A)} = \underbrace{B}_{R_{A}}

3. Sei φ : K^{n}/L_{0} → R_{A} : l + L_{0} = (l_{1}, …, l_{n}) + L_{0} ↦ l_{1}A _{1} + ⋯ + l_{n}A _{n} Zeige:

• φ ist wohldefiniert: Sei (l_{1}, …, l_{n}) + L_{0} = (l′_{1}, …, l′_{n}) + L_{0} (l_{1}, …, l_{n}) + L_{0} ↦ l_{1}A _{1} + ⋯ + l_{n}A _{n} (l′_{1}, …, l′_{n}) + L_{0} ↦ l′_{1}A _{1} + ⋯ + l′_{n}A _{n} Da (l_{1} − l′_{1}, …, l_{n} − l′_{n}) ∈ L_{0} gilt:

(l_{1} − l′_{1})A _{1} + ⋯ + (l_{n} − l′_{n})A _{n} = 0
⇒ l_{1}A _{1} + ⋯ + l_{n}A _{n} = l′_{1}A _{1} + ⋯ + l′_{n}A _{n}

d. h. ((l_{1}, …, l_{n}) + L_{0})φ = ((l′_{1}, …, l′_{n}) + L_{0})φ √

• φ ist linear:

(a(l + L_{0}) + b(l′ + L_{0}))φ = ((al + bl′ + L_{0})φ
= (al_{1} + bl′_{1})A _{1} + ⋯ + (al_{n} + bl′_{n})A _{n}
= a(l_{1}A _{1} + ⋯ + l_{n}A _{n}) +
b(l′_{1}A _{1} + ⋯ + l′_{n}A _{n})
= a(l + L_{0})φ + b(l′ + L_{0})φ  √

• φ ist bijektiv:

Sei ψ : R_{A} → K^{n}/L_{0} : B = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ↦ Lösungsmenge von (IV.1) mit M(∗) = (A|B)

Dann ist φψ = id_{K^{n}/L_{0}} (identische Abbildung), d. h. φ ist injektiv, ψφ = id_{R_{A}}, d. h. φ ist surjektiv. √

q.e.d.

IV.17 Bemerkung (Isomorphismus von φ^{−1})

Ist φ : V → W ein Isomorphismus, daraus folgt, daß φ^{−1} : W → V auch ein Isomorphismus ist.

IV.18 Folgerung (Spaltenrang = Zeilenrang)

Sei A ∈ K^{m×n}. Daraus folgt, daß der Spaltenrang von A gleich dem Zeilenrang von A ist.

Beweis

Sei L_{0} der Lösungsraum von (IV.1_{0}) mit M(∗_{0}) = (A|0). In Satz IV.12 wurde gezeigt: n − Zeilenrang(A) = dim L_{0}, in Satz IV.16 wurde gezeigt: Spaltenrang(A) = dim R_{A} = dim K^{n}/L_{0} = n − dim L_{0} ⇒ Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A)

Kapitel V

Lineare Abbildungen

V.1 Definition linear

Seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung φ : V → W heißt linear, falls für alle X, Y ∈ V gilt: (\underbrace{X + Y}_{in V})φ = \underbrace{Xφ + Y φ}_{in W}

und für alle X ∈ V, a ∈ K gilt:

(aX)φ = a(Xφ)

V.2 Definition Kern, Bild

Sei φ : V → W linear. Ker φ := {0}φ^{−1} = {X ∈ V | Xφ = 0} heißt der Kern von φ. Bild φ := Vφ = {Y ∈ W | es existiert ein X ∈ V mit Xφ = Y } heißt das Bild von φ.

V.3 Bemerkung (Kern/Bild)

Sei φ : V → W linear.

1. Ker φ ≤ V

2. Bild φ ≤ W

3. φ ist injektiv ⇔ Ker φ = {0}

4. φ ist surjektiv ⇔ Bild φ = W

Beweis

1. 0 ∈ Ker φ, also Ker φ ≠ ∅

• Seien X, Y ∈ Ker φ:

⇒_{[φ linear]} (X + Y)φ = Xφ + Y φ = 0 + 0 = 0

d. h. X + Y ∈ Ker φ 1. Sei φ : V → W ein Isomorphismus. Daraus folgt, daß φ linear ist, und φ^{−1} ist linear.

Beweis:

• Für φ gilt dies nach Definition des Isomorphismus.

• Für φ^{−1} : W → V: Dazu seien X, Y ∈ W, a ∈ K

(a)

(X + Y)φ^{−1} = Xφ^{−1} + Y φ^{−1}
⇔ X + Y = (Xφ^{−1} + Y φ^{−1})φ  da φ linear ist.

(b)

(aX)φ^{−1} = a(Xφ^{−1})
⇔ aX = (a(Xφ^{−1}))φ  da φ linear ist.

q.e.d.

2. K[x] → K^{2} : a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ ↦ (a_{0}, a_{1}, a_{3}) ist linear (Schwanz-ab Abbildung).

3. Sei V = K^{I}, i ∈ I fest.

ε_{i} : K^{I} → K : f ↦ if (Einsetzen von i)

ε_{i} : V → K ist linear. Beweis Seien f, g ∈ V, a ∈ K

(f + g)ε_{i} = i(f + g)  (nach Def. ε_{i})
= if + ig  (nach Def. ”+“ in V)
= fε_{i} + gε_{i}  (nach Def. ε_{i})
a(fε_{i}) = a · (if)  (nach Def. ε_{i})
= i(a · f)  (nach Def. ”·“ in V)
= (a · f)ε_{i}  (nach Def. ε_{i})

q.e.d.

4. Zwischenbemerkung: Ist φ : V → W linear, daraus folgt, \underbrace{0φ}_{∈V} = \underbrace{0}_{∈W}

Beweis:

0φ = (0 · 0)φ = 0 · (0φ) = 0

1.

\begin{matrix}α : ℝ^{3} → ℝ^{2} : (a, b, c) ↦ (a, b) \\ β : ℝ^{2} → ℝ^{3} : (a, b) ↦ (a, b, 0) \end{matrix} \} linear

β′ : ℝ^{2} → ℝ^{3} : (a, b, c) ↦ (a, b, 1)  ist nicht linear
αβ : ℝ^{3} → ℝ^{3} : (a, b, c) ↦ (a, b, 0)  ist linear
βα : ℝ^{2} → ℝ^{2} : (a, b) ↦ (a, b)  ist linear

βα = id_{ℝ^{2}} ⇒ β ist injektiv und α ist surjektiv.

2. Seien U, V, W K-Vektorräume, φ : V → W und ψ : W → U linear. Daraus folgt φψ : V → U ist auch linear. Beweis: Seien X, Y ∈ V, a ∈ K

(a)

(X + Y)(φψ) = ((X + Y)φ)ψ
= (Xφ + Y φ)ψ (da φ linear)
= (Xφ)ψ + (Y φ)ψ (da ψ linear)
= X(φψ) + Y (φψ)

(b)

(aX)(φψ) = ((aX)φ)ψ
= (a(Xφ))ψ
= a((Xφ)ψ)
= a(X(φψ))
3. Π_{V} : \underbrace{V ⊕ W}_{=\{(v,w) | v∈V,w∈W\}} → V : (v, w) ↦ v  ist linear.

4. α_{1} : K^{3} → K^{3} : (a, b, c) ↦ (a − b, b + c, c + c) ist linear α_{2} : K^{3} → K^{3} : (a, b, c) ↦ (1 + a, b, c) ist nicht linear α_{3} : K^{3} → K^{3} : (a, b, c) ↦ (a, b^{2}, c^{2}) ist nicht linear (genauer: α_{3} ist linear ⇔ K = ℤ/2ℤ)

5. Sei W ≤ V. ν : V → V/W : X ↦ X + W ist linear (”natürlicher Epimorphismus“), d. h.

\begin{matrix}(X + Y) + W & = (X + W) + (Y + W) \\ a(X + W) & = aX + W \end{matrix} \} (nach Definition)

• Sei a ∈ K, X ∈ Ker φ:

⇒ (aX)φ = a(Xφ) = a · 0 = 0

d. h. aX ∈ Ker φ √

2. Bild φ ≠ ∅, da z. B. 0_{W} = (0_{V})φ ∈ Bild φ. Seien Y, Z ∈ Bild φ, a, b ∈ K Zu zeigen: (aY + bZ) ∈ Bild φ: Dazu seien Y′, Z′ ∈ V mit Y = Y′φ, Z = Z′φ

⇒  aY + bZ = a(Y′φ) + b(Z′φ)
= (aY′ + bZ′)φ ∈ Bild φ √

3. ”⇒“ jeder Vektor hat genau 1 Urbild, also auch der 0-Vektor.

”⇐“ Sei Xφ = Y φ für X, Y ∈ V ⇒ (X − Y)φ = Xφ − Y φ = 0 ⇒ (da Ker φ = {0}) X − Y = 0 ⇒ X = Y √

4. Gilt durch Definition. √

q.e.d.

V.4 Homomorphiesatz

Sei φ : V → W eine lineare Abbildung der K-Vektorräume V, W.

1. ν : V → V/ Ker φ : X ↦ X + Ker φ ist eine surjektive lineare Abbildung (”natürlicher Epimorphismus“). (⇒ Ker ν = Ker φ)

2. φ̃: V/ Ker φ → W : X + Ker φ ↦ Xφ ist eine injektive lineare Abbildung.

3. φ = νφ̃

4. V/ Ker φ ≅ Bild φ (⇒ dim V = dim Ker φ + dim Bild φ)

φ
V ⟶ W

(surjektiv) ν ↘ ↗ φ̃ (injektiv) V/ Ker φ

Beweis

1. Ker φ ≤ V, ν linear (siehe Beispiel V.2 5.).

Zeige nun, daß ν surjektiv ist:

Dazu sei X + Ker φ ∈ V/ Ker φ ⇒ X + Ker φ = Xν √

2. (a) Zeige, daß φ̃ wohldefiniert ist.

Sei X, Y ∈ V mit X + Ker φ = Y + Ker φ Behauptung: Xφ = Y φ Beweis:

X + Ker φ = Y + Ker φ, d. h. X − Y ∈ Ker φ
⇒ Xφ − Y φ = 0
⇒ Xφ = Y φ  √

(b) Zeige, daß φ̃ linear ist. Seien X, Y ∈ V, a, b ∈ K:

(a(X + Ker φ) + b(Y + Ker φ))φ̃

= ((aX + bY) + Ker φ)φ̃  (nach Definition)
= (aX + bY)φ  (nach Definition von φ̃)
= a(Xφ) + b(Y φ)  (da φ linear)
= a(X + Ker φ)φ̃ + b(Y + Ker φ)φ̃
⇒ φ̃ ist linear  √

(c) Zeige, daß φ̃ injektiv ist, d. h. Ker φ̃ = \{\underbrace{0 + Ker φ}_{0-Vektor in V/ Ker φ}\}

Sei X + Ker φ ∈ Ker φ̃

⇒ (X + Ker φ)φ̃ = 0
⇒ Xφ = 0  (nach Definition von φ̃)
⇒ X ∈ Ker φ  √

3. Sei X ∈ V:

X(νφ̃) = (Xν)φ̃  (nach Definition der Komposition)
= (X + Ker φ)φ̃  (naxh Definition von ν)
= Xφ  (nach Definition von φ̃)

⇒ νφ̃ = φ √

4. Zeige: V/ Ker φ ≅ Bild φ Dazu definiere die Abbildung ˜ φ̃:

˜φ̃ : V/ Ker φ → Bild φ : X + Ker φ ↦ Xφ

(Vergleiche ˜ φ̃ mit φ̃, der Bildbereich ist anders.)

\begin{matrix}per Definitionem gilt: ˜ φ̃ ist surjektiv \\ Da φ̃ injektiv ⇒ ˜ φ̃ ist injektiv \\ Da φ̃ linear ⇒ ˜ φ̃ ist linear \end{matrix} \} ˜ φ̃ ist isomorph

q.e.d.

V.5 Isomorphiesatz

Seien U, W ≤ V (⇒ U ≤ U + W ≤ V, U ∩ W ≤ W). Dann gilt:

(U + W)/U ≅ W/(U ∩ W)

[figure: ∘; {0}; ∘; U ∩ W; ∘; U; ∘; W; ∘; U + W; ∘; V]

Beweis

Die Abbildung

φ : W → (U + W)/U : w ↦ w + U

ist linear, da

ν|_{W} = φ wobei ν : V → V/U : v ↦ v + U

φ ist surjektiv, da

Bild φ = {w + U | w ∈ W}
= {w + u + U | w ∈ W, u ∈ U}
= (W + U)/U

Behauptung: Ker φ = U ∩ W Beweis:

Ker φ = {w ∈ W | w + U = U}
= {w ∈ W | w ∈ U} = W ∩ U

Nach dem Homomorphiesatz V.4 gilt:

W/ Ker φ ≅ Bild φ
da Ker φ = W ∩ U und Bild φ = (U + W)/U
⇒  W/(W ∩ U) ≅ (U + W)/U

q.e.d.

V.6 Folgerung aus dem Isomorphiesatz

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit den Unterräumen U und W.

⇒ dim U + dim W = dim(W ∩ U) + dim(U + W)

Beweis

Da W/(W ∩ U) ≅ (U + W)/U gilt nach dem Isomorphiesatz:

dim W/(W ∩ U) = dim(U + W)/U
⇔ dim W − dim(W ∩ U) = dim(U + W) − dim U

q.e.d.

V.7 Anwendung des Homomorpiesatzes

Neuer Beweis von IV.16: Sei A ∈ K^{m×n} und

R_{A} = {B ∈ K^{m×1}|(IV.1) mit M(∗) = (A|B) lösbar}
= ⟨A _{1}, …, A _{n}⟩ ≤ K^{m×1}

Behauptung: K^{n}/L_{0} ≅ R_{A} Beweis:

ψ : K^{n} → R_{A} : (l_{1}, …, l_{n}) ↦ l_{1}A _{1} + ⋯ + l_{n}A _{n}

ist eine surjektive lineare Abbildung. Ker ψ = L_{0} = Lösungsraum von (IV.1_{0})

⇒ (nach dem Homomorphiesatz) K^{n}/ \underbrace{L_{0}}_{=Ker ψ} ≅ \underbrace{R_{A}}_{=Bild ψ}

q.e.d.

V.8 Satz

Sei V ein K-Vektorraum, U, W ≤ V. Weiterhin sei

U = ⟨X_{1}, …, X_{k}⟩
W = ⟨Y_{1}, …, Y_{l}⟩
X = ⟨(X_{1}, X_{1}), …, (X_{k}, X_{k}), (Y_{1}, 0), …, (Y_{l}, 0)⟩ ≤ V ⊕ V
Π : X → V : (X, Y) ↦ X

Dann gilt:

1. Π ist linear

2. Bild Π = U + W

3. Ker Π = {0} ⊕ (U ∩ W)

4. X ≅ U ⊕ W

Beweis

1. Daß Π linear ist, ist klar. √

2. Daß Bild Π = U + W folgt sofort aus der Definition von Π √

3. Sei (0, Z) ∈ Ker Π. Daraus folgt

”⊆“ es existieren X ∈ U und Y ∈ W mit

(0, Z) = (X, X) + (Y, 0)
⇒ X = −Y, Z = X
⇒ Z ∈ U ∩ W

”⊇“ Sei Z ∈ U ∩ W:

⇒ (0, Z) = (Z, Z) + (−Z, 0) ∈ X
⇒ (0, Z) ∈ Ker Π  √

4. Definiere folgende lineare Abbildungen:

α : U ⊕ W → X : (u, w) ↦ (u + w, u) β : X → U ⊕ W : (s, t) ↦ (t, s − t) α und β sind invers zueinander, d. h. αβ = id_{U⊕W}, und βα = id_{X} also liegt ein Isomorphismus vor. √

q.e.d.

V.9 Folgerung

Bei gleichen Voraussetzungen wie beim vorigen Satz gilt:

\underbrace{dim U + dim W}_{\begin{matrix}dim(U⊕W) \\ =dim X \end{matrix}} = dim(\underbrace{U + W}_{Bild Π}) + dim(\underbrace{U ∩ W}_{Ker Π})

Denn nach dem Homomorphiesatz gilt:

\underbrace{dim X − dim Ker Π}_{=dimX / Ker Π} = dim Bild Π

V.10 Folgerung (Zassenhaus-Algorithmus)

Algorithmus zur Bestimmung einer Basis von U + W und U ∩ W: Gegeben seien X_{i}, Y_{i} wie in Satz V.8.

Algorithmus

Wende den Gauß-Algorithmus an auf

((X_{1}, X_{1}), …, (X_{k}, X_{k}), (Y_{1}, 0), …, (Y_{l}, 0))

Man erhält:

((Z_{1}, ∗), …, (Z_{m}, ∗), (0, D_{1}), …, (0, D_{n}), (0, 0), …, (0, 0))

mit Z_{i} ≠ 0 und D_{i} ≠ 0. Dann ist (Z_{1}, …, Z_{m}) eine Basis von U + W und (D_{1}, …, D_{n}) ist eine Basis von U ∩ W.

V.11 Satz (lineare Abb. zwischen Vektorräumen)

Seien V, W K-Vektorräume, V endlich erzeugt und Y_{1}, …, Y_{k} ∈ W.

1. Wenn B_{1}, …, B_{k} ∈ V linear unabhängig sind, daraus folgt, es existiert eine lineare Abbildung

φ : V → W  mit  B_{i}φ = Y_{i}  (i = 1 … k)

2. Sei V = ⟨B_{1}, …, B_{k}⟩ (d. h. (B_{1}, …, B_{k}) bilden ein Erzeugendensystem von V). Daraus folgt, es existiert höchstens eine lineare Abbildung

φ : V → W  mit  B_{i}φ = Y_{i}  (i = 1 … k)

3. Ist (B_{1}, …, B_{k}) eine Basis von V, daraus folgt, es existiert genau eine lineare Abbildung

φ : V → W  mit  B_{i}φ = Y_{i}  (i = 1 … k)

Sei K = 𝔽_{3} = {0, 1, 2} und V = K^{3}.

U = ⟨(1, 1, 1), (1, −1, 1)⟩ W = ⟨(1, 2, 0), (1, 1, −1)⟩

d. h. dim U = 2 und dim W = 2, dim U ∩ W + dim U + W = 1 + 3 = 4 Bestimme nun mit dem Zassenhaus Algorithmus eine Basis von U + W und von U ∩ W.

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & | & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & −1 & | & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) → (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 2 & 2 \end{matrix})

→ (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 2 & 2 \end{matrix})

→ (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 1 \end{matrix})

Daraus folgt : eine Basis von U + W ist ((1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), d. h. U + W = K^{3}, eine Basis von U ∩ W ist: ((1, 0, 1)).

Beispiel V.3: Anwendung des Zassenhaus-Algorithmus

Beweis

1. (B_{1}, …, B_{k}) ist linear unabhängig und V ist endlich erzeugt. Daher kann man (B_{1}, …, B_{k}) zu einer Basis ergänzen und 3. anwenden.

2. Sei φ : V → W linear mit B_{i}φ = Y_{i} und X ∈ V

⇒ X = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{k}B_{k}  für geeignete a_{i} ∈ K
⇒Xφ = a_{1} \underbrace{(B_{1}φ)}_{Y_{1}} + ⋯ + a_{k} \underbrace{(B_{k}φ)}_{Y_{k}}

d. h. Xφ ist bereits festgelegt durch die Bilder Y_{i} der B_{i}, d. h. φ ist eindeutig.

3. Sei X ∈ V, dann existieren a_{1} … a_{k} ∈ K mit

X = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{k}B_{k}

Definiere nun φ durch:

Xφ = a_{1}(B_{1}φ) + ⋯ + a_{k}(B_{k}φ)
= a_{1}Y_{1} + ⋯ + a_{k}Y_{k}

Daraus folgt, daß φ wohldefiniert ist. (Die Darstellung als X = ∑ a_{i}B_{i} ist eindeutig.) Zeige nun φ ist linear:

• Sei X′ ∈ V und a′_{1} … a′_{k} ∈ K mit

X′ = ∑_{i=1}^{k} a′_{i}B_{i}
(X + X′)φ = ((a_{1} + a′_{1})B_{1} + ⋯ + (a_{k} + a′_{k})B_{k})φ
= (a_{1} + a′_{1})Y_{1} + ⋯ + (a_{k} + a′_{k})Y_{k}
= (a_{1}Y_{1} + ⋯ + a_{k}Y_{k}) + (a′_{1}Y_{1} + ⋯ + a′_{k}Y_{k})
= Xφ + X′φ

• Sei a ∈ K :

(aX)φ = (aa_{1}B_{1} + ⋯ + aa_{k}B_{k})φ
= aa_{1}Y_{1} + ⋯ + aa_{k}Y_{k}
= a(a_{1}Y_{1} + ⋯ + a_{k}Y_{k})
= a(Xφ)

Daraus folgt die Existenz der Abbildung. Die Eindeutigkeit folgt aus 2.

V.12 Definition Matrix einer Abbildung

1. Sei φ : V → W eine lineare Abbildung, 𝔅 = (B_{1}, …, B_{m}) eine Basis von V und ℭ = (C_{1}, …, C_{n}) sei eine Basis von W. Weiterhin sei φ definiert durch die Bilder der Basisvektoren:

B_{i}φ = a_{i1}C_{1} + ⋯ + a_{in}C_{n}  mit  a_{ij} ∈ K  für  i = 1 … m

Die a_{ij} sind eindeutig, da ℭ eine Basis von W ist. Dann heißt:

𝔅φ_{ℭ} = (\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix})

die Matrix von φ bezüglich der Basen 𝔅 und ℭ. Die Matrix besteht aus den Koeffiziententupeln (a_{ij}) der Bilder der B_{i} bezüglich der C_{j}

2. Sei X ∈ K^{m×n} und (a_{1}, …, a_{m}) ∈ K^{1×m} = K^{m}. Dann ist

(a_{1}, …, a_{m})X := a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + ⋯ + a_{m}X_{m} ∈ K^{n}

V.13 Erinnerung zum Isomorphismus

Sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{m}) eine Basis von V, dann ist

κ_{𝔅} : V → K^{m} : X = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{m}B_{m} ↦ (a_{1}, …, a_{m}) = X_{𝔅}

ein Isomorphismus.

V.14. Satz (Matrix einer linearen Abbildung)  49

Sei 𝔖 die Standardbasis von K^{4} und φ eine Abbildung φ : K^{4} → K^{4} mit folgender Matix:

𝔖φ_{𝔖} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{matrix})

Sei nun X = (1, 2, 3, 4) ∈ K^{4} dann kann man Xφ wie folgt berechnen:

Xφ = (1, 2, 3, 4) · (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{matrix})
= (1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 0 + 4 · 0,

1 · 0 + 2 · 1 + 3 · 0 + 4 · 2, 1 · 0 + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 0, 1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 0 + 4 · 1)

= (1, 10, 3, 3)

Beispiel V.4: Matrix einer Abbildung

V.14 Satz (Matrix einer linearen Abbildung)

1. Sei X ∈ K^{m×n}. Dann ist die Abbildung

X̃ : K^{m} → K^{n} : (a_{1}, …, a_{m}) ↦ (a_{1}, …, a_{m}) · X

eine lineare Abbildung.

2. Seien V und W K-Vektorräume der Dimension m und n mit den Basen 𝔅 und ℭ, φ : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist das folgende Diagramm kommutativ:

[figure: V; W; φ; K^{n}; K^{m}; κ_{ℭ}; κ_{𝔅}; _{𝔅}φ̃_{ℭ}]

d. h. φκ_{ℭ} = κ_{𝔅}_{𝔅}φ̃_{ℭ}, oder X_{𝔅} ·_{𝔅}φ_{ℭ} = (Xφ)_{ℭ}

Beweis

1. Seien V = (V_{1}, …, V_{m}), und W = (W_{1}, …, W_{m}) ∈ K^{m}, a, b ∈ K

(aV + bW)X̃ = \underbrace{(aV + bW) · X}_{Matrixprodukt}

= (aV_{1} + bW_{1}, …, aV_{m} + bW_{m})X
= (aV_{1} + bW_{1})X_{1} + ⋯ + (aV_{m} + bW_{m})X_{m}
= a(V_{1}X_{1} + ⋯ + V_{m}X_{m} ) + b(W_{1}X_{1} + ⋯ + W_{m}X_{m} )
= a · \underbrace{V · X}_{Matrixprodukt} +b · \underbrace{W · X}_{Matrixprodukt}
= a(V X̃) + b(W X̃)

Also ist X̃ linear. √

2. Sei X ∈ V. Zeige: X_{𝔅} ·_{𝔅}φ_{ℭ} = (Xφ)_{ℭ} Sei also X = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{m}B_{m}, d. h. X_{𝔅} = (a_{1}, …, a_{m}). Da φ linear ist, gilt:

Xφ = a_{1}(B_{1}φ) + ⋯ + a_{m}(B_{m}φ)
= a_{1}(a_{11}C_{1} + ⋯ + a_{1n}C_{n}) + ⋯ + a_{m}(a_{m1}C_{1} + ⋯ + a_{mn}C_{n})

Wir erhalten

(Xφ)_{ℭ} = (a_{1}, …, a_{n}) · (\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix}) = X_{𝔅} ·_{𝔅}φ_{ℭ}

q.e.d.

V.15 Bemerkung (Vektorraum der Abbildungen)

Sei W ein K-Vektorraum, V eine Menge. Dann ist W^{V} = {φ | φ : V → W} wieder ein K-Vektorraum mit

φ + ψ : V → W : v ↦ vφ + vψ  (φ, ψ ∈ W^{V})
a · φ : V → W : v ↦ a · (vφ)  (a ∈ K)

Ist V sogar ein K-Vektorraum, so ist

Hom_{K}(V, W) := {φ : V → W | φ ist linear } ≤ W^{V}

V.16 Satz (Isomorphismus zwischen Matrix und Abbildung)

Seien V und W K-Vektorräume der Dimension m und n mit den Basen 𝔅 und ℭ. Dann gilt:

mat : Hom_{K}(V, W) → K^{m×n} : φ ↦ _{𝔅}φ_{ℭ}

ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. Insbesondere

dim Hom_{K}(V, W) = dim V · dim W = m · n

1. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Die Identitätsabbildung

id : V → V : X ↦ X

hat folgende Matrix:

𝔅id_{𝔅} = (\begin{matrix}1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 & 1 \end{matrix}) = I_{n}

I_{n} heißt die n × n Einheitsmatrix.

2. Sei Π : V ⊕ W → V : (v, w) ↦ v. Weiterhin sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V und ℭ = (C_{1}, …, C_{m}) eine Basis von W. ⇒ 𝔅ℭ = ((B_{1}, 0), …, (B_{n}, 0), (0, C_{1}), …, (0, C_{m})) ist eine Basis von V ⊕ W.

𝔅ℭΠ_{𝔅} = (\begin{matrix}1 & 0 & & … & 0 \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & 0 & ... & ... & ⋮ \\ & ⋮ & ... & & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 & 1 \\ 0 & & … & & 0 \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ 0 & & … & & 0 \end{matrix})

3. Sei V = K^{m}, 𝔅 = 𝔖_{m} = (\underbrace{\underbrace{(1, 0, …, 0)}_{m}, (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1)}_{m}) ist die Standard-

basis von V. Weiterhin sei W = K^{n} und ℭ = 𝔖_{n}. A ∈ K^{m×n} definiert die Abbildung

Ã: K^{m} → K^{n} : x ↦ x · A

Dann ist die Matrix der Abbildung Ã:

𝔅Ã_{ℭ} = A

Beispiel V.5: Matrizen linearer Abbildungen

Beweis

• Die Abbildung mat ist wohldefiniert, da die Matrix wohldefiniert ist.

• Zu zeigen ist, daß mat linear ist:

Seien φ, ψ : V → W linear. Zeige nun

𝔅(a · φ + ψ)_{ℭ} = a(_{𝔅}φ_{ℭ}) +_{𝔅}ψ_{ℭ}

Dazu betrachte die i-te Zeile B_{i} der Matrix:

(B_{i}(a · φ + ψ))_{ℭ} = (a · B_{i}φ + B_{i}ψ)_{ℭ}
= a(B_{i}φ)_{ℭ} + (B_{i}ψ)_{ℭ} √

• Zeige nun daß mat injektiv ist:

Dazu sei φ ∈ Ker mat, d. h.

𝔅φ_{ℭ} = 0–Matrix

d. h. (B_{i}φ)_{ℭ} = (0, …, 0), d. h. B_{i}φ = 0 für alle i, also ist φ die 0–Abbildung. Somit ist Ker mat = {0-Abbildung}, d. h. mat ist injektiv. √

• Zeige mat ist surjektiv:

Satz V.14 zeigt, daß jede Matrix X ∈ K^{m×n} als Matrix einer linearen Abbildung φ : V → W aufgefaßt werden kann. Sei X ∈ K^{m×n}, gesucht ist nun φ : V → W mit _{𝔅}φ_{ℭ} = X Setze φ = κ_{𝔅}X̃(κ_{ℭ}^{−1})

[figure: K^{m}; X̃; K^{n}; V; W; φ; κ_{ℭ}; κ_{𝔅}]

q.e.d.

V.17 Definition Matrixprodukt

Seien A ∈ K^{m×n}, B ∈ K^{n×o}. Dann ist das Matrixprodukt C = A · B ∈ K^{m×o} definiert durch

C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + ⋯ + A_{in}B_{nj}

(d. h. C_{i} = A_{i1}B_{1} + ⋯ + A_{in}B_{n} ) Also C_{i} = A_{i} B, ebenso C _{j} = AB _{j}.

V.18 Satz (Komposition linearer Abbildungen)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 und der Dimension m, W sei ein K-Vektorraum von der Dimension n mit der Basis ℭ und X sei ein K-Vektorraum mit der Basis 𝔇 und dim X = o. Weiter seien φ : V → W und ψ : W → X K-lineare Abbildungen. Dann ist φψ : V → X ebenfalls K-linear und es gilt:

𝔅(φψ)_{𝔇} = _{𝔅}φ_{ℭ} ·_{ℭ}ψ_{𝔇}

d. h. die Hintereinanderausführung linearer Abbildungen ist gleich dem Produkt der zugehörigen Matrizen. Dabei muß man auf die zugehörigen Basen aufpassen.

\underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix})}_{2×3} · \underbrace{(\begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})}_{3×2} = \underbrace{(\begin{matrix}6 & 15 \\ 12 & 30 \end{matrix})}_{2×2}

Beispiel V.6: Matrixprodukt

Beweis

• Zeige: die Hintereinanderausführung φψ ist linear.

Dazu sei X, Y ∈ V und a ∈ K:

(aX + Y)φψ = ((aX + Y)φ)ψ  (nach der Definition der Komposition)
= (a(Xφ) + Y φ)ψ (φ linear)
= a((Xφ)ψ) + (Y φ)ψ (ψ linear)
= a(Xφψ) + Y φψ √

• Zeige: Die Matrix der Hinterinanderausführung ist gleich dem Produkt der Matrizen. Dazu sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{m}). Betrachte nun die i-te Zeile von _{𝔅}(φψ)_{𝔇}:

= (B_{i}(φψ))_{𝔇} (nach Defintion der Matrix)

= ((B_{i}φ)ψ)_{𝔇} (nach Definition Komposition)

= (B_{i}φ)_{ℭ} ·_{ℭ}ψ_{𝔇} (nach Satz V.14) = (i-te Zeile von _{𝔅}φ_{ℭ}) ·_{ℭ}ψ_{𝔇} (nach Satz V.14)

= i-te Zeile von _{𝔅}φ_{ℭ} ·_{ℭ}ψ_{𝔇}  (nach Definition des Matrixproduktes)  √

q.e.d.

V.19 Bemerkung (Grundlage zum Assoziativgesetz)

Seien M, N, O, P Mengen, φ : M → N, ψ : N → O und σ : O → P drei beliebige Abbildungen. Es gilt:

(φψ)σ = φ(ψσ)

Beweis

Sei m ∈ M beliebig.

m((φψ)σ) = (m(φψ))σ  (Definition Komposition)
= ((mφ)ψ)σ  (Definition Komposition)
= (mφ)(ψσ)  (Definition Komposition)
= m(φ(ψσ))

V.20 Folgerung (Assoziativität der Matrizenmultiplikation)

Matrizenmultiplikation ist assoziativ, d. h. für A ∈ K^{m×n}, B ∈ K^{n×o} und C ∈ K^{o×p} gilt:

(AB)C = A(BC)

Beweis

Fasse A, B und C als Matrizen geeigneter linearer Abbildungen Ã, B̃ und C̃ auf und wende die Bemerkung V.19 an:

Ã(B̃C̃) = (ÃB̃)C̃

Jetzt kann man nach Satz V.16 Matrizen nehmen.

q.e.d.

Seien V und W K-Vektorräume der Dimension n mit den Basen B und C. Außerdem sei φ : V → W ein Isomorphismus. (Daraus folgt, daß auch φ^{−1} : W → V linear ist.) Dann gilt:

\underbrace{_{𝔅}φ_{ℭ} ·_{ℭ}φ^{−1}_{𝔅}}_{Matrixprodukt} = \underbrace{_{𝔅}(φφ^{−1})_{𝔅}}_{Komposition}

= _{𝔅}(id_{V})_{𝔅}
= I_{n}

I_{n} ist die Einheitsmatrix. Umgekehrt:

ℭφ^{−1}_{𝔅} ·_{𝔅}φ_{ℭ} = _{ℭ}(φ^{−1}φ)_{ℭ}
= _{ℭ}(id_{W})_{ℭ}
= I_{n}

Beispiel V.7: Matrixprodukt mit der inversen Matrix

V.21 Definition invertierbar

Eine Matrix A ∈ K^{n×n} heißt invertierbar, falls eine Matrix B ∈ K^{n×n} existiert mit A · B = I_{n}. Das Ziel ist nun zu zeigen, daß B eindeutig durch A bestimmt ist.

V.22 Vorbemerkung

Seien M, N endliche Mengen mit gleichvielen Elementen und φ : M → N eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. φ ist injektiv

2. φ ist surjektiv

3. φ ist bijektiv

V.23 Satz (bijektive Abbildungen auf endlich erzeugte Vektorräume)

Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume von gleicher Dimension. φ : V → W sei eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. φ ist injektiv

2. φ ist surjektiv

3. φ ist bijektiv

Beweis

1. ⇒ 2. Sei φ injektiv. Zeige φ ist surjektiv. Nach dem Homomorphiesatz V.4 gilt:

dim Bild φ = dim V − dim \underbrace{Ker φ}_{=\{0\}}

= dim V
= dim W

d. h. Bild φ = W, also ist φ surjektiv. √

2. ⇒ 3. Sei φ surjektiv. Zeige φ ist bijektiv, also zeige φ ist injektiv:

dim Ker φ = \underbrace{dim V}_{=dim W} − \underbrace{dim Bild φ}_{=dim W} = 0

⇒ φ ist injektiv. √

3. ⇒ 1. Sei φ bijektiv, d. h. φ ist nach Definition auch injektiv.

q.e.d.

V.24 Satz (Inverserve Matrix)

1. Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume der selben Dimension. Die lineare Abbildung φ : V → W habe die rechtsinverse Abbildung ψ : W → V, d. h. φψ = id_{V}. Dann ist ψ eindeutig bestimmt und es gilt: ψφ = id_{W}

2. Die Matrix A ∈ K^{n×n} sei invertierbar. Dann ist B ∈ K^{n×n} mit A · B = I_{n} eindeutig bestimmt und es gilt: B · A = I_{n} Bezeichnung: B = A^{−1} heißt die zu A inverse Matrix.

Beweis

1. φψ = id_{V} ⇒ φ ist injektiv ⇒ (nach Satz V.23) φ ist bijektiv, da V endlich erzeugt ist und V und W die gleiche Dimension haben, d. h. ψφ = id_{W} und ψ ist eindeutig durch die Gleichung φψ = id_{V} festgelegt.

2. Wende 1. an:

A ist die Matrix von Ã bezüglich der Standardbasis 𝔖, d. h.:

A = _{𝔖}Ã_{𝔖}

⇒ Behauptung

56  V. Lineare Abbildungen

V.25 Bemerkung (Inverse der Identitätsabbildung)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit den Basen 𝔅 und ℭ, sei id = id_{V}. Dann sind _{𝔅}id_{ℭ} und _{ℭ}id_{𝔅} invers zueinander.

Beweis

𝔅id_{ℭ} ·_{ℭ}id_{𝔅} = _{𝔅}(id id)_{𝔅} = _{𝔅}(id)_{𝔅} = I_{n}
ℭid_{𝔅} ·_{𝔅}id_{ℭ} = _{ℭ}(id id)_{ℭ} = _{ℭ}(id)_{ℭ} = I_{n}

q.e.d.

V.26 Basistransformationssatz

Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume mit der Dimension m und n. V habe die Basen 𝔅_{1} und 𝔅_{2}, W habe die Basen ℭ_{1} und ℭ_{2}. Dann gilt:

\underbrace{_{𝔅_{2}}φ_{ℭ_{2}}}_{m×n} = \underbrace{_{𝔅_{2}}id_{V}_{𝔅_{1}}}_{m×m} · \underbrace{_{𝔅_{1}}φ_{ℭ_{1}}}_{m×n} · \underbrace{_{ℭ_{1}}id_{W}_{ℭ_{2}}}_{n×n}

Beweis

𝔅_{2}id_{V}_{𝔅_{1}} ·_{𝔅_{1}}φ_{ℭ_{1}} ·_{ℭ_{1}}id_{W}_{ℭ_{2}} = _{𝔅_{2}}id_{V} φ id_{W}_{ℭ_{2}}
= _{𝔅_{2}}φ_{ℭ_{2}}

q.e.d.

V.27 Folgerung

Sei φ : V → V linear und 𝔅_{1}, 𝔅_{2} Basen von V.

⇒ _{𝔅_{2}}φ_{𝔅_{2}} = A^{−1} ·_{𝔅_{1}}φ_{𝔅_{1}} · A wobei A = _{𝔅_{1}}id_{𝔅_{2}} ⇒ A^{−1} = _{𝔅_{2}}id_{𝔅_{1}}

Beweis

Folgt aus dem Basistransformationssatz V.26, hier ist W = V, und aus der Bemerkung V.25 q.e.d.

Rechnerische Bestimmung der inversen Matrix

Eine Matrix A ∈ K^{n×n} ist invertierbar (d. h. A gehört zu einem Isomorphismus), falls eine Matrix B ∈ K^{n×n} existiert mit A · B = I_{n} (⇒ B · A = I_{n}). Sei nun eine Matrix A ∈ K^{n×n} gegeben. Gesucht B ∈ K^{n×n} mit:

A · B = I_{n}  (V.1)

Sei B = (B _{1}, …, B _{n}) (B _{i} = i-te Spalte von B)

A · B = A · (B _{1}, …, B _{n}) = (A · B _{1}, …, A · B _{n})

Es gibt somit n verschiedene Gleichungssysteme mit je n unbekannten der Form:

(V.1_{i}) A · B_{i} = (0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0) ← i-te Spalte

(Beachte: Die Matrix A ist gegeben und die Spalte B_{i} ist gesucht.) Die Gleichung (V.1) ist also genau dann gelöst, wenn alle Gleichungen (V.1_{1}) … (V.1_{n}) gelöst sind. Dabei sind die (V.1_{i}) linearen Gleichungsysteme mit ”denselben linken Seiten“, d. h.

M_{l}(V.1_{i}) = A

1. Ist (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) invertierbar?

( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) \overrightarrow{Add_{1,2}(1)} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, also existiert keine Inverse.

2. Bestimme A^{−1} zu A = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (der Körper ist hier noch beliebig).

( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & −1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 1 & −1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 & 1 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

A^{−1} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & −1 \\ −1 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Beispiel V.8: Berechnung der inversen Matrix

Berechnung von Rechtsinversen

Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume mit den Dimensionen n und m und den Basen 𝔅 und ℭ, φ : V → W eine lineare Abbildung. (D. h. _{𝔅}φ_{ℭ} ∈ K^{n×m}) Gesucht ist eine Abbildung ψ : W → V mit φψ = id_{V}, d. h.

𝔅φ_{ℭ} ·_{ℭ}ψ_{𝔅} = _{𝔅}(id_{V})_{𝔅} = I_{n}

Man erhält also ein Gleichungssystem mit n verschiedenen rechten Seiten und m Unbekannten für jede einzelne rechte Seite.

Sei φ : V → W eine lineare Abbildung, V, W K-Vektorräume, dim V = 2, dim W = 3 und

𝔅φ_{ℭ} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

Gesucht ψ : W → V mit φψ = id_{V}. (Wegen dim W > dim V ist φ nicht surjektiv, d. h. es kann keine Linksinverse geben.)

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{matrix}) → (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & 1 & −2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{matrix})

ℭψ_{𝔅} = (\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}−a & −b \\ −a & −b \\ a & b \end{matrix}) (a, b ∈ K)

Beispiel V.9: Berechnung einer Rechtsinversen

V.28 Definition Transponierte Matrix

Sei A = (A_{ij}) ∈ K^{m×n} eine Matrix. (D. h. A kann als die Abbildung:

A : {1, …, m} × {1, …, n} → K : (i, j) ↦ A_{ij}

aufgefaßt werden.) Entsprechend dazu heißt

A^{tr} : {1, …, n} × {1, …, m} → K : (i, j) ↦ A_{ji}

die Transponierte Matrix von A. (A^{tr} ∈ K^{n×M})

Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ∈ K^{2×4} ⇒ A^{tr} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix})

Beispiel V.10: Transponierte Matrix

V.29 Bemerkung (Transponieren eines Matrixproduktes)

Sind A ∈ K^{m×n} und B ∈ K^{n×o}, so gilt:

(A · B)^{tr} = B^{tr} · A^{tr}

V.30. Bemerkung (Spaltenkonvention)  59

Beweis

(A · B)_{ij}^{tr} = (A · B)_{ji}

= A_{j1} · B_{1i} + ⋯ + A_{jn} · B_{ni} = B_{1i} · A_{j1} + ⋯ + B_{ni} · A_{jn} = (B^{tr})_{i1} · (A^{tr})_{1j} + ⋯ + (B^{tr})_{in} · (A^{tr})_{nj} = (B^{tr} · A^{tr})_{ij}

q.e.d.

Anwendung: Berechnung von Linksinversen: Linksinvers(A) = (Rechtsinvers(A^{tr}))^{tr}

Sei A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}). Gesucht eine zugehörige linksinverse Matrix.

A^{tr} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) hat die Matrix (\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}−a & −b \\ −a & −b \\ a & b \end{matrix}) als Rechtsinverse (Siehe Beispiel V.9). ⇒ A hat die Matrix (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}−a & −a & a \\ −b & −b & b \end{matrix}) als Linksinverse.

Beispiel V.11: Berechnung einer Linksinversen

V.30 Bemerkung (Spaltenkonvention)

1. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 = (X_{1}, …, X_{n}). Die Abbildung

𝔅σ : V → K^{n×1} : X = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} ↦ (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) =:^{𝔅} X

ist ein Isomorphismus. (^{𝔅}X := (X_{𝔅})^{tr})

2. Ist X ∈ K^{m×n}, so ist

X ∼ : K^{n×1} → K^{m×1} : (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) ↦ \underbrace{X (a_{1} ; ⋮ ; a_{n})}_{a_{1}X _{1}+···+a_{n}X _{n}}

eine lineare Abbildung.

3. Sei φ : V → W eine lineare Abbildung, wobei V und W K-Vektorräume mit den Basen 𝔅 und ℭ sind. Folgendes Diagramm ist kommutativ:

[figure: K^{n×1}; X ∼; K^{m×1}; V; W; φ; ^{ℭ}σ; ^{𝔅}σ]

Dabei ist X =^{ℭ} φ^{𝔅} := (_{𝔅}φ_{ℭ})^{tr}, d. h. ^{ℭ}(φ(V)) =^{ℭ} φ^{𝔅} ·^{𝔅} V für alle V ∈ V.

4. Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen: V ⟶^{φ} W ⟶^{ψ} X ist linear. Seien 𝔅, ℭ und 𝔇 die zugehörigen Basen. Dann gilt:

ψ ∘ φ : V → X : V ↦ ψ(φ(V))

ist die Hintereinanderausführung, erst φ dann ψ anwenden und es folgt:

𝔇(ψ ∘ φ)^{𝔅} =^{𝔇} φ^{ℭ} ·^{ℭ} φ^{𝔅}

V.30.1 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme

Sei A ∈ K^{m×n} und B ∈ K^{m×1} und (IV.2) ein lineares Gleichungssystem mit M(∗) = (A|B). Interpretiere A als Matrix einer linearen Abbildung:

φ = A ∼ : K^{n×1} → K^{m×1} : (l_{1} ; ⋮ ; l_{n}) ↦ A · (l_{1} ; ⋮ ; l_{n})

(A ist Matrix von A ∼ bezüglich der Standardbasen 𝔖_{n} und 𝔖_{m} von K^{n×1} und K^{m×1} in der Spaltenkonvention.) Das Gleichungssystem bedeutet: ”Suche alle Urbilder B unter der Abbildung A ∼“. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

φ \underbrace{(X_{1} ; ⋮ ; X_{n})}_{gesucht} = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m}) (= B)

Der Spaltenvektor X wird unter der Abbildung φ auf das Produkt mit der Matrix A abgebildet, d. h.

A (X_{1} ; ⋮ ; X_{n}) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m})

Man erhält also folgendes Gleichungssystem, wobei A = (a_{ji}) ∈ K^{m×n}

\begin{aligned}a_{11}X_{1} & + & ⋯ & + & a_{1n}X_{n} & = & b_{1} \\ & ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{m1}X_{1} & + & ⋯ & + & a_{mn}X_{n} & = & b_{m} \end{aligned}  (V.2)

Es gilt: L_{0} = Lösungsraum des Homogenen Gleichungssystems = Ker φ = Ker A ∼. Das Gleichungssy-

stem (V.2) ist lösbar genau dann, wenn ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m}) ∈ Bild A ∼. Ist das Gleichungssystem lösbar, dann ist

die Lösungsmenge das volle Urbild von B unter der Abbildung A ∼. Die Lösungsmenge ist dann eine Restklasse nach Ker A ∼. Nach dem Homomorphisatz gilt: K^{n×1}/ \underbrace{L_{0}}_{=Ker A ∼} ≅ Bild A ∼ = Spaltenraum von A = der Raum der möglichen rechten Seiten, so daß

(V.2) lösbar ist. (⇒ dim L_{0} = dim Ker φ = n − dim Bild φ = n − Rg(A))

V.30.2 Interpretation der elementaren Umformungen

Betrachte die Matrizen der elementaren Umformungen (Alle Matrizen seien m × m-Matrizen):

Per_{ij} = \begin{aligned}(\begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \end{matrix} & {0 \atop 1} & 1 ... 1 & {1 \atop 0} & \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \end{matrix}) & \begin{matrix}← i \\ ← j \end{matrix} \\ & ↑ & & ↑ \\ & i & & j \end{aligned}

Add_{ij}(a) = \begin{aligned}(1 & ^{...} & \begin{matrix}a \\ . & . & . \end{matrix} & 1) & ← i \\ & & ↑ \\ & & j \end{aligned}

Mult_{i}(a) = (\begin{matrix}1 \\ & ... & & & & 0 \\ & & 1 \\ & & & a \\ & & & & 1 \\ & 0 & & & & ... \\ & & & & & & 1 \end{matrix}) ← i  (a ≠ 0)

Sei A·X = B die gegebene Gleichung. Bezeichne die Matrix einer beliebigen elementaren Umformung mit E_{i} (i ∈ ℕ). Durch die elementaren Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht, da die E_{i} invertierbar sind. Wendet man eine elementare Umformung an, so ergibt sich:

(E_{1} · A) · (X_{1} ; ⋮ ; X_{n}) = E_{1} · (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) mit X = (X_{1} ; ⋮ ; X_{n}) und B = (b_{1} ; ⋮ ; b_{n})

wobei (A = (A _{1}, …, A _{n}) ⇒ E_{1}A = (E_{1}A _{1}, …, E_{1}A _{n})) Der Gaußsche Algorithmus bedeutet also: ”ersetze obiges Gleichungssystem durch

(E_{l} … E_{2}E_{1}A) · (X_{1} ; ⋮ ; X_{n}) = E_{l} … E_{2}E_{1} (b_{1} ; ⋮ ; b_{n})

bis Stufengestalt erreicht worden ist.“ Anwendung auf die Berechnung der Inversen:

(A|I_{n}) → (E_{1}A|E_{1}I_{n}) → ⋯ → (\underbrace{E_{l} … E_{1}A}_{I_{n}} | \underbrace{E_{l} … E_{1}}_{A^{−1}} I_{n})

V.31 Satz

Seien V, W und X K-Vektorräume.

1. Sei φ : W → X eine beliebige feste lineare Abbildung.

⇒ \overline{φ} : Hom(V, W) → Hom(V, X) : α ↦ αφ ist linear

[figure: V; W; χ; φ; αφ; α]

(Matrixversion: Sei P ∈ K^{m×o} fest, dann ist die Abbildung K^{n×m} → K^{n×o} : X ↦ XP linear)

2. Ist die Abbildung ψ : V → W linear, so ist auch ψ: Hom(W, X) → Hom(V, X) : β ↦ ψβ linear:

[figure: V; W; χ; β; ψβ; ψ]

\underline{V.31. Satz 63}

Seien a_{1}, …, a_{k} ∈ K fest und

V = {(X_{i}) i ∈ ℕ | X_{n} = a_{1}X_{n−1} + a_{2}X_{n−2} + ⋯ + a_{k}X_{n−k} ∀ n > k} ⇒ V ≤ K^{ℕ}

mit dim V = k. Eine Basis von V ist:

B = ((1, 0, …, 0, \underbrace{a_{k}}_{k+1-te Stelle}, …), (0, 1, 0, …, 0, a_{k−1}, …), …, (0, …, 0, 1, a_{1}, …))

Betrachte nun die Abbildung γ : V → V : (X_{1}, X_{2}, X_{3}, …) ↦ (X_{2}, X_{3}, …). Die zugehörige Matrix ist

𝔅γ_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & a_{k} \\ 1 & 0 & … & 0 & a_{k−1} \\ 0 & ... & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 & a_{2} \\ 0 & … & 0 & 1 & a_{1} \end{matrix}) ∈ K^{k×k}

(z. B. B_{k}γ = B_{k−1} + a_{1}B_{k})

Sei nun k = 2 und K = ℝ, a_{1} = 1 und a_{2} = 1. Dies ergibt die Matrix _{𝔅}γ_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}). (Dies

entspricht der Fibonacci-Folge: X_{n} := X_{n−1} + X_{n−2})

Interpretation: ein Kaninchen-Problem X_{n} ist die Anzahl der neugeborenen Paare von Kaninchen in der Generation n. Dazu gibt es die Regel, daß jedes Paar zu einem Zeitpunkt n geboren wird und jeweils ein neues Paar zum Zeitpunkt n + 1 und n + 2 wirft, und anschlieend stirbt. Das Problem ist, auszurechnen, wieviel Kaninchenpaare zum Zeitpunkt i existieren. Dazu muß man entweder alle Folgenglieder ausrechnen, oder die Abbildung γ i − 1-mal auf das erste Zahlenpaar anwenden,d. h.

(X_{i+1}, X_{i+2}) = (X_{1}, X_{2})_{B}γ^{i}_{B} = (X_{1}, X_{2}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{i}

Betrachte nun die Abbildung γ bezüglich der Basis C mit

ℭid_{𝔅} = (\begin{matrix}1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 1 & \frac{1−\sqrt{5}}{2} \end{matrix})

⇒ (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})

(1, \frac{1 − \sqrt{5}}{2}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1 − \sqrt{5}}{2} (1, \frac{1 − \sqrt{5}}{2})

⇒  _{C}γ^{i}_{C} = (\begin{matrix}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})i & 0 \\ 0 & (\frac{1−\sqrt{5}}{2})i \end{matrix})

D. h. die Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) steigt wie (\frac{1−\sqrt{5}}{2})^{i}.

Beispiel V.12: Die Fibonacci-Folge 1. Es gilt K[X] ≤ K[[X]]. Dann folgt: K[X]_{gr≤n} = {a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n}|a_{i} ∈ K} =

⟨1, x, x^{2}, …, x^{n}⟩ hat die Dimension n + 1. Betrachte nun die Abbildung

′ : K[X] → K[X] : (a_{0} + ⋯ + a_{n}X^{n}) ↦ (a_{1} + 2a_{2}X + ⋯ + na_{n}X^{n−1})
(bzw.) (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, …) ↦ (a_{1}, 2a_{2}, …, na_{n}, 0, …)

Ist n ∈ ℕ und a ∈ K, so ist n · a := \underbrace{a + ⋯ + a}_{n}, und (−n) · a = −(n · a). Die Abbildung ′

ist linear.

2. D_{n} : K[X]_{gr≤n} → K[X]_{gr≤n−1} : p = p(X) ↦ p′ = p′(X) (siehe 1.) ist eine lineare Abbildung, da die Abbildung ′ linear ist. Die zugehörigen Basen sind 𝔅_{n} = (1, X, …, X^{n}) und 𝔅_{n−1} = (1, X, …, X^{n−1}).

⇒ _{𝔅_{n}}(D_{n})_{𝔅_{n−1}} = (\begin{matrix}0 & & … & & 0 \\ 1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 2 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ & & & ... & 0 \\ 0 & … & & 0 & n \end{matrix}) ∈ K^{(n+1)×n}

3. m_{x} : K[X] → K[X] : a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ↦ a_{0}X + a_{1}X^{2} + ⋯ + a_{n}X^{n+1} bzw. (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, …) ↦ (0, a_{0}, …, a_{n}, 0, …) Schreibweise : pm_{x} =: p · X Betrachte nun die Einschränkung von m_{x} auf die Polynome vom Grad ≤ n:

m_{x,n} : K[X]_{gr≤n} → K[X]_{gr≤n+1} : p(X) ↦ p(X) · X bzw. p ↦ p · X

Die zugehörigen Basen sind 𝔅_{n} = (1, …, X^{n}) und 𝔅_{n+1} = (1, …, X^{n+1}). Daraus ergibt sich folgende Matrix:

𝔅_{n}(m_{x,n})_{𝔅_{n+1}} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & ... \\ & & & & ... & ⋮ \\ 0 & & … & & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ K^{(n+1)×(n+2)}

Beispiel V.13: lineare Abbildungen und ihre Matrizen

Beweis

1. • \overline{φ} ist wohldefiniert, denn αφ ist linear.

• Zeige \overline{φ} ist linear: Dazu seien α_{1}, α_{2} ∈ Hom(V, W), weiter sei V ∈ V beliebig.

V ((α_{1} + α_{2})\overline{φ}) = V ((α_{1} + α_{2})φ)  (nach Defnition von \overline{φ})
= (V (α_{1} + α_{2}))φ
= (V α_{1} + V α_{2})φ  (nach Definition von φ)
= (V α_{1}φ + V α_{2}φ)  ( da φ linear)
= V (α_{1}φ + α_{2}φ)
= V (α_{1}\overline{φ} + α_{2}\overline{φ})  (nach Defnition von \overline{φ})
⇒\overline{φ} ist additiv

• Sei a ∈ K:

V ((aα_{1})\overline{φ}) = V ((aα_{1})φ)  (nach Definition von \overline{φ})
= (V (aα_{1}))φ
= a(V α_{1}φ)  (da α_{1} linear, φ linear)
= V (a(α_{1}φ))
= V (a(α_{1}\overline{φ}))  (nach Definition \overline{φ})  √

2. Analog zu 1.

q.e.d.

V.32 Bemerkung (Der kommutative Ring der Polynome)

K[X] bildet einen kommutativen Ring: Seien p, q ∈ K[X] und q = a_{0} +a_{1}X +⋯+a_{n}X^{n} mit a_{i} ∈ K. Die Multiplikation wird definiert durch:

p · q = pq := p \underbrace{(a_{0} · id_{K[X]} +a_{1}m_{x} + ⋯ + a_{n}m_{x}^{n})}_{mq:K[X]→K[X] linear}

Die Multiplikation in K[X] ist kommutativ, denn seien p = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{k}X^{k} und q = b_{0} + b_{1}X + ⋯ + b_{l}X^{l}

⇒ pq = c_{0} + ⋯ + c_{i}X^{i} + ⋯ + c_{k+l}X^{k+l}

mit c_{i} = a_{0}b_{i} + a_{1}b_{i−1} + ⋯ + a_{i−1}b_{1} + a_{i}b_{0} für i = 1 … k + l. Da K kommutativ ist, folgt, daß die Multiplikation in K[X] kommutativ ist. Distributivgesetzt: Seien p, q, r ∈ K[X]. Dann gilt:

• (p + q) · r = p · r + q · r denn m_{r} ist linear

• r · (p + q) = r · p + r · q folgt dann aus der Kommutativität.

Assoziativität der Multiplikation: Seien p, q, r ∈ K[X]. Dann gilt: (p · q) · r = p · (q · r) (d. h.: p · q = pm_{q}) ⇒ (pm_{q})m_{r} = pm_{qr}. Also genügt es zu zeigen, daß m_{q}m_{r} = m_{qr}

Zeige nun, daß K[X] ein kommutativer Ring ist:

Wie wir in der Bemerkung V.32 gesehen haben, genügt es, zu zeigen, daß m_{q}m_{r} = m_{qr}. Dazu betrachte zunächst einen Spezialfall, sei q = x^{i} und r = x^{j}:

m_{x^{i}} · m_{x^{j}} = m_{x^{i+j}}

Dies ist klar, denn

X^{k}(m_{x^{i}}m_{x^{j}}) = X^{(k+i)+j} = X^{k+(i+j)} = X^{k}m_{x^{i+j}}

Dies genügt um die Behauptung zu zeigen, da m_{q} und m_{r} ∈ ⟨ \underbrace{m_{1}}_{=id_{K[X]}}, m_{x}, m_{x^{2}}, … ⟩

(Beachte: (1, X, X^{2}, …) bildet ein Erzeugendensystem von K[X].) Sei z. B. m_{q} = a_{0}m_{1} + a_{1}m_{x} + ⋯ + a_{n}(m_{x})^{n}

⇒  m_{q}m_{r} = (a_{0}m_{1} + a_{1}m_{x} + ⋯ + a_{n}(m_{x})^{n})m_{r}
= (nach V.31 und m_{r} linear )a_{0}(m_{1}m_{r}) + ⋯ + a_{n}((m_{x})^{n}m_{r})

Verfahre ebenso mit m_{r} und wende Satz V.31 an. Dann folgt, da m_{x^{i}}m_{x^{j}} = m_{x^{i+j}}:

m_{q}m_{r} = m_{qr}

Insgesamt: K[X] ist ein kommutativer Ring mit 1.

V.33 Definition Grad, pK[X]

Es sei p = p(X) = a_{0} + a_{1}X + … a_{n}X^{n} ∈ K[X].

1. Ist a_{n} ≠ 0, so heißt n der Grad von p(X). (D. h. für p = 0 ist kein Grad definiert!)

2. pK[X] := {pq|q ∈ K[X]} (= K[X]m_{p} = Bild m_{p})

V.34 Bemerkung (Grad)

1. Seien p, q ∈ K[X], mit p ≠ 0 ≠ q, so gilt:

Grad(p · q) = Grad(p) + Grad(q)

2. Es gilt pK[X] ≤ K[X] (⇔ Bild m_{p} ≤ K[x])

(Beachte: falls p ≠ 0 ⇒ Ker m_{p} = {0}

Beweis: Sei q ∈ Ker m_{p} ⇒ q · p = 0 wäre q ≠ 0 ⇒ Grad qp = Grad q + Grad p ≠ 0)

Insbesondere folgt: pK[X] ≅ K[X] als K-Vektorräume, denn eine ”Basis“ von pK[X] ist (p, p · X, p · X^{2}, …) und von K[X]: (1, X, X^{2}, …).

V.35 Satz

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V → V linear. Sei W ≤ V mit Wφ ⊆ W

1. \overline{φ} : V/W → V/W : X + W ↦ Xφ + W ist eine wohldefinierte lineare Abbildung.

2. Sei W jetzt endlich erzeugt und 𝔅_{W} = (X_{1}, …, X_{k}) eine Basis von W und eine Basis von V sei 𝔅_{V} = (X_{1}, …, X_{k}, X_{k+1}, …, X_{n}), dann ist 𝔅_{V/W} = (X_{k+1} + W, …, X_{n} + W) eine Basis von V/W und

𝔅_{V} φ_{𝔅_{V}} = ( \begin{matrix}_{𝔅_{W}} (φ|_{W})_{𝔅_{W}} & 0 \\ ∗ & _{𝔅_{V/W}} \overline{φ}_{𝔅_{V/W}} \end{matrix} )

Beweis

1. Zeige: \overline{φ} ist wohldefiniert:

Dazu seien X + W, X′ + W ∈ V/W mit X + W = X′ + W

⇒ X − X′ ∈ W
⇒_{[da Wφ ⊆ W]} (X − X′)φ ∈ W
⇒_{[da φ linear]} Xφ − X′φ ∈ W
⇒ Xφ + W = X′φ + W √

\overline{φ} ist linear, da φ linear ist.

q.e.d.

V.36 Satz (Restklasse der Polynome)

Sei p(X) = p = a_{0} + a_{1}X + a_{1}X^{2} + ⋯ + a_{n−1}X^{n−1} + X^{n} ∈ K[X] vom Grad n.

1. dim(K[X]/pK[X]) = Grad(p)

𝔅 = (\overline{1}, \overline{X}, …, \overline{X^{n−1}}) ist eine Basis von K[X]/pK[X], wobei \overline{q} = q + pK[X] (Restklasse von q nach pK[X]).

2. Die Abbildung m_{x} : K[X] → K[X] : q ↦ X · q = q · X erfüllt (pK[X])m_{x} ⊆ pK[X] und die zugehörige Matrix ist:

𝔅\overline{m_{x}}_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & & & ... & 0 \\ 0 & … & … & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & … & … & −a_{n−1} \end{matrix})

Beweis

1. In K[X]/pK[X] ist \overline{p} = 0, also:

\overline{p} = a_{0}\overline{1} + a_{1}\overline{X} + ⋯ + a_{n−1}\overline{X^{n−1}} + \overline{X^{n}}

d. h.

\overline{X^{n}} = −a_{0}\overline{1} − a_{1}\overline{X} − ⋯ − a_{n−1}\overline{X^{n−1}}  (V.3)

Die Idee ist, ”p(X) als Algorithmus aufzufassen“:

• Ersetze \overline{X^{n}} durch (V.3)

• \overline{Xp} = 0 → Ersetze \overline{X^{n+1}} durch −a_{0}\overline{X} − a_{1}\overline{X^{2}} − ⋯ − a_{n−1}\overline{X^{n}}

• \overline{X^{2}p} = 0 → Ersetze \overline{X^{n+2}} durch −a_{0}\overline{X^{2}} − a_{1}\overline{X^{3}} − ⋯ − a_{n−1}\overline{X^{n+1}}

• Behauptung: K[X]/pK[X] = ⟨\overline{1}, \overline{X}, …, \overline{X^{n−1}}⟩ Beweis durch Induktion: Zeige: \overline{x^{i}} ∈ ⟨\overline{1}, \overline{X}, …, \overline{X^{n−1}}⟩ Induktionsanfang: (i = 0, …, n − 1)

X^{0} = \overline{1}, X^{1} = \overline{X} … X^{n−1} = \overline{X^{n−1}} √ Induktionsannahme: \overline{X^{i}} ∈ ⟨\overline{1}, \overline{X}, …, \overline{X^{n−1}}⟩ Induktionsschluß: i → i + 1

\overline{X^{i}} = c_{0}\overline{1} + c_{1}\overline{X} + ⋯ + c_{n−1}\overline{X^{n−1}}  nach I.V.
⇒ \overline{X^{i+1}} = c_{0}\overline{X} + c_{1}\overline{X^{2}} + ⋯ + c_{n−1}\overline{X^{n}}  nach Algorithmus:

= c_{0}\overline{X} + c_{1}\overline{X^{2}} + … c_{n−1}(−a_{0}\overline{1} − a_{1}\overline{X} − ⋯ − a_{n−1}\overline{X}^{n−1})

∈ ⟨\overline{1}, \overline{X}, …, \overline{X^{n−1}}⟩

Also \overline{1}, …, \overline{X^{n−1}} erzeugen K[X]/pK[X].

• Zeige: (\overline{1}, …, \overline{X^{n−1}}) sind linear unabhängig. Dazu seien c_{0}, …, c_{n−1} ∈ K mit

c_{0}\overline{1} + ⋯ + c_{n−1}\overline{X^{n−1}} = 0  d. h.

c_{0}1 + ⋯ + c_{n−1}X^{n−1}

0 oder vom Grad < n

∈ \underbrace{K[X] · p}_{0 oder vom Grad ≥ n}

⇒  c_{0}1 + ⋯ + c_{n−1}X^{n−1} = 0  , d. h.
c_{0} = c_{1} = ⋯ = c_{n−1} = 0

2. Klar ist: K[X] · p · X ⊆ K[X] · p √

\underbrace{\overline{1} ↦ \overline{X} ; \overline{X} ↦ \overline{X^{2}} ; ⋮ ; \overline{X^{n−2}} ↦ \overline{X^{n−1}} ; \overline{X^{n−1}} ↦ \overline{X^{n}} = −a_{0}\overline{1} − ⋯ − a_{n−1}\overline{X^{n−1}}}_{⇓}

𝔅\overline{m_{x}}_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ . & . & . \\ 0 & … & & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & & … & −a_{n−1} \end{matrix})

V.37 Definition Polynomfunktion

Sei K ein Körper. Eine Abbildung f : K → K heißt Polynomfunktion, falls ein n ∈ ℕ ∪ {0} und a_{0}, …, a_{n} ∈ K existieren mit

f : α ↦ a_{0} + a_{1}α + ⋯ + a_{n}α^{n} für alle α ∈ K

Die Menge aller Polynomfunktionen ist PolFu(K) = {f ∈ K^{K}|f ist Polynomfunktion }. (Beachte: PolFu(K) ≤ K^{K})

V.38 Satz (Abbildung von K[X] in die Polynomfunktionen)

1. Die Abbildung ε : K[X] → PolFu(K) : p = p(X) = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ↦ f_{p} mit f_{p} : α ↦ a_{0} + a_{1}α + ⋯ + a_{n}α^{n} ist surjektiv und linear.

2. ε ist ein Isomorphismus, genau dann, wenn K unendlich ist.

V.38. Satz (Abbildung von K[X] in die Polynomfunktionen)  69

1. Sei p = X^{n}:

B\overline{m_{x}}_{B} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & & & ... & & ⋮ \\ ⋮ & & & & ... \\ 0 & & … & & 0 & 1 \\ 0 & 0 & & … & & 0 \end{matrix})

2. Sei p = X^{n} − 1:

B\overline{m_{x}}_{B} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & & & ... & & ⋮ \\ ⋮ & & & & ... \\ 0 & & … & & 0 & 1 \\ 1 & 0 & & … & & 0 \end{matrix})

Beispiel V.14: Matrizen in Polynomrestklasen

Beweis

1. Zeige: ε ist linear. Dazu seien p, q ∈ K[X] und a ∈ K mit:

p = b_{0} + b_{1}X + ⋯ + b_{n}X^{n}
q = c_{0} + b_{1}X + ⋯ + c_{m}X^{m}
Sei oBdA. n ≤ m
⇒  (ap + q)ε = f_{ap+q}
= ab_{0} + c_{0} + (ab_{1} + c_{1})X + ⋯ + (ab_{n} + c_{n})X^{n} +
c_{n+1}X^{n+1} + ⋯ + c_{m}X^{m}
= a(b_{0} + b_{1}X + ⋯ + b_{n}X^{n}) + c_{0} + c_{1}X + ⋯ + c_{m}X^{m}
= a(f_{p}) + f_{q}
= a(pε) + qε  √

Die Surjektivität von ε folgt aus der Definition von PolFu(K), das ja als Bild ε definiert war.

2. Sei ε ein Isomorphismus. Klar ist, daß K[X] als K-Vektorraum nicht endlich erzeugt ist ⇒ PolFu(K) ist auch nicht endlich erzeugt, da ε ein Isomorphismus ist. Aber da PolFu(K) ≤ K^{K} ⇒ K^{K} ist nicht endlich erzeugt ⇒ K ist unendlich. Umgekehrt: Sei K unendlich. Zeige ε ist injektiv, d. h. Ker ε = {0}. Ist p ∈ Ker ε, d. h. p ∈ K[X] mit f_{p} = 0, also f_{p}(a) = 0 für alle a ∈ K ⇒ p(x) = (x − a_{1}) · p_{1}(x) für ein festes a_{1} ∈ K. Sei nun a_{2} ∈ K, a_{2} ≠ a_{1} ⇒ p_{1}(x) = (x − a_{2}) · p_{2}(x) etc. Wäre p(x) ≠ 0, dann zeigt obiger Schluß, daß Grad(p(x)) ≥ n ist für alle n ∈ ℕ. Dies ist aber ein Wiederspruch, ⇒ p = 0 ⇒ Ker ε = {0}

V.39 Lemma (Nullstellen einer Polynomfunktion)

Sei a ∈ K. f_{p}(a) = 0 ⇔ es existiert ein r ∈ K[X] mit p = (X − a) · r

Beweis

”⇐“

f_{p}(a) = (a − a) · f_{r}(a) = 0 √

”⇒“ Teilen mit Rest:

K[X]/(x − a)K[X] ist eindimensional: \overline{p} = b · \overline{1} für ein b ∈ K, d. h.

p = b · 1 + (x − a) · r  für ein r ∈ K[X]
0 = f_{p}(a) = b + 0 · f_{r}(a) = b
⇒ b = 0
d. h. p = (x − a) · r

Allgemein gilt:

f_{p}(a) = b

ℂ = ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X] ist ein ℝ-Vektorraum. Eine Basis ist: (\overline{1}, \overline{x}) Seien p, q ∈ ℝ[X], und entsprechend \overline{p}, \overline{q} ∈ ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X], dann ist:

\overline{p} · \overline{q} = \overline{p · q} = \overline{p}\overline{m_{q}}

denn m_{q} : ℝ[X] → ℝ[X] : s ↦ s · q. Klar ist: ((x^{2} + 1)ℝ[X]) m_{q} ⊆ (x^{2} + 1)ℝ[X] \overline{x}^{2} = \overline{x^{2}} = −1 Setzte nun i := \overline{x}, also ist i^{2} = −1.

Beispiel V.15: Der Körper der komplexen Zahlen

Kapitel VI

Der Dualraum

Zur Erinnerung:

1. Sei K ein Körper, V und W seien K-Vektorräume, dann bildet

Hom_{K}(V, W) = {φ : V → W|φ ist linear}

einen K-Vektorraum der Dimension dim V · dim W.

2. Der Körper K ist auch ein K-Vektorraum mit der Dimension 1.

VI.1 Definition Dualraum

Sei V ein K-Vektorraum, dann heißt V^{∗} := Hom_{K}(V, K) der Dualraum von V. Die Elemente von V^{∗} heißen Linearformen oder lineare Funktionale.

VI.2 Satz

Die Abbildung : K^{n×1} → (K^{1×n})^{∗} : A ↦ Ã ist ein K-Vektorraum-Isomorphismus (siehe Beispiel VI.1).

Beweis

Dieser Satz ist ein Spezialfall von Satz V.16. Hier ist W = K, Hom_{K}(V, W) ≅ K^{n×1}

1. bildet K^{n×1} in (K^{1×n})^{∗} = Hom_{K}(K^{1×n}, K) ab, da Ã eine Linearform ist. (siehe auch Beispiel VI.1).

2. ist linear, denn

• { \atop (A + B)} = Ã + B̃ für A, B ∈ K^{n×1}

• { \atop (aA)} = a(Ã) für A ∈ K^{n×1}, a ∈ K

3. Ker = {0} d. h. ist injektiv, denn sei A = (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) ∈ K^{n×1} mit Ã = 0, daraus folgt, daß

XÃ = 0 für alle X ∈ K^{1×n}. Wähle nun sukzessive

X ∈ \{\underbrace{(1, 0, …, 0)}_{⇒a_{1}=0}, \underbrace{(0, 1, 0, …, 0)}_{⇒a_{2}=0}, …, \underbrace{(0, …, 0, 1)}_{⇒a_{n}=0}\}

1. Sei V = K^{I} für eine Menge I. Für i ∈ I sei

î: V → K : f ↦ if

ist ein lineares Funktional.

Beweis: Zeige î ist linear. Dazu seien f, g ∈ K^{I} und a ∈ K:

(af + g)î = i(af + g)
= a(if) + ig  (nach Definition von +)
= a(fî) + gî
⇒ î ist linear  √

Zum Beispiel sei I = ℕ, V = \{\underbrace{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, …)}_{i↦a_{i}} |a_{i} ∈ K\}

î: (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) ↦ a_{i}

2. Sei V = K[X], a ∈ K:

• ε_{a} : K[X] → K : p ↦ p(a) ist ein lineares Funktional, d. h. ∈ V^{∗}.

• ε′_{a} : K[X] → K : p ↦ p′(a) ist auch ∈ V^{∗}.

• Sei K = ℝ: Die Abbildung ℝ[X] → ℝ : p ↦ ∫_{−1}^{1} f_{p}(u) du ist auch ∈ ℝ[X]^{∗}, wobei f_{p} die von p induzierte Polynomfunktion ist.

3. Sei V = K^{n} = K^{1×n}, und sei A = (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) ∈ K^{n×1}, dann ist

Ã: V → K : X = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x · A

= (x_{1}, …, x_{n}) (a_{1} ; ⋮ ; a_{n})

= x_{1}a_{1} + ⋯ + x_{n}a_{n} ∈ K^{1×1} ≡ K

⇒ Ã ist ein lineares Funktional.

Beispiel VI.1: lineare Funktionale 4. Bild = (K^{1×n})^{∗}, d. h. ist surjektiv. Sei φ ∈ Hom_{K}(K^{1×n}, K), 𝔖_{n} die Standardbasis von

K^{1×n}, sowie (1) die Standardbasis von K.

φ = { \atop _{𝔖_{n}}φ_{(1)}}

𝔖_{n}φ_{(1)} ist die Matrix von φ bezüglich der Basen 𝔖_{n} und (1), d. h. es ist eine n × 1 Matrix, also _{𝔖_{n}}φ_{(1)} ∈ K^{n×1}

q.e.d.

VI.3 Definition Duale Basis

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}). 𝔅^{∗} := (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) heißt die zu 𝔅 duale Basis, wobei β_{i}^{∗} ∈ V^{∗} mit:

β_{i}^{∗} : B_{j} ↦ δ_{ij} := \{ \begin{matrix}0, falls i ≠ j \\ 1, falls i = j \end{matrix}

(δ_{ij} heißt auch das Kronecker-Symbol.) Die Duale Basis gibt die Koordinaten eines Vektors X bezüglich der Basis 𝔅 an:

X = \underbrace{(Xβ_{1}^{∗})}_{∈K} B_{1} + ⋯ + \underbrace{(Xβ_{n}^{∗})}_{∈K} B_{n}

VI.4 Satz (Basis des Dualraums)

𝔅^{∗} ist eine Basis von V^{∗}.

Beweis

1. β_{i}^{∗} ∈ V^{∗} ist wohldefiniert, denn jede lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt.

2. Die β_{i}^{∗} bilden ein Erzeugendensystem von V^{∗}:

V^{∗} = ⟨β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}⟩

Beweis: Eine lineare Abbildung φ ∈ V^{∗} ist durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt. Sei also a_{i} = B_{i}φ für a_{i} ∈ K

⇒ φ = a_{1}β_{1}^{∗} + ⋯ + a_{n}β_{n}^{∗}

3. Das System (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) ist linear unabhängig.

Beweis: Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit a_{1}β_{1}^{∗} + ⋯ + a_{n}β_{n}^{∗} = 0-Abbildung. Durch Anwenden dieser Abbildung auf die Basisvektoren B_{i} ergibt sich: ⇒ a_{i} = 0 i = 1 … n d. h. (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) ist linear unabhängig.

q.e.d.

VI.5 Satz (Koordinatenspalte/-zeile)

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n mit der Basis 𝔅.

κ_{𝔅} : V → K^{1×n} : V ↦ V_{𝔅}  (Koordinatenzeile)
𝔅^{∗}σ : V^{∗} → K^{n×1} : φ ↦^{𝔅^{∗}} φ  (Koordinatenspalte)

1. Für V ∈ V und φ ∈ V^{∗} gilt:

V φ = (V_{𝔅}) · (^{𝔅^{∗}}φ)

2. Für φ ∈ V^{∗} gilt:

\underbrace{^{𝔅^{∗}}φ}_{Sapltenkonvention für Koordinaten} = \underbrace{_{𝔅}φ_{(1)}}_{Zeilenkonvention für Matrizen}

Beweis

Da 1. die gleiche Aussage hat wie 2., also 1. ⇔ 2., braucht nur 2. gezeigt zu werden. Dazu betrachte die beiden Isomorphismen:

𝔅^{∗}σ : V^{∗} → K^{n×1} : φ ↦^{𝔅^{∗}} φ
mat : V^{∗} → K^{n×1} : φ → _{𝔅}φ_{(1)}

𝔅^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) ist die zu 𝔅 duale Basis. Daraus folgt:

β_{i}^{∗}^{𝔅^{∗}}σ = (0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0) ← i-te Zeile = (B_{1}β_{i}^{∗} ; ⋮ ; B_{n}β_{i}^{∗}) = β_{i} mat

Also sind die linearen Abbildungen gleich auf der Basis 𝔅^{∗}, also

𝔅^{∗}σ = mat

q.e.d.

Falls man die Zeilenkonvention für V wählt, so wähle die Spaltenkonvention für den Dualraum V^{∗} und umgekehrt.

VI.6 Satz (Basistransformation)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit den Basen 𝔅_{1} und 𝔅_{2}. Es gilt:

(Spaltenkonvention:)  ^{𝔅_{1}^{∗}}(id_{V^{∗}})^{𝔅_{2}^{∗}} = _{𝔅_{1}}(id_{V})_{𝔅_{2}}  (:Zeilenkonvention)

Beweis

Sei 𝔅_{1}^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}), sowie A = _{𝔅_{1}}id_{𝔅_{2}}. Interpretiere A · A^{−1} = I_{n}(= (δ_{ij})) wie folgt: ”Die i-te Zeile der Matrix A, das ist die Koordinatenzeile des i-ten Vektors aus 𝔅_{1} bezüglich 𝔅_{2}, wird mit der j-ten Spalten von A^{−1} multipliziert.“

i^{(  )} · ^{(  )}^{j}= (δ_{ij})

Also ist A^{−1} die Matrix von β_{j}^{∗} bezüglich 𝔅_{2}^{∗}, d. h. A^{−1} = ^{𝔅_{2}^{∗}}(id_{V^{∗}})^{𝔅_{1}^{∗}} Die j-te Spalte der Matrix ist die Koordinatenspalte von β_{j}^{∗} bezüglich 𝔅_{2}^{∗}, d. h.

A = ^{𝔅_{1}^{∗}}(id_{V^{∗}})^{𝔅_{2}^{∗}} q.e.d.

Zur Dualität von Teilräumen

VI.7 Definition Annulator

Sei V ein K-Vektorraum.

1. Ist U ⊆ V, so heißt U^{⊥} := {φ ∈ V^{∗} | uφ = 0 für alle u ∈ U} der Annulator von U.

2. Ist X ⊆ V^{∗}, so heißt ^{⊥}X := {V ∈ V | V φ = 0 für alle φ ∈ X } der Annulator von X.

VI.8 Bemerkung (zum Annulator)

Es gilt:

1. U^{⊥} ≤ V^{∗} und ^{⊥}X ≤ V

2. ⟨U⟩^{⊥} = U^{⊥} und ^{⊥}⟨X ⟩ =^{⊥} X

Beweis

1. Seien φ, ψ ∈ U^{⊥}.

Behauptung: φ + ψ ∈ U^{⊥}

u ∈ U ⇒ uφ = 0 und uψ = 0
⇒ uφ + uψ = u(φ + ψ) = 0
⇒ φ + ψ ∈ U^{⊥}

Der Beweis für ^{⊥}X ≤ V geht analog.

2. Sei φ ∈ U^{⊥} ⇔ U ⊆ Ker φ ⇔ ⟨U⟩ ⊆ Ker φ, d. h.

U^{⊥} = ⟨U⟩^{⊥}

Der Beweis für ^{⊥}X = ⟨X ⟩ geht analog.

VI.9 Dualitätssatz

Sei V endlich erzeugt und T (V) eine Menge von Teilräumen von V, sowie die Abbildungen

.^{⊥} : T (V) → T (V^{∗}) : U ↦ U^{⊥}
⊥. : T (V^{∗}) → T (V) : X ↦^{⊥} X

wie oben definiert.

1. ^{⊥}(U^{⊥}) = U

2. (^{⊥}X)^{⊥} = X 3. U_{1} ≤ U_{2} ≤ V ⇒ U_{1}^{⊥} ≥ U_{2}^{⊥}

4. X_{1} ≤ X_{2} ≤ V^{∗} ⇒ ^{⊥}X_{1} ≥^{⊥} X_{2}

5. Insbesondere gilt:

{0}^{⊥} = V^{∗}  ^{⊥}{0} = V  V^{⊥} = {0}  ^{⊥}(V^{∗}) = {0}

6. dim U + dim U^{⊥} = dim V = dim V^{∗}

7. dim X + dim^{⊥} X = dim V^{∗} = dim V

D. h. .^{⊥} und ^{⊥}. sind zwei bijektive, inklusionsumkehrende Abbildungen, welche invers zueinander sind (Galois Korrespondenz).

[figure: V; V^{∗}; ^{⊥}X_{1} = U_{2}; ^{⊥}X_{2} = U_{1}; 0; 0; U_{2}^{⊥} = X_{1}; U_{1}^{⊥} = X_{2}]

Beweis

1. Zu zeigen ist: ^{⊥}(U^{⊥}) = U:

Es ist klar, daß U ⊆^{⊥} (U^{⊥}), da U^{⊥} aus allen φ ∈ V^{∗} besteht, die U auf 0 abbilden. Zeige also nun die Gleichheit. Dazu sei (B_{1}, …, B_{k}) eine Basis von U, und 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V, sowie 𝔅^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) die zugehörige duale Basis von V^{∗}. Behauptung: (β_{k+1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) ist eine Basis von U^{⊥}.

• Es ist klar, daß sie linear unabhängig sind, da 𝔅^{∗} eine Basis ist.

• Sie liegen in U^{⊥}:

B_{i}β_{k+j}^{∗} = 0 für i ≤ k, j ≥ 1 ⇒ Uβ_{k+j}^{∗} = 0

• Sei β ∈ U^{⊥}.

⇒ es existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit β = a_{1}β_{1}^{∗} + ⋯ + a_{n}β_{n}^{∗}

a_{i} = B_{i}β

⟹^{β∈U^{⊥}} a_{1} = ⋯ = a_{k} = 0 d. h. β = a_{k+1}β_{k+1}^{∗} + ⋯ + a_{n}β_{n}^{∗} also:

U^{⊥} ⊆ ⟨β_{k+1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}⟩ √

2. Analog zu 1: (φ_{1}, …, φ_{l}) sei eine Basis von X, und ℭ = (φ_{1}, …, φ_{l}, …, φ_{n}) eine Basis von V^{∗}. ⇒ es existiert eine Basis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) von V mit ℭ = 𝔅^{∗} ⇒ (B_{l+1}, …, B_{n}) ist eine Basis von ^{⊥}X, wie oben. √

3. und 4 und direkt daraus folgend 5 sind klar.

6. Aus 1. erhalten wir:

\underbrace{dim U}_{k} + \underbrace{dim U^{⊥}}_{n−k} = \underbrace{dim V}_{n} = dim V^{∗} √

7. Analog zu oben.

VI.10. Definition transponierte Abbildung  77

Sei U = ⟨(1, 1, 1, 1)⟩

U^{⊥} = {(x_{1} ; ⋮ ; x_{4}) | (1, 1, 1, 1) (x_{1} ; ⋮ ; x_{4}) = 0}

= ⟨(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})⟩ := X ≤ V^{∗}

⊥X = {V ∈ V | V φ = 0 für alle φ ∈ X }

= \{Y := (y_{1}, …, y_{4}) | Y (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0 Y (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) = 0 Y (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) = 0\}

= ⟨(1, 1, 1, 1)⟩

Beispiel VI.2: Annulatoren

Anwendung auf homogene lineare Gleichungssysteme

\begin{matrix}a_{11}X_{1} & + ⋯ + & a_{1n}X_{n} & = & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}X_{1} & + ⋯ + & a_{mn}X_{n} & = & 0 \end{matrix} \}  mit  (X_{1}, …, X_{n}) ∈ K^{1×n}  (VI.1)

Betrachte nun die folgende Abbildung:

δ_{i} : V → K : (X_{1}, …, X_{n}) ↦ a_{i1}X_{1} + ⋯ + a_{in}X_{n}

Wie man sieht ist δ_{i} ∈ V^{∗}. Das Gleichungssystem (VI.1) hat nun folgende Lösungsmenge:

(V I.1) : {(X_{1}, …, X_{n}) ∈ K^{n} | (X_{1}, …, X_{n})δ_{i} = 0 i = 1, …, m}

D. h. ⟨δ_{1}, …, δ_{m}⟩ ≤ V^{∗} gesucht ist nun ^{⊥}⟨δ_{1}, …, δ_{m}⟩ ≤ V , der Lösungsraum. Aus VI.9 wissen wir:

dim \underbrace{^{⊥}⟨δ_{1}, …, δ_{m}⟩}_{L_{0}} + \underbrace{dim⟨δ_{1}, …, δ_{m}⟩}_{Rg(A)} = dim K^{n} = n

mit A := (a_{i}j). Also gibt dies einen neuen Beweis für dim L_{0} + Rg(A) = n.

Transponieren von linearen Abbildungen VI.10 Definition transponierte Abbildung

Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume, α : V → W eine lineare Abbildung.

α^{tr} : W^{∗} → V^{∗} : φ → αφ

heißt die zu α transponierte Abbildung.

[figure: V; W; K; αφ ∈ V^{∗}; φ ∈ W^{∗}; α]

VI.11 Satz (Matrix und die transponierte Matrix)

Sei die Abbildung α : V → W linear.

1. α^{tr} : W^{∗} → V^{∗} ist linear.

2. Seien 𝔅 und ℭ Basen von V und W. Dann gilt:

(Spaltenkonvention:) ^{𝔅^{∗}}(α^{tr})^{ℭ^{∗}} = _{𝔅}α_{ℭ} (:Zeilenkonvention)

(Vergleiche auch Satz VI.6: α = id.) Falls beidemale dieselbe Konvention benutzt wird, muß die Matrix transponiert werden.

Beweis

1. Dies ist ein Spezialfall von Satz V.31 2.

Seien φψ ∈ W^{∗}, a ∈ K

α^{tr}(aφ + ψ)

Abb. links

= \underbrace{α(aφ + ψ)}_{nat. Konv.}

= α(aφ) + αψ = a αφ + αψ = a α^{tr}(φ) + α^{tr}(ψ) √

2. Sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{m}) eine Basis von V, 𝔅^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{m}^{∗}) die entsprechende duale Basis von V^{∗}, ℭ = (C_{1}, …, C_{n}) eine Basis von W und ℭ^{∗} = (γ_{1}^{∗}, …, γ_{n}^{∗}) die zugehörige duale Basis von W^{∗}. Dann ist:

(_{𝔅}α_{ℭ})_{ij} = (B_{i}α)γ_{j}^{∗}
= B_{i} (α^{tr}(γ_{j}^{∗})) (nach Definition von α^{tr})
= (^{𝔅^{∗}}(α^{tr})^{ℭ^{∗}})_{ij} √

q.e.d.

Beachte: Sei (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V, (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) die zugehörige duale Basis von V^{∗}. Für X ∈ V gilt:

X = (Xβ_{1}^{∗})B_{1} + ⋯ + (Xβ_{n}^{∗})B_{n}

Für φ ∈ V^{∗} gilt:

φ = (B_{1}φ)β_{1}^{∗} + ⋯ + (B_{n}φ)β_{n}^{∗}

VI.12 Satz (Kern, Bild der transpoinierten Abbildung)

Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume, α : V → W eine lineare Abbildung und α^{tr} : W^{∗} → V^{∗}.

1. (Ker α)^{⊥} = Bild α^{tr} (≤ V^{∗})

2. (Bild α)^{⊥} = Ker α^{tr} (≤ W^{∗})

[figure: {0}; Ker α; V; α; W; {0}; Bild α; W^{∗}; {0}; (Bild α)^{⊥}; = Ker α^{tr}; Bild α^{tr} = (Ker α)^{⊥}; V^{∗}; α^{tr}]

Beweis

1. ”⊇“ Sei φ ∈ Bild α^{tr}. Daraus folgt, es existiert ein ψ ∈ W^{∗} mit φ = a^{tr}(ψ). Für alle X ∈ Ker α gilt:

Xφ = Xα^{tr}(ψ) = Xαψ = 0ψ = 0

⇒ φ ∈ (Ker α)^{⊥} ”⊆“ Nach dem Dualitätssatz ist diese Aussage äquivalent mit Ker α ⊇^{⊥} (Bild α^{tr}). Sei also

V ∈^{⊥} (Bild α^{tr}) ⇒ V (α^{tr}(ψ)) = 0 für alle ψ ∈ W^{∗}, d. h. \underbrace{(V α)}_{∈W} ψ = 0 für alle

ψ ∈ W^{∗} ⇒ V α = 0 ⇒ V ∈ Ker α √

2. ”⊇“ Zeige: (Bild α)^{⊥} = Ker α^{tr} Sei ψ ∈ Ker α^{tr}. Dann ist α^{tr}(ψ) = 0 also V (α^{tr}(ψ)) = 0 für alle V ∈ V ⇒ (V α)ψ = 0 für alle V ∈ V ⇒ ψ ∈ (Bild α)^{⊥}

”⊆“ Sei ψ ∈ (Bild α)^{⊥}

⇒ für alle V ∈ V gilt:  \underbrace{(V α)ψ}_{V α^{tr}(ψ)} = 0
⇒ α^{tr}(ψ) = 0  d. h. ψ ∈ Ker α^{tr}  √

q.e.d.

VI.13 Folgerung

α injektiv ⇔ α^{tr} surjektiv
α surjektiv ⇔ α^{tr} injektiv

Beweis

Folgt sofort aus obigem Satz VI.12

Neuer Beweis für Satz IV.18

Sei A ∈ K^{m×n}, α = Ã: K^{1×m} → K^{1×n} : V ↦ V A Behauptung: Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A) Beweis:

Zeilenrang(A) = dim Bild α

= dim K^{1×m} − dim Ker α

= dim(Ker α)^{⊥}

= dim Bild α^{tr} = Spaltenrang(A)

Bild α ist der Zeilenraum von A (= Z(A)). (Bild α)^{⊥} ist der Spaltenraum, der den Zeilenraum annuliert, d. h. wir sprechen über die homogenen linearen Gleichungen, die Z(A) als Lösung hat.

Kapitel VII

Bilinearformen

1. K[X] × K[X] → K[X] : (p, q) ↦ pq ist eine Abbildung, die sowohl in der ersten, als auch in der zweiten Komponente linear ist.

(ap_{1} + bp_{2})q = ap_{1}q + bp_{2}q a, b ∈ K p_{1}, p_{2}, q ∈ K[X]

2. Seien V, W und U K-Vektorräume. Dann ist die Abbildung

Hom_{K}(V, W) × Hom_{K}(W, U) → Hom_{K}(V, U) : (φ, ψ) ↦ φψ

in beiden Komponenten linear.

3. In Matrizen:

K^{m×n} × K^{n×o} → K^{m×o} : (A, B) ↦ A · B

z. B. A(b_{1}B_{1} + b_{2}B_{2}) = b_{1}AB_{1} + b_{2}AB_{2} Im folgenden behandeln wir nur K-wertige bilineare Abbildungen.

Beispiel VII.1: Bilineare Abbildungen

VII.1 Definition Bilinearform

Sei V ein K-Vektorraum. Dann heißt Φ : V × V → K bilineare Abbildung oder Bilinearform, falls für alle a, b ∈ K V, V′, W, W′ ∈ V gilt:

Φ(aV + bV′, W) = aΦ(V, W) + bΦ(V′, W)  und
Φ(V, aW + bW′) = aΦ(V, W) + bΦ(V, W′)

VII.2 Bemerkung (Linearität in den Komponenten)

Sei Φ : V × V → K eine Abbildung. Φ ist bilinear ⟺

1. Φ_{,W} : V → K : V ↦ Φ(V, W) ist linear für alle W ∈ V

2. Φ_{W,} : V → K : V ↦ Φ(W, V) ist linear für alle W ∈ V

d. h. Φ_{,W} , Φ_{W,} ∈ V^{∗} für alle W ∈ V.

Beweis

Folgt direkt aus der Definition der Bilinearform.

1. Seien δ_{1}, δ_{2} ∈ V^{∗}.

⇒ δ_{1} ⊗ δ_{2} = Φ : V × V → K : (V, W) ↦ \underbrace{(V δ_{1}) · (W δ_{2})}_{Produkt in K}

ist eine Bilinearform (folgt aus der Bemerkung VII.2).

2. Seien a, b ∈ K fest.

K[X] × K[X] → K : (p, q) ↦ p(a) · q(b)

ist eine Bilinearform. 3.

ℝ[X] × ℝ[X] → ℝ : (p, q) ↦ ∫_{−1}^{2} f_{p}(u) · f_{q}(u) du

ist eine Bilinearform. (f_{p} ist die Polynomfunktion zu p)

4. Sei V = K^{n}.

⇒ Φ : V × V → K : ((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) ↦ x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} ist eine Bilinearform.

Beachte: 1. Die bilineare Abbildungen V × V → K bilden einen Teilraum von K^{V×V}.

2. Sei 𝔖_{n} die Standardbasis von K^{n} und 𝔖_{n}^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) die duale Basis.

⇒ Φ = β_{1}^{∗} ⊗ β_{1}^{∗} + β_{2}^{∗} ⊗ β_{2}^{∗} + ⋯ + β_{n}^{∗} ⊗ β_{n}^{∗}

d. h. seien Φ_{1}, Φ_{2} : V × V → K und a, b ∈ K

⇒ (aΦ_{1} + bΦ_{2}) : V × V → K : (V, W) ↦ aΦ_{1}(V, W) + bΦ_{2}(V, W)

ist bilinear.

Beispiel VII.2: Bilinearformen

VII.3 Satz (Bilinearform einer Matrix)

1. Sei K^{n} = K^{1×n} und A ∈ K^{n×n}, dann ist

Ã ∼ : K^{n} × K^{n} → K : (X, Y) ↦ \underbrace{X}_{1×n} \underbrace{A}_{n×n} \underbrace{Y^{tr}}_{n×1} ∈ K ≡ K

eine Bilinearform.

2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) und Φ : V × V → K bilinear und A = (Φ(B_{i}, B_{j}))_{1≤i,j≤n}. Dann ist folgendes Diagramm kommutativ:

[figure: V × V; κ_{𝔅} × κ_{𝔅}; K^{n} × K^{n}; K; Ã ∼; Φ; (V, W); (V_{𝔅}, W_{𝔅}); Φ(V, W) = V_{𝔅}A(W_{𝔅})^{tr}]

d. h. Φ(V, W) = V_{𝔅}A(W_{𝔅})^{tr} für alle V, W ∈ V.

Beweis

1. Zeige Ã ∼ ist in beiden Komponenten linear.

Dazu seien X = (X_{1}, …, X_{n}), Y = (Y_{1}, …, Y_{n}), X′ = (X′_{1}, …, X′_{n}) ∈ K^{n} und a, b ∈ K

Ã ∼(aX + bX′, Y) = (aX + bX′)(AY^{tr})
= a(XAY^{tr}) + b(XAY^{tr}) (da Matrixprodukt distributiv)
= aÃ ∼(X, Y) + bÃ ∼(X, Y)

d. h. Ã ∼ ist linear in der ersten Komponente. Der Beweis für die Linearität in der zweiten Komponente geht analog.

2. Seien V, W ∈ V mit

V = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n}  mit a_{i} ∈ K
W = b_{1}B_{1} + ⋯ + b_{n}B_{n}  mit b_{i} ∈ K
Φ(V, W) = Φ(a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n}, W)
= a_{1}Φ(B_{1}, W) + ⋯ + a_{n}Φ(B_{n}, W)  (linear in der 1. Komponente)
= (a_{1}, …, a_{n}) · (Φ(B_{1}, W) ; ⋮ ; Φ(B_{n}, W))  (VII.1)
= (a_{1}, …, a_{n}) · (b_{1}Φ(B_{1}, B_{1}) + ⋯ + b_{n}Φ(B_{1}, B_{n}) ; ⋮ ; b_{1}Φ(B_{n}, B_{1}) + ⋯ + b_{n}Φ(B_{n}, B_{n})) (linear in der 2. Komponente)
= \underbrace{(a_{1}, …, a_{n})}_{V_{𝔅}} A \underbrace{(b_{1} ; ⋮ ; b_{n})}_{(W_{𝔅})^{tr}}
= V_{𝔅}A(W_{𝔅})^{tr}

Denn betrachte in (VII.1) die i-te Zeile des Spaltenvektors der Φ(B_{i}, W). Durch die Linearität in der zweiten Komponente ergibt sich:

Φ(B_{i}, W) = b_{1} \underbrace{Φ(B_{i}, B_{1})}_{A_{i1}} + ⋯ + b_{n} \underbrace{Φ(B_{i}, B_{n})}_{A_{in}}

= i-te Zeile von A (b_{1} ; ⋮ ; b_{n})

q.e.d.

VII.4 Definition Grammatrix

1. Sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis des K-Vektorraums V und Φ : V × V → K eine Bilinearform, dann heißt Φ_{𝔅𝔅} = (Φ(B_{i}, B_{j}))_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} die Matrix der Bilinearform Φ bezüglich der Basis 𝔅, oder die Grammatrix bezüglich der Basis 𝔅. (Somit ist Φ(V, W) = V_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(W_{𝔅})^{tr} für alle V, W ∈ V.)

2. BiFo(V) := {Φ | Φ : V × V → K ist bilinear}

VII.5 Satz (Isomorphismus zwischen BiFo(V) und Grammatrix)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum der Dimension n und 𝔅 eine Basis von V. Dann gilt:

1. BiFo(V) ≤ K^{V×V}

2. Die Abbildung

ψ : BiFo(V) → K^{n×n} : Φ ↦ Φ_{𝔅𝔅}

ist ein Isomorphismus. (Insbesondere: dim BiFo(V) = n^{2})

Beweis

2. • Zeige ψ ist linear. Dazu seien Ψ, Φ ∈ BiFo(V) und a, b ∈ K. Betrachte nun die (i, j)-te Komponente von ψ(aΦ + bΨ) = (aΦ + bΨ)_{𝔅𝔅}: Nach der Definition von ”+“ und ”·“ in K^{V×V} gilt:

(aΦ + bΨ)(B_{i}, B_{j}) = aΦ(B_{i}, B_{j}) + bΨ(B_{i}, B_{j})

also:

(aΦ + bΨ)_{𝔅𝔅} = aΦ_{𝔅𝔅} + bΨ_{𝔅𝔅}

d. h. ψ ist linear. √

• Zeige ψ ist injektiv, d. h. Ker ψ = {0} Dazu sei Φ ∈ Ker ψ

⇒  Φ_{𝔅𝔅} = (0)
⇒Φ(B_{i}, B_{j}) = 0  für 1 ≤ i, j ≤ n
⇒ Φ(X, Y) = ∑_{i,j} a_{i}b_{i} \underbrace{Φ(B_{i}, B_{j})}_{0} = 0  √

d. h. Φ = 0 ⇒ ψ ist injektiv.

VII.6. Satz (Transformationsgesetz)  85

• Zeige ψ ist surjektiv. Sei A ∈ K^{n×n} dann ist nach Satz VII.3 Ã ∼ eine Bilinearform und es

existiert ein Φ ∈ BiFo(V) mit Φ_{𝔅𝔅} = A √

q.e.d.

VII.6 Satz (Transformationsgesetz)

Sei V eine endlich erzeugter K-Vektorraum mit den Basen 𝔅 und ℭ, sowie Φ : V × V → K eine Bilinearform. Dann gilt:

Φ_{𝔅𝔅} = _{𝔅}id_{ℭ} · Φ_{ℭℭ} · (_{𝔅}id_{ℭ})^{tr}

Beweis

Seien X, Y ∈ V beliebig.

⇒  Φ(X, Y) = X_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(Y_{𝔅})^{tr}

= (X_{ℭ}_{ℭ}id_{𝔅})Φ_{𝔅𝔅} \underbrace{(Y_{ℭ}_{ℭ}id_{𝔅})^{tr}}_{(_{ℭ}id_{𝔅})^{tr}(Y_{ℭ})^{tr}}

= X_{ℭ} (_{ℭ}id_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(_{ℭ}id_{𝔅})^{tr}) (Y_{ℭ})^{tr} = X_{ℭ}Φ_{ℭℭ}(Y_{ℭ})^{tr}

Setze alle Paare von Basisvektoren von ℭ ein, dann greift (C_{i}, C_{j}) gerade die (i, j)-te Komponente raus, z. B.

(1, 0, …, 0) · (A_{ij}) (0 1 0 ⋮ 0) = A_{12}
⇒ _{ℭ}id_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(_{ℭ}id_{𝔅})^{tr} = Φ_{ℭℭ}

q.e.d.

VII.7 Definition symmetrische Bilinearform, Skalarprodukt

1. Sei Φ : V × V → K eine Bilinearform. Φ heißt symmetrische Bilinearform oder Skalarprodukt,

falls

Φ(V, W) = Φ(W, V) für alle V, W ∈ V

2. A ∈ K^{n×n} heißt symmetrisch, falls A^{tr} = A.

VII.8 Bemerkung (Matrix des Skalarproduktes)

Sei 𝔅 eine Basis von V.

Φ ist symmetrisch ⇔ Φ_{𝔅𝔅} ist symmetrisch

Beweis

”⇒“ Sei Φ symmetrisch.

⇒  \begin{matrix}Φ_{𝔅𝔅} : (i, j) ↦ Φ(B_{i}, B_{j}) \\ Φ_{𝔅𝔅}^{tr} : (i, j) ↦ Φ(B_{j}, B_{i}) \end{matrix}\} ⇒ Φ_{𝔅𝔅} = Φ_{𝔅𝔅}^{tr}  da Φ(B_{i}, B_{j}) = Φ(B_{j}, B_{i})

”⇐“ Sei Φ_{𝔅𝔅} symmetrisch, V, W ∈ V

⇒ Φ(V, W) = V_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(W_{𝔅})^{tr} ∈ K (a ∈ K ⇒ a^{tr} = a)
= (V_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(W_{𝔅})^{tr})^{tr}
= W_{𝔅}(Φ_{𝔅𝔅})^{tr}(V_{𝔅})^{tr}
= W_{𝔅}Φ_{𝔅𝔅}(V_{𝔅})^{tr}
= Φ(W, V)

q.e.d.

VII.9 Definition orthogonal, Radikal, nicht ausgeartet

Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt Φ.

1. X, Y ∈ V heißen orthogonal (zueinander) bezüglich Φ, falls Φ(X, Y) = 0.

Bezeichnung: X⊥Y (stehen senkrecht bezüglich Φ aufeinander)

2. Sei U ⊆ V, dann heißt U^{⊥_{Φ}} = U^{⊥} := {X ∈ V | X⊥U für alle U ∈ U} der Orthogonal–Raum von U. (Spezialfall: U ≤ V) Insbesondere heißt V^{⊥} =: Rad_{Φ}(V) das Radikal von V bezüglich Φ.

3. Φ heißt nicht ausgeartet, falls Rad_{Φ}(V) = {0}

VII.10 Bemerkung

Sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt Φ.

1. X⊥Y ⇔ Y ⊥X

2. U ⊆ V ⇒ U^{⊥} ≤ V

3. Φ ist nicht ausgeratet ⇔ nur der 0–Vektor steht senkrecht auf allen Vektoren von V

VII.11 Satz (Skalarprodukt - Dualraum)

Sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt Φ.

1. \overline{Φ} : V → V^{∗} : V ↦ Φ_{V} mit W Φ_{V} := Φ(W, V) für alle W ∈ V ist eine lineare Abbildung.

2. Ker \overline{Φ} = Rad_{Φ}(V)

3. Ist V endlich erzeugt, so gilt: \overline{Φ} ist ein Isomorphismus ⇔ Φ ist nicht ausgeartet. Bemerkung: In diesem Fall ist \overline{Φ} sogar ein basisunabhängiger Isomorphismus.

4. _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}} = Φ_{𝔅𝔅}

Beweis

1. Die Wohldefiniertheit von \overline{Φ} folgt aus der Linearität von Φ in der ersten Komponente. Die Linearität von \overline{Φ} folgt aus der Linearität von Φ in der zweiten Komponente.

W ((aV + bV′)\overline{Φ}) = W Φ_{aV +bV′}
= Φ(W, aV + bV′)
= aΦ(W, V) + bΦ(W, V′)
= W (a(V \overline{Φ}) + b(V′\overline{Φ})) √

2. Sei V ∈ Ker \overline{Φ}, d. h.

Φ_{V} ist die 0-Abbildung ⇔W Φ_{V} = 0  für alle W ∈ V
⇔Φ(W, V) = 0  für alle W ∈ V

d. h. V ∈ V^{⊥} = Rad_{Φ}(V) √

3. Sei V endlich erzeugt. ⇒ dim V = dim V^{∗}, d. h.

\overline{Φ} ist ein Isomorphismus ⇔ Ker \overline{Φ} = \{0\}
⇔ Rad_{Φ}(V) = {0}  √

4. Sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) Basis von V und 𝔅^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) die zugehörige Dualbasis von V^{∗}. Sei B_{i}\overline{Φ} = Φ_{B_{i}} = a_{i1}β_{1}^{∗} + ⋯ + a_{n1}β_{n}^{∗} (dann _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}} = (a_{ij})).

Φ(B_{j}, B_{i}) = B_{j}Φ_{B_{i}}
= a_{i1} · 0 + ⋯ + a_{ij−1} · 0 +
a_{ij} · 1 + a_{ij+1} · 0 + ⋯ + a_{in} · 0
= a_{ij}
⇒ (Φ_{𝔅𝔅})^{t} r = _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}}
⇒ Φ_{𝔅𝔅} = _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}}  √  (Φ_{𝔅𝔅} symmetrisch)

q.e.d.

VII.12 Folgerung (Rang der Grammatrix und Radikal)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum der Dimension n, 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V und Φ ein Skalarprodukt auf V. Dann

1. Φ ist nicht ausgeartet ⇔ Rg(Φ_{𝔅𝔅}) = n

2. Rg(Φ_{𝔅𝔅}) + dim Rad_{Φ}(V) = dim V = n

Beweis

1. Folgt aus 2

2.

\underbrace{dim Bild \overline{Φ}}_{Rg(_{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}})=Rg(Φ_{𝔅𝔅)}} + dim \underbrace{Ker \overline{Φ}}_{Rad_{Φ}(V)} = dim V = n

Alternativ:

V ∈ Rad_{Φ}(V) ⇔ Φ(V, B_{i}) = 0  für i = 1, …, n
⇔ V_{𝔅} · Φ_{𝔅𝔅} = (0, …, 0)  (VII.2)

Die Koordinatenabbildung κ_{𝔅} : V → K^{n} bildet also Rad_{Φ}(V) ab auf den Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems (VII.2) ⇒ Dimension des homogenen Lösungsraumes + Rang = n √

(Ist Φ symmetrisch ⇒ Φ_{𝔅𝔅}(V_{𝔅})^{tr} = (0 ⋮ 0))

q.e.d.

VII.13 Satz (Skalarprodukt auf Restklassenraum)

Sei Φ ein Skalarprodukt auf V. Definiere V̂ := V/ Rad_{Φ}(V). Dann folgt:

1.

Φ̂ : V̂ × V̂ → K : (X + V^{⊥}, Y + V^{⊥}) ↦ Φ(X, Y)

ist ein wohldefiniertes Skalarprodukt auf V̂.

2. Φ̂ ist nicht ausgeartet.

Beweis

1. Betrachte den natürlichen Homomorphismus: V → V̂ : X ↦ X̂ := X + V^{⊥}. Sei nun X̂ = X̂_{1}, Ŷ = Ŷ_{1}, d. h. X = X_{1} + C, Y = Y_{1} + C′ mit C, C′ ∈ V^{⊥}. Zeige nun Φ(X, Y) = Φ(X_{1}, Y_{1}):

Φ(X, Y) = Φ(X_{1} + C, Y_{1} + C)

= Φ(X_{1}, Y_{1}) + \underbrace{Φ(X_{1}, C′)}_{=0} + \underbrace{Φ(C, Y_{1})}_{=0} + \underbrace{Φ(C, C′)}_{=0}

= Φ(X_{1}, Y_{1})

d. h. Φ̂ ist wohldefiniert. Φ̂ ist bilinear, da Φ bilinear ist.

2. Sei X̂ ∈ RadΦ̂(V̂) ⇒ Φ(X, Y) = Φ̂(X̂, Ŷ) = 0 für alle Y ∈ V (Ŷ ∈ V̂)

⇒ X ∈ V^{⊥} , d. h. X̂ = ˆ0.

q.e.d.

VII.14 Bemerkung (Einschränkung des Skalarproduktes auf Teilraum)

Sei Φ ein Skalarprodukt auf V, sowie U ≤ V.

1. Ψ := Φ|_{U×U}  (= Einschränkung von Φ auf U × U)  ist wieder ein Skalarprodukt auf U.
Ψ : U × U → K : (U_{1}, U_{2}) ↦ Φ(U_{1}, U_{2})

2. Φ nicht ausgeartet ⇏ Ψ = Φ|_{U×U} nicht ausgeartet!

Beweis

2. Gegenbeispiele:

(a) Sei V = 𝔽_{2}^{n} mit dem Skalarprodukt Φ = ˜ {I_{n} \atop ∼}, d. h.

Φ((X_{1}, …, X_{n}), (Y_{1}, …, Y_{n})) = X_{1}Y_{1} + ⋯ + X_{n}Y_{n}
Sei U = ⟨(1, 1, 0, …, 0)⟩  ⇒ Φ|_{U×U} = 0  (Beachte: 1 + 1 = 0 in 𝔽_{2})

(b) Sei V = ℝ^{4} und Φ = Ã ∼ mit A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}), d. h.

Φ((X_{1}, …, X_{n}), (Y_{1}, …, Y_{n})) = X_{1}Y_{1} − X_{2}Y_{2} + X_{3}Y_{3} − X_{4}Y_{4}

Sei U = (1, 0, 0, 1) und U = ⟨U⟩

⇒ Φ(U, U) = 0
⇒Φ(αU, βU) = αβΦ(U, U) = 0  mit α, β ∈ ℝ
⇒ Φ|_{U×U} = 0

(c) Sei K beliebig, dim V = 2 und 𝔅 = (B_{1}, B_{2}) eine Basis von V und Φ mit Φ_{𝔅𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

U = ⟨B_{1}⟩ ⇒ Φ|_{U×U} = 0

q.e.d.

VII.15 Bemerkung (Radikal des eingeschränkten Skalarpro-

duktes)

Sei U ≤ V und Φ ein Skalarprodukt auf V Ψ = Φ|_{U×U} ⇒ Rad_{Ψ}(U) = U ∩ U^{⊥_{Φ}}

Beweis

Folgt direkt aus der Definition.

VII.16 Satz (Dimension des Senkrechtraumes)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf V und U ≤ V ⇒ dim U + dim U^{⊥_{Φ}} = dim V

Beweis

• Da Φ nicht ausgeartet ist, ist \overline{Φ} : V → V^{∗} : V ↦ Φ_{V} ein Isomorphismus. Dann ist

(U^{⊥_{Φ}}) \overline{Φ} = U^{⊥} = Annulator von U in V^{∗}

Nach Satz VI.9 folgt:

⇒  \underbrace{dim U^{⊥}}_{dim U^{⊥_{Φ}}} + dim U = dim V  √

• Alternativer Beweis: Sei (B_{1}, …, B_{k}) eine Basis von U. Ergänze zu 𝔅 = (B_{1}, …, B_{k}, …, B_{n}) Basis von V. Für alle V ∈ U^{⊥} gilt:

Φ(B_{i}, V) = 0 (i = 1, …, k)

in Koordinaten: Sei Φ_{𝔅𝔅} = ( \underline{A} ; ⋮ )  mit  A ∈ K^{k×n}

A(V_{𝔅})^{tr} = (0 ⋮ 0) ∈ K^{k×1}

Weiterhin gilt: Rg A = k, da Rg Φ_{𝔅𝔅} = n, daraus folgt Rg A + dim L_{0} = n √.

q.e.d.

VII.17 Definition direkte Summe

Sei V ein K-Vektorraum.

1. Seien U_{1}, U_{2} ≤ V. V heißt die (innere) direkte Summe von U_{1} und U_{2} (V = U_{1} ⊕ U_{2}), falls

(a) U_{1} + U_{2} = V

(b) U_{1} ∩ U_{2} = {0}

2. Seien U_{i} ≤ V für i = 1, …, n. V heißt (innere) direkte Summe der U_{i}, falls jedes V ∈ V eindeutig darstellbar ist als

V = U_{1} + ⋯ + U_{n} mit U_{i} ∈ U_{i}

Bemerkung:

(a) Für n = 2 ist dies äquivalent zu 1.

(b) 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) ist Basis von V ⇔ V = ⟨B_{1}⟩ ⊕ ⋯ ⊕ ⟨B_{n}⟩

VII.17.1 Zusammenhang mit der äußeren direkten Summe

Seien V, W K-Vektorräume. Dann ist V × W die äußere direkte Summe von V und W. Seien weiterhin V′ := V × {0} und W′ := {0} × W ≤ V × W . Dann folgt, daß V × W die (innere) direkte Summe von V′ und W′ ist.

V × W := V ⊕ W (äußere) = V′ ⊕ W′ (innere direkte Summe)

Seien U_{1}, U_{2} ≤ V. Die Abbildung

φ : U_{1} ⊕ U_{2} → U_{1} + U_{2} : (U_{1}, U_{2}) ↦ U_{1} + U_{2} (äußere)

ist linear und surjektiv mit Ker φ = {(U, −U) | U ∈ U_{1} ∩ U_{2}}, d. h. φ ist ein Epimorphismus von U_{1} ⊕ U_{2} auf U_{1} + U_{2} und φ ist ein Isomorphismus genau dann wenn U_{1} ∩ U_{2} = {0}.

Sei die Abbildung φ : V → W linear. Dann ist φ • Epimorphismus ⇔ φ ist surjektiv.

• Monomorphismus ⇔ φ ist injektiv.

• Endomorphismus ⇔ V = W

• Isomorphismus ⇔ φ ist bijektiv.

• Automorphismus ⇔ φ ist Isomorphismus und V = W.

• Homomorphismus ⇔ φ ist linear.

Beispiel VII.3: ...morphismen

VII.18 Satz (orthogonale direkte Summe)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, Φ ein Skalarprodukt auf V und U ≤ V.

1. Ist Φ nicht ausgeartet, dann gilt:

U^{⊥_{Φ}⊥_{Φ}} = U

2.

V = U ⊕ U^{⊥} ⇔ Φ|_{U×U} ist nicht ausgeartet

Dann ist auch Φ|_{U^{⊥}×U^{⊥}} nicht ausgeartet.

Beweis

1. Φ nicht ausgeartet ⇒

dim U + dim U^{⊥_{Φ}} = dim V
dim U^{⊥_{Φ}} + dim U^{⊥_{Φ}⊥_{Φ}} = dim V
\begin{matrix}⇒ dim U = dim U^{⊥_{Φ}⊥_{Φ}} \\ klar: U^{⊥_{Φ}⊥_{Φ}} ⊇ U \end{matrix}\} ⇒ U = U^{⊥_{Φ}⊥_{Φ}}

2. ”⇒“ trivial ”⇐“

U ∩ U^{⊥} = {0} ⇔ Rad_{Φ|_{U×U}} (U) = {0}

⇔ Φ|_{U×U} ist nicht ausgeartet

Zeige unter der Annahme U ∩ U^{⊥} = {0}, daß: U + U^{⊥} = V. Sei dim U = k. Dann wird U^{⊥} beschrieben, als Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems

Φ(B_{i}, X) = 0 (i = 1, …, k)

wobei (B_{1}, …, B_{k}) eine Basis von U ist. Das GLS hat k linear unabhängige Gleichungen, denn für X ∈ U existiert nur die triviale Lösung. Daraus folgt, daß die Dimension des Lösungsraumes

(= dim U^{⊥}) = dim V − k = dim V − dim U

d. h.

\begin{matrix}dim U + dim U^{⊥} & = dim V \\ U ∩ U^{⊥} & = \{0\} \end{matrix}\} ⇒ V = U ⊕ U^{⊥}

q.e.d.

Schreibweisen:

1. Im allgemeinen Fall: V = U_{1} ⊕ U_{2}

2. Gilt zusätzlich: U_{1}⊥U_{2} , d. h. U_{1}⊥U_{2} für alle U_{1} ∈ U_{1} und U_{2} ∈ U_{2}, so schreibt man V = U_{1}⊥U_{2} ”orthogonale direkte Summe“.

VII.19 Satz (reziproke Basis)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) und Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf V. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Basis 𝔅^{⊛} = (B_{1}^{∗}, …, B_{n}^{∗}) von V mit Φ(B_{i}, B_{j}^{∗}) = δ_{ij} 𝔅^{⊛} heißt die zu 𝔅 reziproke Basis. Ferner gilt:

V = Φ(V, B_{1}^{∗})B_{1} + ⋯ + Φ(V, B_{n}^{∗})B_{n} für alle V ∈ V

Beweis

Sei 𝔅^{∗} = (β_{1}^{∗}, …, β_{n}^{∗}) die zu 𝔅 duale Basis von V^{∗}

\overline{Φ} : V → V^{∗} : X ↦ Φ_{X} [Φ_{X} : V → K : V ↦ Φ(X, V)]

ist ein Isomorphismus, da Φ nicht ausgeartet ist.

B_{i}^{∗} := β_{i}^{∗}\overline{Φ}^{−1}  (vgl. Satz VII.11)
⇒  Φ(B_{j}, B_{i}^{∗}) = B_{j}Φ_{B_{i}^{∗}}
= B_{j}β_{i}^{∗} = δ_{ij}

𝔅^{⊛} = 𝔅^{∗}\overline{Φ}^{−1} ist eine Basis von V, da 𝔅^{∗} Basis von V^{∗} und \overline{Φ} ein Isomorphismus ist.

V = (V β_{1}^{∗})B_{1} + ⋯ + (V β_{n}^{∗})B_{n}

q.e.d.

VII.20 Satz (reziproke Basiswechselmatrix)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis 𝔅 und einem nicht ausgeartetem Skalarprodukt Φ. Für die reziproke Basis 𝔅^{⊛} gilt:

𝔅^{⊛}id_{𝔅} = (Φ_{𝔅𝔅})^{−1}

Beweis

Der Isomorphismus \overline{Φ} : V → V^{∗} hat die Matrix _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}} = Φ_{𝔅𝔅} (siehe Satz VII.11). \overline{Φ} bildet 𝔅^{⊛}, die reziproke Basis von V, auf 𝔅^{∗}, die duale Basis von V^{∗}, ab, d. h. _{𝔅^{⊛}} \overline{Φ}_{𝔅^{∗}} = I_{n}. Also:

𝔅^{⊛}id_{𝔅} = _{𝔅^{⊛}}(\overline{Φ} \overline{Φ}^{−1})_{𝔅}
= _{𝔅^{⊛}} \overline{Φ}_{𝔅^{∗}}_{𝔅^{∗}} \overline{Φ}^{−1}_{𝔅}
= _{𝔅^{⊛}} \overline{Φ}_{𝔅^{∗}} (_{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}})^{−1}
= I_{n}(Φ_{𝔅𝔅})^{−1}
= (Φ_{𝔅𝔅})^{−1}

q.e.d.

Sei V = ℝ^{2} = ℝ^{1×2} und Φ das Standardskalarprodukt:

Φ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}

Sei 𝔅 = (B_{1}, B_{2}) = ((1, 2), (1, 3)) eine Basis von V

⇒ Φ_{𝔅𝔅} = (\begin{matrix}Φ(B_{1}, B_{1}) & Φ(B_{1}, B_{2}) \\ Φ(B_{2}, B_{1}) & Φ(B_{2}, B_{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & 7 \\ 7 & 10 \end{matrix})

Somit

𝔅^{⊛}id_{𝔖_{2}} = _{𝔅^{⊛}}id_{𝔅}_{𝔅}id_{𝔖_{2}}

= (Φ_{𝔅𝔅})^{−1} ·_{𝔅}id_{𝔖_{2}}

= (\begin{matrix}5 & 7 \\ 7 & 10 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})

= (\begin{matrix}10 & −7 \\ −7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})

= (\begin{matrix}3 & −1 \\ −2 & 1 \end{matrix})

⇒ 𝔅^{⊛} = ((3, −1), (−2, 1)) ist die reziproke Basis. Die duale Basis von (ℝ^{1×2})^{∗} ≡ ℝ^{2×1} ist:

𝔅^{∗} = ((\begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−2 \\ 1 \end{matrix})).

Beispiel VII.4: reziproke Basis

VII.21 Definition Orthogonal– Orthonormalbasis

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt Φ und der Basis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}). 1. 𝔅 heißt Orthogonalbasis von V (bezüglich Φ), falls Φ(B_{i}, B_{j}) = 0 für i ≠ j.

2. 𝔅 heißt Orthonormalbasis (ON-Basis) von V (bezüglich Φ), falls Φ(B_{i}, B_{j}) = δ_{ij} für

i, j = 1, …, n. Achtung: Orthonormalbasen existieren nicht immer, selbst wenn Φ nicht ausgeartet ist.

1. Sei V = ℚ und K = ℚ

Φ : ℚ × ℚ → ℚ : (V, W) ↦ 2V W

es existiert eine ON-Basis genau dann, wenn ein V ∈ ℚ existiert, mit 2V^{2} = 1, d. h. V^{2} = \frac{1}{2}. Es gibt also keine ON-Basis.

2. Sei V = K^{n} mit dem Standardskalarprodukt

˜{I_{n} \atop ∼} : ((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) ↦ x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n}

⇒ 𝔖_{n} ist Orthonormalbasis.

3. Sei V = K^{n×m} und

Φ : V × V → K : (A, B) ↦ Sp(AB^{tr})

mit Sp(X) = x_{11} + ⋯ + x_{nn} = die ”Spur“ von X = (x_{ij}) ∈ K^{n×m}. Dann bilden die

e_{ij} :=(\begin{matrix}0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & 1 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 \end{matrix})^{{j \atop ↓}}← i eine ON-Basis.

Beispiel VII.5: ON-Basen

VII.22 Satz (Existenz einer Orthogonalbasis)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt Φ und es gelte \underbrace{2}_{1+1} ≠ 0 in K.

⇒ V hat eine Orthogonalbasis.

Beweis

Wähle ein beliebiges B_{1} ∈ V mit Φ(B_{1}, B_{1}) ≠ 0. Falls Φ ≠ 0 existiert ein solches B_{1}, denn sonst ergibt sich ein Widerspruch wie folgt: Sei Φ(X, X) = 0 für alle X ∈ V und V, W ∈ V beliebig: Dann folgt

0 = Φ(V + W, V + W)
= 2Φ(V, W) + \underbrace{Φ(V, V)}_{=0} + \underbrace{Φ(W, W)}_{=0}
⇒ Φ(V, W) = 0  da 2 ≠ 0
⇒ Φ = 0 ↯

Also V = ⟨B_{1}⟩⊥⟨B_{1}⟩^{⊥} . Fahre fort mit Φ|_{⟨B_{1}⟩^{⊥}×⟨B_{1}⟩^{⊥}} , beachte dim⟨B_{1}⟩^{⊥} = dim V − 1 da Φ(B_{1}, B_{1}) ≠ 0.

VII.23 Definition positiv/negativ definit

Sei V ein ℝ-Vektorraum, Φ : V × V → ℝ ein Skalarprodukt. Φ heißt

• positiv definit, falls Φ(V, V) > 0 für alle V ∈ V\{0}

• positiv semidefinit, falls Φ(V, V) ≥ 0 für alle V ∈ V Bezüglich des Skalarproduktes Φ mit Φ_{𝔅𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) =: A soll eine Orthogonalbasis bestimmt werden.

Grammatrix  Basistransformationsmatrix
(\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = I_{n}
[figure: ↓]
(\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})^{B_{1}A=}→(\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})^{B_{1}AB_{1}^{tr}=}  (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = B_{1}I_{n}
[figure: ↓]
(\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 0 & −\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix})^{B_{2}(B_{1}AB_{1}^{tr})=}→(\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix})^{B_{2}(B_{1}AB_{1}^{tr})B_{2}^{tr}=}  (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix}) = B_{2}B_{1}I_{n} = _{ℭ}id_{𝔅}

Beispiel VII.6: Bestimmung einer Orthogonalbasis

• negativ definit, falls Φ(V, V) < 0 für alle V ∈ V\{0}

• negativ semidefinit, falls Φ(V, V) ≤ 0 für alle V ∈ V

VII.24 Bemerkung (definites Skalarprodukt)

Sei V ein endlich erzeugter ℝ-Vektorraum, Φ ein Skalarprodukt.

1. Ist Φ positiv definit oder negativ definit ⇒ Φ ist nicht ausgeartet.

2. Ist Φ positiv semidefinit oder negativ semidefinit ⇒ \underbrace{Rad_{Φ}(V)}_{V^{⊥}} = \underbrace{\{V ∈ V | Φ(V, V) = 0\}}_{X}

Beweis

1. Folgt sofort aus den Definitionen VII.9 und VII.23:

V ≠ 0 ⇒ Φ(V, V) ≠ 0 ⇒ V ∉ Rad_{Φ}(V) ⇒ Rad_{Φ}(V) = {0}

2. • Da alle Vektoren aus Rad_{Φ}(V) auf allen Vektoren senkrecht stehen, somit auch auf sich selbst, ist X ⊇ Rad_{Φ}(V).

• Zeige: X ⊆ Rad_{Φ}(V)
Wähle Orthogonalbasis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) von V mit

Φ_{𝔅𝔅} = (\begin{matrix}α_{1} & & & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & α_{k} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & & 0 \end{matrix}) mit α_{i} ≠ 0

Φ ist positiv semidefinit ⇔ alle α_{i} > 0 (bzw. Φ ist negativ semidefinit ⇔ alle α_{i} < 0). ⇒ (B_{k+1}, …, B_{n}) ist eine Basis von V^{⊥}. Sei nun X ∈ X

⇒  X = a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n}  für a_{i} ∈ ℝ
0 = Φ(X, X)
= α_{1}a_{1}^{2} + ⋯ + α_{k}a_{k}^{2} + 0 · a_{k+1}^{2} + ⋯ + 0 · a_{n}^{2}

wobei alle α_{i} > 0 (bzw. alle α_{i} < 0)

⇒ a_{1} = ⋯ = a_{k} = 0 ⇒ X ∈ V^{⊥} = Rad_{Φ}(V)

q.e.d.

VII.25 Sylvesterscher Trägheitssatz

Sei V ein endlich erzeugter ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt Φ. Für jede Orthogonalbasis 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) von V sei

p(𝔅) := |{i|Φ(B_{i}, B_{i}) > 0}| die Anzahl der Basiselemente B ∈ 𝔅 mit Φ(B, B) > 0.

n(𝔅) := |{i|Φ(B_{i}, B_{i}) < 0}| die Anzahl der Basiselemente B ∈ 𝔅 mit Φ(B, B) < 0.

o(𝔅) := |{i|Φ(B_{i}, B_{i}) = 0}| die Anzahl der Basiselemente B ∈ 𝔅 mit Φ(B, B) = 0.

Dann gilt: p(𝔅), n(𝔅) und o(𝔅) sind unabhängig von der Wahl der Orthogonalbasis 𝔅. Andere Formulierung: Seien V = V^{+}⊥V^{−}⊥V^{0} = W^{+}⊥W^{−}⊥W^{0} zwei Zerlegungen von V als orthogonale direkte Summe, so daß gilt:

• Φ|_{V^{+}×V^{+}} und Φ|_{W^{+}×W^{+}} sind positiv definit

• Φ|_{V^{−}×V^{−}} und Φ|_{W^{−}×W^{−}} sind negativ definit

• Φ|_{V^{0}×V^{0}} = 0 und Φ|_{W^{0}×W^{0}} = 0

⇒  dim V^{+} = dim W^{+}  (= p(𝔅))
dim V^{−} = dim W^{−}  (= n(𝔅))
V^{0} = W^{0}

(dim V^{+} − dim V^{−} heißt die Signatur von Φ)

Beweis

Es gilt: V^{0} = V^{⊥} = Rad_{Φ}(V), also ist o(𝔅) unabhängig von der Wahl der Orthogonal-Basis. Seien nun 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) und ℭ = (C_{1}, …, C_{n}) Orthogonal-Basen von V mit k, k′, s, s′ ≤ n, so daß:

\begin{aligned}Φ(B_{i}, B_{i})> 0 i = & 1, …, k  Φ(C_{i}, C_{i}) & > 0 i = & 1, …, k′ \\ Φ(B_{i}, B_{i})< 0 i = & k + 1, …, s  Φ(C_{i}, C_{i}) & < 0 i = & k′ + 1, …, s′ \\ Φ(B_{i}, B_{i})= 0 i = & s + 1, …, n  Φ(C_{i}, C_{i}) & = 0 i = & s′ + 1, …, n \end{aligned}

Zeige nun: 𝔇 := (B_{1}, …, B_{k}, C_{k′+1}, …, C_{s′}) ist linear unabhängig. Dazu seien b_{1}, …, b_{k}, c_{k′+1}, …, c_{s′} ∈ ℝ mit

b_{1}B_{1} + ⋯ + b_{k}B_{k} + c_{k′+1}C_{k′+1} + ⋯ + c_{s′}C_{s′} = 0

Sei Φ_{𝔅𝔅} = (\begin{matrix}α_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & α_{n} \end{matrix}).

X := \underbrace{b_{1}B_{1} + ⋯ + b_{k}B_{k}}_{Φ(X,X)≥0} = \underbrace{−c_{k′+1}C_{k′+1} − ⋯ − c_{s′}C_{s′}}_{Φ(X,X)≤0}

⇒ Φ(X, X) = 0 = b_{1}^{2}α_{1} + ⋯ + b_{k}^{2}α_{k}
⇒ b_{1} = ⋯ = b_{k} = 0
⇒ c_{k′+1} = ⋯ = c_{s′} = 0  (da X = 0 und die C_{i} linear unabhängig sind.)

d. h. 𝔇 ist linear unabhängig. Also gilt:

dim⟨B_{1}, …, B_{k}⟩ + dim⟨C_{k′+1}, …, C_{s′}⟩ + dim Rad_{Φ}(V) = k + (n − k′) ≤ n

aus Symmetriegründen: k′ + n − k ≤ n

⇒ k = k′ = p(𝔅) = p(ℭ)

Weiter gilt: n − s = o(𝔅) = o(ℭ) = n − s′

⇒ n(𝔅) = n(ℭ)

q.e.d.

Zusammenspiel zwischen nicht ausgeartetem Skalarprodukt und linearen Abbildungen

VII.26 Definition adjungierte Abbildung

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit einem nicht ausgeartetem Skalarprodukt Φ. Sei α : V → V eine lineare Abbildung. Dann heißt

α^{ad} = \overline{Φ}α^{tr}\overline{Φ}^{−1} : V → V

die zu α bezüglich Φ adjungierte lineare Abbildung.

[figure: V; V; α^{ad}; α^{tr}; V^{∗}; V^{∗}; \overline{Φ}; \overline{Φ}; V; Φ_{V}]

VII.27 Bemerkung

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt und α : V → V eine lineare Abbildung. ⇒ α^{ad} ist diejenige eindeutig bestimmte Abbildung

β : V → V mit Φ(Xα, Y) = Φ(X, Y β)

Beweis

Zeige β ist eindeutig bestimmt: Für jedes feste Y ∈ V ist

φ_{Y} : V → K : X ↦ Φ(Xα, Y) φ_{Y} ∈ V^{∗}

Da nun \overline{Φ} : V → V^{∗} ein Isomorphismus ist ⇒ es existiert genau ein Z ∈ V mit Z\overline{Φ} = φ_{Y}, d. h.

Φ(Xα, Y) = Φ(Z, X) = Φ(X, Z) für alle X ∈ V

Also ist Z = Y β, d. h. β ist eindeutig und wohldefiniert. √ Zeige noch Y β = Y α^{ad}

Φ(X, Y α^{ad}) = Φ(X, Y \overline{Φ}α^{tr}\overline{Φ}^{−1})
= Φ (X, (α^{tr}(Y \overline{Φ})) \overline{Φ}^{−1})
= Φ(X, φ_{Y} \overline{Φ}^{−1})
= Φ(X, Z)
= Φ(Xα, Y)

q.e.d.

VII.28 Satz (Matrix der Adjungierten)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis 𝔅, Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt und α : V → V eine lineare Abbildung.

𝔅(α^{ad})_{𝔅} = Φ_{𝔅𝔅}(_{𝔅}α_{𝔅})^{tr}Φ_{𝔅𝔅}^{−1}

Beweis

α^{ad} = \overline{Φ}α^{tr}\overline{Φ}^{−1}
⇒  _{𝔅}(α^{ad})_{𝔅} = _{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}}_{𝔅^{∗}}(α^{tr})_{𝔅^{∗}} (_{𝔅}\overline{Φ}_{𝔅^{∗}})^{−1}
= Φ_{𝔅𝔅} (_{𝔅}α_{𝔅})^{tr} Φ_{𝔅𝔅}^{−1} (nach Satz VII.11)

Beachte: Wir müssen die Matrix _{𝔅}α_{𝔅} transponieren, da wir hier auch für V^{∗} die Zeilenkonvention benutzen.

VII.29. Definition normale, symmetrische, orthogonale Abbildung  99

VII.29 Definition normale, symmetrische, orthogonale Ab-

bildung

Sei V ein eindlich erzeugter K-Vektorraum, Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf V und α : V → V eine lineare Abbildung.

1. α heißt normal (bezüglich Φ), falls α^{ad}α = αα^{ad}

2. α heißt selbstadjungiert, oder symmetrisch (bezüglich Φ), falls α^{ad} = α

3. α heißt orthogonal (bezüglich Φ), falls α^{ad}α = id_{V} (d. h. α^{ad} = α^{−1})

VII.30 Bemerkung (Eigenschaft symmetrischer und orthogo-

naler Abbildungen)

Sei V ein eindlich erzeugter K-Vektorraum, Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf V und α : V → V eine lineare Abbildung.

1. Ist α symmetrisch oder orthogonal ⇒ α ist normal.

2. Ist α symmetrisch ⇒ Φ(Xα, Y) = Φ(X, Y α) für alle X, Y ∈ V

3. Ist α orthogonal ⇒ Φ(Xα, Y α) = Φ(X, Y) für alle X, Y ∈ V

Beweis

2. Sei α symmetrisch:

Φ(Xα, Y) = Φ(X, Y α^{ad}) = Φ(X, Y α)

3. Sei α orthogonal:

Φ(Xα, Y α) = Φ(X, Y αα^{ad}) = Φ(X, Y)

q.e.d.

Euklidische Vektorräume VII.31 Definition euklidischer Vektorraum

Sei V ein endlich erzeugter ℝ-Vektorraum und Φ : V × V → ℝ ein positiv definites Skalarprodukt. Dann heißt (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum (oder reeller endlich dimensionaler Hilbert-Raum).

VII.32 Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum und 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V. Dann existiert eine Orthonormalbasis 𝔈 = (E_{1}, …, E_{n}) von V mit

⟨E_{1}, …, E_{k}⟩ = ⟨B_{1}, …, B_{k}⟩ für k = 1, …, n

Beweis

E_{1} := \frac{1}{\sqrt{Φ(B_{1}, B_{1})}} · B_{1}

wähle E′_{2} = αE_{1} + B_{2}, so daß E′_{2}⊥E_{1}, d. h.

0 = Φ(E_{1}, αE_{1} + B_{2}) = α \underbrace{Φ(E_{1}, E_{1})}_{1} +Φ(E_{1}, B_{2}) = α + Φ(E_{1}, B_{2})

⇒ α = −Φ(E_{1}, B_{2}) Setze nun

E_{2} := \frac{1}{\sqrt{Φ(E′_{2}, E′_{2})}} · E′_{2}

(E′_{2} ≠ 0 da (E_{1}, E′_{2}) linear unabhängig sind.) etc. Annahme: E_{1}, …, E_{k} für ein k ≤ n seien schon konstruiert. Wähle E′_{k+1} := β_{1}E_{1}+⋯+β_{k}E_{k}+B_{k+1}, so daß E′_{k+1}⊥E_{i} für i = 1, …, k, d. h. für das Skalarprodukt mit E_{i} ergibt sich:

0 = β_{1} · 0 + ⋯ + β_{i−1} · 0 + β_{i} · 1 + β_{i+1} · 0 + ⋯ + β_{k} · 0 + Φ(E_{i}, B_{k+1})

also β_{i} = −Φ(E_{i}, B_{k+1}). Setze nun

E_{k+1} := \frac{1}{\sqrt{Φ(E′_{k+1}, E′_{k+1})}} · E′_{k+1}

Führe diesen Algorithmus fort bis k = n

q.e.d.

VII.33 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum und X, Y ∈ V

⇒ Φ(X, Y)^{2} ≤ Φ(X, X) · Φ(Y, Y)

Beweis

1.Fall: X, Y linear abhängig , also oBdA. sei Y = aX für ein a ∈ ℝ

⇒  Φ(X, Y)^{2} = Φ(X, aX)^{2}
= a^{2}Φ(X, X)^{2}
= Φ(X, X) · Φ(aX, aX)
= Φ(X, X) · Φ(Y, Y)

2.Fall: X, Y linear unabhängig . Wähle ein Orthonormalbasis (E_{1}, E_{2}) von ⟨X, Y ⟩ mit

⟨E_{1}⟩ = ⟨X⟩. OBdA sei Φ(X, X) = 1 also X = E_{1} und Y = aX + bE_{2}.

Φ(X, Y)^{2} = Φ(E_{1}, aE_{1} + bE_{2})^{2}

= (\underbrace{aΦ(E_{1}, E_{1})}_{a} + \underbrace{bΦ(E_{1}, E_{2})}_{0})^{2}

= a^{2} ≤ a^{2} + b^{2}

= \underbrace{Φ(X, X)}_{1} \underbrace{Φ(Y, Y)}_{a^{2}+b^{2}}

q.e.d.

VII.34 Definition Länge, Winkel, Abstand

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum 1. Für X, Y ∈ V, X ≠ 0 ≠ Y ist der Winkel zwischen X und Y definiert als

α := arccos \underbrace{(\frac{Φ(X, Y)}{\sqrt{Φ(X, X)}\sqrt{Φ(Y, Y)}})}_{∈[−1,1]}

(Bezeichnung: ∡(X, Y) = α ∈ [0, π])

2. Für X ∈ V heißt |X| := \sqrt{Φ(X, X)} die Norm (oder Länge) von X.

3. Für X, Y ∈ V heißt d(X, Y) := |X − Y | der Abstand von X und Y. (zu 1. Φ(X, Y) = |X| · |Y | · cos(∡(X, Y)) )

VII.35 Dreiecksungleichung

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum, X, Y ∈ V. Danngilt:

|X + Y | ≤ |X| + |Y |

Beweis

Nach VII.33 gilt:

⇒  Φ(X, Y)^{2} ≤ Φ(X, X)Φ(Y, Y)  für alle X, Y ∈ V
⇔  2Φ(X, Y) ≤ 2|X| |Y |  (da Φ positiv definit)
⇔Φ(X, X) + Φ(Y, Y) + 2Φ(X, Y) ≤ Φ(X, X) + Φ(Y, Y) + 2|X| |Y |
⇔  Φ(X + Y, X + Y) ≤ Φ(X, X) + Φ(Y, Y) + 2|X| |Y |
⇔  |X + Y |^{2} ≤ (|X| + |Y |)^{2}

Dies ist äquivalent zur Behauptung.

q.e.d.

VII.36 Bemerkung (Satz von Pythagoras, Eigenschaften der Abstandsfunktion)

Sei (V, Φ) ein euklidisdcher Vektorraum.

1. Satz von Pythagoras:

X⊥Y ⇒ Φ(X, X) + Φ(Y, Y) = Φ(X − Y, X − Y)

2. Die Abstandsfunktion d erfüllt folgende Eigenschaft

(a) d(X, X) = 0 d(X, Y) ≥ 0

(b) d(X, Y) = d(Y, X)

(c) d(X, Z) ≤ d(X, Y) + d(Y, Z)

Eine Menge M mit d : M × M → ℝ^{≥0} mit 2. heißt metrischer Raum.

VII.37 Definition Orthogonalprojektion

Sei (V, Φ) ein Euklidischer Vektorraum, W ≤ V, X ∈ V. X_{0} ∈ W heißt Orthogonalprojektion von X auf W oder die beste Aproximation von X auf W, falls gilt

|X − X_{0}| ≤ |X − Y | für alle Y ∈ W

|X − X_{0}| heißt dann der Abstand von X und W. Die Abbildung

π : V → V : X ↦ X_{0}

heißt Orthogonalprojektion (von V) auf W.

VII.38 Satz (Eigenschaft der Orthogonalprojektion)

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum, W ≤ V.

1. Die Orthogonalprojektion π ist eine wohldefinierte (d. h. X_{0} ist eindeutig), bezüglich Φ symmetrische (d. h. Φ(Xπ, Y) = Φ(X, Y π)) lineare Abbildung mit

Ker π = W^{⊥},  Bild π = W und  π^{2} = π

2. Jede symmetrische lineare Abbildung π : V → V mit π^{2} = π ist eine Orthogonalprojektion auf Bild π (entlang Ker π)

Beweis

1. Φ ist positiv definit ⇒ V = W⊥W^{⊥} also jedes X ∈ V läßt sich eindeutig darstellen als

X = X_{W} + X_{W^{⊥}} mit X_{W} ∈ W und X_{W^{⊥}} ∈ W^{⊥}

Behauptung: X_{0} = X_{W}

Beweis:

|X − X_{W}|^{2} = |X_{W^{⊥}}|^{2} = Φ(X_{W^{⊥}}, X_{W^{⊥}})

Setze Y′ = −Y + X_{W}

⇒  |X − Y |^{2} = |X − X_{W} + Y′|^{2}
= |X_{W^{⊥}} + Y′|^{2}
= Φ(X_{W^{⊥}} + Y′, X_{W^{⊥}} + Y′)
= Φ(X_{W^{⊥}}, X_{W^{⊥}}) + \underbrace{Φ(Y′, Y′)}_{≥0}

Beachte: Da Y′ ∈ W gilt X_{W^{⊥}}⊥Y′, somit fallen die gemischten Terme weg (Φ(X_{W^{⊥}}, Y′) = Φ(Y′, X_{W^{⊥}}) = 0) und Φ(Y′, Y′) = 0 ⇔ Y′ = 0. Also ist X_{0} = X_{W} eindeutig bestimmt. Damit ist π wohldefiniert. Zeige: π ist symmetrisch bezüglich Φ: Sei X = X_{W} + X_{W^{⊥}} und Y = Y_{W} + Y_{W^{⊥}}

Φ(Xπ, Y) = Φ(X_{W}, Y_{W} + Y_{W^{⊥}})
= Φ(X_{W}, Y_{W})
= Φ(X_{W^{⊥}} + X_{W}, Y_{W})
= Φ(X, Y π) √

2. π : V → V ist linear mit π^{2} = π. Da π|_{Bild π} = id_{Bild π} folgt: Bild π ∩ Ker π = {0}. Also ist V = Bild π ⊕ Ker π Sei nun zusätzlich π orthogonal. Behauptung: pi symmetrisch ⇒ Bild π⊥ Ker π Beweis: Sei X ∈ Bild π und Y ∈ Ker π

Φ(X, Y) = Φ(Xπ, Y)
= Φ(X, \underbrace{Y π}_{=0})  (da π symmetrisch)
= 0

Daraus folgt die Behauptung. Insgesamt ergibt sich:

(a) V = Bild π⊥ Ker π

(b) π ist eine Orthogonalprojektion auf Bild π

q.e.d.

VII.39 Bemerkung (Projection)

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum, W ≤ V

1. Eine lineare nicht notwendig symmetrische Abbildung π : V → V mit π^{2} = π heißt Projektion. Beachte: π ist nicht eindeutig durch Bild π festgelegt.

[figure: Bild π_{1,2}; Ker π_{1}; Ker π_{2}; X; Xπ_{2}; Xπ_{1}]

Ferner ist π′ = id_{V} −π auch Projektion. Für π′ gilt:

Bild π′ = Ker π  und  Ker π′ = Bild π

2. Die Orthogonalprojektion läßt sich auf folgende 2 Arten ausrechnen:

(a) Man wähle eine Orthonormalbasis von W: (E_{1}, …, E_{k}) ⇒ Die Orthogonalprojektion Xπ von X auf W hat die Darstellung

Xπ = Φ(E_{1}, X)E_{1} + ⋯ + Φ(E_{k}, X)E_{k}

Die Zahlen Φ(E_{i}, X) heißen Fourierkoeffizienten.

(b) Man wähle eine Orthonormalbasis von W^{⊥}: (E_{k+1}, …, E_{n}). Die Orthogonalprojektion Xπ von X auf W ist dann gegeben durch

Xπ = X − (Φ(E_{k+1}, X)E_{k+1} + ⋯ + Φ(E_{n}, X)E_{n})

Beachte: X = Φ(X, E_{1})E_{1} + ⋯ + Φ(X, E_{n})E_{n}

3. Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren VII.32 interpretiert sich wie folgt:

E′_{k} = B_{k} − B_{k}π_{k−1}

wobei π_{k−1} die Orthogonalprojektion von V auf ⟨B_{1}, …, B_{k−1}⟩ ist.

[figure: E_{1}; B_{1}; B_{2}; E′_{2}]

VII.40 Definition Spiegelung

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum, W ≤ V mit dim W = dim V − 1. Die Abbildung

σ_{W} = π_{W} − π_{W^{⊥}}

heißt die (orthogonal) Spiegelung an W. Im allgemeinen heißt eine Abbildung σ : V → V Spiegelung, falls ein W ≤ V existiert mit

dim W = dim V − 1  und  σ = σ_{W}

[figure: Xπ_{W^{⊥}}; W^{⊥}; X; Xσ_{W}; Xπ_{W}; W]

Gegeben seien die 5 Meßwerte a_{1}, …, a_{5} an den Stellen 1, 2, 3, 4, 5. Wäre die Messung genau, so lägen diese Werte auf einer Geraden, d. h. es existerien α, β ∈ ℝ mit

a_{i} = α · i + β (i = 1, …, 5)

Aber die Meßwerte haben Fehler, die Messungen bei 2, 3 und 4 sind doppelt so genau wie bei 1 und 5. Gesucht ist nun die beste Approximation.

Sei M = \{1, 2, 3, 4, 5\}, V = ℝ^{M} und W = ⟨\underbrace{(1, 1, 1, 1, 1)}_{=1_{M}}, \underbrace{(1, 2, 3, 4, 5)}_{=id_{M}}⟩. (a_{1}, …, a_{5}) ≡ Abbildung

i ↦ a_{i}. Seien X = (x_{1}, …, x_{n}) , Y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ V

Φ((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) = x_{1}y_{1} + 2(x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} + x_{4}y_{4}) + x_{5}y_{5}

Bestimme eine Orthonormalbasis von W:

Φ(1_{M}, 1_{M}) = 8
⇒  E_{1} = \frac{1}{\sqrt{8}}(1, 1, 1, 1, 1)
E′_{2} = αE_{1} + B_{2}
Φ(E_{1}, αE_{1} + B_{2}) = α \underbrace{Φ(E_{1}, E_{1})}_{=1} +Φ(E_{1}, B_{2}) = 0

⇒  α = \frac{−Φ(E_{1}, B_{2})}{\underbrace{Φ(E_{1}, E_{1})}_{=1}}

E′_{2} = −\frac{24}{8}(1, 1, 1, 1, 1) + (1, 2, 3, 4, 5)

= (−2, −1, 0, 1, 2)

E_{2} = \frac{1}{\sqrt{Φ(E′_{2}, E′_{2})}}E′_{2}

= \frac{1}{\sqrt{12}}(−2, −1, 0, 1, 2)

Die beste Approximation von (a_{1}, …, a_{5}) an W ist:

\frac{1}{\sqrt{8}}(a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} + 2a_{4} + a_{5})E_{1} + \frac{1}{\sqrt{12}}(−2a_{1} − 2a_{2} + 2a_{4} + 2a_{5})E_{2}

Beispiel VII.7: Beste Approximation

VII.41 Bemerkung (orthogonale Abbildungen und Spiegelungen)

1. Spieglungen sind orthogonale Abbildungen. (D. h. sie ändern das Skalarprodukt nicht.)

2. Das Produkt orthogonaler Abbildungen ist wieder orthogonal. Die Inverse einer orthogonalen Abbildung existiert und ist wieder orthogonal. (D. h. die orthogonalen Abbildungen bilden eine Gruppe.)

3. Jede orthogonale Abbildung ist ein Produkt von endlich vielen Spiegelungen.

4. Ist W = X_{0}^{⊥} für ein 0 ≠ X_{0} ∈ V

⇒ σ_{W} : V → V : X ↦ X − 2\frac{Φ(X_{0}, X)}{Φ(X_{0}, X_{0})}X_{0}

Beweis

1. Sei X = X_{W} + X_{W^{⊥}}, Y = Y_{W} + Y_{W^{⊥}} ∈ V

Φ(Xσ_{W}, Y σ_{W}) = Φ((X_{W} − X_{W^{⊥}}), (Y_{W} − Y_{W^{⊥}}))
= Φ(X_{W}, Y_{W}) + Φ(X_{W^{⊥}}, Y_{W^{⊥}})
= Φ(X_{W} + X_{W^{⊥}}, Y_{W} + Y_{W^{⊥}})
= Φ(X, Y) √

2. Seien α, β : V → V orthogonal und X, Y ∈ V

Φ(Xαβ, Y αβ) = Φ(Xα, Y α)  (da β orthogonal)
= Φ(X, Y)  (da α orthogonal)

⇒ αβ ist orthogonal. Ker α = {0}, denn sei X ∈ Ker α

⇒  0 = Φ(Xα, Xα)
= Φ(X, X)
⇒  X = 0
Φ(Xα^{−1}, Y α^{−1}) = Φ(Xα^{−1}α, Y α^{−1}α)  (da α orthogonal)
= Φ(X, Y)

⇒ α^{−1} ist orhtogonal. (d. h. die orthogonalen Abbildungen von V bilden eine Untergruppe der Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen von V.)

3. Beweis nur für dim = 2:

Sei 𝔅 = (E_{1}, E_{2}) eine Ortnormalbasis von V und α : V → V orthogonal mit

𝔅α_{𝔅} = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})

1 = Φ(E_{1}, E_{1}) = Φ(E_{1}α, E_{1}α) = a^{2} + b^{2}

⇒ a^{2} + b^{2} = 1 ⇒ es existiert ein φ ∈ [0, 2π), so daß a = cos φ und b = sin φ

0 = Φ(E_{1}, E_{2}) = Φ(E_{1}α, E_{2}α) = ac + bd

⇒ (c, d) ist ein vielfaches von (−b, a). Ebenso wie oben ist c^{2} + d^{2} = 1. Es gibt also 2 Möglichkeiten:

(a)

𝔅α_{𝔅} = d(φ) := (\begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix})

Die Matrix stellt eine Drehung um den Winkel φ dar. Es gilt: φ = ∡(X, Xα) ist unabhängig von 0 ≠ X ∈ V

[figure: E_{1}α; E_{2}α; E_{1}; E_{2}; φ]

(b)

𝔅α_{𝔅} = s(φ) := (\begin{matrix}cos φ & sin φ \\ sin φ & − cos φ \end{matrix})

Diese Matrix stellt eine Spiegelung dar. Die Spiegelachse (W) schließt mit E_{1} den Winkel \frac{φ}{2} ein.

[figure: E_{1}α; E_{2}α; E_{1}; E_{2}; \frac{φ}{2}]

Mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus ergibt sich:

d(φ_{1})d(φ_{2}) = d(φ_{1} + φ_{2})
s(φ_{1})s(φ_{2}) = s(φ_{1} − φ_{2})

VII.42 Definition orthogonale Matrix

Eine Matrix A ∈ ℝ^{n×n} heißt orthogonal, falls

A · A^{tr} = I_{n} (A^{−1} = A^{tr})

VII.43 Satz (Matrix einer orthogonalen Abbildung)

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum, 𝔅 eine Orthonormalbasis und α : V → V linear

1. α ist orthogonal ⇔ _{𝔅}α_{𝔅} ist orthogonal.

2. Sei ℭ eine weitere Basis von V ℭ ist Orthonormalbasis ⇔ _{ℭ}id_{𝔅} ist orthogonal.

Beweis

1. Seien X, Y ∈ V beliebig

Φ(Xα, Y α) = Φ(X, Y)
⇔(X_{𝔅}_{𝔅}α_{𝔅})I_{n}(Y_{𝔅}_{𝔅}α_{𝔅})^{tr} = X_{𝔅}I_{n}Y_{𝔅}^{tr}
⇔  _{𝔅}α_{𝔅}I_{n} (_{𝔅}α_{𝔅})^{tr} = I_{n}  √

2. Dies folgt sofort aus 1., wenn man _{ℭ}id_{𝔅} als _{𝔅}α_{𝔅} auffaßt, d. h. als Matrix einer linearen Abbildung α : V → V. Orthogonale Abbildungen überführen Orthogonalbasen in Orthogonalbasen und umgekehrt, d. h. eine lineare Abbildung, die eine Orthogonalbasis in eine Orthogonalbasis überführt ist orthogonal.

Kapitel VIII

Determinanten

Vorbemerkung über die symmetrische Gruppe VIII.1 Definition symmetrische Gruppe

Sei M eine Menge. Dann heißt

S_{M} := {π | π : M → M ist bijektiv }

Zusammen mit der Komposition

S_{M} × S_{M} → S_{M} : (π, ρ) ↦ πρ

die symmetrische Gruppe von M. Ist M = {1, …, n}, so schreibt man auch S_{n} statt S_{M}.

VIII.2 Bemerkung (über S_{n})

1. S_{n} ist eine Gruppe.

2. S_{n} hat n! Elemente.

Beweis

1. • S_{n} ≠ ∅ denn id ∈ S_{n}.

• Zeige Assoziativität: Dazu seien π_{1}, π_{2}, π_{3} ∈ S_{n} und m ∈ {1, …, n}

m((π_{1}π_{2})π_{3}) = (m(π_{1}π_{2}))π_{3}
= ((mπ_{1})π_{2})π_{3}
= (mπ_{1})(π_{2}π_{3})
= m(π_{1}(π_{2}π_{3}))

• 1–Element: id : π id = id π = π

• Inverses zu π ∈ S_{n}:

π^{−1} : {1, …, n} → {1, …, n} : i ↦ j falls jπ = i

Dies ist wohldefiniert, da π bijektiv ist. ⇒ π^{−1}π = ππ^{−1} = id 2. π ∈ S_{n} ist eindeutig festgelegt durch (1π, 2π, …, nπ). Da π bijektiv ist gibt es

für 1π n Möglichkeiten

für 2π n − 1 Möglichkeiten

für 3π n − 2 Möglichkeiten

⋮

für nπ eine Möglichkeit

Insgesamt gibt es also n · (n − 1) · (n − 2) ⋯ 1 = n! Möglichkeiten.

q.e.d.

VIII.3 Definition Zykel

Seien i_{1}, …, i_{k} ∈ {1, …, n} k verschiedene Elemente. Dann bezeichnet (i_{1}, i_{2}, …, i_{k}) die Permutation σ von S_{n} mit i_{1}σ = i_{2}, …, i_{k}σ = i_{1} und lσ = l mit l ∈ {1, …, n} − {i_{1}, …, i_{k}}. Man nennt (i_{1}, i_{2}, …, i_{k}) einen k-Zykel. 2-Zykel heißen auch Transpositionen. klar: (i_{1}, i_{2}, …, i_{k}) = (i_{2}, …, i_{k}, i_{1})

VIII.4 Lemma (Disjunkte Zykelschreibweise für Permutationen)

π ∈ S_{n}. Dann kann π als Produkt von (höchstens n) disjunkten Zykeln geschrieben werden. Diese sind bis auf ihre Reihenfolge eindeutig. (Konvention: 1-Zykel werden nicht hingeschrieben.)

Beweis

Sei k_{i_{1}} minimal mit i_{1}π^{k_{i_{1}}} = i_{1}. Setze π_{1} := (i_{1}, i_{1}π, i_{1}π^{2}, …, i_{1}π^{k_{i_{1}} −1}). Sei i_{2} ∈ {1, …, n} − {i_{1}, …, i_{1}π^{k_{i_{1}} −1}} π_{2} = (i_{2}, i_{2}π, …, i_{2}π^{k_{i_{2}} −1}) entsprechend: π_{3} = (i_{3}, i_{3}π, …, i_{3}π^{k_{i_{3}} −1}) d. h. nach endlich vielen Schritten:

π = π_{1}π_{2} ⋯ π_{s}

klar: π_{i} sind eindeutig durch π bestimmt, π_{i}π_{j} = π_{j}π_{i} da Zykel nach Konstruktion disjunkt.

q.e.d.

VIII.5 Bemerkung (Produkt von Transpositionen)

Jedes π ∈ S_{n} ist Produkt von Transpositionen.

Beweis

Für Zykel der Form (i_{1}, …, i_{k}) gilt:

(i_{1}, …, i_{k}) = (i_{1}, i_{2})(i_{1}, i_{3}) ⋯ (i_{1}, i_{k})

Da nun jedes π ∈ S_{n} Produkt (= Hintereinanderausführung) disjunkter Zykel ist, folgt die Behauptung.

VIII.6. Definition Signum-Funktion  111

1. Seien π, ρ ∈ S_{6}:

\begin{matrix}π : 1 & ↦ & 3 \\ 2 & ↦ & 5 \\ 3 & ↦ & 1 \\ 4 & ↦ & 4 \\ 5 & ↦ & 6 \\ 6 & ↦ & 2 \end{matrix}  \begin{matrix}ρ : 1 & ↦ & 6 \\ 2 & ↦ & 5 \\ 3 & ↦ & 3 \\ 4 & ↦ & 2 \\ 5 & ↦ & 4 \\ 6 & ↦ & 1 \end{matrix}

Man schreibt:

π = (1, 3)(2, 5, 6)(4) ρ = (1, 6)(2, 5, 4)(3)

2.

π = (1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 6)  ist nicht disjunkt  (VIII.1)
= (1, 2, 3, 4, 6)(5)  ist disjunkt  (VIII.2)

Die Zykelzerlegung (VIII.1) ist nicht disjunkt, da die 1 in mehreren Zykeln vorkommt. Betrachtet man die einzelnen Zykel dieser Zykelzerlegungen, so ergibt sich:

(1, 2, 3, 4, 5, 6) ↦ (2, 1, 3, 4, 5, 6)
↦ (2, 3, 1, 4, 5, 6)
↦ (2, 3, 4, 1, 5, 6)
↦ (2, 3, 4, 6, 5, 1)

Die Zykelzerlegung (VIII.2) ist dagegen disjunkt.

Beispiel VIII.1: Zykelschreibweise

VIII.6 Definition Signum-Funktion

Die Signum-Funktion sgn : S_{n} → {±1} sei definiert durch π sgn := (−1)^{πf} πf = |{(i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, n} ; i < j und iπ > jπ}|

VIII.7 Satz (Eigenschaften der Signum-Funktion)

1. Sei {1, …, n} → ℕ : i ↦ x_{i} eine injektive Abbildung. Dann gilt für π ∈ S_{n}

π sgn = ∏_{i<j} \frac{x_{j} − x_{i}}{x_{jπ} − x_{iπ}}

2. sgn ist ein Gruppenhomomorphismus, d. h.

(π_{1}π_{2}) sgn = (π_{1} sgn)(π_{2} sgn)

3.

(i, j) sgn = −1

4.

(i_{1}, …, i_{k}) sgn = \begin{cases}1 & , falls k ungerade \\ −1 & , falls k gerade \end{cases}

5. Für π ∈ S_{n} ist die Anzahl der Transposition mit dem Produkt π mod 2 bestimmt.

Beweis

1. Das Produkt ∏_{i<j}(x_{jπ}−x_{iπ}) hat bis aufs Vorzeichen jeden Faktor des Produktes ∏_{i<j}(x_{j}−x_{i}). Die Anzahl der Vorzeichenänderungen ist πf. Also

π sgn = \frac{∏_{i<j}(x_{j} − x_{i})}{∏_{i<j}(x_{jπ} − x_{iπ})}

2.

(π_{1}π_{2}) sgn = ∏_{i<j} \frac{x_{j} − x_{i}}{x_{jπ_{1}π_{2}} − x_{iπ_{1}π_{2}}}

= ∏_{i<j} \frac{x_{j} − x_{i}}{x_{jπ_{1}} − x_{iπ_{1}}} · ∏_{i<j} \frac{x_{jπ_{1}} − x_{iπ_{1}}}{x_{jπ_{1}π_{2}} − x_{iπ_{1}π_{2}}}

= ∏_{i<j} \frac{x_{j} − x_{i}}{x_{jπ_{1}} − x_{iπ_{1}}} · ∏_{i<j} \frac{y_{j} − y_{i}}{y_{jπ_{2}} − y_{iπ_{2}}}

= (π_{1} sgn) · (π_{2} sgn)

3. Sei i < j:

(i, j)f = |{(i, i + 1), (i, i + 2), …, (i, j − 1), (i, j), (i + 1, j), …, (j − 1, j)}|
= (j − i) + (j − (i + 1)) ist ungerade

4.

(i_{1}, …, i_{k}) sgn = ((i_{1}, i_{2})(i_{1}, i_{3}) ⋯ (i_{1}, i_{k})) sgn
= (−1)^{k−1}

5. Folgt aus 2. und 3.

q.e.d.

VIII.8 Definition Untergruppe, Rechtsrestklasse, Vertreter-

system

1. Sei G eine Gruppe. Eine Teilmenge U ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls (a) U ≠ 0

(b) u_{1}, u_{2} ∈ U ⇒ u_{1}u_{2} ∈ U

(c) u ∈ U ⇒ u^{−1} ∈ U Schreibweise: U ≤ G

2. Sei U ≤ G und g ∈ G. Dann heißt Ug = {ug | u ∈ U} eine Rechtsrestklasse von U in G.

3. M ⊆ G heißt Vertretersystem der Rechtsrestklassen von U in G oder Rechtstransversale, falls für alle g ∈ G gilt: |M ∩Ug| = 1, d. h. M enthält aus jeder Rechtsrestklasse genau ein Element.

• Sei i ∈ {1, …, n} und G = S_{n}. Der Stabilisator von S_{n} wird definiert als

Stab_{S_{n}}(i) := {π ∈ S_{n} | iπ = i} ≤ S_{n}

Dies ist die Menge aller π, die das Element i gleichlassen.

• Sei (i, j) ∈ S_{n} eine Transposition ⇒ {id, (i, j)} ≤ S_{n}.

Beispiel VIII.2: Untergruppen der Symmetrischen Gruppe

VIII.9 Satz (Bijektion zwischen Rechtsrestklassen)

Sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G. Daraus folgt, daß je zwei Rechtsrestklassen gleichviele Elemente haben. D. h. es existiert eine Bijektion zwischen je zwei Rechtsrestklassen. Insbesondere gilt:

|M| := Anzahl der Restklassen = \frac{|G|}{|U|}

(⇒ |U| | |G| d. h. |U| teilt |G|)

Beweis

Sei g ∈ G. Die Abbildung U → Ug : u ↦ ug ist eine Bijektion. Die Inverse dazu ist: Ug → U : v ↦ vg^{−1}.

q.e.d.

1. Die Menge {(n, i) | (i = 1, …, n)} ((n, n) = id) bildet ein Vertretersystem von Stab_{S_{n}}(n) in S_{n}. Die i-te Restklasse ist:

Stab_{S_{n}}(n) · (n, i) = {π ∈ S_{n} | nπ = i}
Beachte: Stab_{S_{n}}(n) ≡ S_{n−1} also |S_{n}| = |S_{n−1}| · n  ⇒  |S_{n}| = n!

2. Jedes g ∈ G läßt sich eindeutig schreiben als g = uv mit u ∈ U (≤ G) und v ∈ M (= Rechtstransversale von U in G).

Beispiel VIII.3: Rechtsrestklassen

Determinanten

VIII.10 Definition Determinante, alternierend

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum der Dimension n mit einer Basis 𝔅. Eine Abbildung

Δ : \underbrace{V × ⋯ × V}_{n} → K

heißt Determinante auf V, falls sie folgende Eigenschaften hat:

1. Δ ist multilinear, d. h. für alle i = 1, …, n und x_{1}, …, x_{i}, x′_{i}, x_{i+1}, …, x_{n} ∈ V, a ∈ K gilt:

Δ(x_{1}, …, x_{i−1}, a · x_{i}, x_{i+1}, …, x_{n}) = a · Δ(x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i}, x_{i+1}, …, x_{n})
Δ(x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i} + x′_{i}, x_{i+1}, …, x_{n}) = Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{n}) + Δ(x_{1}, …, x′_{i}, …, x_{n})

2. Δ ist alternierend, d. h. falls i und j mit i ≠ j und x_{i} = x_{j} existieren, so gilt:

Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{j}, …, x_{n}) = 0

3. Δ(B_{1}, …, B_{n}) = 1, falls 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}).

(1. und 2. besagen, daß Δ eine alternierende n–Linearform ist.)

VIII.11 Satz (Eigenschaften einer Determinanten)

Δ sei eine alternierende n-Linearform auf V. Dann gilt:

1.

Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{n}) = Δ(x_{1}, …, x_{i} + a · x_{j}, …, x_{n}) für alle j ≠ i und a ∈ K

2.

Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{j}, …, x_{n}) = −Δ(x_{1}, …, x_{j}, …, x_{i}, …, x_{n})

3. Für eine Permutation π ∈ S_{n} ist Δ(x_{1π}, …, x_{nπ}) = π sgn ·Δ(x_{1}, …, x_{n})

Beweis

1.

Δ(x_{1}, …, x_{i} + a · x_{j}, …, x_{n}) = Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{n}) + \underbrace{a · Δ(x_{1}, …, x_{j}^{i_{↓}}, …, x_{j}^{j_{↓}}, …, x_{n})}_{=0} √

2. An die Stellen k setze x_{k}, an die Stelle i und j setze x_{i} + x_{j}:

0 = Δ(x_{1}, …, x_{i} + x_{j}, …, x_{i} + x_{j}, …, x_{n})
= Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{i}, …, x_{n}) + Δ(x_{1}, …, x_{j}, …, x_{j}, …, x_{n}) +
Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{j}, …, x_{n}) + Δ(x_{1}, …, x_{j}, …, x_{i}, …, x_{n})
= Δ(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{j}, …, x_{n}) + Δ(x_{1}, …, x_{j}, …, x_{i}, …, x_{n})  √

3. π ist das Produkt von Transpositionen und sgn ist multiplikativ. Also folgt die Behauptung

aus 2. q.e.d.

Frage: Existiert die Determinante?

• Sei dim V = 1, 𝔅 eine Basis von V und 𝔅^{∗} = {δ} die zu 𝔅 duale Basis von V^{∗} ⇒ δ ist Determinante auf V.

• Sei dim V = 2, 𝔅 eine Basis von V und 𝔅^{∗} = {δ_{1}, δ_{2}} die zu 𝔅 duale Basis von V^{∗}

δ_{1} ⊗ δ_{2} : V × V → K : (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}δ_{1}) · (x_{2}δ_{2})

ist 2–linear, aber nicht alternierend, δ_{2} ⊗ δ_{1} ebenso.

Δ = δ_{1} ⊗ δ_{2} − δ_{2} ⊗ δ_{1}

ist 2–linear und alternierend

Δ(B_{1}, B_{2}) = 1 · 1 − 0 · 0 = 1

also ist Δ eine Determinante.

Beispiel VIII.4: Determinanten

VIII.12 Satz (Eindeutigkeit einer Determinante)

Falls eine Determinante auf V existiert, so ist sie eindeutig bestimmt, wenn die Basis 𝔅 fest vorgegeben ist.

Beweis

Sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) und Δ eine Determinante auf V. Jedes x_{i} ∈ V läßt sich eindeutig darstellen als

x_{i} = ∑_{j_{i}=1}^{n} a_{ij_{i}}B_{j_{i}} für a_{ij_{j}} ∈ K

Δ(x_{1}, …, x_{n}) = Δ( ∑_{j_{1}=1}^{n} a_{ij_{1}}B_{j_{1}}, …, ∑_{j_{n}=1}^{n} a_{ij_{n}}B_{j_{n}})

= ∑_{j_{1}=1}^{n} a_{1j_{1}}Δ(B_{j_{1}}, ∑_{j_{2}=1}^{n} a_{2j_{2}}B_{j_{2}}, …, ∑_{j_{n}=1}^{n} a_{nj_{n}}B_{j_{n}}

= ∑_{j_{1}=1}^{n} ∑_{j_{2}=1}^{n} ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{n} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} ⋯ a_{nj_{n}}Δ(B_{j_{1}}, …, B_{j_{n}})

Betrachte nun (j_{1}, …, j_{n}) als Abbildung

1 ↦ j_{1} 2 ↦ j_{2} ⋯ n ↦ j_{n}

also π : j ↦ j_{i} . Die Abbildung ist nicht bijektiv genau dann, wenn zwei j_{i} gleich sind. Daraus folgt aber daß Δ(B_{j_{1}}, …, B_{j_{n}}) = 0

= ∑_{π∈S_{n}} a_{11π} ⋯ a_{nnπ}Δ(B_{1π}, …, B_{nπ})
= ∑_{π∈S_{n}} a_{11π} ⋯ a_{nnπ} · π sgn

VIII.13 Satz (Existenz der Determinante)

Die Determinante existiert.

Beweis

Für α_{1}, …, α_{n} ∈ V^{∗} (α_{i} : V → K linear) definiere eine multilineare Abbildung

α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{n} : V × ⋯ × V → K : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (x_{1}α_{1})(x_{2}α_{2}) ⋯ (x_{n}α_{n})

Die n-linearen Abbildungen V × ⋯ × V → K bilden einen K-Teilraum von K^{V×···×V}. Sei nun (δ_{1}, …, δ_{n}) = 𝔅^{∗} die Dualbasis zu 𝔅.

Δ := ∑_{π∈S_{n}}(π sgn) · δ_{1π} ⊗ ⋯ ⊗ δ_{nπ}

ist n-linear und ist alternierend:

Δ(x_{1}, …, x^{i_{↓}}, …, x^{j_{↓}}, …, x_{n}) = ∑_{π∈S_{n}}(π sgn) · (x_{1}δ_{1π}) ⋯ (xδ_{iπ}) ⋯ (xδ_{jπ}) ⋯ (x_{n}δ_{nπ})
= ∑_{ρ∈V}(ρ sgn) · ((x_{1}δ_{1ρ}) ⋯ (xδ_{iρ}) ⋯ (xδ_{jρ}) ⋯ (x_{n}δ_{nρ})
−(x_{1}δ_{1ρ}) ⋯ (xδ_{jρ}) ⋯ (xδ_{iρ}) ⋯ (x_{n}δ_{nρ}))
= 0

wobei V eine Rechtstransversale von {id, (i, j)} ≤ S_{n} in S_{n} ist. Außerdem:

Δ(B_{1}, …, B_{n}) = ∑_{π∈S_{n}} π sgn \underbrace{(B_{1}δ_{1π}) ⋯ (B_{n}δ_{nπ})}_{=0 außer π=id} = 1

q.e.d.

VIII.14 Folgerung (Teilraum der Linearformen)

Die alternierenden n-Linearformen auf V bilden einen 1–dimensionalen Teilraum von K\underbrace{V × ⋯ × V}_{n}

Beweis

Aus Satz VIII.12 folgt, daß der Teilraum höchstens 1–dimensional ist und aus Satz VIII.13 wissen wir daß er mindestens 1–dimensional ist.

q.e.d.

VIII.15 Laplacescher Entwicklungssatz

Sei 𝔅 eine Basis von V und 𝔅^{∗} = (δ_{1}, …, δ_{n}) die zu 𝔅 duale Basis

ψ : V → ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ : a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n} ↦ a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n−1}B_{n−1}

ist Projektion von V auf ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ mit Kern ⟨B_{n}⟩ Sei Δ_{n−1} Determinante von ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ bezüglich (B_{1}, …, B_{n−1}). Es gilt:

Δ(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{n+j}(x_{j}δ_{n}) · Δ_{n−1}(x_{1}ψ, …, x̂_{j}ψ, …, x_{n}ψ)  (VIII.3)

Beweis

Wegen der Existenz und Eindeutigkeit prüfe nur die definierenden Eigenschaften der Determinante nach.

1. Sei x_{k} = ax′_{k} + bx′′_{k}. Prüfe im i-ten Summanden von (VIII.3) die Linearität nach: i ≠ k: ψ ist linear und Δ_{n−1} ist in der relevanten Komponente linear. i = k: δ_{n} ist linear.

2. und 3. ebenso

2. Beweis

Arbeite mit Stab_{S_{n}}(n) ≡ S_{n−1} und einem Vertretersystem von Stab_{S_{n}}(n) in S_{n} \underbrace{|S_{n}| = n! | Stab_{S_{n}}(n)| = (n − 1)!}

Falls man restklassenweise zusammenfaßt erhält man n Teilsummen. q.e.d.

VIII.16 Bemerkung

Statt n kann man in der letzten Formel ein beliebiges k, 1 ≤ k ≤ n nehmen, d. h.

Δ(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{k+j}(x_{i}δ_{k})Δ_{n−1}(x_{1}ψ, …, x̂_{j}ψ, …, x_{n}ψ)

wobei ψ : a_{1}B_{1} + ⋯ + a_{n}B_{n} ↦ a_{1}B_{1} + ⋯ + { \atop x_{j}B_{k}} + ⋯ + x_{n}ψ) und Δ_{n−1} ist die Deteminante auf ⟨B_{1}, …, B̂_{k}, …, B_{n}⟩ bezüglich der Basis (B_{1}, …, B̂_{k}, …, B_{n})

Beweis

Für k = n ist dies schon bewiesen. Sei nun 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) und 𝔅′ = (B_{1}, …, B_{k−1}, B_{n}, B_{k+1}, …, B_{n−1}, B_{k}). Dann ist Δ_{𝔅} = −Δ_{𝔅′}. Jetzt wende k = n an auf Δ_{𝔅′} und gehe zu Δ_{𝔅} zurück.

q.e.d.

VIII.17 Satz (Determinante und lineare Unabhängigkeit)

Sei Δ Determinante auf V, dim V = n und X_{1}, …, X_{n} ∈ V (X_{1}, …, X_{n}) ist linear unabhängig ⇔ Δ(X_{1}, …, X_{n}) ≠ 0

Beweis

”⇒“ Ist ℭ = (X_{1}, …, X_{n}) linear unabhängig ⇒ ℭ ist Basis von V. Sei Δ_{ℭ} die Determinante mit Δ_{ℭ}(X_{1}, …, X_{n}) = 1

⇒ Δ_{ℭ} = aΔ mit 0 ≠ a ∈ K
⇒ Δ(X_{1}, …, X_{n}) = a^{−1} ≠ 0

”⇐“ Sei (X_{1}, …, X_{n}) linear abhängig. OBdA. sei X_{n} = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n−1}X_{n−1}

⇒ Δ(X_{1}, …, X_{n}) = Δ(X_{1}, …, X_{n−1}, 0) = 0 ↯ q.e.d.

Sei V = K^{4×1} und Δ normiert bezüglich der Standardbasis 𝔖_{4}

Δ(X_{1}, …, X_{n}) = Δ_{4} ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}))
= (−1)^{5} · 4 · Δ_{3} ((\begin{matrix}5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) +

(−1)^{6} · 8 · Δ_{3} ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) +

(−1)^{8} · 2 · Δ_{3} ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}))

= (−4) · 5 + 8 · 1 + 2 · Δ_{3} ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ −4 \\ −8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}))
= −20 + 8 + 2 · 8
= 4

Beispiel VIII.5: Entwicklung einer Determinanten

VIII.18 Definition Determinante einer Matrix

Die Funktion det : K^{n×n} → K sei definiert durch

det(A) = Δ(A _{1}, …, A _{n})

wobei A _{i} die i-te Spalte von A ist und Δ = Δ_{𝔖_{n}} mit 𝔖_{n} ist die Standardbasis von K^{n×1}. det(A) heißt die Determinante der Matrix A.

VIII.19 Satz (Determinante der Transponierten)

Es gilt det(A) = det(A^{tr}) D. h. det(A) hätte auch über die Zeilen der Matrix definiert werden können.

Beweis

Sei 𝔖_{n} = (E_{1}, …, E_{n}) und A = (A_{ij}) = (A _{1}, …, A _{n})

A _{i} = ∑_{j_{i}=1}^{n} A_{j_{i}i}E_{j_{i}}
det(A) = ∑_{π∈S_{n}}(π sgn)A_{1π1} ⋯ A_{nπn}
=^{ρ=π^{−1}}  ∑_{ρ∈S_{n}}(ρ sgn)A_{11ρ} ⋯ A_{nnρ}
= det(A^{tr})

VIII.20. Folgerung (Entwicklung nach der k-ten Spalte)  119

q.e.d.

VIII.20 Folgerung (Entwicklung nach der k-ten Spalte)

Sei (A_{ik}^{∘}) die Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte hervorgeht. Dann gilt:

det(A) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{k+i}A_{ik} det(A_{ik}^{∘})

Beweis

Wende den Entwicklungssatz nach der k-ten Zeile auf A^{tr} an.

q.e.d.

A = (\begin{matrix}1 & 5 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 1 \\ 4 & 8 & 0 & 2 \end{matrix})  (A_{23}^{∘}) = (\begin{matrix}1 & 5 & 0 \\ 3 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{matrix})
det A = (−1)^{4} · 0 · det(A_{13}^{∘}) + (−1)^{5} · 1 · det(A_{23}^{∘}) +
(−1)^{6} · 0 · det(A_{33}^{∘}) + (−1)^{7} · 0 · det(A_{43}^{∘})

Beispiel VIII.6: Entwicklung einer Determinante nach Spalten

VIII.21 Satz

Sei A ∈ K^{n×n}. A^{∘} := ((−1)^{i+j} det(A_{ij}^{∘})) (∈ K^{n×n}) ⇒ AA^{∘tr} = det(A) · I_{n}

Beweis

Wir haben schon bei der Entwicklung nach der i-ten Zeile gesehen:

\underbrace{∑_{j=1}^{n} A_{ij}(−1)^{i+j} det(A_{ij}^{∘})}_{i-tes Diagonalelement von A(A^{∘})^{tr}} = det A

Es ist für k ≠ i:

∑_{j=1}^{n} A_{kj}(−1)^{i+j} det(A_{ij}^{∘}) = det(A ^{k}) = 0

wobei A ^{k} die Matrix ist, die aus A hervorgeht durch Ersetzen der j-ten Zeile durch die k-te Zeile. (Sind zwei Zeilen gleich, daraus folgt, daß die Determinante gleich 0 ist.)

q.e.d.

VIII.22 Cramersche Regel

Seien A ∈ K^{n×n}, B ∈ K^{n×1} und AX = B ein lineares Gleichungssystem. Ist det A ≠ 0 so hat das

lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung (X_{1} ; ⋮ ; X_{n}) mit

X_{i} = \frac{det(A _{1}, …, B^{i}, …, A _{n})}{det A}

Beweis

Es ist X = A^{−1}B also X ∈ K^{n×1} eindeutig bestimmt.

B = ∑_{i=1}^{n} X_{i}A _{i}

det(A _{1}, …, B^{i}, …, A _{n}) = det(A _{1}, …, X_{i}A _{i}, …, A_{n})
= X_{i} · det(A)

q.e.d.

VIII.23 Determinantenmultiplikationssatz

Seien A, B ∈ K^{n×n}. Dann gilt:

det(AB) = det(A) · det(B)

Beweis

Sei V = K^{n×1} (Spaltenraum), dann ist die Abbildung

Δ_{A} : \underbrace{V × ⋯ × V}_{n} → K : (X_{1}, …, X_{n}) ↦ det(AX_{1}, …, AX_{n})

alternierend und multilinear, also ein Vielfaches von Δ. (Sei Δ normiert bezüglich der Standardbasis 𝔖_{n} = (E_{1}, …, E_{n})) Die Frage ist nun, welches Vielfache? Δ_{A}(E_{1}, …, E_{n}) = det(A) also Δ_{A} = det(A) · Δ also gilt:

det(AB) = Δ_{A}(B _{1}, …, B _{n}) = det A · det B

q.e.d.

VIII.24 Folgerung (generelle lineare Gruppe)

Die generelle lineare Gruppe Gl_{n}(K) = Gl(n, K) = {X ∈ K^{n×n} | det(X) ≠ 0} ist eine Gruppe (bezüglich der Matrizenmultiplikation) und

det : Gl_{n}(K) → K^{∗} = K\{0}

ist ein Gruppenhomorphismus mit der speziellen linearen Gruppe Sl_{n}(K) = Sl(n, K) = {X ∈ K^{n×n} | det(X) = 1} als Kern.

VIII.25 Definition Gruppenhomomorphismus

Seien G und H Gruppen (multiplikativ geschrieben). Die Abbildung ε : G → H heißt Gruppenhomomorphismus, falls sie das Rechnen überträgt, d. h. seien g_{1}, g_{2} ∈ G

⇒  (\underbrace{g_{1} · g_{2}}_{in G})ε = \underbrace{(g_{1}ε) · (g_{2}ε)}_{in H}  (⇒ (g^{−1}ε) = (gε)^{−1})

Ker ε := {g ∈ G | gε = 1} heißt der Kern von ε. (Ker ε ist eine Untergruppe von G.)

VIII.26 Defintion Determinante einer Abbildung

Es sei 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) eine Basis von V, Δ eine Determinante auf V und φ : V → V eine lineare Abbildung.

det φ := \frac{Δ(B_{1}φ, …, B_{n}φ)}{Δ(B_{1}, …, B_{n})}  (VIII.4)

VIII.27 Satz (Eigenschaften der Determinante)

1. det φ ist unabhängig von

(a) der Wahl von Δ und

(b) der Wahl der Basis.

2. Ist 𝔅 Basis von V ⇒ det φ = det(_{𝔅}φ_{𝔅})

Beweis

1. (a) Seien 𝔅_{1} und 𝔅_{2} Basen von V. Δ_{𝔅_{1}} = aΔ_{𝔅_{2}} mit a = a(𝔅_{1}, 𝔅_{2}) ∈ K\{0}. Aber a kürzt sich in der Gleichung (VIII.4) raus, d. h. det φ ist unabhängig von Δ.

(b) Sei 𝔅′ = (B_{1},′ , …, B′_{n}) eine weitere Basis von V mit B′_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}B_{j}. Daraus folgt, daß det(a_{ij}) sowohl im Nenner als auch im Zähler von (VIII.4) auftaucht, also ist det φ unabhängig von der Basis.

2. Sei oBdA. 𝔅 eine Basis von V und Δ = Δ_{𝔅}. Im Zähler von (VIII.4) steht: det(_{𝔅}φ_{𝔅}) · 1 und im Nenner steht 1.

q.e.d.

VIII.28 Bemerkung (Invarianten)

Bisher kannten wir zwei Invarianten von linearen Abbildungen φ : V → V, nämlich

1. Die Spur Sp φ := ∑_{i=1}^{n} a_{ii} wobei (a_{ij}) = _{𝔅}φ_{𝔅} für eine Basis 𝔅 von V.

2. det φ = det_{𝔅}φ_{𝔅}

Invariant heißt hier unabhängig von der Wahl der Basis.

Betrachte folgende zwei Matrizen und deren Quadrate:

B := (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

C := (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})^{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Die Quadrate der Abbildungen sind gleich, aber es existiert kein A ∈ Gl_{2}(K) mit

A (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) A^{−1} = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

denn die Spur und die Determinante der beiden Matrizen sind nicht gleich: det B = −1 aber det C = 1 und Sp B = 0 aber Sp C = −2.

Beispiel VIII.7: Spur und Determinante

Interpretetion der Determinante im Falle reeller Vektorräume

VIII.29 Definition Parallelepiped, Volumen

Sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit der Basis 𝔅 und Δ = Δ_{𝔅} die bezüglich 𝔅 normierte Determinante.

1. Für X_{1}, …, X_{n} ∈ V heißt

PE(X_{1}, …, X_{n}) := {a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n} | 0 ≤ a_{i} ≤ 1 i = 1, …, n}

das von X_{1}, …, X_{n} aufgespannte Parallelepiped.

Vol(X_{1}, …, X_{n}) := |Δ(X_{1}, …, X_{n})|

heißt das Volumen von PE(X_{1}, …, X_{n}) (bezüglich 𝔅 normiertes n-dimensionale Volumen).

2. Auf der Menge der Basen von V sei eine Äquivalenzrelation ∼ (gleichorientiert) definiert durch

ℭ = (C_{1}, …, C_{n}) ∼ 𝔇 = (D_{1}, …, D_{n}) :⇔ Δ(C_{1}, …, C_{n}) · Δ(D_{1}, …, D_{n}) > 0

VIII.30 Bemerkung (orientierte Volumenverzerrung)

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und φ : V → V eine lineare Abbildung. Dann gibt det(φ) eine orientierte Volumenverzerrung wieder, d. h.

1. det φ = 0 ⇔ φ ist kein Isomorphismus, d. h. Bild φ {< \atop ≠} V

2. det φ > 0 ⇔ φ bildet jede Basis auf eine gleichorientierte Basis ab.

3. det φ < 0 ⇔ φ bildet jede Basis auf eine andersorientierte Basis ab.

4. Es gilt:

| det φ| = \frac{Vol(B_{1}φ, …, B_{n}φ)}{Vol(B_{1}, …, B_{n})}

mit 𝔅 = (B_{1}, …, B_{n}) ist eine Basis.

det (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 8 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{matrix}) = det (\begin{matrix}−3 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ −3 & 2 & 4 & 3 \end{matrix})

= (−1)^{5} · 4 · det (\begin{matrix}−3 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ −3 & 4 & 3 \end{matrix}) + 0

= −4 · det (\begin{matrix}−9 & 3 & −5 \\ 0 & 1 & 0 \\ −11 & 4 & −9 \end{matrix})

= −4 · (−1)^{4} · det (\begin{matrix}−9 & −5 \\ −11 & −9 \end{matrix})
= −4 · (81 − 55)

Beispiel VIII.8: Berechnung der Determinante einer Matrix

Betrachte 2-dimensionale orthogonale Abbildungen in dem 2-dimensionalen orthogonalen euklidischen Vektorraum (V, Φ). Sei φ : V → V eine orthogonale Abbildung und 𝔅 eine Orthonormalbasis.

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}cos α & sin α \\ − sin α & cos α \end{matrix})

Determinante = 1 Spur = 2 cos α Drehung um ∡α

Volumen und Orientierung bleiben erhalten.

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}cos α & sin α \\ sin α & − cos α \end{matrix})

Determinante = −1 Spur = 0 Spiegelung Volumen bleibt und Orientierung ändert sich.

Beispiel VIII.9: Drehung und Spiegelung

VIII.31 Definition Drehung

Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum und φ : V → V eine orthogonale Abbildung. (Insbesondere: det φ = ±1) Ist det φ = +1, so heißt φ eigentlich orthogonal oder Drehung.

VIII.32 Satz (Drehachse)

Sei (V, Φ) ein 3–dimensionaler euklidischer Vektorraum und φ : V → V eine Drehung. Dann hat φ eine Drehachse, d. h. es existiert ein X ∈ V, X ≠ 0 mit Xφ = X. Weiter existiert eine Orthonormalbasis 𝔅 von V mit

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}cos α & sin α & 0 \\ − sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Diese Matrix hat die Spur 2 cos α + 1.

Beweis

es existiert X ≠ 0 Xφ = X ⇔ Ker(id −φ) ≠ {0}
⇔ det(id −φ) = 0

Sei ℭ eine Orthonormalbasis von V. Daraus folgt, daß A = _{ℭ}φ_{ℭ} eine orthogonale Matrix ist, d. h. A^{tr} = A^{−1}. φ ist Drehung, daraus folgt, daß det A = 1:

det(A − I) = det(A^{tr} − I)
= det(A^{−1} − I)
= det(A) · det(A^{−1} − I)
= det(A · (A^{−1} − I))
= det(I − A)
= (−1)^{3} · det(A − I)
⇒  det(A − I) = 0

Wähle nun X ∈ Ker(id −φ). Dann ist ⟨X⟩^{⊥} ein 2–dimensionaler Vektorraum.

⟨X⟩^{⊥}φ = ⟨Xφ⟩^{⊥} = ⟨X⟩^{⊥}

Sei (B_{1}, B_{2}) Orthonormalbasis von ⟨X⟩^{⊥}, B_{3} = \frac{1}{\sqrt{Φ(X,X)}} · X. Dann ist 𝔅 = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis

von V mit

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}cos α & sin α & 0 \\ − sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Kapitel IX

Eigenwerte und Eigenvektoren

IX.1 Definition Eigenwert, –vektor, –raum

Sei φ : V → V eine lineare Abbildung und K ein beliebiger Körper. X ∈ V heißt Eigenvektor von φ, falls

1. X ≠ 0

2. Xφ = a · X für ein a ∈ K

a heißt dann Eigenwert (von φ zum Eigenvektor X). Ist a Eigenwert, so heißt E_{a}(φ) ={X ∈ V | Xφ = aX} Eigenraum zum Eigenwert a.

IX.2 Bemerkung

Sei φ : V → V eine lineare Abbildung, K ein beliebiger Körper, a ein Eigenwert und E_{a}(φ) ein Eigenraum zum Eigenwert a.

1. E_{a}(φ) = Ker(a · id_{V} −φ)

2. a ist Eigenwert von φ ⇔ a · id_{V} −φ hat den Eigenwert 0 (d. h. Ker(a id_{V} −φ) ≠ {0}) ⇔ det(a id_{V} −φ) = 0

Zur Erinnerung

K[X] ist der Polynomring in X über K. Genauso wie ℤ in ℚ eingebettet werden kann, kann der Ring K[X] in den Körper K(X) = \{\frac{p}{q} | p, q ∈ K[X] , q ≠ 0\} eingebettet werden. Dabei gilt:

\frac{p}{q} = \frac{p̃}{q̃} ⇔ pq̃ = p̃q

K(X) heißt der Körper der rationalen Funktionen in X über K.

IX.3 Definition Charakteristisches Polynom, Hauptminor

1. Sei A ∈ K^{n×n}. Dann heißt p_{A}(x) := det(x · I_{n} − A) ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A.

2. Sei φ : V → V eine Lineare Abbildung und 𝔅 eine Basis von V. p_{φ}(x) := p_{_{𝔅}φ_{𝔅}}(x) heißt das charakteristische Polynom von φ.

3. Sei J ⊆ {1, …, n} mit |J| = m ≥ 1 und A ∈ K^{n×n}. Dann heißt det(A_{ij})_{i,j∈J} ein m–ter Hauptminor von A.

1. Sei V ein 2–dimensionaler Vektorraum mit der Basis 𝔅 = (B_{1}, B_{2}) und φ : V → V linear

mit _{𝔅}φ_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}).

φ^{2} = id_{V} ⇒ ist a Eigenwert von φ ⇒ a^{2} ist Eigenwert von φ^{2} = id, d. h. a^{2} = 1 ⇒ a = 1 oder a = −1 Wenn in K gilt 1 ≠ −1, so existieren 2 Eigenwerte: Eigenvektor 1 : B_{1} + B_{2} und Eigenvektor 2 : B_{1} − B_{2}

2. Sei 𝔅 eine Basis aus Eigenvektoren von φ.

⇒ _{𝔅}φ_{𝔅} = (\begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix})

Die a_{i} (i = 1, …, n) sind die Eigenwerte von φ.

Beispiel IX.1: Eigenwerte

IX.4 Satz (charakteristisches Polynom & Eigenwerte)

1. Das charakteristische Polynom von A ist wohldefiniert.

2. Die Definition von p_{φ}(x) ist unabhängig von der Basis 𝔅.

3. a ∈ K ist Eigenwert von φ, genau dann wenn a Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, d. h. (x − a)|p_{φ}(x)

4. p_{A}(x) = x^{n} − a_{1}x^{n−1} + a_{2}x^{n−2} ∓ ⋯ + (−1)^{n}a_{n} mit a_{i} = Summe der i–ten Hauptminoren von A. Insbesondere: a_{1} = Sp(A) und a_{n} = det(A)

Beweis

1. Wie oben gesehen ist K[X] ⊂ K(X), also ist p_{A}(x) ∈ K(X). Sei B = xI_{n} − A = (B_{ij}). Dann ist

p_{A}(x) = ∑_{π∈S_{n}}(π sgn) · B_{11π} ⋯ B_{nnπ}

Da B_{iiπ} ∈ K[X] und K[X] ein Ring ist, folgt p_{A}(x) ∈ K[X].

2. Sei A = _{𝔅}φ_{𝔅}, B = _{𝔅′}φ_{𝔅′} und C = _{𝔅′}id_{𝔅}

⇒ B = C · A · C^{−1}

Dann gilt:

det(xI_{n} − A) = det C · det(xI_{n} − A) · det C^{−1}
= det(xI_{n} − CAC^{−1})
= det(xI_{n} − B)

3. Sei A = _{𝔅}φ_{𝔅}

a ist Eigenwert von φ ⇔ Ker(a · id_{V} −φ) ≠ {0}
⇔ det(a · I_{n} − A) = 0
⇔ p_{φ}(a) = 0
⇔ (x − a)|p_{A}(x)

4. Sei I_{n} = (E _{1}, …, E _{n}) und A = (A _{1}, …, A _{n})

det(xI_{n} − A) = det(xE _{1} − A _{1}, xE _{2} − A _{2}, …, xE _{n} − A _{n})
= x · det(E _{1}, xE _{2} − A _{2}, …, xE _{n} − A _{n})

− det(A _{1}, xE _{2} − A _{2}, …, xE _{n} − A _{n})

⋯ = x^{n} · det(E _{1}, …, E _{n}) +
x^{n−1} ∑_{i=1}^{n} det(E _{1}, …, E _{i−1}, −A _{i}, E _{i+1}, …, E _{n}) +  (IX.1)
x^{n−2} ∑_{i<j} det(E _{1}, …, E _{i−1}, −A _{i}, E _{i+1}, …, −A _{j}, …, E _{n}) +(IX.2)

⋯ + det(−A _{1}, …, −A _{n})

= ∑_{i=0}^{n} x^{n−i}(−1)^{i} ∑_{\begin{matrix}|J|=i \\ J⊆\{1,...,n\} \end{matrix}} det B_{j}

= x^{n} − a_{1}x^{n−1} + a_{2}x^{n−2} − ⋯ + (−1)^{n}a_{n}

Betrachte nun das i–te Summenglied von (IX.1):

det (\begin{matrix}1 & & 0 & −A_{1i} \\ & ... & & ⋮ & & 0 \\ & & 1 & ⋮ \\ & & & −A_{ii} \\ & & & ⋮ & 1 \\ & 0 & & ⋮ & & ... \\ & & & −A_{ni} & 0 & & 1 \end{matrix}) = −A_{ii}

Also ergibt sich für die Summe:

(IX.1) = ∑_{i=1}^{n} −A_{ii} = − Sp(A) = −a_{1}

Betrachte nun das i–te Summenglied von (IX.2):

det (\begin{matrix}1 & & 0 & −A_{1i} & & & & −A_{1j} \\ & ... & & ⋮ & & 0 & & ⋮ \\ & & 1 & ⋮ & & & & ⋮ \\ & & & −A_{ii} & & & & −A_{ij} & & 0 \\ & & & ⋮ & 1 & & & ⋮ \\ & & & ⋮ & & ... & & ⋮ \\ & 0 & & −A_{ji} & & & 1 & −A_{jj} \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & 1 \\ & & & ⋮ & & 0 & & ⋮ & & ... \\ & & & −A_{ni} & & & & −A_{nj} & & & 1 \end{matrix}) = det (\begin{matrix}−A_{ii} & −A_{ij} \\ −A_{ji} & −A_{jj} \end{matrix})

= det (\begin{matrix}A_{ii} & A_{ij} \\ A_{ji} & A_{jj} \end{matrix})

dies ist der {i, j}–Hauptminor. Allgemeiner: Sei J ⊆ {1, …, n} det(B_{1}, …, B_{n}) ist der (−1)^{|J|}J–Hauptminor von A mit

B_{i} = \begin{cases}−A _{i} & , falls i ∈ J \\ E_{i} & , falls i ∉ J \end{cases}

J–Hauptminor von A: det(A_{ij})_{i,j∈J}

q.e.d.

Die Fibonacci-Reihe ist definiert durch a_{1} = 0, a_{2} = 1 und a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} für alle n ∈ ℕ. Betrachte nun folgende Abbildung:

φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} : (a_{n}, a_{n+1}) ↦ (a_{n+1}, a_{n+2})

Sei 𝔖_{2} die Standardbasis von ℝ^{2}. Dann gilt für die Matrix der Abbildung:

A := _{𝔖_{2}}φ_{𝔖_{2}} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Berechne nun die Eigenwerte der Abbildung:

det(xI_{2} − A) = det (\begin{matrix}x & −1 \\ −1 & x − 1 \end{matrix}) = x(x − 1) − 1 = x^{2} − x − 1

Also hat φ die Eigenwerte x_{1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} und x_{2} = \frac{1−\sqrt{5}}{2}. Bestimme den Eigenvektor zum Eigenwert x_{1}, d. h. gesucht (x, y) ∈ ℝ^{2}, so daß

(x, y) · (\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2} & −1 \\ −1 & \frac{−1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}) = (0, 0)

⇒ Der Eigenvektor ist Vielfaches von (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}). Analog erhält man zum Eigenwert x_{2}

den Eigenvektor (1, \frac{1−\sqrt{5}}{2}). Die Matrix von φ bezüglich der Basis aus den Eigenvektoren

((1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}) , (1, \frac{1−\sqrt{5}}{2})) ist (\begin{matrix}x_{1} & 0 \\ 0 & x_{2} \end{matrix}).

(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 1 & \frac{1−\sqrt{5}}{2} \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1−\sqrt{5}}{2} \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 1 & \frac{1−\sqrt{5}}{2} \end{matrix})

Die Matrix von φ bezüglich der Eigenvektoren läßt sich leichter potenzieren und damit lassen sich die Glieder der Fibonacci-Reihe auch einfacher berechnen.

Beispiel IX.2: Berechnung der Glieder der Fibonaccireihe

IX.5 Satz (linear unabhängige Eigenvektoren)

Seien a_{1}, …, a_{k} verschiedene Eigenwerte einer linearen Abbildung φ : V → V und X_{1}^{(i)}, …, X_{n_{i}}^{(i)} seien linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert a_{i}. (Beachte: ^{(i)} ist ein Index und keine Potenz.) ⇒ (X_{1}^{(1)}, …, X_{n_{1}}^{(1)}, X_{1}^{(2)}, …, X_{n_{2}}^{(2)}, …, X_{1}^{(k)}, …, X_{n_{k}}^{(k)}) ist linear unabhängig.

Beweis

Seien a_{l}^{(i)} ∈ K und X^{(i)} aus dem Eigenraum von φ bezüglich a_{i} mit

∑_{i=1}^{k} \underbrace{∑_{l=1}^{n_{i}} a_{l}^{(i)}X_{l}^{(i)}}_{=:X^{(i)}∈E_{a_{i}} (φ)} = 0

⇒ ∑_{i=1}^{k} X^{(i)} = 0 ⇒ ∑_{i=1}^{k} a_{i} · X^{(i)} = 0  nach Anwenden von φ  (IX.3)

⇒ ∑_{i=1}^{k} a_{i}^{2} · X^{(i)} = 0  nach Anwenden von φ  (IX.4)

⋮
⇒ ∑_{i=1}^{k} a_{i}^{k−1} · X^{(i)} = 0  nach Anwenden von φ  (IX.5)

Sei nun A = (a_{i}^{j})_{{i=1,...,k \atop j=0,...,k−1}} . (Beachte: hier sind die a_{i}^{j} Potenzen der Eigenwerte.) Fasse nun die Gleichungen (IX.3),(IX.4), …, (IX.5) formal zusammen :

( 1 … 1 ; a_{1} … a_{k} ; a_{1}^{2} … a_{k}^{2} ; ⋮ ; a_{1}^{k−1} … a_{k}^{k−1}) · (X^{(1)} ; ⋮ ; X^{(k)}) = A · (X^{(1)} ; ⋮ ; X^{(k)}) = 0

Da die a_{i} Eigenwerte sind gilt:

det A = ∏_{i>j}(a_{i} − a_{j}) ≠ 0

(Diese Determinante wird auch als Vandermondsche Determinante bezeichnet.) ⇒ A ist invertierbar.

⇒ A^{−1}A (X^{(1)} ; ⋮ ; X^{(k)}) = A^{−1} (0 ⋮ 0) d. h. (X^{(1)} ; ⋮ ; X^{(k)}) = (0 ⋮ 0) d. h. X^{(1)} = ⋯ = X^{(k)} = 0

Da X^{(i)} = ∑_{l=1}^{n_{i}} a_{l}^{(i)}X_{l}^{(i)} und die X_{l}^{(i)} linear unabhängig sind folgt a_{l}^{(i)} = 0 für l = 1, …, n_{i} d. h. (X_{1}^{(i)}, …, X_{n_{k}}^{(k)}) ist linear unabhängig.

q.e.d.

IX.6 Definition Eigenvektorbasis

Eine Basis aus Eigenvektoren bezüglich φ heißt Eigenvektorbasis (bezüglich φ). (𝔅 ist Eigenvektorbasis genau dann, wenn _{𝔅}φ_{𝔅} in Diagonalgestalt ist.)

IX.7 Satz (Existenz einer Eigenvektorbasis)

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n und φ : V → V eine lineare Abbildung mit n verschiedenen Eigenwerten in K. Dann hat V eine Eigenvektorbasis.

Beweis

Zu jedem Eigenwert existiert ein Eigenvektor (≠ 0). Nach Satz IX.5 sind diese linear unabhängig, daraus folgt, daß sie eine Basis bilden.

q.e.d.

Sei V ein K-Vektorraum, φ : V → V eine lineare Abbildung und 𝔅 eine Eigenvektorbasis mit

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix}) =: Diag(a_{1}, …, a_{n})

und dem charaktistischem Polynom p_{φ}(X) = ∏_{i=1}^{n}(X − a_{i}). Setze nun φ (oder _{𝔅}φ_{𝔅}) in p_{φ}(X) ein. Dann gilt:

p_{φ}(φ) = ∏_{i=1}^{n}(φ − a_{i} id_{V}) = 0

d. h. p_{φ}(φ) = 0 falls φ eine Eigenvektorbasis hat.

Beispiel IX.3: Einsetzen einer Abbildung in das charakteristische Polynom

IX.8 Satz (Hamilton – Cayley)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und φ : V → V eine lineare Abbildung mit dem charakteristischem Polynom

p_{φ}(x) = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{n−1}x^{n−1} + x^{n}

Für jede lineare Abbildung ψ : V → V sei

p_{φ}(ψ) = b_{0} id_{V} +b_{1}ψ + ⋯ + ψ^{n}

Dann gilt p_{φ}(φ) = 0 (0–Abbildung von V).

Beweis

Sei A = _{𝔅}φ_{𝔅}. Zeige p_{φ}(A) = 0. Sei B = B_{0} + xB_{1} + ⋯ + x^{n−1}B_{n−1} mit B_{i} ∈ K^{n×n} die Matrix der Kofaktoren von (xI_{n} − A). Dann folgt mit Satz VIII.21:

(xI_{n} − A)B = (xI_{n} − A)(B_{0} + xB_{1} + ⋯ + x^{n−1}B_{n−1}) = p_{φ}(x)I_{n}

Setze B_{−1} = 0 B_{n} = 0 ∈ K^{n×n}.

⇒  x^{i}B_{i−1} − x^{i}B_{i}A = x^{i}b_{i}I_{n}  für i ∈ {0, …, n}

IX.9. Folgerung (Invertierbare Abbildung nach Hamilton – Cayley)  131

Löse nach b_{i} auf und setze in p_{φ}(A) ein:

∑_{i=0}^{n} b_{i}A^{i} = ∑_{i=0}^{n}(B_{i−1} − B_{i}A)A^{i}
= ∑_{i=0}^{n}(B_{i−1}A^{i} − B_{i}A^{i+1})
(A^{∘} = I_{n})  = \underbrace{B_{−1}A^{∘}}_{=0} − \underbrace{B_{n}A^{n+1}}_{=0} = 0

q.e.d.

IX.9 Folgerung (Invertierbare Abbildung nach Hamilton –

Cayley)

Sei φ : V → V eine invertierbare lineare Abbildung. Dann existieren c_{i} ∈ K mit

φ^{−1} = c_{0} id_{V} +c_{1}φ + c_{2}φ^{2} + ⋯ + c_{n−1}φ^{n−1}

Beweis

p_{φ}(x) = x^{n} + b_{1}x^{n−1} + ⋯ + b_{n} nach Satz IX.8 folgt

⇒  0 = φ^{n} + b_{n−1}φ^{n−1} + ⋯ + \underbrace{b_{0}}_{± det φ} id_{V}
⇒  id_{V} = −\frac{1}{b_{0}} (φ^{n} + b_{n−1}φ^{n−1} + ⋯ + b_{1}φ)
= \underbrace{−\frac{1}{b_{0}} (φ^{n−1} + b_{n−1}φ^{n−2} + ⋯ + b_{1} id_{V})}_{φ^{−1}} φ

q.e.d.

IX.10 Definition algebraisch abgeschlossen

Der Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom aus K[X] vom Grad ≥ 1 eine Nullstelle in K hat (d. h. jedes Polynom in K[X] zerfällt in Linearfaktoren).

Der Körper der komplexen Zahlen ℂ ist algebraisch abgeschlossen. Allgemein gilt: zu jedem Körper K existiert ein algebraisch abgeschlossener Körper \overline{K}, der K enthält.

Beispiel IX.4: algebraisch abgeschlossener Körper

IX.11 Satz (Fächerbasis)

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und φ : V → V eine lineare Abbildung. Falls p_{φ}(x) in K in Linearfaktoren zerfällt, dann existiert eine Basis 𝔅 von V, so daß _{𝔅}φ_{𝔅} untere Dreiecksgestalt hat

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ ∗ & & & & a_{n} \end{matrix})

wobei a_{1}, …, a_{n} die Eigenwerte von φ sind. 𝔅 heißt Fächer– oder Fahnenbasis.

Beweis

Sei a_{1} ein Eigenwert von φ und B_{1} Eigenvektor zu a_{1}.

⟨B_{1}⟩φ ⊆ ⟨B_{1}⟩

Wäre B_{1} erster Basisvektor, dann ist die erste Zeile der Matrix: (a_{1}, 0, …, 0). Betrachte die von φ induzierte Abbildung φ_{1}:

φ_{1} : V/⟨B_{1}⟩ → V/⟨B_{1}⟩ : X + ⟨B_{1}⟩ ↦ Xφ + ⟨B_{1}⟩

Dann ist p_{φ}(x) = (x − a_{1}) · p_{φ_{1}}(x). Sei a_{2} Eigenwert von φ_{1} und \overline{B_{2}} = B_{2} + ⟨B_{1}⟩ der zugehörige Eigenvektor. Wenn der zweite Basisvektor B_{2} ist, also 𝔅 = (B_{1}, B_{2}, …), dann sieht die Matrix folgendermaßen aus:

(\begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ ⋆ & a_{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ & ∗ \\ & ⋮ & & ∗ \end{matrix}) B_{2}φ = ⋆B_{1} + a_{2}B_{2} + 0 + ⋯ + 0

Fahre fort mit der von φ induzierten Abbildung auf V/⟨B_{1}, B_{2}⟩ etc. irgendwann hört der Prozeß auf, da V endlich ist, d. h. wir haben dann eine Fächerbasis.

q.e.d.

Sei K = ℝ und _{𝔅}φ_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) daraus folgt p_{φ}(x) = x^{2} + 1 ∈ ℝ[x] hat keine Nullstellen in

ℝ. Ausweg: füge die Nullstelle von x^{2} + 1 zu ℝ hinzu und rechne in dem größeren Körper ℂ

(i^{2} = −1). Dann existiert eine Bassitransformation die (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) auf (\begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) transformiert.

Zwischenexkurs über Polynomringe und Körper

Zur Erinnerung

K[X] ist ein Ring. Sei p ∈ K[X], dann ist V = K[X]/pK[X] ein K-Vektorraum und dim V = Grad(p). Die Abbildung

m_{x} : K[X] → K[X] : q ↦ x · q

induziert auf V eine Abbildung

\overline{m_{x}} : V → V : \underbrace{\overline{q}}_{q+pK[X]} ↦ \overline{xq}

Weiterhin gilt: m_{x^{2}} = (m_{x})^{2} und \overline{m_{x^{2}}} = (\overline{m_{x}})^{2}.

IX.12 Definition Ringhomomorphismus, Ideal

Seien R_{1} und R_{2} Ringe

1. α : R_{1} → R_{2} heißt (Ring–) Homomorphismus, falls

\begin{matrix}(a + b)α & = & aα + bα \\ (a · b)α & = & aα · bα \end{matrix} \} für alle a, b ∈ R_{1}

2. Ker α := {a ∈ R_{1} | aα = 0} heißt der Kern von α.

3. I ⊆ R_{1} heißt Ideal von R_{1}, falls gilt:

(a) I ist nicht leer.

(b) a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I

(c) a ∈ I, b ∈ R_{1} ⇒ a · b, b · a ∈ I

Schreibweise: I ⊴ R_{1}

Beachte: Der Kern eines Ringhomomorphismus ist ein Ideal des Urbildringes.

1. Sei V ein K-Vektorraum, R_{1} = K[X] und R_{2} = End_{K}(V) = {φ | φ : V → V ist linear }. Sei φ : V → V eine lineare Abbildung.

ε : K[X] → End_{K}(V) : p(x) ↦ p(φ)

ist ein Einsetzungshomomorphismus. Nach dem Satz von Hamilton Cayley IX.8 ist p_{φ}(x) ∈ Ker ε.

2. Sei R_{1} = K[X] und R_{2} = End_{K}(V) mit V = K[X]/pK[X] für ein festes p ∈ K[X], Grad p = n ≥ 1.

ε : K[X] → End_{K}(K[X]/pK[X]) : q ↦ \overline{m_{q}}

Beachte: \overline{m_{q}} = q(\overline{m_{x}}). Klar ist: pK[X] ⊆ Ker ε.

Beispiel IX.5: Ringhomomorphismus

IX.13 Homomorphiesatz für Ringe

1. Sei φ : R_{1} → R_{2} ein Ringhomomorphismus. Dann ist Ker φ ⊴ R_{1} und Bild φ = R_{1}φ ein Teilring von R_{2}.

2. Ist I ⊴ R (R Ring), dann ist R/I := {r + I | r ∈ R} = {r + i | r ∈ R, i ∈ I} wieder ein Ring (Restklassenring). Seien r_{1}, r_{2} ∈ R:

r_{1} + I = r_{2} + I ⇔ r_{2} − r_{1} ∈ I
(r_{1} + I) + (r_{2} + I) := (r_{1} + r_{2}) + I
(r_{1} + I) · (r_{2} + I) := (r_{1} · r_{2}) + I

3. Ist φ : R_{1} → R_{2} ein Ringhomomorphismus, dann folgt, daß Bild φ isomorph (als Ring) zu R_{1}/ Ker φ ist.

Beweis

2. Zeige die Verknüpfungen ” + “ und ” · “ sind wohldefiniert, z. B. ” · “: Sei r_{1} + I = r′_{1} + I und r_{2} + I = r′_{2} + I sowie r′_{j} = r_{j} + a_{j} für ein a_{j} ∈ I (j = 1, 2)

r′_{1}r′_{2} = (r_{1} + a_{1})(r_{2} + a_{2})
= r_{1}r_{2} + \underbrace{r_{1}a_{2} + a_{1}r_{2} + a_{1}a_{2}}_{∈I}

d. h. r′_{1}r′_{2} + I = r_{1}r_{2} + I

3. wie bei Vektorräumen

q.e.d.

ε : ℝ[X] → End_{ℝ}(\underbrace{ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X]}_{V}) : q ↦ \overline{m_{q}}

V ist ein ℝ-Vektorraum mit Basis (1 + (x^{2} + 1)ℝ[X], x + (x^{2} + 1)ℝ[X]).

ε : 1 ↦ id_{V} ≡ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

x ↦ \overline{m_{x}} ≡ (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})

Bild ε ≡ \{(\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) | a, b ∈ ℝ\}. Der Restklassenring nach dem Kern ist isomorph zu Bild φ.

Der Kern besteht aus den Vielfachen von (x^{2} + 1)ℝ[X].

(\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) (\begin{matrix}a′ & b′ \\ −b′ & a′ \end{matrix}) = (\begin{matrix}(aa′ − bb′) & (ab′ + ba′) \\ −(ab′ + ba′) & (aa′ − bb′) \end{matrix})
≡  (a\overline{1} + b\overline{x})(a′\overline{1} + b′\overline{x}) = aa′\overline{1} + ab′\overline{x} + ba′\overline{x} + bb′ \underbrace{\overline{x}^{2}}_{=−\overline{x}}
= (aa′ − bb′)\overline{1} + (ab′ + ba′)\overline{x}

Beispiel IX.6: Ringhomomorphismus mit ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X]

IX.14 Definition Körper der komplexen Zahlen

ℂ := ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X] heißt der Körper der komplexen Zahlen. \overline{x} wird mit i bezeichnet (i^{2} = −1).

IX.15 Bemerkung (”Hauptsatz der Algebra“)

1. (a + bi)^{−1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a − bi) für (a, b) ∈ ℝ^{2}\\{(0, 0)\}

2. Der ”Hauptsatz der Algebra“:

Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

IX.16 Definition größter gemeinsamer Teiler, teilerfremd

Sei R ein kommutativer Ring mit 1.

1. Seien a, b ∈ R. a|b (a teilt b), falls ein c ∈ R existiert mit a · c = b. (Ist R ein Körper, a ≠ 0 und b ∈ R, so folgt a|b mit c = \frac{b}{a})

2. Seien b, c ∈ R. a heißt größter gemeinsamer Teiler von b und c, falls gilt:

(a) a|b und a|c

(b) Sei d ∈ R mit d|b und d|c, so folgt d|a Schreibweise: a = ggT(b, c)

3. b, c ∈ R heißen teilerfremd, falls 1 ein ggT von b und c ist (1 = ggT(b, c)).

Betrachte ℤ:

7|14 2 = ggT(14, 6) ebenso −2 = ggT(14, 6)

Beispiel IX.7: größter gemeinsamer Teiler

IX.17 Der Euklidische Algorithmus

Seien p, q ∈ K[X] mit Graden ≥ 1. p_{1} = p und p_{2} = q mit Grad(p_{i}) = n_{i} i = 1, 2 Führe folgende Schritte durch:

(1) p_{1} = a_{1}p_{2} + p_{3} mit Grad p_{3} = n_{3} < n_{1}, n_{2}

(2) p_{2} = a_{2}p_{3} + p_{4} mit Grad p_{4} = n_{4} < n_{2}, n_{3}

⋮ (k − 1) p_{k−1} = a_{k−1}p_{k} + p_{k+1} mit Grad p_{k+1} = n_{k+1} < n_{k}

(k) p_{k} = a_{k}p_{k+1} Dann gilt:

1. p_{k+1} ist größter gemeinsamer Teiler von p_{1} und p_{2} in K[X].

2. Es existieren b_{1}, b_{2} ∈ K[X] mit p_{k+1} = b_{1}p_{1} + b_{2}p_{2}

Beweis

2. (1) p_{3} = p_{1} − a_{1}p_{2}

Setze (1) in (2) ein: p_{2} = a_{2}(p_{1} − a_{1}p_{2}) + p_{4} ⇔

(2) p_{4} = p_{2} − a_{2}(p_{1} − a_{1}p_{2}) = (\underbrace{1 + a_{2}a_{1}}_{c})p_{2} − a_{2}p_{1}

Setze (2) in (3) ein:

(3) p_{5} = −a_{3}(cp_{2} − a_{2}p_{1}) + p_{3} = dp_{1} − cp_{2}

etc.

Fahre so fort, indem man jeweils die letzten beiden Ausdrücke in die nächste Gleichung einsetzt bis

p_{k+1} = b_{1}p_{1} + b_{2}p_{2}

1. • Zeige: p_{k+1}|p_{1} und p_{k+1}|p_{2} Beweis:

(k) ⇒ p_{k+1}|p_{k}

(k − 1) ⇒ p_{k+1}|p_{k−1} (k − 2) ⇒ p_{k+1}|p_{k−2}

⋮

bis p_{k+1}|p_{1} und p_{k+1}|p_{2}

d. h. p_{k+1} ist gemeinsamer Teiler von p_{1} und p_{2}.

• Zeige: p_{k+1} ist größter gemeinsamer Teiler. Dazu durchlaufe (1) bis (k) von oben, dann folgt die Behauptung, oder: Sei a ∈ K[X] mit a|p_{1} und a|p_{2}, dann folgt mit 2. a|p_{k+1} d. h. p_{k+1} = ggT(p_{1}, p_{2})

q.e.d.

IX.18 Definition irreduzibel

p ∈ K[X] (p ≠ 0) vom Grad n ≥ 1 heißt irreduzibel, falls p nicht als Produkt von Polynomen vom Grad ≥ 1 geschrieben werden kann. (Nur triviale Faktorisierungen sind möglich: p = a(\frac{1}{a}p) mit a ∈ K\{0}.)

1. x^{2} + 1 ist in ℝ[X] ein irreduzibles Polynom. Es ist aber reduzibel in ℂ[X] : (x − i)(x + i).

2. Sei p ∈ K[X] vom Grad ≤ 3. p ist irreduzibel genau dann, wenn p keine Wurzel in K hat.

Beispiel IX.8: Irreduzible Polynome

IX.19 Folgerung (Körper des Restklassenringes)

Sei p ∈ K[X] irreduzibel vom Grad ≥ 1. Dann ist der Restklassenring K[X]/pK[X] ein Körper.

Beweis

K[X]/pK[X] ist ein Kommutativer Ring mit 1, denn pK[X] ist ein Ideal von K[X]. Zeige nun, daß jedes Element ≠ 0 in K[X]/pK[X] invertierbar ist. Dazu sei \overline{q} = q+pK[X] ≠ 0 in K[X]/pK[X]. OBdA. sei Grad q < Grad p = n. Da p irreduzibel ist gilt ggT(p, q) = 1 mit dem euklidischen Algorithmus folgt, daß a, b ∈ K[X] existieren, mit ap + bq = 1. Modulo pK[X] ist dies \overline{a} \underbrace{\overline{p}}_{0} +\overline{b} \overline{q} = \overline{1} d. h. \overline{b} = \overline{q}^{−1} in K[X]/pK[X].

q.e.d.

IX.20 Lemma (ggT und algebraisch abgeschlossene Körper)

Seien p_{1}, p_{2} ∈ K[X] und \overline{K} ein algebraisch abgeschlossener Körper, der K umfaßt (K ⊆ \overline{K}). ggT(p_{1}, p_{2}) = 1 ⇔ p_{1} und p_{2} haben in \overline{K} keine gemeinsame Wurzeln.

Es gilt, wenn p ∈ ℤ eine Primzahl ist, dann ist ℤ/pℤ ein Körper. (pℤ ist ein Ideal in ℤ.) Sei p = 101. Berechne in ℤ/101 · ℤ das inverse zu \overline{11} = 11 + 101ℤ

101 = 9 · 11 + 2
11 = 5 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0
1 = 11 − 5 · 2
= 11 − 5 · (101 − 9 · 11)
= 46 · 11 − 5 · 101

⇒ \overline{1} = \overline{46} · \overline{11} d. h. \overline{46} = 46 + 101ℤ = \overline{11}^{−1} ist die gesuchte Zahl.

Beispiel IX.9: Körper eines Restklassenringes von ℤ

Beweis

”⇒“ Annahme: es existiert eine gemeinsame Wurzel α ∈ \overline{K} von p_{1} und p_{2}. Nach dem Euklidischen Algorithmus existieren a_{1}, a_{2} ∈ K[X] mit

a_{1}p_{1} + a_{2}p_{2} = 1

setze nun α ein:

0 + 0 = 1 ↯

”⇐“ In \overline{K}[X] seien p_{1} und p_{2} von der Gestalt

p_{1} = s ∏_{i=1}^{n}(x − α_{i})  p_{2} = t ∏_{j=1}^{m}(x − β_{j})  s, t ∈ \overline{K}\\{0\} α_{i} ≠ β_{j} ∀ i, j

Zeige: sogar in \overline{K}[X] ist ggT(p_{1}, p_{2}) = 1. Falls nicht existiert ein γ ∈ \overline{K}[X] mit

(x − γ)|p_{1}  und  (x − γ)|p_{2}

⇒ p_{1}(γ) = 0 = p_{2}(γ) ⇒ es existieren i_{0}, j_{0} mit α_{i_{0}} = γ = β_{j_{0}} dies ist ein Widerspruch (da α_{i} ≠ β_{j} ∀ i, j)

IX.21 Satz (Polynom als Produkt irreduzibler Polynome)

Jedes Polynom p ∈ K[X] vom Grad ≥ 1 läßt sich als Produkt irreduzibler Polynome p_{i} schreiben

p = ∏_{i=1}^{k} p_{i}

wobei k eindeutig ist und die p_{i} bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Elementen aus K\{0} festgelegt sind.

Beweis

1. Die Existenz der Zerlegung ist klar, da irreduzible Polynome existieren. Betrachtet man den Grad der Polynome nach jedem Schritt der Zelegung, so wird der Grad der einzelnen Teilpolynome immer kleiner.

2. Zur Eindeutigkeit: Vorbemerkung: 1 = ggT(p, q_{i}) i = 1, 2 ⇒ 1 = ggT(p, q_{1} · q_{2})

Sei also p = ∏_{i=1}^{k} p_{i} = ∏_{j=1}^{n} q_{j}. Daraus folgt, daß p_{1} im Produkt der q_{i} vorkommt, denn sonst wäre ggT(p_{1}, q_{j}) = 1 für j = 1, …, n. Daraus würde nach der Vorbemerkung folgen: ggT(p_{1}, q_{1} ⋯ q_{n}) = 1 ↯ Also existiert ein i_{0} mit ggT(p_{1}, q_{i_{0}}) = p_{1}, da p_{1} irreduzibel ist. Da aber auch q_{i_{0}} irreduzibel ist, folgt

q_{i_{0}} = a_{1}p_{1} für ein a_{1} ∈ K\{0}

Fahre nun fort mit \frac{p}{p_{1}} und argumentiere ebenso für p_{2}. Durch Induktion folgt dann die Behauptung.

q.e.d.

Anwendung auf Matrizen linearer Abbildungen

IX.22 Satz (Teilräume nach charakteristischem Polynom)

Sei φ : V → V eine lineare Abbildung, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und das charakteristische Polynom sei p_{φ}(x) = p_{1}(x) · p_{2}(x) mit Grad p_{i} ≥ 1 und ggT(p_{1}, p_{2}) = 1. Dann existieren Teilräume V_{i} ≤ V mit

V_{i}φ ⊆ V_{i} für i = 1, 2 V = V_{1} ⊕ V_{2}

und das charakteristische Polynom von φ_{i} = φ|_{V_{i}} : V_{i} → V_{i} ist gleich p_{i}. (Ist 𝔅_{i} eine Basis von V_{i},

dann ist 𝔅 = 𝔅_{1} ∪ 𝔅_{2} eine Basis von V und _{𝔅}φ_{𝔅} = (\begin{matrix}_{𝔅_{1}}φ_{1}_{𝔅_{1}} & 0 \\ 0 & _{𝔅_{2}}φ_{2}_{𝔅_{2}} \end{matrix}) )

Beweis

Nach dem euklidischen Algorithmus existieren q_{1}, q_{2} ∈ K[X] mit q_{1}p_{1}+q_{2}p_{2} = 1. Sei π_{2} = q_{1}(φ)p_{1}(φ) und π_{1} = q_{2}(φ)p_{2}(φ)

⇒ π_{1} + π_{2} = id_{V}

𝔅π_{1}_{𝔅} = (\begin{matrix}I & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) _{𝔅}π_{2}_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & I \end{matrix})

aus Hamilton-Cayley folgt:

π_{1} · π_{2} = q_{1}(φ) \underbrace{p_{1}(φ)p_{2}(φ)}_{=0} q_{2}(φ) = 0

π_{2}^{2} = π_{2}(id_{V} −π_{1})
= π_{2} − π_{1}π_{2}
= π_{2} − 0

Ebenso π_{1}^{2} = π_{1}, d. h. π_{i} sind Projektionen. Definiere nun V_{i} := Bild π_{i} = Vπ_{i}. Da π_{1}π_{2} = π_{2}π_{1} = 0, π_{i}^{2} = π_{i} und π_{1} + π_{2} = id_{V} ist sofort klar

V = V_{1} ⊕ V_{2} V_{i}φ ⊆ V_{i}

V_{1}φ = Vq_{2}(φ)p_{2}(φ)φ

= Vφq_{2}(φ)p_{2}(φ)

⊆ V \underbrace{q_{2}(φ)p_{2}(φ)}_{π_{1}}

= V_{1}

Zeige: pφ_{i} = p_{i} OBdA. sei K algebraisch abgeschlossen, d. h. alle Wurzeln von p liegen in K. Dann ist klar, falls a Eigenwert von φ und q(x) ∈ K[X], dann ist q(a) Eigenwert von q(φ). Sei nun

p_{1}(x) = ∏_{i=1}^{k}(x − a_{i}) p_{2}(x) = ∏_{i=1}^{l}(x − b_{i})

Dann ist a_{i} ≠ b_{j} für alle i, j, da nach Vorraussetzung ggT(p_{1}p_{2}) = 1. Weiter hat π_{2} = p_{1}(φ) · q_{1}(φ) den Eigenwert 0 = q_{1}(a_{i})p_{1}(a_{i}) (i = 1, …, k) und den Eigenwert 1 = q_{1}(b_{i})p_{1}(b_{i}) (i = 1, …, l) (Beachte: Wegen π_{2}^{2} = π_{2} sind alle Eigenwerte ∈ {0, 1}.) Also φπ_{2} hat die Eigenwerte

• a_{i} · 0 (i = 1, …, k) Eigenwert auf Ker π_{2} und

• b_{i} · 1 (i = 1, …, k) Eigenwert auf Bild π_{2}.

Da nun φ_{2} = φ|_{V_{2}} = φπ_{2}|_{V_{2}} folgt, daß p_{1}(x) = ∏_{i=1}^{l}(x − b_{i}) das charakteristische Polynom von φ_{2} ist. Entsprechend für φ_{1}.

q.e.d.

IX.23 Folgerung

Sei φ : V → V eine lineare Abbildung, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und das charakteristische Polynom sei p_{φ}(x) = ∏_{i=1}^{k} p_{i}(x) und ggT(p_{i}, p_{j}) = 1 für i ≠ j mit Grad p_{i} ≥ 1. Dann existieren Teilräume V_{i} ≤ V mit

V_{i}φ ⊆ V_{i} für i = 1, …, k V = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k}

und falls φ_{i} = φ|_{V_{i}} : V_{i} → V_{i} so hat φ_{i} das charakteristische Polynom p_{i}(x).

Beweis

1. Benutze den vorigen Satz IX.22 und Induktion (z. B. p_{φ}(x) = p_{1} · p̃_{1} etc.)

2. Direkter Beweis:

s_{i} := ∏_{j≠i} p_{j} ⇒ ggT(s_{1}, …, s_{k}) = 1

Daraus folgt es existieren q_{i} ∈ K[X] mit q_{1}s_{1} + ⋯ + q_{k}s_{k} = 1. Setze π_{i} = q_{i}(φ)s_{i}(φ) und führe den Beweis wie in Satz IX.22.

IX.24 Folgerung

Sei φ : V → V linear und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. φ habe das charakeristische Polynom

p_{φ}(x) = ∏_{i=1}^{k}(x − a_{i})^{n_{i}}

mit a_{i} ∈ K paarweise verschieden. Dann existiert eine Basis 𝔅, so daß

𝔅φ_{𝔅} = ( a_{1}  0 ; ...  0  0  0 ; ∗  a_{1} ; a_{2}  0 ; 0  ...  0  0 ; ∗  a_{2} ; ... ; 0  0  ...  0 ; ... ; a_{k}  0 ; 0  0  0  ... ; ∗  a_{k} ) \begin{matrix}\} n_{1} \\ \} n_{k} \end{matrix}

Beweis

ggT((x−a_{i})^{n_{i}}, (x−a_{j})^{n_{j}}) = 1 für i ≠ j. Nach der Folgerung IX.23 ⇒ es existieren V_{i} mit V_{i}φ ⊆ V_{i} und φ_{i} = φ|_{V_{i}} : V_{i} → V_{i} sowie V = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k} (⇒ 0-Blöcke). Wende auf V_{i}, φ_{i} den Satz IX.11 über die Fächerbasis an.

q.e.d.

Vereinfache die Blöcke auf der Diagonalen noch weiter:

Das Ziel ist es immer eine Basis 𝔅 zu finden, so daß

𝔅φ_{𝔅} = ( \begin{matrix}a & & 0 \\ 1 & ... & & & & 0 & & & & & & 0 \\ & ... & ... \\ 0 & & 1 & a \\ & & & & b & & 0 \\ & 0 & & & 1 & ... & & & & & & 0 \\ & & & & & ... & ... \\ & & & & 0 & & 1 & b \\ & & & & & & & & . & . & . \\ & 0 & & & & 0 & & & & & & ... \\ & & & & & & & & & & & & . & . & . \end{matrix} )

IX.25. Lemma (Kette von Teilräumen)  141

Sei folgende Matrix gegeben:

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ⇒ _{𝔅}(φ − id)_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

Definiere eine neue Basis ℭ = (C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}) wie folgt:

C_{4} := (0, 0, 0, 1) →^{φ−id} (1, 1, 1, 0) =: C_{3}
→^{φ−id} (2, 1, 0, 0) =: C_{2}
→^{φ−id} (1, 0, 0, 0) =: C_{1}
→^{φ−id} (0, 0, 0, 0)

⇒ _{ℭ}(φ − id)_{ℭ} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) also _{ℭ}φ_{ℭ} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})

Beispiel IX.10: Vereinfachung einer Matrix

IX.25 Lemma (Kette von Teilräumen)

Sei V ein K-Vektorraum und 0 = V_{0} < V_{1} < V_{2} < ⋯ < V_{n−1} < V_{n} = V sei eine Kette von Teilräumen (Filtrierung). (B_{1}^{(i)} + V_{i}, …, B_{n_{i}}^{(i)} + V_{i}) sei eine Basis von V_{i+1}/V_{i}. Dann ist 𝔅 = (B_{1}^{(1)}, …, B_{n_{1}}^{(1)}, B_{1}^{(2)}, …, B_{n_{n−1}}^{(n−1)}) eine Basis von V.

Beweis

Es gilt

dim V = ∑_{i=1}^{n} dim V_{i}/V_{i−1}

Daraus folgt, daß es genügt die lineare Unabhängigkeit von 𝔅 zu zeigen. Also zeige:

∑_{i,j} a_{i}^{(j)}B_{i}^{(j)} = 0 ⇒^{!} a_{i}^{(j)} = 0 für alle i, j (IX.6)

Betrachte die Gleichung (IX.6) modulo V_{n−1}:

⇒ ∑_{i} a_{i}^{(n−1)}(B_{i}^{(n−1)} + V_{n−1}) = 0 ⇒ a_{i}^{(n−1)} = 0 für alle i

Betrachte die Gleichung (IX.6) jetzt modulo V_{n−2}:

⇒ ∑_{i} a_{i}^{(n−2)}(B_{i}^{(n−2)} + V_{n−2}) = 0 ⇒ a_{i}^{(n−2)} = 0 für alle i

etc.

q.e.d.

IX.26 Definition Jordanblock, Blockdiagonalmatrix

Sei n ∈ ℕ und a ∈ K

1. J_{n}(a) := (\begin{matrix}a & & & 0 \\ 1 & ... \\ & ... & ... \\ 0 & & 1 & a \end{matrix}) ∈ K^{n×n} ist der a-Jordanblock vom Grad n mit dem Eigenwert a.

2. Sei A_{i} ∈ K^{n_{i}×n_{i}} (i = 1, …, k)

Diag(A_{1}, …, A_{k}) := (\begin{matrix}A_{1} & & & & & 0 \\ & A_{2} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & A_{k} \end{matrix})

heißt Blockdiagonalmatrix.

IX.27 Satz (Jordan-Normalform, lokaler Teil)

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V → V eine lineare Abbildung mit dem Polynom p_{φ}(x) = (x − a)^{n}

1. Es existiert eine Basis 𝔅 von V, so daß

𝔅φ_{𝔅} = Diag(J_{l_{1}}(a), …, J_{l_{m}}(a))

mit l_{1} ≥ l_{2} ≥ ⋯ ≥ l_{m} und n = ∑_{i=1}^{m} l_{i}

2. Ist ℭ eine weitere Basis mit

ℭφ_{ℭ} = Diag(J_{l′_{1}}(a), …, J_{l′_{m′}} (a))

mit l′_{1} ≥ l′_{2} ≥ ⋯ ≥ l′_{m′} dann folgt: m = m′ und l_{i} = l′_{i} (i = 1, …, m)

Beweis

1. Ersetze φ durch φ − a · id, also oBdA. a = 0. Sei s minimal mit φ^{s} = 0 (s ≤ n nach Hamilton-Cayley) und V_{i} = Ker φ^{i} i = 0, 1, …, s (φ^{0} = id). Da alles was durch φ^{i} auf 0 abgebildet wird, erst recht durch φ^{i+1} auf 0 abgebildet wird, gilt Ker φ^{i} ⊆ Ker φ^{i+1} also:

V_{0} = {0} ≤ V_{1} ≤ ⋯ ≤ V_{s−1} ≤ V_{s} = V

Sei X ∈ V_{j} ⇒ Xφ^{j} = 0 also (Xφ)φ^{j−1} = 0, d. h. Xφ ∈ V_{j−1}. Dann gilt

(V_{j})φ ≤ V_{j−1}  (IX.7)

Also induziert φ eine lineare Abbildung:

V_{j}/V_{j−1} → V_{j−1}/V_{j−2} : V + V_{j−1} ↦ V φ + V_{j−2}

Wegen (IX.7) ist diese Abbildung wohldefiniert und nach der Definition der V_{i} als Ker φ^{i} auch injektiv. Wähle nun B_{1}, …, B_{k_{1}} so daß

(B_{1} + V_{s−1}, …, B_{k_{1}} + V_{s−1})  Basis von  V/V_{s−1} = V_{s}/V_{s−1}

IX.27. Satz (Jordan-Normalform, lokaler Teil)  143
V = V_{s} B_{1}, …, B_{k_{1}}
V_{s−1} B_{1}φ, …, B_{k_{1}}φ  B_{k_{1}+1}, …, B_{k_{2}}
V_{s−2} B_{1}φ^{2}, …, B_{k_{1}}φ^{2}  B_{k_{1}+1}φ, …, B_{k_{2}}φ  B_{k_{2}+1}, …, B_{k_{3}}
V_{s−3}  ⋮
V_{1} B_{1}φ^{s−1}, …, B_{k}φ^{s−1} B_{k_{1}+1}φ^{s−2}, …, B_{k_{2}}φ^{s−2} … B_{k_{s−1}+1}, …, B_{k_{s}}
V_{0} = {0}

Dann wähle B_{k_{1}+1}, …, B_{k_{2}} so daß (B_{1}φ + V_{s−2}, …, B_{k_{1}}φ + V_{s−2}, B_{k_{1}+1} + V_{s−2}, …, B_{k_{2}} + V_{s−2}) Basis von V_{s−1}/V_{s−2} Dann wähle B_{k_{2}+1}, …, B_{k_{3}} so daß (B_{1}φ^{2} + V_{s−3}, …, B_{k_{1}}φ^{2} + V_{s−3}, B_{k_{1}+1}φ + V_{s−3}, …, B_{k_{3}}φ + V_{s−3}) Basis von V_{s−2}/V_{s−3} usw. (Bilder zu Basis des Faktorraumes ergänzen). Nach Lemma IX.25 ist (B_{1}, …, B_{k_{1}}, B_{1}φ, …, B_{k_{s}}) eine Basis von V. Wenn man obiges Diagramm von links beginnend, spaltenweise von unten nach oben liest, erhält man die Basis

𝔅 = (B_{1}φ^{s−1}, B_{1}φ^{s−2}, …, B_{1}, B_{2}φ^{s−1}, …, B_{2}, …, B_{k_{s}})

bezüglich der die Matrix von φ folgende Gestalt hat

𝔅φ_{𝔅} = (\begin{matrix}\underbrace{\begin{aligned}0 & … & & 0 \\ 1 & ... \\ & ... & ... \\ 0 & & 1 & 0 \end{aligned}}_{s}\} s & & & & 0 \\ & . & . & . \\ . & . & . \end{matrix})

= Diag(\underbrace{J_{s}(0), …, J_{s}(0)}_{k_{1}}, \underbrace{J_{s−1}(0), …, J_{s−1}(0)}_{k_{2}−k_{1}}, …, \underbrace{J_{1}(0), …, J_{1}(0)}_{k_{s}−k_{s−1}})

2. Für die Eindeutigkeit der l_{i} in Diag(J_{l_{1}}(a), …, J_{l_{m}}(a)) genügt es zu zeigen, daß s und k_{j} eindeutig bestimmt sind, da die l_{i} aus s und k_{j} berechenbar sind. Sei also ℭ eine Basis mit (oBdA a = 0)

ℭφ_{ℭ} = Diag(\underbrace{J_{t}(0), …, J_{t}(0)}_{k′_{1}}, \underbrace{J_{t−1}(0), …, J_{t−1}(0)}_{k′_{2}−k′_{1}}, …, \underbrace{J_{1}(0), …, J_{1}(0)}_{k′_{t}−k′_{t−1}})

t muß minimal sein, mit φ^{t} = 0 ⇒ s = t k′_{1} = dim V/ Ker φ^{t−1} = k_{1} k′_{2} − k′_{1} = dim Ker φ^{t−1}/ Ker φ^{t−2} = k_{2} − k_{1} etc. also k′_{i} = k_{i}

q.e.d.

144  IX. Eigenwerte und Eigenvektoren

IX.28 Allgemeine Jordan-Normalform

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V → V linear mit dem charakteristischen Polynom

p_{φ}(x) = ∏_{i=1}^{k}(x − a_{i})^{n_{i}}

Dann existiert eine Basis 𝔅, so daß die Matrix von φ bezüglich 𝔅 wie folgt aussieht:

𝔅φ_{𝔅} = Diag(A_{1}(a_{1}), …, A_{n}(a_{n})) mit A_{i}(a_{i}) = Diag(J_{l_{1}(a_{1})}(a_{i}), …, J_{l_{m(a_{i})}(a_{i})}(a_{i})) wobei l_{1}(a_{i}) ≥ ⋯ ≥ l_{m(a_{i})}(a_{i}) eindeutig durch φ festgelegt ist.

a) Anwendung auf homogene lineare Differentialgleichungen IX.29 Definition C^{i}(ℝ, ℝ)

C^{i}(ℝ, ℝ) := {f|f : ℝ → ℝ mit f ist i-mal stetig differenzierbar}
C^{∞}(ℝ, ℝ) := ⋂_{i∈ℕ} C^{i}(ℝ, ℝ)

Es ist klar, daß alle C^{i}(ℝ, ℝ) ℝ-Vektorräume sind und

C^{∞}(ℝ, ℝ) ≤ C^{n}(ℝ, ℝ) ≤ C^{n−1}(ℝ, ℝ)

dim C^{∞}(ℝ, ℝ) = ∞

Der Ableitungsoperator

D : C^{n}(ℝ, ℝ) → C^{n−1}(ℝ, ℝ)

ist linear.

IX.30 Definition lineare Differentialgleichung

Sei p(x) = \underbrace{a_{n}}_{≠0} x^{n} + ⋯ + a_{0} ∈ ℝ[x] vom Grad n ≥ 1.

p(D) : C^{n}(ℝ, ℝ) → C^{0}(ℝ, ℝ) : f ↦ fp(D) := a_{n}f^{(n)} + a_{n−1}f^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}f
Ker p(D) := {f ∈ C^{n}(ℝ, ℝ)|fp(D) = 0}

fp(D) = 0 heißt homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der Ordnung n.

IX.31 Bemerkung

1. f ∈ Ker p(D) ⇒ f ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ)

2. (Ker p(D))D ⊆ Ker p(D)

Beweis

1. OBdA sei a_{n} = 1

f^{(n)} = −(a_{n−1}f^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}f) ∈ C^{1}(ℝ, ℝ)
⇒ f^{(n+1)} ∈ ⟨f^{(n−1)}, …, f⟩ ⇒ f^{(n+1)} ∈ C^{1}(ℝ, ℝ)

usw. also:

f^{(n+k)} ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) ∀k ∈ ℕ
⇒ f ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ)

2. Dp(D) = p(D)D q.e.d.

1. p(x) = x^{3}

f′′′ = 0 ⇒ f = b_{2}ξ^{2} + b_{1}ξ^{1} + b_{0}ξ^{0}

mit

ξ^{i} : ℝ → ℝ : t ↦ t^{i}

2. p(x) = x − 1

f′ − f = 0 ⇒ f = a · exp_{1}

mit

exp_{s} : ℝ → ℝ : t ↦ e^{st}

3. p(x) = (x − 1)^{2}

(f′ − f)′ − (f′ − f) = 0
f′′ − 2f′ + f = 0
q(x) = x − 1 p(x) = q(x)^{2}
⇒ Ker q(D) ≤ Ker p(D)
f′ = f ⇒ f = exp_{1}

q̃(D) = Ker p(D)/ Ker q(D) → Ker q(D) ist injektiv

⇒ dim Ker p(D) ≤ 2
Ker p(D) = ⟨exp_{1}, ξ · exp_{1}⟩

4. p(x) = x^{2} + 1 ∈ ℝ[x]

f′′ + f = 0

Problem: x^{2} + 1 hat keine reellen Eigenwerte. Beispiel IX.11: Differentialgleichungen

146  IX. Eigenwerte und Eigenvektoren

IX.32 Lemma (Dimension des Kerns)

Sei V ein nicht notwendig endlich erzeugter K-Vektorraum, φ : V → V linear mit dim Ker φ = n.

⇒ dim Ker(φ^{k}) ≤ kn

Beweis

V_{i} := Ker(φ^{i}) ⇒ {0} ≤ V_{1} ≤ V_{2} ≤ ⋯ ≤ V_{k} Behauptung: φ induziert eine injektive lineare Abbildung

φ_{i} : V_{i}/V_{i−1} → V_{i−1}/V_{i−2} : V + V_{i−1} ↦ V φ + V_{i−2}

klar: φ_{i} ist wohldefiniert und linear

V + V_{i−1} ∈ Ker φ_{i} ⇒ V φ ∈ V_{i−2} = Ker φ^{i−2}
⇒ V ∈ Ker φ^{i−1} = V_{i−1}
⇒ V + V_{i−1} = 0

d. h. Ker φ_{i} = {0} ⇒ φ_{i} ist injektiv. Also

dim V_{k} = ∑ \underbrace{dim V_{i}/V_{i−1}}_{≤dim V_{1}} ≤ ∑ \underbrace{dim V1}_{n} = kn

q.e.d.

IX.33 Definition Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen

f : ℝ → ℂ : t ↦ f_{1}(t) + if_{2}(t)

mit f_{1}, f_{2} reelwertig, heißt n-mal stetig differenzierbar, falls f_{1}, f_{2} ∈ C^{n}(ℝ, ℝ), und es gilt:

f′ = f′_{1} + if′_{2}

C^{n}(ℝ, ℂ) := {f = f_{1} + if_{2}|f_{i} ∈ C^{n}(ℝ, ℝ), i = 1, 2}
D : C^{n}(ℝ, ℂ) → C^{n−1}(ℝ, ℂ) ist der Ableitungsoperator (eigentlich D_{ℂ})

IX.34 Satz (Lösungsraum)

Sei

p(x) = ∏_{i=1}^{k}(x − a_{i})^{n_{i}} ∈ ℂ[x]

Polynom vom Grad n = ∑ n_{i} mit a_{i} ≠ a_{j} für i ≠ j. Für

p(D) : C^{∞}(ℝ, ℂ) → C^{∞}(ℝ, ℂ) : f ↦ fp(D)

gilt:

1. dim Ker p(D) = n 1. a = iβ ∈ ℂ rein imaginär, d. h. β ∈ ℝ. Definiere:

exp_{a} : ℝ → ℂ : t ↦ cos(βt) + i sin(βt)
⇒ exp_{a} D = exp′_{a} = a · exp_{a}

2. a = α + iβ ∈ ℂ mit α, β ∈ ℝ.

exp_{a} : ℝ → ℂ := exp_{α} · exp_{iβ}

exp′_{a} = (exp_{α} · exp_{iβ})′
= exp′_{α} · exp_{iβ} + exp_{α} · exp′_{iβ}
= α · exp_{α} · exp_{iβ} +iβ · exp_{α} · exp_{iβ}
= a · exp_{a}

3. Zitat aus der Analysis:

Für a ∈ ℂ gilt: f′ − af = 0 hat ⟨exp_{a}⟩_{ℂ} als Lösungsmenge ⊆ C^{∞}(ℝ, ℂ).

Beispiel IX.12: Komplexwertige Funktionen

2.

Ker p(D) = ⨁_{i=1}^{k} Ker p_{i}(D)

mit

p_{i}(x) = (x − a_{i})^{n_{i}}
Ker p_{i}(D) = ⟨exp_{a_{i}}, ξ · exp_{a_{i}}, ξ^{2} · exp_{a_{i}}, …, ξ^{n_{i}−1} · exp_{a_{i}}⟩_{ℂ}

Beweis

2.

p̃_{i}(x) := \frac{p(x)}{p_{i}(x)} = ∏_{j≠i}(x − a_{j})^{n_{j}}

⇒ es existieren q_{i}(x) ∈ ℂ[x] mit q_{1}p̃_{1} + ⋯ + q_{k}p̃_{k} = 1. Sei D = D|_{Ker p(D)}. Setzte für f ∈ Ker p(D)

f_{i} := fq_{i}(D)p̃_{i}(D) ∈ Ker p_{i}(D) (p̃_{i}p_{i} = p)

Es gilt: f = f_{1} + ⋯ + f_{k} umgekehrt: Seien f_{i} ∈ Ker p_{i}(D) ⇒ f = f_{1} + ⋯ + f_{k} ∈ Ker p(D) Also: Ker p(D) = Ker p_{1}(D) + ⋯ + Ker p_{k}(D) durch Nachrechnen: ξ^{s} · exp_{a_{i}} ∈ Ker p_{i}(D) für s = 0, 1, …, n_{i} − 1 Zeige nur noch dim Ker p_{i}(D) = n_{i}

dim Ker(D − a_{i} · id) = 1 (siehe Beispiel 3)

Lemma IX.32 mit φ = D − a_{i} · id liefert

dim Ker(D − a_{i} · id)^{n_{i}} ≤ n_{i} · 1

⇒ Behauptung

148  IX. Eigenwerte und Eigenvektoren

q.e.d.

IX.35 Bemerkung (inhomogene Differentialgleichungen)

Sei 0 ≠ g ∈ C^{∞}(ℝ, ℂ) Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: gq(D) = 0 für ein q(x) ∈ ℂ[x].Die inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten fp(D) = g zu lösen, reduziert sich auf das Lösen einer inhomogenen linearen Gleichungssystems:

fp(D)q(D) = 0

(Ker p(D)q(D) ist endlich dimensional.)

IX.36 Definition komplexe Konjugation

− : ℂ → ℂ : a + ib ↦ a − ib mit a, b ∈ ℝ

heißt komplexe Konjugation.

IX.37 Bemerkung

1. − ist ℝ-linear und \overline{xy} = \overline{x} \overline{y}, x, y ∈ ℂ.

2. − hat 1 und −1 als Eigenwerte

E_{1}(−) = ℝ = \{z + \overline{z}|z ∈ ℂ\}

3. f ∈ C^{n}(ℝ, ℂ) ⇒ \overline{(}f) ∈ C^{n}(ℝ, ℂ) und f + \overline{f} ∈ C^{n}(ℝ, ℝ)

4. − und D : C^{∞}(ℝ, ℂ) → C^{∞}(ℝ, ℂ) sind miteinander vertauschbar.

IX.38 Satz (Lösungsräume nach p(x))

p(x) ∈ ℝ[x] mit

p(x) = ∏_{i=1}^{s} \underbrace{(x − a_{i})^{n_{i}}}_{p_{i}∈ℝ[x]} · ∏_{j=s+1}^{t} \underbrace{((x − b_{j})(x − \overline{b_{j}}))^{n_{j}}}_{p̃_{j}∈ℝ[x]}

die Zerlegung in ℂ[x] respektive ℝ[x] mit a_{i} ∈ ℝ und b_{j} ∈ ℂ\ℝ. Dann gilt:

Ker(p(D_{ℂ})) ∩ C^{∞}(ℝ, ℝ) = \{f + \overline{f}|f ∈ Ker p(D_{ℂ})\}

= ⨁_{i=1}^{s} Ker p_{i}(D_{ℝ}) ⊕ ⨁_{j=s+1}^{t} Ker p̃_{j}(D_{ℝ})

mit Ker p̃_{j}(D_{ℝ}) = ⟨exp_{α_{j}} · sin_{β_{j}}, exp_{α_{j}} · cos_{β_{j}}, ξ · exp_{α_{j}} · sin_{β_{j}}, ξ · exp_{α_{j}} · cos_{β_{j}}, …, ξ^{n_{j}−1} · exp_{α_{j}} · cos_{β_{j}}⟩

b_{j} = α_{j} + iβ_{j}  α_{j}, β_{j} ∈ ℝ
sin_{a} : ℝ → ℝ : t ↦ sin(at)
cos_{a} : ℝ → ℝ : t ↦ cos(at)

Beweis

Sofort aus IX.36 und IX.37 3, 4. − läßt Ker p_{i}(D_{ℂ}) als Vektorraum invariant

−p_{i}(D) = p_{i}(D)−

− vertauscht Ker(D_{ℂ} − b_{j} · id) mit Ker(D_{ℂ} − \overline{b_{j}} · id). ⇒ Ker p̃_{j}(D) ist −-invariant.

q.e.d.

IX.39 Definition homogene lineare Differentialgleichungssysteme

Sei A ∈ ℂ^{n×n} (f_{1}, …, f_{n}) ∈ C^{∞}(ℝ, ℂ)^{n} heißt Lösung von

F′ = F · A

falls gilt:

(f′_{1}, …, f′_{n}) = (f_{1}, …, f_{n})A

Bemerkung: Höhere Ableitungen lassen sich durch Vergrößerung von A vermeiden:

f′′ = f → f′_{1} = f_{2}  f′_{2} = f′1

→ (f′_{1}, f′_{2}) = (f_{1}, f_{2}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

b) Anwendung auf lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten

IX.40 Definition lineare Rekursion

Sei n ∈ ℕ, a_{0}, …, a_{n−1} ∈ K

1.

x_{i+n} = −(a_{0}x_{i} + a_{1}x_{i+1} + ⋯ + a_{n−1}x_{i+n−1})  (IX.8)

heißt lineare Rekursion der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten.

2. p(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ K[x] heißt das zugeordnete Polynom der Rekursion.

3. L(p(x)) := {(b_{j})_{j∈ℤ^{≥0}} |x_{i} = b_{i} erfüllt IX.8} heißt die Lösungsmenge von IX.8.

Wie üblich wird (b_{j})_{j≥0} auch geschrieben als ∑_{j=0}^{∞} b_{j}x^{j} (erzeugende Funktion oder Potenzreihe der Lösung).

IX.41 Lemma (Dimension der Lösungsmenge)

1. L(p(x)) ist ein n-dimeansionaler Vektorraum.

2. σ : L(p(x)) → L(p(x)) : (b_{0}, b_{1}, b_{2}, …) ↦ (b_{1}, b_{2}, …) ist eine lineare Abbildung mit charakteristischem Polynom p_{σ}(x) = p(x).

Beweis

1. α : L(p(x)) → K^{n} : (a_{0}, a_{1}, …) ↦ (a_{0}, …, a_{n}) ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. klar: α ist linear, surjektiv, Ker α = 0

2. klar: σ ist linear Sei 𝔅 das Urbild von 𝔖_{n} von K^{n} unter α

α : L(p(x)) → K^{n} : (b_{0}, b_{1}, …) ↦ (b_{0}, …, b_{n−1})

(d. h. 𝔅 = ((1, 0, …, 0, −a_{0}, …), (0, 1, 0, …, 0, −a_{1}, …), …, (0, …, 0, 1, −a_{n−1}))).

𝔅σ_{𝔅} = (\begin{matrix}0 & & … & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & … & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & … & 0 & −a_{2} \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ 0 & & … & 1 & −a_{n−1} \end{matrix})

Diese Matrix gleicht der Transponierten von \overline{m_{x}} : K[x]/p(x)K[x] → K[x]/p(x)K[x] ⇒ das charakteristische Polynom ist p_{σ}(x) = p(x).

q.e.d.

IX.42 Satz (Teilräume nach dem zugeordneten Polynom)

1. p(x) = ∏_{i=1}^{k} p_{i}(x) mit p_{i}(x) ∈ K[x] und ggT(p_{i}, p_{j}) = 1 für i ≠ j.

⇒ L(p(x)) = ⨁_{i=1}^{k} L(p_{i}(x))

2. Sei p(x) = (x − a)^{n}. Dann gilt:

(a_{i}) ∈ L(p(x)) ⇔ es existiert ein q(x) ∈ K[x] vom Grad < n mit a_{i} = q(i) · a^{i}

Beweis

1. sofort aus IX.21

2. Zeige nur ”⇐“, denn die angegebenen Folgen bilden bereits einen n-dimensionalen Vektorraum, ”⇐“ folgt also nach IX.41. ”⇒“: Zeige (i^{k}a^{i})_{i≥0} ∈ L(p(x)) für k = 0, 1, …, n − 1. Induktion über n: n = 1 √ Induktionsannahme: (a_{i})_{i≥0} ∈ L(p(x)) für a_{i} = i^{k}a_{i} k = 0, 1, …, n − 1 Induktion: (a_{i})_{i≥0} ∈ L((x − a)^{n+1}) für a_{i} = i^{n}a^{i} Beweis: (a_{i})_{i≥0}(a · id −σ) = (b_{i})_{i≥0} mit

b_{i} = a · a_{i} − a_{i+1}
= ai^{n}a^{i} − (i + 1)^{n}a^{i+1}
= −a((i + 1)^{n} − i)a^{i}
= −aq(i)a^{i}

mit q(x) ∈ K[x] vom Grad < n. Also

(a_{i})_{i≥0}(a · id −σ) ∈ L((x − a)^{n}) ⇒ (a_{i})_{i≥0} ∈ L((x − a)^{n+1})

IX.43 Bemerkung

1. K[[x]] bildet einen kommutativen Ring mit 1 bezüglich der Multiplikation

(∑_{i=1}^{∞} a_{i}x^{i}) (∑_{j=1}^{∞} b_{j}x^{j}) = (∑_{k=1}^{∞} c_{k}x^{k})

mit c_{k} = a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k−1} + ⋯ + a_{k−1}b_{1} + a_{k}b_{0}.

2. K[x] ist ein Teilring von K[[x]].

3. 1 − ax ist invertierbar in K[[x]] mit dem Inversen

\frac{1}{1 − ax} = ∑_{i=0}^{∞} a^{i}x^{i}

4.

\frac{1}{1 − ax}σ = a · \frac{1}{1 − ax}

5. L((x − a)^{k}) = ⟨\frac{1}{1−ax}, \frac{1}{(1−ax)^{2}} , …, \frac{1}{(1−ax)^{k−1}} ⟩_{K}

6. Für p(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ K[x] mit a_{0} ≠ 0 sei p̃(x) := \frac{1}{a_{0}} x^{n}p(\frac{1}{x}) ∈ K[x] d. h.

p = ∏_{i=1}^{n}(x − α_{i}) ⇒ p̃ = ∏_{i=1}^{n}(1 − α_{i}x)

Dann gilt:

L(p(x)) = \{\frac{q(x)}{p(x)} ∈ K[[x]]|q(x) ∈ K[x] mit Grad q(x) < n\}

Beweis

1. Nachrechnen

2. √

3. Geometrische Reihe:

(1 − ax) ∑_{i=0}^{∞} a^{i}x^{i} = ∑_{i=0}^{∞} a^{i}x^{i} − ∑_{i=1}^{∞} a^{i}x^{i} = 1

4. allgemein:

(∑_{i=0}^{∞} b_{i}x^{i}) σ = ∑_{i=0}^{∞} b_{i+1}x^{i}

⇒ Behauptung

5. 1. Beweis: Behauptung folgt aus dem letzen Satz 2. Beweis: (AB)σ = A(βσ) + b_{0}Aσ für A, B = ∑_{i=0}^{∞} b_{i}x^{i} ∈ K[[x]]

⇒ (\frac{1}{1 − ax})^{(k−1)+1} σ = (\frac{1}{1 − ax})^{k−1} \frac{a}{1 − ax} + 1 · (\frac{1}{1 − ax})^{k−1} σ

Duch Induktion folgt die Behauptung.

6. Aus 5 durch Multiplikation in K[[x]].

q.e.d.

Beachte: Der Schiebeoperator σ : K[[x]] → K[[x]] ist sehr verwandt mit dem Differenzenoperator Δ : (a_{0}, a_{1}, …) ↦ (a_{1} − a_{0}, a_{2} − a_{1}, …), denn Δ = σ − id. Also lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten können analog zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten behandelt werden.

Rechnerische Bestimmung des charakteristischen Polynoms

IX.44 Definition Minimalpolynom

1. Sei k minimal, so daß (id_{V}, φ, φ^{2}, …, φ^{k}) linear abhängig ist in Hom_{K}(V, V).

m_{φ}(x) := a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + x^{k} ∈ K[x] mit a_{0} id_{V} +a_{1}φ + a_{2}φ^{2} + ⋯ + φ^{k} = 0 heißt das Minimalpolynom von φ.

2. Für 0 ≠ V ∈ V sei k minimal mit (V, V φ, V φ^{2}, …, V φ^{k}) linear abhänging in V. m_{φ,V} (x) := a_{0}+a_{1}x+⋯+x^{k} ∈ K[x] mit a_{0}V +a_{1}V φ+⋯+V φ^{k} = 0 heißt das Minimalpolynom von φ bezüglich V.

IX.45 Bemerkung

1. m_{φ}(x)|p(x) (Hamilton-Cayley)

2. m_{φ,V} (x)|m_{φ}(x)

IX.46 Satz (Minimalpolynom)

Sei V endlich erzeugt, V ∈ V und φ : V → V linear.

1. W := ⟨V, V φ, V φ^{2}, … ⟩ ist ein φ-invarianter Teilraum von V (d. h. W ≤ V, Wφ ⊆ W) der Dimension Grad m_{φ,V} (x).

2. Auf W induziert φ die lineare Abbildung φ_{W} : W → W : w ↦ wφ, die m_{φ,V} (x) als Minimalpolynom und als charakteristisches Polynom hat.

3. Auf V/W induziert φ die lineare Abbildung φ_{V/W} : V/W → V/W : X + W ↦ Xφ + W, die \frac{p_{φ}(x)}{m_{φ,V} (x)} als charakteristisches Polynom besitzt.

Beweis

1. klar: Wφ ⊆ W dim W = Grad m_{φ,V} (x) aus Definition von m_{φ,V} (x)

2. trivial

3. Ergänze (V, V φ, …, V φ^{k−1}) zu einer Basis 𝔅 von V

𝔅φ_{𝔅} = ( \begin{matrix}\begin{matrix}0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & & & 1 \\ ∗ & ∗ & … & ∗ \end{matrix} & 0 \\ ∗ & \overline{𝔅}φ_{V/W} \overline{𝔅} \end{matrix} )

IX.47. Algorithmus (Berechnung von p_{φ}(x))  153

(nach Satz V.35).

det (\begin{matrix}A & 0 \\ ∗ & B \end{matrix}) = det A · det B

q.e.d.

IX.47 Algorithmus (Berechnung von p_{φ}(x))

Gegeben: φ : V → V linear, V endlich erzeugt Gesucht: p_{φ}(x) Algorithmus:

1. Setze p = 1.

2. Wähle 0 ≠ V ∈ V Teste (V), (V, V φ), (V, V φ, V φ^{2}), … auf lineare Abhängigkeit und berechne so eine Basis von W = ⟨V, V φ, V φ^{2}, … ⟩ und m_{φ,V} (x) = m_{φ_{W}} (x). Ersetzt p durch p · m_{φ,V} (x). Falls W ≠ V ersetze V durch V/W, φ durch φ_{V/W} und fahre fort bei 2. Ansonsten ist p_{φ} gefunden.

Nach endlich vielen Schritten terminiert der Algorithmus mit p = p_{φ}(x).

K = 𝔽_{2}, V = 𝔽_{2}^{6}, φ gegeben durch _{𝔖}φ_{𝔖} = A

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

V = (1, 0, 0, 0, 0, 0)
V φ = (1, 0, 1, 0, 1, 1)
V φ^{2} = (0, 0, 0, 1, 0, 0)
V φ^{3} = (1, 0, 1, 1, 1, 1)

Die ersten 3 Vektoren sind linear unabhängig.

V φ + V φ^{2} + V φ^{3} = 0 → m_{φ,V} (x) = x^{3} + x^{2} + x

W = ⟨V, V φ, V φ^{2}⟩

W = (0, 1, 0, 0, 0, 0)
W φ = (1, 1, 1, 1, 0, 0)
W φ^{2} = (1, 0, 0, 0, 1, 0)
W φ^{3} = (1, 0, 1, 1, 0, 0)

Die ersten 3 Vektoren sind linear unabhängig.

\overline{W} + \overline{W} φ + \overline{W} φ^{3} = 0 → m_{φ,\overline{W}} (x) = x^{3} + x + 1

⇒ p_{φ}(x) = (x^{3} + x^{2} + x)(x^{3} + x + 1)

Beispiel IX.13: Berechnung des charakteristischen Polynoms

Verzeichnis der Beispiele

I.1  Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
I.2  Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
I.3  Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
I.4  bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
I.5  Verknüpfung, algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5
I.6  Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8

II.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2 Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.3 Vektorraum der formalen Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Lösungsraum eines GLSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.5 Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.1 lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.2 Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.3 Konstruktion einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.4 Dimension einiger Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

IV.1 Bestimmung von Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 IV.2 Konstruktion einer Basis aus einem Erzeugendensystem . . . . . . . . . . . . . 29 IV.3 Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . 30 IV.4 Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . 32 IV.5 Bestimmung der Lösung eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . 33 IV.6 Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

V.1 lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 V.2 lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 V.3 Anwendung des Zassenhaus-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 V.4 Matrix einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 V.5 Matrizen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 V.6 Matrixprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 V.7 Matrixprodukt mit der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 V.8 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 V.9 Berechnung einer Rechtsinversen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 V.10 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 V.11 Berechnung einer Linksinversen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 V.12 Die Fibonacci-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 V.13 lineare Abbildungen und ihre Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 V.14 Matrizen in Polynomrestklasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 V.15 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI.1 lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 VI.2 Annulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 VII.1 Bilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 VII.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 VII.3 ...morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 VII.4 reziproke Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 VII.5 ON-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 VII.6 Bestimmung einer Orthogonalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 VII.7 Beste Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

VIII.1 Zykelschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 VIII.2 Untergruppen der Symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VIII.3 Rechtsrestklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VIII.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 VIII.5 Entwicklung einer Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 VIII.6 Entwicklung einer Determinante nach Spalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 VIII.7 Spur und Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 VIII.8 Berechnung der Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 VIII.9 Drehung und Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

IX.1 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 IX.2 Berechnung der Glieder der Fibonaccireihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 IX.3 Einsetzen einer Abbildung in das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . 130 IX.4 algebraisch abgeschlossener Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 IX.5 Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 IX.6 Ringhomomorphismus mit ℝ[X]/(x^{2} + 1)ℝ[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IX.7 größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 IX.8 Irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 IX.9 Körper eines Restklassenringes von ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 IX.10 Vereinfachung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 IX.11 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 IX.12 Komplexwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 IX.13 Berechnung des charakteristischen Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Index

Abbildung, 3 adjungierte, 97 bijektiv, 4 Bild, 4 bilineare, 81 Determinante, 121 Hintereinanderausführung, 4 injektiv, 3 Invarianten, 121 Komposition, 4, 52 Koordinatenabbildung, 19 linear, 39 Matrix einer, 48 normal, 99 orthogonal, 99 Schwanz-ab, 40 Spiegelung, 104 surjektiv, 4 symmetrisch, 99 transponierte, 77 Urbild, 4 zwischen Vektorräumen, 46

Abstand, 101 adjungierte Abbildung, 97

Matrix, 98 algebraische Struktur, 5 alternierend, 113 Annulator, 75 Approximation, 102

Berechnung, 105 Äquivalenzklasse, 31 Äquivalenzrelation, 1, 31 Assoziativgesetz, 7

Grundlage, 53 Automorphismus, 91

Basis, 18 Algorithmus zur Bestimmung, 46 Algorithmus zur Konstruktion, 27 äquivalente Aussagen, 22 Bestimmung, 28 Dualbasis, 73 Eigenvektorbasis, 129 Fächerbasis, 131 Fahnenbasis, 131 Konstruktion, 20 orthogonal, 93 orthonormal, 93 reziproke, 92 Standardbasis, 22, 51 Transformationssatz, 56 Überführung, 27 Basisergänzungssatz, 22 Bild, 4, 39 Bilinearform, 81, 82

Linearität in den Komponenten, 81 symmetrische, 85 Blockdiagonalmatrix, 142

C^{i}(ℝ, ℝ), 144

cartesisches Produkt, 1

charakteristisches Polynom, 125 Cramersche Regel, 120

definit negativ, 94 positiv, 94 Skalarprodukt, 95

Determinante, 113 Berechnung, 123 der Transponierten, 118 Eigenschaften, 114, 121 Eindeutigkeit, 115 einer Abbildung, 121 einer Matrix, 118 Entwicklung, 118, 119 nach Spalten, 119 nach Zeilen, 116

Existenz, 116

linear unabhängig, 117 Multiplikationssatz, 120 Vandermondsche, 129

Differentialgleichung, 144

Differenzmenge, 1 Dimension, 21 direkte Summe, 90 innere, 90 orthogonale, 91 Zusammenhang innere mit äußerer, 90

\underline{158 INDEX}

Distributivgesetz, 8 Drehachse, 123 Drehung, 123 Dreiecksungleichung, 101 Dualitätssatz, 75 Dualraum, 71

Dualbasis, 73 Durchschnitsmenge, 1

Eigenraum, 125 eigentlich orthogonal, 123 Eigenvektor, 125

linear unabhängig, 128 Eigenvektorbasis, 129 Eigenwert, 125 Einheitsmatrix, 51 Einsetzungshomomorphismus, 133 Elementare Schritte, 26

Interpretation, 61 Endomorphismus, 91 Epimorphismus, 91 Erzeugendensystem, 16 Erzeugnis, 14 euklidischer Vektorraum, 99 eulidischer Algorithmus, 135

Fächerbasis, 131 Fahnenbasis, 131 Faktorraum, 34

Dimension, 35 Fibonacci-Folge, 63 Fibonacci-Reihe, 128 Fourierkoeffizienten, 104

Gauß-Algorithmus, 46 Gaußscher Algorithmus, 62 Gaußsches Eliminationsverfahren, 30 gleichorientiert, 122 Gleichungssystem

eindeutige Lösung, 120 homogenes lineares, 11

Dimension, 34 lineares, 11 Lösbarkeit, 31 Lösungsmenge, 31 Matrix, 31

Grammatrix, 84

Rang, 87 größter gemeinsamer Teiler, 135 Gruppe, 8

generelle lineare, 120 kommutative, 8 spezielle lineare, 120 symmetrische, 109 Untergruppe, 112 Gruppenhomomorphismus, 111, 121

Halbgruppe, 8 Hamilton - Cayley, 130 Hauptminor, 125 Homomorphiesatz, 42

Anwendung, 45 für Ringe, 133

Homomorphismus, 91

Ideal, 133 Inverse Matrix, 55 invertierbar, 54 irreduzibel, 136 isomorph, 19 Isomorphiesatz, 43 Isomorphismus, 19, 37, 91

zwischen Matrix und Abbildung, 50

Jordan-Normalform, 142

allgemeine, 144 Jordanblock, 142

Kaninchen-Problem, 63 Kern, 39 Klasseneinteilung, 2 Kommutativgesetz, 7 komplexe Konjugation, 148 komplexe Zahlen, 134 Komposition

linearer Abbildungen, 52 Koordinatenabbildung, 19 Koordinatenspalte, 73 Koordinatenzeile, 73 Körper, 7

algebraisch abgeschlossen, 131 der rationalen Funktionen, 125 des Restklassenringes, 136

Kronecker-Symbol, 73

Länge, 101 Laplacescher Entwicklungssatz, 116 linear, 39

Funktionale, 71 linear abhängig, 17 linear unabhängig, 17

Determinante, 117 lineare Rekursion, 149 Linearformen, 71

Teilraum, 116 Linearkombination, 14 Linksinverse Matrix

Berechnung, 59 Lösung

eindeutige, 120 \underline{INDEX 159}

eines linearen Gleichungssystem, 11 Vektorraum der, 11

Lösungsmenge, 30 Lösungsraum, 36, 45, 77

Matrix, 32 Blockdiagonal-, 142 der Adjungierten Abbildung, 98 des Skalarproduktes, 85 Determinante, 118 einer Abbildung, 48 Einheitsmatrix, 51 Grammatrix, 84 Inverse, 55 invertierbar, 54 Matrixprodukt, 52 orthogonal, 107 symmetrische, 85 Transponierte, 58 Vereinfachung, 141

Matrixprodukt, 52 Assoziativität, 54 transponieren, 58

Menge, 1 der Bilinearformen, 84 endlich, 4

Metrischer Raum, 102 Minimalpolynom, 152 Monoid, 8 Monomorphismus, 91 multilinear, 114

n-Tupel, 17 nicht ausgeartet, 86 Norm, 101 normal

Abbildung, 99

orientierte Volumenverzerrung, 122 orthogonal, 86

Abbildung, 99 Orthogonal-Raum, 86 Orthogonalbasis, 93

Bestimmung, 95 Existenz, 94

orthogonale direkte Summe, 91 orthogonale Matrix, 107 Orthogonalprojektion, 102

Berechnung, 104 Eigenschaft, 102

Orthonormalbasis, 93 Orthonormalisierungsverfahren, 99

Interpretation, 104 othogonal Abbildung

Eigenschaft, 99

Parallelepiped, 122

Partition, 2 Polynom

als Produkt irreduzibler Polynome, 137 charakteristisches, 125 Grad, 66 irreduzibel, 136 kommutativer Ring, 65 Polynomring und Körper, 132 Restklassen, 67 Vektorraum, 12 Polynomfunktion, 68 Nullstellen, 70

Potenzmenge, 1 Potenzreihen

Vektorraum, 12

Quotientenraum, 34

Radikal, 86

des eingeschränkten Skalarproduktes, 89 Rang, 33 Rechtsinverse Matrix Berechnung, 57 Rechtsrestklasse, 112 Rechtsrestklassen

Bijektion, 113 reflexiv, 1 Relation, 1 Restklasse, 31

Polynom, 67 Restklassenraum, 34 reziproke Basis, 92, 93

Basiswechselmatrix, 92 Ring, 8

Divisionsring, 8

Homomorphiesatz, 133

kommutativer, 8 Polynome, 65

mit 1, 8

Polynomring und Körper, 132 Ringhomomorphismus, 133

Satz von Pythagoras, 102 Schwarzsche Ungleichung, 100 selbstadjungiert, 99 semidefinit

negativ, 94 positiv, 94

senkrecht, 86

Senkrechtraum, 86

Dimension, 89 Signum-Funktion, 111

Eigenschaften, 111 Skalarprodukt, 85

auf Restklassenraum, 88

definites, 95

Einschränkung auf Teilraum, 88 Matrix, 85

Spaltenkonvention, 59, 74, 78 Spaltenrang, 36, 37, 80 Spaltenraum, 36, 45 Spiegelung, 104, 123 Stabilisator, 113 Standardbasis, 22 Standardskalarprodukt, 93 Steinitzscher Austauschsatz, 20 Sylvesterscher Trägheitssatz, 96 symmetrisch, 1, 85

Abbildung, 99

Eigenschaft, 99 symmetrische Gruppe, 109

Anzahl der Elemente, 109

Teiler

größter gemeinsamer, 135 teilerfremd, 135 Teilmenge, 1 Teilraum, 10

der Bilinearformen, 84 der Linearformen, 116 der Polynome, 12 Schnittmenge von, 13 trivialer, 11

Transformationsgesetz, 85 transitiv, 1 Transponierte Abbildung, 77

Bild, 79 Kern, 79

Transponierte Matrix, 58 Transposition, 110

Produkt von, 110

Untergruppe, 112 Unterraum, 10 Urbild, 4

Vektoren, 9 Vektorraum, 9

der Abbildungen, 50

der formalen Potenzreihen, 12 der linearen Gleichungen, 12 der Matrizen, 33 endlich erzeugt, 19 euklidischer, 99 lineare Abbildungen, 46 Menge der Lösungen eines GLSH, 11 trivialer, 10 Vektorraumaxiome, 9 Vereinigung, 1 Verknüpfung, 5 Vertretersystem, 112 Volumen, 122 Volumenverzerrung orientierte, 122

Winkel, 101

Zahlbereichserweiterung, 6 Zahlbereichsvergröberung, 7 Zassenhaus-Algorithmus, 46 Zeilenkonvention, 74, 78 Zeilenrang, 33, 37, 80 Zeilenraum, 33 Zeilenvektoren, 33 Zerlegung, 2 Zykel, 110 Zykelschreibweise, 110 Zykelzerlegung

disjunkt, 111

nicht disjunkt, 111