Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter ZV’en

Verteilung P (X = k) E(X) V ar(X) Anwendungsbeispiel
Binomial  Bernoulli-Serie der Länge n;
Bin(n, p) \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} np np(1 − p) X = Anzahl der Treffer

(mit Zurücklegen)

Geometrisch (1 − p)^{k}p \frac{1−p}{p} \frac{1−p}{p^{2}} X = Wartezeit bis zum ersten
Geo(p)  Treffer
Poisson e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!} λ λ Approx. der Bin-Vert. (n → ∞);
P oi(λ)  X = Anz. Kunden/ZE
neg. Binomial \binom{n+k−1}{k}(1 − p)^{k}p^{n} \frac{n(1−p)}{p} \frac{n(1−p)}{p^{2}} X = Wartezeit bis zum n-ten
\overline{Bin}(n, p)  Treffer
Gleich- bzw. \frac{1}{s} \frac{s+1}{2} \frac{s^{2}−1}{12} s-seitiger symm. Würfel
LaPlace-Vert.  X = Augenzahl
Hypergeo-  aus n Elem. (|1.Art| = s) werden
metrisch \begin{matrix}\binom{s}{k} & \binom{n−s}{m−k} \\ ( & {n \atop m} & ) \end{matrix} \frac{ms}{n} \frac{ms}{n}(1 − \frac{s}{n})\frac{n−m}{n−1} m ohne Zurücklegen gezogen.

X = Anz. von 1.Art

Erzeugende Funktionen

\begin{aligned}X ∼ Bin(n, p) & : G_{X}(z) = (1 − p + pz)^{n} \\ X ∼ Geo(p) & : G_{X}(z) = \frac{p}{1−(1−p)z} \\ X ∼ P oi(λ) & : G_{X}(z) = e^{λ(z−1)} \\ X ∼ \overline{Bin}(n, p) & : G_{X}(z) = (\frac{p}{1−(1−p)z})^{n} \end{aligned}

Wahrscheinlichkeitsverteilungen abs-stetiger ZV’en

Verteilung  f(x)  E(X) V ar(X) Anwendungsbeispiel
Gleich/Rechteck  \frac{1}{b−a}  \frac{a+b}{2}  \frac{(b−a)^{2}}{12}  Wartezeiten, Rundungsfehler

R(a, b)

Exponential λe^{−λx} \frac{1}{λ} \frac{1}{λ^{2}} Lebensdauer

Exp(λ) (x ≥ 0)

Normal \frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{− \frac{(x−μ)^{2}}{2σ^{2}}} μ σ^{2} X : ∑ einer großen # von ZV
N(μ, σ^{2})  ist angenähert ∼ N
Gamma \frac{λ^{α}}{Γ(α)}x^{α−1}e^{−λx} \frac{α}{λ} \frac{α}{λ^{2}} X ist Summe von α unabh.
Γ(α, λ) (x > 0)  Exp(λ)-vert. ZV’en
χ^{2} mit n Freiheitsgraden _{\frac{1}{Γ( \frac{n}{2} )2^{\frac{n}{2}}}} x^{\frac{n}{2} −1}e^{− \frac{x}{2}} n 2n Vert. von X = X_{1}^{2} + ... + X_{n}^{2},
χ_{n}^{2} = Γ(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) (x > 0)  wobei X_{i} stid ∼ N(0, 1)
Erlang  Vert. von S_{n} = X_{1} + ... + X_{n},
Erl(n, λ) =)Γ(n, λ) (n ∈ ℕ) \frac{λ^{n}}{(n−1)!}x^{n−1}e^{−λx} \frac{n}{λ} \frac{n}{λ^{2}} wobei X_{i} stid ∼ Exp(λ)

Gesamtbedienzeit für n Anford.

Rayleigh \frac{x}{σ^{2}} e^{− \frac{x^{2}}{2σ^{2}}} σ\sqrt{\frac{π}{2}} 2σ^{2}(1 − \frac{π}{4}) Nützlich in Kommunikations-
Ray(σ^{2}) (x ≥ 0)  systemen

LaPlace Transformierte

\begin{aligned}X ∼ Exp(λ) & : L_{X}(s) = \frac{λ}{λ+s} \\ X ∼ Erl(n, λ) & : L_{X}(s) = (\frac{λ}{λ+s})^{n} \\ X ∼ χ_{n}^{2} & : L_{X}(s) = (1 + 2s)^{− \frac{n}{2}} \\ X ∼ R(0, 1) & : L_{X}(s) = \frac{1−e^{−s}}{s} \end{aligned}