Aufgabe P30

a) Nein. In ℤ_{4} = ℤ_{2^{2}} ist 2 · 2 = 4 = 0, also ist ℤ_{4} nicht nullteilerfrei und damit kein Körper.

b) Nein. n = 2, p = 2, dann ist ℤ_{2}[X]/(x^{2} − 1) nach Satz 2 (Kap. II, §5) kein Körper, da ℤ_{2} als Körper ein Euklidischer Ring ist und x^{2} − 1 = (x + 1)(x − 1) nicht irreduzibel in ℤ_{2}[X] ist.

c) Ja. Satz der Vorlesung.

d) Nein. X und X + 1 sind immer irreduzible Polynome vom Grad 1.

Aufgabe P31

8. Nach Vorlesung ist die gesuchte Anzahl N_{n}(p) = \frac{1}{n} ∑_{d|n} μ(d)p^{\frac{n}{d}} für den Spezialfall n = p = 3.

Damit erhält man N_{3}(3) = \frac{1}{3} ∑_{d|3} μ(d) · 3^{\frac{3}{d}} = \frac{1}{3}μ(1) · 3^{3} + \frac{1}{3}μ(3) · 3^{1} = 9 + μ(3). Es gilt allgemein

μ(1) = 1 und μ(m) = − ∑_{\begin{matrix}d|m \\ 1⩽d<m \end{matrix}}μ(d), also ist μ(3) = −μ(1) = −1 und damit N_{3}(3) = 9+(−1) = 8.

Aufgabe P32

a) Nein. Wähle p = 2, d = 2, n = 3 mit (x^{2} + x + 1)|(x^{3} + 1) aber 2 ∤ 3.

b) Ja. Da x(x^{p^{n}−1} − 1) = x^{p^{n}} − x ist, gilt die Behauptung nach dem Beweis zu Satz 2 (§9).

Aufgabe P33

a) Nein. Die nächste Verschiebung v = [1 0 0 1 1] liegt nicht in C, denn bezeichnen z_{i} die Zeilenvektoren der Generatormatrix, so muß für v = a_{1}z_{1} + a_{2}z_{2} + a_{3}z_{3} gelten: a_{1} = 1, a_{3} = 1, da die erste und letzte Spalte von v von 0 verschieden ist. Man sieht nun, daß man weder für a_{2} = 0 noch für a_{2} = 1 eine Linearkombination von v erhält.

b) Nein. Addiert man den ersten und zweiten Zeilenvektor, so erhält man [1 0 0 1 0], also haben diese Vektoren die Distanz 2, womit die Minimaldistanz nicht 3 sein kann.

c) Ja. Die Dimension des Codes ist gerade die Dimension des Zeilenraumes von G(C).

Aufgabe P34

a) 4. Durch Betrachtung der Teiler von X^{3} − 1 erhält man die Generatormatrizen:

1 ⇝ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), X + 1 ⇝ (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}), X^{2} + X + 1 ⇝ (1 1 1), X^{3} + 1 ⇝ (0 0 0).

b) 3; 2; 1; 0. Dimension = Dimension des Zeilenraumes = Rang der Generatormatrix.

c) 1; 2; 3; nicht definiert. Nach Vorlesung ist die Minimaldistanz größer als der Grad des zugehörigen Minimalpolynoms, also hier für den ersten Code ⩾ 1, für den zweiten ⩾ 2 und für den dritten ⩾ 3. Da [1 0 0] aus dem ersten Code zum Nullvektor den Abstand 1 hat, ist die Minimaldistanz hier tatsächlich gleich 1. Analog begründet man, daß bei den anderen Codes 2 bzw. 3 auch tatsächlich minimal sind.