Stochastik Übung 26. April 2001

Matthias Hensler

26. April 2001

Aufgabe 1

1a

Ω_{I} = {(ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{n}) ∈ A^{n}|ω_{i} ≠ ω_{j} für i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n}

mit A = {1, 2, …, 52}, wobei Karten 1 … 13 Herz, 14 … 26 Karo, 27 … 39 Pik, 40 … 52 Kreuz.

|Ω_{I}| = \frac{N!}{N − n!} = 52!

A = {(ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{52}) ∈ Ω_{I}|ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{13} ≤ 13 ≤ ω_{14}, …, ω_{26} ≤ 26 ≤ ω_{27}, …, ω_{39} ≤ 39 ≤ ω_{40}, …, ω_{52} ≤ 52} |A| = 13! · 13! · 13! · 13! = (13!)^{4} ⇒ P (A) = \frac{(13!)^{4}}{52!} = 1, 86 · 10^{−29}

1b

Ω_{II} = {(ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{13}) ∈ A^{′13}|ω_{1} < ω_{2} < … < ω_{13}}

Asse haben die Nummern 1 … 4

(Ω_{II}) = \binom{N}{n} = \binom{52}{13}

A_{2} = {(ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{13}) ∈ Ω_{II}|ω_{1} ∈ {1, 2, 3, 4}; ω_{2}, ω_{3}, …, ω_{13} ∉ {1, 2, 3, 4}}

|A_{2}| = \binom{4}{1}\binom{48}{12}

P (A_{2}) = \begin{matrix}\binom{4}{1} & \binom{48}{12} \\ ( & {52 \atop 13} & ) \end{matrix} ≈ 0, 44

1c

schwarze Karten S = {1, 2, …, 26}

A_{i} = {(ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{13}) ∈ Ω_{II}|ω_{k} ≤ 26 ∀k ∈ {1, 2, …, 13}k ≤ i; ω_{j} > 26 ∀j ∈ {1, 2, …, 13}j > i} ˆ= genau i schwarze Karten.

|A_{i}| = \binom{26}{i}\binom{26}{13 − i}

A = A_{0} ∪ A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} ∪ A_{4}

|A| = ∑_{i=0}^{4} \binom{26}{i}\binom{26}{13 − i}

P (A) = \frac{|A|}{|Ω_{II}|} ≈ 0, 1

Aufgabe 2

2a

Ω = {(ω_{1}, …, ω_{n})|ω_{i} ∈ {1, …, n} für 1 ≤ i ≤ n} |Ω| = n^{n} A = {(ω_{1}, …, ω_{n}) ∈ Ω|ω_{1} = 1} |A| = n^{n−1}

⇒ P (A) = \frac{n^{n−1}}{n^{n}} = \frac{1}{n}

2b

A = {(ω_{1}, …, ω_{n}) ∈ Ω|ω_{i} ≠ 1 ∀i = 1, …, n} |A| = (n − 1)^{n}

⇒ P (A) = \frac{(n − 1)^{n}}{n^{n}}

2c

A = {(ω_{1}, …, ω_{n}) ∈ Ω|∃i, j ∈ {1, …, n} mit i ≠ j, so daß ω_{i} = ω_{j} und ω_{i} ≠ ω_{k}, ω_{j} ≠ ω_{k} ∀k ∈ {1, …, n} mit i ≠ k, j ≠ k} |A| = n!(n − 1)

⇒ P (a) = \frac{(n − 1)n!}{n^{n}}

Erklärung: Für die erste Kugel haben wir noch n Plätze zur Verfügung, danach nur noch (n − 1) bis wir schließlich für die vorletzte nur noch 2 zur Auswahl haben. Es gilt dann: n · (n − 1) … 2 = n … 2 · 1 = n!.

2d

n = 4 :⇒ p ≈ 0, 28
n = 5 :⇒ p ≈ 0, 15 (I.A)

Zeige das es für n + 1 > n fallend ist, per vollständiger Induktion:

\frac{n!(n − 1)}{n^{n}} < 0, 2 ⇔ 5(n − 1)n! < n^{n}

Induktionsschritt (n → n + 1):

5n(n + 1)! 5 · n(n + 1)n! = 5 · n!(n − 1)\frac{n}{n−1}(n + 1)

\underbrace{≤}_{N} < n^{n} \frac{n}{n−1}(n + 1) ≤ (n + 1)^{n+1}

Aufgabe 3

Ω_{m} = {1, …, n}^{m} Interpretation: ω = (ω_{1}, …, ω_{m}) bedeutet, daß Fisch ω_{i} im i-ten Versuch gefangen wird. |Ω_{n}| = n^{m}

A_{k,m} sei das Ereignis, daß k markierte Fische gezogen werden.

A_{k,m} = {ω ∈ Ω|{1, …, m}|ω_{i} ≤ s}| = k}

Behauptung: |A_{k,m}| = \{ \begin{matrix}n^{m} · \binom{m}{k} (\frac{s}{n})^{k} (1 − \frac{s}{n})^{m−k} & für k ≤ m \\ 0 & sonst \end{matrix}

Beweis per Induktion über m: Induktionsanfang: m = 1 A_{0,1} = {s + 1, …, n} A_{1,1} = {1, …, s} A_{k,1} = ∅ für k ∉ {0, 1}

|A_{k,1}| = \{ \begin{matrix}(n − s) & für k = 0 \\ s & für k = 1 \\ 0 & sonst \end{matrix}

Induktionsschritt: m → m + 1:

n − s Möglichkeiten im (m + 1)-ten Versuch kein markierten Fisch zu ziehen s Möglichkeiten im (m + 1)-ten Versuch einen Fisch zu ziehen

|A_{k,m+1}| = (n − s)|A_{k,m}| + s|A_{k+1,m}|

=_{I.V.} (n − s)n^{m}\binom{m}{k} (\frac{s}{n})^{k} (1 − \frac{s}{n})^{m−k} + s · n^{m}\binom{m}{k − 1} (\frac{s}{n})^{k−1} (1 − \frac{s}{n})

= n^{m} (\frac{s}{n})^{k−1} (1 − \frac{s}{n})^{m−k} [(n − s)\binom{m}{k} (\frac{s}{n}) + s\binom{m}{k − 1} (1 − \frac{s}{n})]

= sn^{m} (\frac{s}{n})^{k−1} (1 − \frac{s}{n})^{m−k+1} [\binom{m}{k} + \binom{m}{k − 1}]

n^{m+1} (\frac{s}{n})^{k} (1 − \frac{s}{n})^{m−k+1} \binom{m + 1}{k} □