\underline{Mengen:} P (A \ B) = P (A ∩ B^{C}) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (aus Lemma 2.11) P (A \ B) = P (A \ (B ∩ A)) = P (A) − P (B ∩ A), da B ∩ A ⊆ A P (A ∩ B|C) = P (A|C) · P (B|C), wenn A|C und B|C s.u. \underline{Summen:}

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = ∞  ∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π}{6}  ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1−z}  |z| ≤ 1  ∑_{k=1}^{n} x^{k−1} = ∑_{k=0}^{n−1} x^{k} = \frac{1−x^{n}}{1−x}  (Geom. Reihe) x ≠ 1
∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} = e  ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}
∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}  x ∈ ℝ  (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)
∑_{n=0}^{∞} \frac{λ^{2i}}{(2i)!} = \frac{e^{λ}+e^{−λ}}{2}  ∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}
∑_{n=0}^{∞} \frac{ln(a)^{n}}{n!} x^{n} = a^{x}  x ∈ ℝ, a > 0  ∑_{k=1}^{n} k\binom{n}{k} = n · 2^{n−1}
∑_{i=0}^{∞} \binom{n}{i}^{2} = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}^{2} = \binom{2n}{n}  ∑_{k=1}^{n} k^{2}\binom{n}{k} = (n^{2} + n) · 2^{n−2}

∑_{i=0}^{k} \binom{n+i}{i} = \binom{n+k+1}{k}

∑_{n=0}^{∞} e^{−nx} = \frac{1}{1−e^{−x}}  ∑_{k=1}^{n} e^{kx} = e^{x} \frac{e^{nx}−1}{e^{x}−1}
∑_{k=0}^{∞} \binom{n}{k}a^{k}b^{n−k} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n−k} = (a + b)^{n} (Binomialsatz)  a, b ∈ ℝ
∑_{k=1}^{n} \binom{x}{k}\binom{y}{n−k} = \binom{x+y}{n}  (Von der Monde-Konvolution)  n ∈ ℕ_{0}, x, y ∈ ℂ

∑_{i=0}^{∞} \frac{i^{2}x^{i}}{i!} = ∑_{i=1}^{∞} \frac{i^{2}x^{i}}{i!} = x ∑_{i=1}^{∞} \frac{ix^{i−1}}{(i−1)!} = x ∑_{i=1}^{∞} \frac{\frac{d}{dx} x^{i}}{(i−1)!} = x\frac{d}{dx} ∑_{i=1}^{∞} \frac{x^{i}}{(i−1)!} = x\frac{d}{dx}x ∑_{i=0}^{∞} \frac{x^{i}}{i!} = x\frac{d}{dx}xe^{x} = x(e^{x} + xe^{x})

\underline{Grenzwerte:}

lim_{n→∞}(1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x} x > 0  lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}} = 0

Partialbruchzerlegung: \frac{C}{x−a)(x−b)} = \frac{A}{x−a} + \frac{B}{x−b} mit A = \frac{C}{x−b} |_{x=a} und B = \frac{C}{x−a} |_{x=b} Ableitungen:

(\frac{f(x)}{g(x)})′ = \frac{f(x)′g(x)−g(x)′f(x)}{g(x)^{2}}  (\frac{c}{f(x)})′ = \frac{−f(x)′c}{f(x)^{2}}
(e^{x})′ = e^{x}  (sin(x))′ = cos(x)
(a^{x})′ = a^{x} ln(a) a > 0 (cos(x))′ = − sin(x)
(ln(x))′ = \frac{1}{x}  (\frac{1}{x})′ = \frac{−1}{x^{2}}

\underline{Integrale:} ∫_{a}^{b} uv′ = uv|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} u′v

∫ x^{n}dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}  n ∈ ℤ, n ≠ −1  ∫ sin(x) = − cos(x)
∫ \frac{1}{x}dx = ln(|x|)  x ≠ 0  ∫ cos(x) = sin(x)
∫ e^{x}dx = e^{x}  ∫ \frac{1}{1+x^{2}} dx = arctan(x)
∫ a^{x}dx = \frac{a^{x}}{ln(a)}  a ∈ ℝ^{+}, a ≠ 1  ∫ \frac{1}{x^{2}} dx = \frac{−1}{x}

\underline{Fakultät:}

n\underline{k} = \frac{n!}{k!} \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \binom{n}{k} = \binom{n}{n−k} = \frac{n!}{(n−k)!k!} Rekursion: \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}

Gamma-Funktion (Γ):

Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ ℕ Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) und Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π} Γ-Integral: Γ(α) = ∫_{0}^{∞} x^{α−1}e^{−x}dx

Es gilt: ∫_{0}^{1} x^{α−1}(1 − x)^{β−1}dx = \frac{Γ(α)Γ(β)}{Γ(α+β)} (Ü 8, A 31)

Summentricks:

∑_{i=0}^{n−1}(n − i)^{x} = ∑_{i=0}^{n−1}(i + 1)^{x} = ∑_{i=1}^{n} i^{x}

\underbrace{∑_{i=1}^{n} i(… − i + 1)^{x}}_{A} − \underbrace{∑_{i=1}^{n} i(… − i)^{x}}_{B} ⟹ A Index-transformieren zu ∑_{i=0}^{n−1}(i + 1)(… − i)^{x}

Daraus 2 Summen: \underbrace{∑_{i=0}^{n−1} i(… − i)^{x}}_{C} + ∑_{i=0}^{n−1}(… − i)^{x} machen und C so umformen (Fall i = 0 weg und

Fall i = n dazu), daß C sich gegen A weghebt.

Verteilungen (1/2):

Diskrete ZV X:

Verteilung Parameter P (X = k) P (X ≤ k)
Binomial-  n ≥ 1
Bin(n, p) 0 ≤ p ≤ 1 f(k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} F (k) = ∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i}p^{i}(1 − p)^{n−i}

Trefferw’keit

Geometrische- 0 ≤ p ≤ 1
Geo(p)  Trefferw’keit  f(k) = (1 − p)^{k}p  F (k) = ∑_{i=0}^{k}(1 − p)^{i}p

(gedächnislos)

neg. Binomial-  n ≥ 1
\overline{Bin}(n, p)  0 ≤ p ≤ 1 f(k) = \binom{n+k−1}{k}(1 − p)^{k}p^{n} F (k) = ∑_{i=0}^{k} \binom{n+i−1}{i}(1 − p)^{i}p^{n}

Trefferw’keit

Poisson-  λ > 0
P oi(λ)  f(k) = e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!}  F (k) = ∑_{i=0}^{k} e^{−λ} \frac{λ^{i}}{i!}
Gleich-  n ∈ ℕ  f(k) = \frac{1}{n}  F (k) = ∑_{i=1}^{k} \frac{1}{n} = \frac{k}{n}

Absolut-stetige ZV X:

Verteilung Parameter Dichte P (X ≤ k)
Gleich-/  a, b ∈ ℝ
Rechteck- a < b f(x) = \frac{1}{b−a}11_{[a,b]}(x) F (x) = \frac{1}{b−a}(x − a)11_{[a,b]}(x)

R(a, b)

Exponential-  λ > 0
Exp(λ)  f(x) = λe^{−λx}11_{[0,∞)}  F (x) = 1 − e^{−λx}11_{[0,∞)}(x)

(gedächnislos)

Gamma-  α, λ > 0
Γ(α, λ)  f(x) = \frac{λ^{α}}{Γ(α)}x^{α−1}e^{−λx}11_{[0,∞)}(x)
Erlang-  n ∈ ℕ
Erl(n, λ)  f(x) = \frac{λ^{n}}{(n−1)!}x^{n−1}e^{−λx}11_{[0,∞)}(x)
λ > 0
χ^{2} mit n  n ∈ ℕ
Freiheitsgraden  f(x) = _{\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ( \frac{n}{2} )}}x^{\frac{n}{2} −1}e^{− \frac{x}{2}} 11_{[0,∞)}(x)

χ_{n}^{2} = Γ(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})

Rayleigh-  σ^{2} > 0
Ray(σ^{2})  f(x) = \frac{x}{σ^{2}} e^{− \frac{x^{2}}{2σ^{2}}} 11_{(0,∞)}(x)
Normal-  μ, σ^{2} ∈ ℝ
N(μ, σ^{2})  σ^{2} > 0  f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} e^{− \frac{(x−μ)^{2}}{2σ^{2}}}  F (x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} ∫_{−∞}^{x} e^{− \frac{(t−μ)^{2}}{2σ^{2}}} dt

Verteilungen (2/2):

Diskrete ZV X:

Erz. Fkt.  E(X) V ar(X) Anwendung  faltungsstabil
k = Anzahl der Treffer  *  ^{5.10 a)}
G(z) = (1 − p + pz)^{n} np np(1 − p) in Serie der Länge n;  Bin(n_{1}, p) + Bin(n_{2}, p)
Ü6 A23 a) 6.13 a) 6.13 a) (mit Zurücklegen) = Bin(n_{1} + n_{2}, p)
k = Wartezeit bis zum — ⇒ \overline{Bin}  ^{5.9}
G(z) = \frac{p}{1−(1−p)z}  \frac{1−p}{p}  \frac{1−p}{p^{2}}  ersten Treffer
3.18 a)  6.3 a)  (ohne den Treffer selbst) n · Geo(p) = \overline{Bin}(n, p)
k = Wartezeit bis zum  *  ^{5.10 b)}
G(z) = (\frac{p}{1−(1−p)z})^{n}  \frac{n(1−p)}{p}  \frac{n(1−p)}{p^{2}} n-ten Treffer;  \overline{Bin}(n_{1}, p) + \overline{Bin}(n_{2}, p)
aus 6.10  Ü9 A36 b)  Ü9 A36 b) (ohne die Treffer selbst)  = \overline{Bin}(n_{1} + n_{2}, p)
k = Anzahl der Kunden  *  ^{5.10 c)}
G(z) = e^{λ(z−1)}  λ  λ  im Zeitintervall  P oi(λ_{1}) + P oi(λ_{2})
3.18 b)  Ü9 A36 a)  Ü9 A36 a)  = P oi(λ_{1} + λ_{2})
\frac{n+1}{2}  \frac{n^{2}−1}{12}

Absolut-stetige ZV X:

Laplace-Trans.  E(X) V ar(X) Anwendung  faltungsstabil
\frac{a+b}{2}  \frac{(b−a)^{2}}{12}
x = Lebensdauer  *  ^{da Spezial-Γ}
L(s) = \frac{λ}{λ+s}  \frac{1}{λ}  \frac{1}{λ^{2}}  eines Prozesses
3.18 d)  6.3b—6.13b  6.13 b)
x = Summe von  *  ^{5.5 a)}
\frac{α}{λ}  \frac{α}{λ^{2}}  α stid Exp(λ)  Γ(α, λ) + Γ(β, λ)
Ü9 A36 c)  Ü9 A36 c) verteilten ZV  = Γ(α + β, λ)
x = Summe von  *  ^{da Spezial-Γ}
L(s) = (\frac{λ}{λ+s})^{n}  \frac{n}{λ}  \frac{n}{λ^{2}}  n stid Exp(λ)
aus 6.10  verteilten ZV
X = X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}  *  ^{da Spezial-Γ}
L(s) = (1 + 2s)^{− \frac{n}{2}}  n  2n  X_{i} stid N(0, 1)

Nützlich in

σ\sqrt{\frac{π}{2}} 2σ^{2}(1 − \frac{π}{4}) Kommunikations-

systemen

* ^{5.5 b)}
μ  σ^{2}  N(μ_{1}, σ_{1}^{2}) + N(μ_{2}, σ_{2}^{2})
6.3c—6.13c  6.13 c)  = N(μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})

Für X ∼ R(0, 1): L(s) = \frac{1−e^{−s}}{s} 3.18 c)